O documento resume os principais conceitos da regra de L'Hospital para calcular limites indeterminados, incluindo: (1) as condições necessárias para aplicar a regra, (2) exemplos de aplicação, (3) o uso da regra para transformar limites indeterminados em formas determinadas.

1. Profª Débora Bastos

2. Regra de L’Hospital
 Teorema 7: (Teorema de L’Hospital): Sejam f e g funções
diferenciáveis num intervalo aberto I, exceto
possivelmente em um número a em I. Suponha que, para
todo x ≠ a em I, g’(x) ≠ 0. Então se xlima f ( x ) = 0 e xlima g( x ) = 0
→ →
f ' (x) f ( x)
e se→ a g' ( x ) = L segue que→ a g( x ) = L .
x
lim
x
lim
 Observação: O teorema também é válido para limites
laterais.
 Tem enorme repercussão no cálculo de limites
indeterminados: 0 ∞
0∞
∞0
1∞ ∞−∞ 0 ⋅ ∞
0 ∞

3. Exemplos
 Calcule os limites abaixo:
senx cos x
a) lim
x →0 x
= lim
x →0 1
=1
a kx − 1 a kx (ln a.)k = lim a kx (ln a.) = ln a.
b) lim
x →0 kx
= lim
x →0 k x →0
e x −2 − e2− x e x −2 + e2− x 1+ 1
= lim = =2
c) lim
x → 0 sen( x − 2) x → 0 cos( x − 2) 1
e x senx − x e x senx + e x cos x − 1 e x ( senx + cos x ) − 1
d) lim
x →0 2
3x + x 5
= lim
x →0 6x + 5x 4
= lim
x →0 6x + 5x 4
e x ( senx + cos x ) + e x (cos x − senx ) 2e x cos x 2 1
= lim = lim = =
x →0 6 + 20 x 3 x →0 6 + 20 x 3 6 3

4. lim [ f ( x ) − g( x )] = ∞ − ∞
 Se x →a ou se xlima[ f ( x) • g( x )] = ∞ • 0 , então
→
através de artifícios algébricos, transforma-se estas
indeterminações em 0 ou ∞ .
0 ∞
 Exemplos:  1  



 x ⋅ + ln x − 1  1 + ln x − 1
 x 1   x ln x − x + 1   x  = lim  
a) xlim1 x − 1 − ln x  = xlim1 ( x − 1) ln x  = xlim1
  x →1 x − 1 
→   →   →
 ( x − 1) ⋅ 1 + ln x 
 
 x
+ ln x 

 x 
     1 
     x ⋅ + ln x 
= lim 
ln x  = lim  ln x  = lim 

x ln x  = lim 

x 
x →1 x − 1  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 x − 1 + x ln x  x →1 1 + x ⋅ + ln x 
 1
 + ln x     
 x   x   x 
 1. + ln x  1
= lim   =
x →1 1 + 1 + ln x  2
x 1 cos 2 2x
b) x → 0
lim x cot g2x = lim
x → 0 tg2x
= lim
2
x → 0 2 sec 2x
= lim =
1
x →0 2 2

5. Diferencial
 Seja y=f(x) uma função derivável no intervalo (a,b),
então para todo x ∈ (a,b), temos que a derivada de
f ( x + ∆x ) − f ( x )
f(x) é dada por: 0
lim
∆x → ∆x
= f ' (x)
 f ( x + ∆x ) − f ( x ) 
lim
Então: ∆x → 0 ∆x  − f ' (x) = 0
 
 f ( x + ∆x ) − f ( x ) 
Daí:  ∆x  − f ' ( x ) = g( ∆x )
onde g(∆x) é uma função
 
infinitesimal.
Logo: f ( x + ∆x ) − f ( x ) − f ' ( x )∆x = g( ∆x )∆x
 Como ∆x  0 e g(∆x) 0, temos ∆x g(∆x) 0, ou
fseja, x ) − f ( x ) − f ' ( x )∆x ≈ 0
(x + ∆ f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x
ou

6. Atenção: f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x
 Exemplo:
Encontre um valor aproximado para 3 128
Considere f(x) = 3 x , x = 125 e ∆x = 3.
− 2
x 3
1
f ' (x) = =
3 3
3 x2
1 1
f(128)≈ f(125)+f´(125).3=5+ 3
⋅3 = 5 +
25
3 125 2
3
128 ≈5,04

7. Atenção: f ( x + ∆x ) ≈ f ( x ) + f ' ( x )∆x
 Exemplo:
Encontre um valor aproximado para ln(1,02)
Considere f(x) = lnx , x = 1 e ∆x =0,02
1
f ' (x) =
x
1
f(1,02)≈ f(1)+f´(1).(0,02)= 0+
1
⋅ 0,02 = 0,02
ln(1,02)≈0,02

8.  Definição 14: Se a função f for definida pro y= f(x),
então a diferencial de y, denotada por dy, será dada
por
dy= f´(x)∆x
Onde x está no domínio de f´ e ∆x é um incremento
arbitrário de x.
f ( x +x )x ) ≈ f ' ( x )∆x
 ∆ − f (

∆y
∆y ≈ f ' ( x )∆x ⇒ dy = f ' ( x )∆x
Definição 15: Se a função f for definida por y=f(x), então
a diferencial x, denotada por dx, será dada por dx =
∆x, onde ∆x é um incremento arbitrário de x e x é

9. Decorre das definições 14 e 15:
Definição 16: dy = f´(x)dx
Dividindo ambos os membros por dx, temos:
dy
= f´( x )
dx
Essa relação expressa a derivada como quociente de
dy
diferenciais, quando usávamos dx , dy e dx não
tinham significado independentes.
A definição de diferencial é necessário para o conceito
de integral, nosso próximo assunto.

10. Mais aplicação: Cálculo de erros
 Seja y=f(x) uma função derivável, temos que:
erro aproximado dy dy
 = erro relativo 100 x = erro percentual
dy = valor aproximado y y
erro máximo

 Exemplo: Mediu-se o diâmetro de um círculo e achou-
se 5,2 cm, com um erro máximo de 0,05 cm. Achar o
máximo erro aproximado da área deste círculo. Achar
também os erros relativo e percentual.
 f(d)=A(d) função área , d diâmetro ⇒ A(d) = π(d/2)2
A(d)=πd2/4 ⇒ dA=(πd/2)dD
dA=π.5,2.0,05 ≅ 0,4084 cm2 ⇒ máximo erro da área
Erro relativo: 0,01923 Erro percentual: 1,923%