O documento introduz os conceitos fundamentais de limites de funções, incluindo definições de limite, operações com limites, formas indeterminadas e continuidade. É apresentado o limite exponencial fundamental e exemplos de cálculo de limites trigonométricos e para infinito.

1. UVA Cálculo Diferencial e Integral I Profª Cinira Fernandes
Apostila 1
INTRODUÇÃO AO ESTUDO DE LIMITES
Limite de uma variável
Se |x-a|<e valer para todo e>0, arbitrariamente pequeno, dizemos que a variável x tem
um limite e tal limite vale a. Simbolicamente,
a-e a+e
Os valores x1, x2 e x3
a
da variável x, estão na vizinhança e de x=a. Isto é, os valores xi
estão no intervalo a-e < xi <a+e (i=1,2,3)
LIMITE DE UMA FUNÇÃO
Seja Y=f (x) uma função definida nas vizinhanças do ponto a, ou, em certos pontos
desta vizinhança. A função tende a b, quando x tende a a, ou
lim ( )
e, para cada número positivo 0, tão pequeno quanto se queira, pode-se indicar um
0 tal que, para todo x diferente de a, verificando | x -a | , a desigualdade
| f(x) - l | , fica satisfeita. Diz-se então que b é o limite de f(x).
x
x®a, limx = a
f x b
x a
=
®

2. LIMITES NOS EXTREMOS DO DOMÍNIO
São os limites em que a variável independente x tende a assumir, em módulo,
valores muito grandes positivos ( + ¥ ) ou negativos (– ¥ ). Simbolicamente:
lim f (x) ou limf(x)
®− ¥ x® +¥
x
Ex: Calcule os limites das funções:
1
a) =
lim
x®+ ¥ x
1
b) =
lim
x®− ¥ x
c) =
®+ ¥
3
lim x
x
d) =
®− ¥
3
lim x
x
OPERAÇÕES COM LIMITES
Supondo que f x f e g
lim ( ) lim g(x) , onde ( f e g são finitos), verificam-se
x a
= =
® x®a
para os limites as seguintes propriedades:
a) lim [ f ( x ) + g ( x )] = lim f ( x ) + lim g ( x )
= f +
g
x ® a x ® a x ®
a
b) lim [ f ( x ) − g ( x )] = lim f ( x ) − lim g ( x )
= f −
g
x ® a x ® a x ®
a
lim [ ( ) ( )] lim ( ) lim ( )
c) f x × g x = f x × g x = f ×
g
x ® a x ® a x ®
a
d) lim [ f ( x ) ÷ g ( x )] = lim f ( x ) ÷ lim g ( x ) = f ÷ g com g
¹ 0
x ® a x ® a x ®
a
e) n n
lim [ ( )] [lim ( )]
x a
n
x a
f x = f x = f
® ®
Observação importante: Uma função f(x) definida em um intervalo I, com a Î I, é
contínua em x = a, se: lim f (x) f (a)
x a
=
®
Exemplo: Verificar se a função
4
−
f x é contínua em x = 3.
2
( )
2
−
=
x
x
3 −
4
Resolução: Cálculo de f (3) : 5
3 2
(3)
2
=
−
f =
Cálculo do lif ( 3
x
) : x®
m4
−
2
lim
2
x
® x
3 −
x
=
( x + 2)( x
−
2)
( 2)
lim3
−
® x
x
= 3
li( x
+
2 ) x
m®
= 5
Como lif ( x
) x®
3
m= f (3) , f (x) é contínua no ponto x = 3.

3. Exemplo: Verificar se a função
7
f x é contínua no ponto x = 1 A função é
1
( )
+
−
=
x
x
descontínua em x = 1
Exemplo: Verificar se a função
2 3
x se x
+ £
f x é contínua em x =3.
+
=
2 2 3
( )
x se x
Resolução: Cálculo de f (3) : Para x = 3, tem-se f (3) = 3 + 2 = 5. Contudo, como
lim f ( x ) = 5 é diferente de lim f ( x
) =
8
− + x ® x ®
3 3
Como não existe o limite em x = 3, a função é descontínua .
NOTAÇÕES SIMBÓLICAS OPERACIONAIS
a)
b)
c)
+ ¥ = + ¥
− ¥ = − ¥
k
k
, se k 0
+ ¥
, se k 0
− ¥
, se k 0
− ¥
, se k 0
+ ¥
( )
× +¥ =
( )
× −¥ =
k
k
= 0
k
± ¥
d) , −∞ = +∞,

4. é
−∞,

5. éí

6. ∈ N*
(+¥) = + ¥ n
, se k 0
+ ¥
k
e) f)
, se k 0
− ¥
( ) ( )
+¥ + +¥ = +¥
( −¥ ) + ( −¥ )
= −¥
FORMAS INDETERMINADAS
=
0
As sete formas clássicas de indeterminação são:
0
¥ ¥ e
, , ¥ −¥ , 0 ×¥ , 0 0 , 1
¥
0 0
¥

7. Aparecendo uma destas formas no cálculo do limite, deve-se adotar técnicas com o
objetivo de encontrar uma expressão correlata à forma inicial, a fim de, substituí-la e
evitar tal situação. Exemplos:
lim( x 2 + 2 x + 3 −
x
) x
a) = = = =
Como o resultado obtido é uma indeterminação, deve-se substituí-lo por uma
expressão correlata. A técnica adotada consiste em multiplicar e dividir a expressão
indicada pelo conjugado.
2 2
x + x + −
x
= =
2 2
( x + 2 x + 3 − x )( x + 2 x + 3 +
x
)
x + + +
x + + +
®¥ ( 2 3 )
2 3
lim
¥ +
= =
2 x
+
3
x®¥ ¥
2 ¥ + ¥ + + ¥
Observe que após a aplicação do primeiro procedimento, surge outra forma de
indeterminação. Este fato nos obriga a adotar outros recursos, ou seja: divide-se
numerador e denominador pela maior potência de x
2 x
3
+
x
= = =
2 x
+
3
x
x ( x 2 x 3 x
)
lim→
!
!
x
2 2 x
3
x
+ + +
2 +
0
+ + +
2
+
= = = 1 Conclusão: = 1
9
−
x
−
b) = =
x 3 3
0
x x
+ −
= = = = 6
®¥
( 2 3 ) 2 ¥ + ¥ + − ¥ ( ¥ + ¥ + 3 − ¥) ( ¥ − ¥)
(¥ − ¥)
( 2 3 )
lim
2
x x x
( 2 3 )
lim
2
x x x
®¥
( 2 3 )
lim
2 x x x
x + + +
®¥ ( 2 3 )
¥
x
lim
2 + + +
®¥
x
x x
x
x x
x
+ + +
®¥
2 2 2
lim
1
2 3
1
3
2
lim
2
+
®¥
x x
x
1 0 0 1
1 1
lim( x 2 + 2 x + 3 −
x
) x
®¥
3
lim
2
® x
3 −
3 9 2
−
0
9
−
x ( 3)
3
lim
2
x
® x
3 −
( 3)( 3)
lim3
−
® x
x
li( x
+
3 ) x
®
3
m(3 + 3)

8. LIMITE EXPONENCIAL FUNDAMENTAL
1
ou lim 1
1
lim 1 e
x
e
x
x
x
x
x
=
+ =
+
®+¥ ®−¥
Onde e é um número irracional, chamado número de Euler.
Façamos x variar de 1 até +¥.
2
1
1
1 1
1
=
9
1
x = ® + 2,5
4
2
2 1
2
= =
x = ® +
625
1
x = ® + 2,44
2,36
64
27
1
3
3 1
3
= =
256
4
4 1
4
= =
x = ® +
2,59
2,59.10
10 1 10
10
1
10
10 10
@ @
1
x = ® + 2,705
100
100 1
100
@
x = ® +
2,717
1
1000
1000 1
1000
@
x = ® +
e x = @
+ ¥
® +¥ ® +
+¥
2,71828182...
1
1
Uma forma equivalente desse limite é:
x e x
lim(1 )
x
+ =
®
1
0
Exemplos. Calcule os limites indicados abaixo:
a)
x
x x
4 )
1
lim(1+
®+¥
b)
x
x x
)
1
lim (1−
®−¥
c) x
lim(1− )
®−
x
x
5
0
O conceito de continuidade
Ao definir Lim f(x), se x a, analisamos o comportamento da função f(x) para valores
de x próximos de a, mas diferentes de a. Vimos que Lim f(x) pode existir, mesmo que f
não esteja definida no ponto a. Se f está definida em x=a e Lim f(x) existe, ainda pode
ocorrer que este limite seja diferente de f(a). Uma idéia muito simples de função real
contínua é a de uma função que possa ser traçada em uma folha sem retirar a caneta do
papel. Caso se interrompa o gráfico da função e se comece em outro local do papel,
ocorre uma descontinuidade. Em contextos avançados, observa-se que este critério é
errado, mas para o momento tal análise é suficiente.
Abaixo, mostramos um gráfico de uma função f contínua (sem interrupção) e um
gráfico de uma função g descontínua com uma série de problemas.

9. Na função descontínua g, observamos que: Não existe Lim g(x), se x b, pois os
limites laterais de g=g(x) são diferentes, isto é:
Limx b_ g(x) = s
Limx b+ g(x) = k embora g(b)=k.
1. Não existe Lim g(x) quando x c, pois
Limx c_ g(x) =
Limx c+ g(x) = embora g(c)=k.
2. Em x=d, temos
Limx d_ g(x) = Limx d+ g(x) = s e g(d)=s. Assim Limx d g(x)=s
que coincide com o valor de g no ponto x=d, isto é:
Limx d g(x) = g(d) = s
3. Em x=e, o valor que se obtém não é o esperado, aqui
Limx e_ g(x) = k = Limx e+ g(x) mas g(e)=z, logo
Limx e g(x) g(e)
Definição de função contínua:
Seja uma função f:|a,b| R e acb. A função f é contínua no ponto c, se Lim f(x)
existe, quando x c e é igual a f(c), ou de uma forma mais concisa:
Limx cf(x)=f(c)
onde |a,b| é um intervalo da forma: (a,b), (a,b], [a,b) ou [a,b].
Se não existe Lim f(x) ou se existe Lim f(x) quando x c, mas Lim f(x) é diferente de
f(c), dizemos que a função f é descontínua em x=c.

10. Limites trigonométricos
Limites envolvendo infinito
a) b) c) d)
Limite de uma função polinomial para
Seja a função polinomial . Então:
OBSERVAÇÃO: Quando x ® + ¥ ou x ® – ¥, o
limite de um polinômio é igual ao limite do seu termo de maior grau.
Exemplos:
a) lim→#$ + $ − % lim→ #$ ∞
b) lim→'%$( − )$ + #$ + * lim→' %$( −∞
c) lim→' +,'!
-. lim→' ,
l→im'#$ −∞