O documento introduz os conceitos fundamentais de vetores e operações com vetores. Apresenta a definição formal de vetor como uma classe de equipolência de segmentos orientados e define as noções de módulo, direção e sentido de um vetor. Descreve as principais operações com vetores - adição, subtração e multiplicação por escalar - utilizando os métodos da poligonal e do paralelogramo.

1. 1
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 1
VETORES
A noção de vetor, que muitos matemáticos e físicos, já discutiam há muito tempo atrás, sua
formalização com a Teoria do Cálculo Vetorial, é algo recente datado próximo ao final do século XIV e
início do século XX. Seu desenvolvimento da álgebra vetorial e da análise vetorial como conhecemos hoje
foi revelado primeiramente em um conjunto de notas de aula feitos por J. Willard Gibbs (1839--1903) feito
para seus alunos na Universidade de Yale. Gibbs nasceu em New Haven, Connecticut (seu pai também foi
professor em Yale) e suas conquistas científicas principais foram em física, termodinâmica propriamente
dita. Maxwell apoiava o trabalho de Gibbs em termodinâmica, especialmente as apresentações geométricas
dos resultados de Gibbs e concluiu que vetores forneceriam uma ferramenta mais eficiente para seu
trabalho em física. Assim, começando em 1881, Gibbs imprimiu por conta própria notas de aulas sobre
análise vetorial para seus alunos, as quais foram amplamente distribuídas para estudiosos nos Estados
Unidos, na Inglaterra e na Europa. Ao introduzir as teorias de Maxwell sobre eletricidade e magnetismo na
Alemanha (1894), os métodos vetoriais foram defendidos e vários livros sobre análise vetorial em alemão se
seguiram. Os métodos vetoriais foram introduzidos na Itália (1887, 1888, 1897), na Rússia (1907) e na
Holanda (1903). Vetores agora são a linguagem moderna de grande parte da física e da matemática
aplicada e continuam tendo seu próprio interesse matemático intrínseco.
1 Grandeza Escalar e Grandeza Vetorial
Na natureza encontramos dois tipos de grandezas (físicas): as grandezas
escalares e as grandezas vetoriais. Para se operar com as grandezas escalares são
utilizadas as mesmas operações definidas no conjunto dos números reais. Para operar
com grandezas vetoriais são necessárias outras operações e outras definições,
também chamado de Cálculo Vetorial.
Grandeza Escalar: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário
caracterizar seu módulo (quantidade) e uma unidade de medida.
Exemplos de grandezas escalares:
1) Massa: Se estamos interessados em dizer qual é a massa de um determinado
corpo, basta dizer, por exemplo: um corpo com massa de 75 kg, onde, 75 é o
módulo da grandeza e kg (quilograma) é a unidade de medida.
2) Temperatura: Para você informar sobre a temperatura de um determinado
ambiente, basta dizer, por exemplo: a temperatura do ambiente é de 36 o
C, onde,
36 é o módulo da grandeza e o
C (grau Celsius) a unidade de medida.
Grandeza Vetorial: É toda grandeza que para estar bem definida é necessário
caracterizar seu módulo e uma unidade de medida, direção e sentido.

2. 2
Exemplos de grandezas vetoriais:
1) Força: Quando uma força é aplicada em um corpo, ela é aplicada com certa
intensidade (seu módulo), numa determinada direção e num determinado sentido.
Por exemplo: uma força de intensidade 20 N (Newtons), na direção horizontal com
sentido para direita.
2) Velocidade: A velocidade indica movimento de um corpo, assim, se um corpo
possui uma velocidade diferente de zero, este corpo está se deslocando com certa
velocidade, numa determinada direção e num determinado sentido. Por exemplo:
uma velocidade de 12m/s (metros por segundo), numa direção vertical com sentido
para cima.
2 Vetor
Definição: Um segmento orientado é um par ordenado (A,B) de pontos do espaço
e representado pela "flecha" com abaixo. O ponto A (início da flecha) é a origem e B
(a "ponta" ou "seta" da flecha) é a extremidade. Um segmento orientado do tipo
(A,A) é chamado segmento orientado nulo.
Observe que, se A≠B, então (A,B) é diferente de (B,A). No caso do segmento
orientado (B,A), B passa ser a origem e A a extremidade.
Dado um segmento orientado (A,B), vamos definir os seus três elementos básicos:
módulo, direção e sentido.
20N
12 m/s
B
A
B
A

3. 3
(a) módulo: representa o tamanho ou comprimento do segmento orientado (A,B)
que é definido como sendo do tamanho do segmento geométrico AB .
(b) direção: é a reta suporte que sustenta o segmento orientado (A,B), ou seja, se
prolongarmos o segmento orientado além da sua origem e da sua extremidade
através de uma reta tracejada, a reta obtida indica sua direção.
(c) sentido: o sentido do segmento orientado (A,B) é indicado pela "seta" da flecha
que o representa.
Definição:
(a) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são de mesmo comprimento se os
segmentos geométricos AB e CD têm comprimentos iguais.
(b) Os segmentos orientados (A,B) e (C,D), não nulos, são paralelos se eles tem a
mesma direção, ou seja, se as retas suportes de ambos são paralelas.
Considere os vetores abaixo e note que, conforme as definições acima temos:
- Os segmentos orientados (A,B) e (E,F) têm o mesmo módulo, mesma direção (são
paralelos) e o mesmo sentido;
- Os segmentos orientados (A,B) e (G,H) têm módulos diferentes, direções diferentes
(não são paralelos) e sentidos diferentes;
- Os segmentos orientados (E,F) e (D,C) tem módulos diferentes, mesma direção (são
paralelos) e sentidos opostos.
"seta": sentido de (A,B)
reta suporte:
direção de
(A,B)
módulo:AB
B
A
A
B
C
D
E
F
G
H

4. 4
Definição: Os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são equipolentes se forem de
mesmo módulo, mesma direção e mesmo sentido. Indica-se a equipolência entre
(A,B) e (C,D) por: (A,B)~(C,D).
OBS: Decorre da definição que:
(a) se ambos os segmentos forem nulos então eles são equipolentes;
(b) equipolente a um segmento orientado nulo, somente outro segmento orientado
nulo.
Proposição: A relação de equipolência é uma relação de equivalência, ou seja,
quaisquer que sejam os segmentos orientados (A,B), (C,D) e (E,F):
(a) (A,B)~(A,B) (Propriedade Reflexiva)
(b) (A,B)~(C,D)⇒(C,D)~(A,B) (Propriedade Simétrica)
(c) (A,B)~(C,D) e (C,D)~(E,F)⇒(A,B)~(E,F) (Propriedade Transitiva)
Proposição: Considere os segmentos orientados (A,B) e (C,D). Se
(A,B)~(C,D)⇒(A,C)~(B,D).
Definição: Dado o segmento orientado (A,B), a classe de equipolência de (A,B) é
o conjunto de todos os segmentos orientados equipolentes a (A,B). O segmento
orientado (A,B) é o representante da classe.
OBS: Decorre da definição de classe de equipolência o que segue:
(a) Todos os segmentos orientados pertencentes a uma classe de equipolência são
equipolentes entre si. O próprio (A,B) é um deles, pela propriedade reflexiva;
(b) Se (C,D) pertence à classe de equipolência de (A,B), então (A,B) pertence à
classe de equipolência de (C,D), devido a propriedade simétrica. Na verdade, essa
duas classes coincidem, pois quem for equipolente a (C,D) será equipolente a (A,B), e
vice-versa, pela propriedade transitiva;
(c) Qualquer segmento pertencente a uma classe de equipolência pode ser o seu
representante.
A
B D
C

5. 5
Definição: Um vetor é uma classe de equipolência de segmentos orientados. Se
(A,B) é um segmento orientado, o vetor que tem (A,B) como representante será
indicado por AB ou simplesmente por uma letra minúscula, por exemplo v . Logo,
vAB = .
OBS: Deve estar claro que, se os segmentos orientados (A,B) e (C,D) são
equipolentes, então os vetores AB e CD são iguais. Cuidado para não usar a
expressão "vetores equipolentes", pois a equipolência é uma relação entre segmentos
orientados, não entre vetores;
Portanto, o vetor vAB = , com um significado geométrico, nada mais é que um
objeto matemático representado por um segmento orientado.
Assim, o vetor v , tem o ponto A como origem e B é sua extremidade. Outras
notações são usadas para denotar o vetor v , como: AB (sempre a origem primeiro e
depois a extremidade) ou a notação: AB − (a extremidade menos a origem). Logo,
podermos escrever: ABABv −== . O vetor representado pelo segmento orientado
(A,A) será chamado de vetor nulo e denotado por 0 .
Para definirmos bem o vetor é necessário caracterizar seu módulo, direção e
sentido. Como estamos representando o vetor por um segmento orientado, essas
noções já foram introduzidas. Então:
Módulo: é o tamanho do vetor, ou seja, o comprimento do segmento orientado
(A,B), e será denotado por |AB|v|v| == .
Direção: é a reta suporte que sustenta o vetor.
Sentido: é indicado pela seta do segmento orientado.
reta suporte que indica a
direção do vetor
v
v
sentido
do vetor
a
B
A

6. 6
Uma particularidade entre os vetores, e muito importante, é que vetores
paralelos têm a mesma direção, assim como os segmentos orientados que os
representam. Na figura abaixo, os vetores têm a mesma direção (são paralelos), têm
módulos (tamanhos) diferentes, a e c têm o mesmo sentido e b tem sentido oposto
dos vetores a e c .
Vetores que têm o mesmo módulo, a mesma direção (paralelos) e o mesmo
sentido são chamados de vetores iguais. Na figura abaixo os vetores são iguais.
OBS: Existe uma definição muito mais ampla do conceito de vetor (não
necessariamente geométrica) que envolve uma gama bastante variada de objetos
matemáticos como: matrizes, conjuntos, funções, soluções de equações diferenciais,
etc. Inicialmente, trabalharemos apenas com o vetor como definido acima.
3 Operações com vetores
3.1 Adição: Considere os vetores u e v , cuja soma vu + , é determinada da
seguinte forma: Adotar um ponto A qualquer e, com origem nele, traçar o segmento
orientado (A,B) que representa o vetor ABu = . Utilizar a extremidade B para traçar o
segmento orientado (B,C) que representa o vetor BCv = . O vetor representado pelo
segmento orientado (A,C) é, por definição, o vetor soma de u com v , isto é,
ACvu =+ , ou seja, ACBCAB =+ .
Note que, a ordem em que se somam os vetores não altera o resultado, pois:
Este método para somar dois vetores é conhecido como "método da poligonal", o
qual pode ser aplicado para a soma de mais de dois vetores. Veja o exemplo a seguir.
c
ba
dc
b
a
u
v
ACvu =+
vu
C
B
A
ACuv =+
A
v
u
C
B

7. 7
Exemplo (1): Considere os vetores wev,u dados abaixo. Determinar wvu ++ e
uwv ++ .
OBS: Uma variação do método da poligonal e o que chamamos de "método do
paralelogramo" (muito usado na soma de dois vetores). O método do
paralelogramo consiste em: dados dois vetores veu , adotamos um ponto O
qualquer, transportamos as origens dos dois vetores para este ponto O. Pela
extremidade do vetor u traçamos uma reta paralela ao vetor v e, pela extremidade
do vetor v traçamos uma reta paralela ao vetor u . Estas duas retas se interceptam
num ponto O'. A figura obtida é um paralelogramo, cuja diagonal determinada pelos
pontos OO' é o vetor soma 'OOvu =+ .
Propriedades da Adição.
1) Comutativa: uvvu +=+
2) Associativa: w)vu()wv(u ++=++
u v
w
ADwvu =++ D
C
BA
w
v
u
ADuwv =++
B
C D
A
w
u
v
u v
'OOvu =+
O'
O
u
v
O'
uv +vu +
v
u
O
u
v
w)vu()wv(u ++=++
wv +
vu +
w
v
u

8. 8
3) Elemento Neutro: 0,u ∃∀ (o vetor nulo) tal que uu00u =+=+ .
4) Elemento Oposto (ou simétrico): u∀ , com ABu = , u−∃ (o vetor oposto do vetor
u ), com BAu =− tal que 0u)u()u(u =+−=−+ .
3.2 Subtração: Considere os vetores veu . O vetor diferença entre veu , indicado
por vu − , é a soma do vetor u com o oposto do vetor v , ou seja, )v(uvu −+=− .
Cuidado! Não vale a propriedade comutativa, isto é, uvvu −≠− . Note que,
)uv(vu −−=− . Esta propriedade é chamada de anti-comutativa. Considerando que
sempre se interpreta a subtração )v(uvu −+=− , neste caso as propriedades são as
mesmas da adição.
Exemplo (2): Considere os vetores veu , como abaixo, determinar vu − .
OBS: Dados dois vetores veu , vamos determinar adição vu + e a subtração vu − ,
usando o método do paralelogramo.
Assim, dados dois vetores quaisquer, não paralelos, eles determinam um
paralelogramo onde uma diagonal é vu + e a outra vu − . Isso é muito útil na
resolução de problemas.
uv −
u−
vu +
vu −
u
v−
v
u
ACvu =−
C
BA
v−
u
v v−
u
v vu −
vu −
u
v−
v vu +

9. 9
3.3 Multiplicação por Escalar: Sejam qualquer vetor ℜ∈α∀ev . Então a
multiplicação do número real α pelo vetor v , denotado por v⋅α , ou simplesmente
por vα , é um vetor que satisfaz:
a) Se 0ventão,0vou0 =α==α
b) Se vvetoro,0ve0 α≠≠α caracteriza-se por:
• vα é paralelo a v ;
• vevα são de mesmo sentido se 0>α , e de sentidos contrários se 0<α ;
• |v||||v| ⋅α=α .
Exemplo (3): Seja v um vetor qualquer. Note que os vetores v
2
1
ev2,v2 − ,
representados abaixo, são todos paralelos, ou seja, têm a mesma direção.
Propriedades da Multiplicação por escalar:
1) ℜ∈β∀ℜ∈α∀βα=αβ e,v)()v( 3) ℜ∈β∀ℜ∈α∀β±α=β±α e,vvv)(
2) ℜ∈α∀α±α=±α ,uv)uv( 4) vv1 =⋅
3.4 Soma de um ponto com um vetor: Dados um ponto P e um vetor u , o ponto Q
tal que o segmento orientado (P,Q) é representante de u é chamado soma de P com
u e indicado por uP + (figura abaixo). Em símbolos: PQuPQuQuP =⇔−=⇔=+
Decorre da definição que, quaisquer que sejam os pontos P e Q, QPQP =+ .
Intuitivamente, podemos entender uP + como o resultado do deslocamento de um
ponto material, inicialmente na origem do vetor, até sua extremidade. Usaremos a
notação uP − para indicar a soma do ponto P com o oposto de u , ou seja,
)u(PuP −+=− .
u
P
uPQ +=
v2
1
v2−v2
v

10. 10
Propriedades: Quaisquer que sejam os pontos A e B e os vetores veu , valem:
1) )vu(Av)uA( ++=++
2) vuvAuA =⇔+=+ (lei do cancelamento de pontos)
3) BAuBuA =⇔+=+ (lei do cancelamento de vetores)
4) Au)uA( =+−
Definição: O versor de um vetor v , diferente do vetor nulo, denotado por ov , é um
vetor unitário, ou seja, 1|v| o = , como mesma direção e sentido do vetor v , definido
por
|v|
v
vo = .
Por exemplo: se o vetor v tem módulo 3|v| = e o vetor u tem módulo
2
1
|u| = , então
seus versores são, respectivamente, v
3
1
vo = e u2uo = . Assim:
4 Ângulo entre dois vetores
O ângulo entre dois vetores veu , não nulos, denotado por CAˆB)v,u(ang ==θ ,
é o ângulo entre os segmentos orientados que representam os vetores, com a
restrição oo
1800 ≤θ≤ , quando as origens dos vetores são transportadas para um
mesmo ponto A.
Da geometria plana sabemos que α−+= cosuv2vuw 222
, chamada de Lei dos
cossenos, onde u, v e w são os lados de um triângulo qualquer e α é um ângulo
interno ao triângulo, oposto ao lado w.
u
ov
v
ou
α v
w
u
u
v
C
B
v
u
A
θ

11. 11
Vetorialmente vuw += .
Note que o ângulo entre os vetores veu é θ e não o α . Temos que
o
180=θ+α e θ−=α coscos . Logo, de α−+= cosuv2vuw 222
vem que:
θ++=+= cosuv2vu|vu|w 2222
. Quando o ângulo entre dois vetores é 900
, dizemos
que eles são ortogonais.
Exemplo (4): Dois vetores bea , onde 6b|b|e2a|a| ==== formam entre si um
ângulo de 120o
. Determine o módulo da soma de ba + e da diferença de ab − .
Solução:
Aplicando a lei dos co-senos temos:
28
2
1
62262)120cos(ab2ba|ba| 22o222
=





−⋅⋅⋅++=++=+ ⇒ 7228|ba| ==+
52
2
1
62262)60cos(ab2ba|ab| 22o222
=





⋅⋅⋅++=++=− ⇒ 13252|ab| ==−
Exemplo (5): Seja um triângulo ABC. Mostre, vetorialmente, que o segmento que
une os pontos médios M e N de dois lados do triângulo é paralelo ao terceiro lado e
metade do comprimento deste. O segmento MN é chamado de base média do
triângulo.
Solução: Basta mostrar que: AC
2
1
MN = . A operação produto por escalar conserva a
direção, logo, os vetores ACeMN são paralelos.
α
θ
u
v
w
u
ab −
ba +
b
a−
a 120o
60o
NM
B
CA

12. 12
Como M é ponto médio de AB , então AM2AB = e N sendo ponto médio de BC ,
então NC2BC = . Pela figura acima temos:




=+
=++
ACBCAB
ACNCMNAM
)I( . Em (I)
multiplicando a primeira equação por 2 e na segunda equação substituindo AM2AB =
e NC2BC = , obtém-se:




=+
=++
ACNC2AM2
AC2NC2MN2AM2
. Subtraindo a segunda da primeira
equação: AC
2
1
MNACMN2 =⇒= .
Exemplo (6): Três forças de mesmo módulo F e aplicadas no mesmo ponto P podem
equilibrar-se?
Solução: Sim, desde que elas estejam defasadas de um ângulo de α=120o
. Aplicando
a lei dos cossenos para duas forças de mesmo módulo F, cujo ângulo entre elas é
120o
, a resultante terá a direção da bissetriz do ângulo entre elas e módulo igual a F,
pois:
F|FF|FFF2
2
1
F2F2)120cos(FF2FF|FF| 22222o222
=+⇒=−=





−⋅+=++=+
Portanto, a resultante é zero e as três forças estão em equilíbrio.
OBS: Vetores coplanares são vetores que estão no mesmo plano, ou seja, existe um
plano que os contém. A Figura (a) ilustra a situações em que os vetores são
coplanares e a Figura (b) quando eles não são coplanares.
Figura (a): Vetores coplanares. Figura (b): Vetores não coplanares.
u
v
w
u
v
w
αα
αF
F
F
F

13. 13
Operando-se geometricamente com vetores, obtém-se como resultado, vetores que
são coplanares com os vetores operados, ou seja, os vetores operados e os vetores
resultantes estão no mesmo plano (são coplanares).
Exemplo (7): Provar que as diagonais de um paralelogramo se cortam ao meio.
Solução: Suponhamos que M e N sejam os pontos médios de BDeAC ,
respectivamente, como na figura abaixo. Basta provar que NM = .
Temos que: AM2AC = e ND2BD = . Por construção temos: NDANAD += e




=−
=+
BDABAD
ACABAD
. Somando as equações vem que: ND2AM2BDACAD2 +=+= ⇒
( ) ND2AM2NDAN2 +=+ ⇒ AMAN = ⇒ AMAN −=− ⇒ MN =
Exercícios Propostos:
1) Sejam os vetores ceb,a , de módulos 3, 5 e 7, respectivamente, e coplanares.
Sabendo que o
30)b,a(ang = e o
30)c,b(ang = , determine 22
|ba||cb|R −−+= .
Resp: 35040R +=
2) Na figura abaixo AD2DC = . Vetorialmente, exprimir BD em função de BA e BC .
Resp:
3
AB2BC
BD
−
=
3) Demonstrar, vetorialmente, que o segmento que une os pontos médios dos lados
não paralelos de um trapézio é paralelo às bases e igual a sua semi-soma.
4) Demonstrar que o segmento que une os pontos médios das diagonais de um
trapézio é paralelo às bases e igual à semi-diferença das referidas bases.
5) As forças 521 f,...,f,f dispostas como mostra a figura, determinam um hexágono
regular. Determine o módulo da resultante dessas forças em função do módulo da 1f .
Resp: 1R f6F =
M
N
D
CB
A
C
B
A
D
5f
4f
3f
2f1f

14. 14
6) Sejam os vetores bea , de módulos 1e3 , e ortogonais entre si. Sendo
bam += , determine o módulo do vetor bmR += . Resp: 7|R| =
7) Sabendo que 2|vu|e4|vu| =−=+ , determine 22
|v||u|R += . Resp: 10R =
8) Determine BA em função de u , sabendo que uBuA +=− . Resp: u2BA =
9) Determine a relação entre u e v , sabendo que, para um dado ponto A, temos:
Av)uA( =++ . Resp: vu −=
10) Dizer se é falsa ou verdadeira cada uma das afirmações:
a) Se vu = , então |v||u| =
b) Se |v||u| = , então vu =
c) Se v//u , então vu =
d) Se vu = , então v//u
e) Se vuw += , então |v||u||w| +=
f) |v||u||w| += , então wev,u são paralelos
g) Se CDAB = , então ABCD (vértices nesta ordem) é um paralelogramo
h) |v|5|v5||v5| =−=
i) Os vetores v4ev3 − são paralelos e de mesmo sentido
j) Se v//u , 4|v|e2|u| == , então u2vouu2v −==
k) Se 3|v| = , o versor de
3
v
év10 −−
Resp: a) V b) F c) F d) V e) F f) V g) F h) V i) F j) V k) V
COMENTÁRIOS IMPORTANTES:
• Não existe interseção de vetores. Os vetores não são constituídos de pontos como
uma reta, apenas são representados pelos segmentos orientados, para
caracterizar uma grandeza vetorial que deve ter seu módulo, direção e sentido
bem definidos.
• Como não há interseção entre vetores, não é conveniente chamá-los de vetores
perpendiculares, ou seja, quando o ângulo entre dois vetores for de 90o
é mais
conveniente chamá-los de ortogonais.
• As operações elementares com vetores são apenas três: adição, subtração e
produto por escalar. Não existe multiplicação e nem divisão entre vetores. Logo,
escrever, por exemplo: 2
u ou
u
v
, é um erro comum. No entanto, podemos
calcular 2
|u| ou
|u|
|v|
, que ambos são números reais, com 0|u| ≠ .

15. 15
• Todas as operações elementares obedecem à propriedade do fechamento, ou seja,
qualquer operação elementar realizada entre vetores o resultado será um vetor.
Em particular, observe que 0vv =− (0 é o vetor nulo) e não 0vv =− (0 é o
escalar zero). Correto seria 0|v||v| =− .