1. 26
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 3
DEPENDÊNCIA LINEAR
1 COMBINAÇÃO LINEAR
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam VueV}v,...,v,v{ n21 ∈⊂ .
Dizemos que o vetor u é combinação linear dos vetores }v,...,v,v{ n21 , se existirem
escalares K,...,, n21 ∈ααα tais que ∑
=
α=α++α+α=
n
1i
iinn2211 vv...vvu .
Exemplo (1): Verificar se o vetor )5,2,0(u −= é combinação linear dos vetores )1,1,1(v1 −= ,
)0,1,1(v2 = e )1,0,2(v3 −= .
Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existem
escalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então:
)1,0,2(c)0,1,1(b)1,1,1(a)5,2,0( −++−=− ⇒





=+−
−=+
=−+
5ca
2ba
0c2ba
. Resolvendo o
sistema linear (SPD) vamos obter 1ce4b,6a −==−= . Portanto, existe a
combinação linear e 321 vv4v6u −+−= .
Exemplo (2): Verificar se o vetor
2
t5t22)t(q +−= é combinação linear dos vetores
t1)t(p1 +−= ,
2
2 tt)t(p −= e
2
3 t23)t(p += .
Solução: Para que )t(q seja combinação linear dos vetores )}t(p),t(p),t(p{ 321 , vamos verificar
se existem escalares ℜ∈c,b,a tais que )t(cp)t(bp)t(ap)t(q 321 ++= . Então:
)t23(c)tt(b)t1(at5t22 222
++−++−=+− ⇒

2. 27
22
t)c2b(t)ba()c3a(t5t22 +−++++−=+− ⇒





=+−
−=+
=+−
5c2b
2ba
2c3a
. Resolvendo
o sistema linear (SPD) vamos obter 1ce3b,1a =−== . Portanto, existe a
combinação linear e )t(p)t(p3)t(p)t(q 321 +−= .
OBS: Se ao verificar a existência de uma combinação linear aparecer um sistema linear SI, significa
que não existe a combinação linear. Veja o exemplo (3).
Exemplo (3): Verificar se o vetor )1,1,2(u = é combinação linear dos vetores )2,1,1(v1 −−= ,
)1,2,3(v2 −= e )3,1,4(v3 −= .
Solução: Para que u seja combinação linear dos vetores }v,v,v{ 321 , vamos verificar se existem
escalares ℜ∈c,b,a tais que 321 cvbvavu ++= . Então:
)3,1,4(c)1,2,3(b)2,1,1(a)1,1,2( −+−+−−= ⇒





=−−−
=++−
=++
1c3ba2
1cb2a
2c4b3a
. Resolvendo o
sistema linear vamos obter: da primeira equação vem que 2c4b3a +−−= . Substituindo
na 2ª e 3ª equações, teremos



=+
=+
5c5b5
3c5b5
⇒ 53 = (FALSO!). O que indica que não
existe a combinação linear, pois o sistema linear é SI.
1.1 Subespaço Gerado
Definição: Seja S um subconjunto, não vazio, de um espaço vetorial V. O subespaço gerado por S,
denotado por [S], é o conjunto de todos os vetores de V que se escrevem como
combinação linear dos vetores de S.
Exemplo (4): Seja
3
)}1,2,1(),2,0,1{(S ℜ⊂−= . Determine o subespaço gerado por S.
Solução: Seja
3
)z,y,x(v ℜ∈= . Vamos escrever o vetor v como combinação linear dos vetores
de S. Então: )1,2,1(b)2,0,1(a)z,y,x(v −+== ⇒





+=
=
−=
ba2z
b2y
bax
. Da segunda

3. 28
equação temos que yb 2
1
= . Substituindo na primeira equação temos: yxa 2
1
+= .
Substituindo a e b na terceira equação teremos: ( ) yyx2z 2
1
2
1
++= ⇒
0z2y3x4 =−+ , que é a equação geral de um plano passado pela origem. Portanto,
}0z2y3x4/)z,y,x{(]S[ 3
=−+ℜ∈= .
Exemplo (5): Seja )(M
11
00
,
03
01
,
00
12
S 2x2 ℜ⊂












−




−





 −
= . Determine o subespaço
gerado por S.
Solução: Seja )(M
dc
ba
M 2x2 ℜ∈





= . Vamos escrever a matriz M como combinação linear
das matrizes de S. Então: 





−
+




−
+




 −
=





11
00
p
03
01
n
00
12
m
dc
ba
⇒







=
−=
−=
−=
pd
pn3c
mb
nm2a
. Resolvendo o sistema linear vamos obter que
3
dcb6
a
−
++
= . Portanto,






ℜ∈∀





= −
++
d,c,b,
dc
b
]S[ 3
dcb6
OBS: Os exemplos anteriores mostram com determinar o subespaço gerado [S] a partir de um
sistema de geradores }v,...,v,v{S n21= . É também interessante saber determinar o
contrário, ou seja, a partir de um subespaço [S] , determinar o sistema de geradores
}v,...,v,v{S n21= . Veja os exemplos a seguir.
Exemplo (6): Seja }t2zx/)t,z,y,x{(W 4
+=ℜ∈= . Determine um sistema de geradores
para W.
Solução: Podemos escrever }t,z,y),t,z,y,t2z{(W ℜ∈∀+= . Assim, todo vetor de W se
escreve com )t,z,y,t2z(v += . Temos três variáveis livres y, z e t. Cada uma delas
gera um vetor, ou seja, )1,0,0,2(t)0,1,0,1(z)0,0,1,0(y)t,z,y,t2z(v ++=+= . Os
vetores )]1,0,0,2(),0,1,0,1(),0,0,1,0[( forma um sistema de geradores de W.

4. 29
Exemplo (7): Seja










===−=−+ℜ∈










= befe0b2cfba/)(M
fe
dc
ba
W 2x3 .
Determine um sistema de geradores para W.
Solução: Podemos escrever










ℜ∈∀










= f,d,b,
bb
db2
b0
W . Assim, toda matriz de W se escreve
como










bb
db2
b0
. Temos duas variáveis livres b e d. Então:










+










=










00
10
00
d
11
02
10
b
bb
db2
b0
. As matrizes






























00
10
00
,
11
02
10
formam um
sistema de geradores de W.
2 Vetores LI e LD
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam V}v,...,v,v{ n21 ⊂ . Dizemos
que os vetores }v,...,v,v{ n21 são Linearmente Independentes (LI), se a equação
0v...vv nn2211 =α++α+α se verifica para os escalares K,...,, n21 ∈ααα
todos nulos, ou seja, 0... n21 =α==α=α .
Definição: Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Sejam V}v,...,v,v{ n21 ⊂ . Dizemos
que os vetores }v,...,v,v{ n21 são Linearmente Dependentes (LD), se a equação
0v...vv nn2211 =α++α+α se verifica para os escalares K,...,, n21 ∈ααα
não todos nulos, ou seja, pelo menos um dos escalares deverá ser diferente de zero.
OBS: 1) A diferença entre um conjunto de vetores ser LI ou LD está na relação que existe entre
eles. O próprio nome já diz: se os vetores são LD é porque existe uma "dependência"

5. 30
entre eles (veremos a seguir que esta dependência será uma combinação linear), e se os
vetores são LI não existe nenhuma "dependência" entre eles.
2) A solução da equação homogênea 0v...vv nn2211 =α++α+α será dada através de
um sistema linear homogêneo, o qual sempre admite a solução trivial, ou seja,
0... n21 =α==α=α . Todo sistema linear homogêneo é possível. Se ele por SPD,
então admite somente a solução trivial e os vetores serão LI. Caso o sistema seja SPI,
além da solução trivial ele admite outras infinitas, então os vetores serão LD.
Exemplo (7): Verificar a dependência linear entre os vetores abaixo:
a) { }22
t3t5,tt2,t21 +−+−−
b)












−−




−






25
1010
,
95
43
,
10
21
Solução: a) Vamos escrever a equação homogênea. Sejam os escalares ℜ∈c,b,a . Então:
222
t0t00)t3t5(c)tt2(b)t21(a ++=++−+−+− ⇒
22
t0t00t)c3b(t)c5ba2()b2a( ++=+−+++−+− ⇒





=+−
=++−
=−
0c3b
0c5ba2
0b2a
. Este sistema homogêneo é SPD e a solução é a trivial, ou seja,
0cba === . Portanto, os polinômios { }22
t3t5,tt2,t21 +−+−− são LI.
b) Sejam ℜ∈γβα ,, . Então: 





=





−−
γ+




−
β+





α
00
00
25
1010
95
43
10
21
⇒







=γ−β+α
=γ−β
=γ+β+α
=γ+β−α
029
055
01042
0103
. O sistema homogêneo é SPI, cuja solução geral é
},e7{ ℜ∈γ∀γ=βγ−=α . Claro que, para 0=γ , teremos a solução trivial
0=γ=β=α , mas não é a única, existem outras infinitas. Portanto, as matrizes












−−




−






25
1010
,
95
43
,
10
21
são LD.

6. 31
Teorema (1): Seja V um espaço vetorial sobre um corpo K. Um conjunto de vetores
V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD se, e somente se, um deles é combinação linear dos
demais.
OBS: O teorema (1) é uma bi-implicação, ou seja, o termo "se e somente se" (cujo símbolo é ⇔),
nos diz que o teorema é válido nos dois sentidos. Assim, tanto é verdade afirmar que: "se
um conjunto de vetores é LD então um deles é combinação linear dos demais" como
afirmar em sentido contrário que "se num conjunto de vetores um deles é combinação
linear dos demais então estes vetores são LD".
Demonstração do Teorema (1):
(⇒⇒⇒⇒) Hipótese: V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD
Tese: um deles é combinação linear dos demais
Como os vetores são LD, então, por definição 0v...vv nn2211 =α++α+α , para os escalares
não todos nulos. Suponhamos que 01 ≠α . Então: n
1
n
3
1
3
2
1
2
1 v...vvv
α
α
−−
α
α
−
α
α
−= , ou
seja, 1v é combinação linear dos demais vetores.
(⇐⇐⇐⇐) Hipótese: um deles é combinação linear dos demais.
Tese: V}v,...,v,v{ n21 ⊂ é LD
Por hipótese, seja 1v combinação linear dos demais vetores. Então existem escalares
K,...,, n32 ∈ααα tais que nn33221 v...vvv α+α+α= . Assim, teremos:
0v...vvv)1( nn33221 =α+α+α+− . Logo, a equação homogênea é satisfeita para os
escalares não todos nulos, pois 11 −=α . Portanto, }v,...,v,v{ n21 é LD.
Teorema (2): Dados }v,...,v,v{ n21 vetores LD, então k desses vetores serão LD, para k ≥ n.
OBS: O teorema (2) está afirmando que se um conjunto de vetores é LD, se aumentarmos este
conjunto ele sempre será LD. Como este teorema é de uma implicação, ou seja, o termo
"então" (cujo símbolo é ⇒) só garante um sentido do teorema, a reciproca não é verdadeira,
ou seja, se diminuirmos um conjunto de vetores LD, nada podemos afirmar.
Demonstração do Teorema (2):

7. 32
Se }v,...,v,v{ n21 é LD, então existem escalares não todos nulos K,...,, n21 ∈ααα tais que
0v...vv nn2211 =α++α+α (*). Seja }v,...,v,v,...,v,v{ k1nn21 + , ou seja, vamos aumentar
o conjunto inicial. Então 0v...vv...vv kk1n1nnn2211 =α++α+α++α+α ++ para os
escalares não todos nulos, pois, mesmo que K0... k2n1n ∈=α==α=α ++ , na equação (*) já
existiam escalares não nulos.
Teorema (3): Dados }v,...,v,v{ n21 vetores LI, então k desses vetores serão LI, para k ≤ n.
OBS: O teorema (3) está afirmando que se um conjunto de vetores é LI, se diminuirmos este
conjunto ele sempre será LI. Analogamente, a reciproca não é verdadeira, ou seja, se
aumentarmos um conjunto de vetores LI, nada podemos afirmar.
Demonstração do Teorema (3):
Se }v,...,v,v,...,v,v{ n1kk21 + é LI, então existem escalares K,...,,,...,, n1kk21 ∈ααααα +
tais que 0v...vv...vv nn1k1kkk2211 =α++α+α++α+α ++ (*), com os escalares
0...... n1kk21 =α==α=α==α=α + . Seja agora, o conjunto }v...,,v,v{ k21 . Então
0v...vv kk2211 =α++α+α para os escalares todos nulos, pois na equação (*) os escalares já
eram todos nulos.
Conseqüências:
Sejam V um espaço vetorial qualquer. Então:
1) O vetor nulo { }0 é LD.
2) Um único vetor { }v , com 0v ≠ , é LI.
Exemplo (8): No exemplo (7), item (b), mostramos que o conjunto de matrizes












−−
=




−
=





=
25
1010
C,
95
43
B,
10
21
A é LD. Pelo teorema (1), uma
delas é combinação linear das outras duas. Mostre que existe esta combinação
linear.
Solução: Vamos escrever a matriz C como combinação linear das matrizes A e B. Então, existem
escalares ℜ∈n,m tais que nBmAC += .

8. 33





−
+





=





−− 95
43
n
10
21
m
25
1010
⇒







+=−
=−
+=
−=
n9m2
n55
n4m210
n3m10
⇒ 1ne7m −== .
Portanto, existe a combinação linear que é BA7C −= .
Exercícios Propostos
1) Verificar a dependência linear entre os vetores e escrever a combinação linear quando existir.
a) )}1,3(c),5,1(b),2,2(a{ −==−= Resp (a): LD e cba 4
3
4
1
−−=
b)












−





−
−






− 310
032
,
121
130
,
311
102
Resp (b): LI
2) Determine os valores de m para que os vetores )}1,2,2(),1,m,2(),3,1,2m{( −−+ sejam LD.
Resp: 8mou2m −=−=
3) Determine o subespaço gerado pelo conjunto }t23,t32{S 2
−−= .
Resp: }0a9a4a6/)(Ptataa{]S[ 21o2
2
21o =++ℜ∈++=
4) Seja }0a2aa5a3a/)(Ptatataa{W 3221o3
3
3
2
21o =+=−+ℜ∈+++= . Determine
um sistema de geradores para W. Resp: }tt5,t3{S 3
2
12
−++−=
5) Se o conjunto }w,v,u{ é LI, mostre que }wu,wv,vu{ +++ é LI.