O documento resume os principais conceitos de transformação linear entre espaços vetoriais, incluindo: (1) Definição formal de transformação linear; (2) Propriedades das transformações lineares, como núcleo e imagem; (3) Operações com transformações lineares, como adição, subtração e produto escalar.

1. 46
ELEMENTOS DE ÁLGEBRA LINEAR
CAPÍTULO 6
TRANSFORMAÇÃO LINEAR
Definição: Sejam V e W espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Uma função WV:T → é
uma transformação linear se:
a) Vv,v,)v(T)v(T)vv(T 212121 ∈∀+=+
b) KeVv,)v(T)v(T ∈α∀∈∀α=α
Exemplo (1): Seja
23
:T ℜ→ℜ definida por )zy2,zx()z,y,x(T −+= . Mostre que T é
uma transformação linear.
Solução: a) Sejam
3
22221111 )z,y,x(ve)z,y,x(v ℜ∈== . Então:
)zz,yy,xx(T)]z,y,x()z,y,x[(T)vv(T 21212122211121 +++=+=+ ⇒
))zz()yy(2,zzxx()vv(T 2121212121 +−++++=+ ⇒
)zzy2y2,zzxx()vv(T 2121212121 −−++++=+ ⇒
)zy2,zx()zy2,zx()vv(T 2222111121 −++−+=+ ⇒
)v(T)v(T)z,y,x(T)z,y,x(T)vv(T 2122211121 +=+=+
b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈=∀ e)z,y,x(v 3
. Então:
)zy2,zx()z,y,x(T)]z,y,x([T)v(T α−αα+α=ααα=α=α ⇒
)v(T)z,y,x(T)zy2,zx()v(T α=α=−+α=α
OBS: 1) Sejam WV:0 → a aplicação nula definida por O(v)=0, ∀v∈V e WV:Id → a
aplicação identidade definida por v)v(Id = , ∀v∈V. A aplicação nula e a aplicação
identidade são transformações lineares. Deixamos a cargo do leitor a demonstração
dessas afirmações.
2) Seja WV:T → uma transformação linear. Se V = W, ou seja, VV:T → , então T é
chamada de um operador linear.
3) Seja WV:T → uma transformação linear. Então V é chamado de espaço de saída e W
é chamado de espaço de chegada da transformação.

2. 47
Exemplo (2): Seja
32
:T ℜ→ℜ definida por )2,y,x()y,x(T = . Mostre que T não é uma
transformação linear.
Solução: Sejam
2
222111 )y,x(ve)y,x(v ℜ∈== . Então:
)yy,xx(T)]y,x()y,x[(T)vv(T 2121221121 ++=+=+ ⇒
)v(T)v(T)0,y,x()2,y,x()2,yy,xx()vv(T 212211212121 +≠+=++=+
Portanto T não é transformação linear.
1 PROPRIEDADES DAS TRANSFORMAÇÕES LINEARES
Qualquer que seja a transformação linear WV:T → , são válidas as seguintes propriedades:
P1) 0)0(T =
P2) )v(T)v(T)vv(T 2121 −=−
P3) ∑∑
==
α=





α
n
1i
ii
n
1i
ii )v(TvT
OBS: É interessante notar que podemos definir uma transformação linear entre quaisquer dois
espaços vetoriais, inclusive com dimensões diferentes. Assim, por exemplo, podemos
transformar matrizes em vetores do
3
ℜ , vetores do
4
ℜ em polinômios, etc. (exemplo 3).
Um fato muito importante é conseguirmos construir uma transformação linear a partir de
algumas condições iniciais (exemplo 4).
Exemplo (3): Seja 





−
+
=++
211
21o2
21o
aaa
aaa
)tataa(T . Mostre que a aplicação
)(M)(P:T 2x22 ℜ→ℜ é uma transformação linear.
Solução: a) Sejam )(Ptbtbb)t(petataa)t(p 2
2
21o2
2
21o1 ℜ∈++=++= . Então:
( ) )tbtbbtataa(T)t(p)t(pT 2
21o
2
21o21 +++++=+ ⇒
( ) )]t)ba(t)ba()ba[(T)t(p)t(pT 2
2211oo21 +++++=+ ⇒
( ) 





−−++
++++
=+
221111
221o1o
21
bababa
babbaa
)t(p)t(pT ⇒

3. 48
( ) 





−
+
+





−
+
=+
211
21o
211
21o
21
bbb
bbb
aaa
aaa
)t(p)t(pT ⇒
( ) ( ) ( ))t(pT)t(pT)t(p)t(pT 2121 +=+
b) Sejam ℜ∈α∀ℜ∈++=∀ e)(Ptataa)t(p 2
2
21o . Então:
( ) 





α−αα
αα+α
=α+α+α=α
211
21o2
21o
aaa
aaa
)tataa(T)t(pT ⇒
( ) ( ))t(pT
aaa
aaa
)t(pT
211
21o
α=





−
+
α=α
Exemplo (4): Seja uma transformação linear )(P:T 2
3
ℜ→ℜ tal que t32)1,1,1(T −= ,
2
tt1)0,1,1(T −+= e
2
t2t)0,0,1(T += . Determine a expressão da T.
Solução: Como )(P:T 2
3
ℜ→ℜ , então a T é aplicada em vetores do ℜ3
e transforma-os em
polinômios de grau menor ou igual a 2. Para construirmos a expressão da )z,y,x(T
temos que conhecê-la aplicada nos vetores de uma base do seu espaço de saída. Como o
conjunto )}0,0,1(),0,1,1(),1,1,1{(B = é uma base do ℜ3
e, pelas informações do
enunciado, T aplicada nos vetores da base B são valores conhecidos . Vamos escrever um
vetor genérico do ℜ3
como combinação linear da base B:





=
+=
++=
⇒++=
az
bay
cbax
)0,0,1(c)0,1,1(b)1,1,1(a)z,y,x( ⇒





−=
−=
=
yxc
zyb
za
⇒
)0,0,1)(yx()0,1,1)(zy()1,1,1(z)z,y,x( −+−+= . Vamos aplicar a transformação
em ambos os lados da igualdade. Então:
)0,0,1(T)yx()0,1,1(T)zy()1,1,1(zT)z,y,x(T −+−+= ⇒
)t2t)(yx()tt1)(zy()t32(z)z,y,x(T 22
+−+−+−+−= ⇒
2
t)y2x2zy(t)yxzyz3()zyz2()z,y,x(T −++−+−+−+−+−+= ⇒
2
t)zy3x2(t)z4x()zy()z,y,x(T +−+−++= . Esta é a transformação
procurada.

4. 49
2 NÚCLEO E IMAGEM
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Conjunto Imagem da T, denotado por
Im(T), é definido como sendo }w)v(TcomVv/Ww{)TIm( =∈∃∈= .
Definição: Seja WV:T → uma transformação linear. O Núcleo da T, denotado por Ker(T), é
definido como sendo }0)v(T/Vv{)T(Ker =∈= .
OBS: Do inglês: kernel = núcleo. Daí a notação Ker(T).
Teorema (1): Seja WV:T → uma transformação linear. Então:
a) )T(Ker é subespaço de V.
b) )TIm( é subespaço de W.
Exemplo (5): Seja )db,ca,c3b5a2(
dc
ba
T ++−−=





. Determine )T(Kere)TIm( .
Qual a dimensão da imagem e do núcleo?
Solução: Temos uma transformação
3
2x2 )(M:T ℜ→ℜ . Isso significa que
3
)TIm( ℜ⊂ e
)(M)T(Ker 2x2 ℜ⊂ . Seja )T(Ker
dc
ba
∈





. Por definição, )0,0,0(
dc
ba
T =





⇒





=+
=+
=−−
⇒=++−−
0db
0ca
0c3b5a2
)0,0,0()db,ca,c3b5a2( ⇒





=
−=
−=
dc
db
da
. Assim:
T
V
Ker(T)
v
v
W
Im(T)
0
T(v)=w

5. 50






ℜ∈∀=−==ℜ∈





= d,dcedba/)(M
dc
ba
)T(Ker 2x2 . Vamos achar uma
base para o núcleo.
Temos que )T(Ker
dd
dd
∈




 −−
⇒ 




 −−
⋅=




 −−
11
11
d
dd
dd
. Então











 −−
=
11
11
B é base do Ker(T) ⇒ 1)T(Kerdim = . Seja )TIm()z,y,x( ∈ .
Como T leva toda matriz de )(M 2x2 ℜ em um vetor da imagem, a própria definição da
T já mostra como são os vetores da imagem. Então:
)TIm()db,ca,c3b5a2( ∈++−− . Vamos achar uma base para a imagem. Temos
que: )1,0,0(d)0,1,3(c)1,0,5(b)0,1,2(a)db,ca,c3b5a2( +−+−+=++−− ⇒
)}1,0,0(),0,1,3(),1,0,5(),0,1,2{(S −−= é um sistema de geradores para Im(T).
Escalonando:












→












−
−
000
100
250
012
100
013
105
012
. Então )}1,0,0(),2,5,0(),0,1,2{('B = é
base da Im(T) ⇒ 3)TIm(dim =
3 OPERAÇÕES COM TRANSFORMAÇÕES LINEARES
1) Adição
Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços
vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como soma da F mais a G a aplicação
WV:GF →+ tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀+=+ .
Proposição (1): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF + é
uma transformação linear.
Propriedades:
Sejam WV:HeWV:G,WV:F →→→ transformações lineares. Então:
P1) Comutativa: FGGF +=+

6. 51
P2) Associativa: H)GF()HG(F ++=++
P3) Elemento Neutro: Existe a transformação nula WV:N → tal que Vv,0)v(N ∈∀= que é
o elemento neutro da adição pois FFNNF =+=+ .
P4) Elemento Oposto: Existe a transformação oposta WV:)F( →− que é o elemento oposto da
adição tal que NF)F()F(F =+−=−+ .
2) Subtração
Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares, com V e W espaços
vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos como subtração da F menos a G a aplicação
WV:GF →− tal que Vv),v(G)v(F)v)(GF( ∈∀−=− .
Proposição (2): Sejam WV:GeWV:F →→ duas transformações lineares. Então GF − é
uma transformação linear.
OBS: A operação de subtração não possui propriedade alguma. No entanto, a subtração é
interpretada da seguinte forma: )G(FGF −+=− , ou seja, a subtração de F com a G é
igual a adição de F com a oposta da G.
3) Produto por Escalar
Sejam WV:F → uma transformação linear, com V e W espaços vetoriais sobre o
mesmo corpo K e K∈α∀ . Definimos com sendo o produto do escalar de α pela transformação F
a aplicação WV:)F( →α tal que Vv),v(F)v)(F( ∈∀α=α .
Proposição (3): Sejam WV:F → duas transformações lineares e K∈α∀ . Então )F(α é uma
transformação linear.
Propriedades:
Sejam WV:GeWV:F →→ transformações lineares e K, ∈βα∀ . Então:
P1) F)()F()F( αβ=αβ=βα
P2) GF)GF( α+α=+α
P3) FFF)( β+α=β+α
P4) FF1 =⋅

7. 52
4) Composição de Transformações Lineares
Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares onde V, U e W são
espaços vetoriais sobre o mesmo corpo K. Definimos com sendo a composição de G com F,
denotado por FG , a aplicação WV:FG → tal que ))v(F(G)v)(FG( = , Vv ∈∀ .
Proposição (4): Sejam WU:GeUV:F →→ duas transformações lineares. Então FG é
uma transformação linear.
Propriedades:
P1) Não vale a comutativa: GFFG ≠
Sejam VV:HeVV:G,VV:F →→→ operadores lineares do mesmo espaço V. Então:
P2) Associativa: H)GF()HG(F =
P3) Elemento Neutro: Existe o operador identidade VV:Id → tal que v)v(Id = que é o
elemento neutro para a composição de operadores lineares com FFIdIdF == .
P4) Distributiva:
• a esquerda: HFGF)HG(F +=+
• a direita: FHFGF)HG( +=+
P5) Elemento Inverso: Caso o operador F seja inversível(
*)
, então existe o operador linear
VV:F 1
→−
tal que IdFFFF 11
== −−
.
(*) As transformações lineares inversíveis serão estudadas no capítulo (7).
FG
GF
U WV
v F(v) G(F(v))=(G°F)(v)

8. 53
Exemplo (6): Dadas as transformações lineares: )x,yx,yx()y,x(F −+= ,
)zx,yx()z,y,x(G +−= e )y2x,y,yx2()y,x(H +−= . Determine:
a) H2F3R += b) FG c) FFF2
=
Solução:
a) )y2x,y,yx2(2)x,yx,yx(3)y,x(H2)y,x(F3)y,x(R +−+−+=+= ⇒
)y4x2,y2,y2x4()x3,y3x3,y3x3()y,x(R +−+−+= ⇒
)y4x2x3,y2y3x3,y2x4y3x3()y,x(R +++−−++= ⇒
)y4x5,yx3,yx7()y,x(R +−−=
b) )xyx,yxyx()x,yx,yx(G))y,x(F(G)y,x)(FG( +++−+=−+== ⇒
)yx2,y2()y,x)(FG( +=
c) Como 32
:F ℜ→ℜ não é possível determinar FFF2
= .
Exercícios Propostos
1) Seja )(Mnxn ℜ o espaço vetorial da matrizes quadradas de ordem nxn e B uma matriz fixa deste
espaço. Mostre que a aplicação )(M)(M:F nxnnxn ℜ→ℜ tal que )(MX,BX)X(F nxn ℜ∈∀= é
um operador linear.
2) Sabendo que T é um operador linear do ℜ2
e que )2,1()1,0(Te)1,3()2,1(T =−= , determine a
expressão de T(x,y). Resp: )y2x5,yx()y,x(T +−+=
3) Seja a transformação linear )tzx3,tz2yx2,zyx()t,z,y,x(T −+−+−−+= . Determine uma
base e a dimensão para Im(T) e Ker(T).
Resp: Base da Im(T) é 2)TIm(dim)}1,1,0(),3,2,1{( =⇒ ;
Base do Ker(T) é 2)T(Kerdim)}4,1,0,1(),3,0,1,1{( =⇒−−
4) Determine um operador do ℜ3
cujo núcleo é a reta



=
=
0z
x2y
e a imagem é o plano 0zy2x =++ .
Resp: )z,yx2,zy2x4()z,y,x(T +−−−=
5) Sendo )zx2,zyx()z,y,x(Ge)yx,yx,y2x3()y,x(T −+−=−+−= duas transformações
lineares, determine a dimensão do )TG(Ker e da )TGIm( .
Resp: 2)TGIm(dime0)TG(Kerdim ==