O documento descreve os sistemas de coordenadas cartesianas e polares. Explica como representar pontos no plano usando cada sistema e fornece as equações de transformação entre os sistemas. Também apresenta as equações polares das principais cônicas - circunferência, elipse, hipérbole e parábola - em termos da distância polar ρ e do ângulo polar θ.

1. 96
CÁLCULO VETORIAL E GEOMETRIA ANALÍTICA
CAPÍTULO 9
COORDENADAS POLARES
O plano, também chamado de ℜ2
, onde { }ℜ∈=ℜℜ=ℜ y,x/)y,x(x2
, ou seja, o
produto cartesiano de ℜ por ℜ, é o conjunto de todos os pares ordenados
ℜ∈∀ yex),y,x( . Ele é representado pelo Sistema de Coordenadas Cartesianas
Ortogonal, o qual é constituído por dois eixos perpendiculares entre si, cuja
interseção é o par ordenado O(0,0) , chamado de origem do sistema. Esses eixos são
denotados por Ox e Oy e chamados de eixos coordenados, orientados como mostra a
figura abaixo.
Todo ponto P(x,y) do plano é representado como na figura acima, onde x e y
são as suas coordenadas, respectivamente em relação aos eixos Ox e Oy. Existe uma
correspondência biunívoca entre pares ordenados de números reais e pontos do
sistema de coordenadas cartesianas ortogonais.
No entanto, existe outro sistema de coordenadas capaz de representar o plano.
É o Sistema de Coordenadas Polares, o qual é constituído por apenas um semi-
eixo e, chamado de semi-eixo polar e um ponto de origem p, chamado pólo.
Todo ponto P do plano é representado por um par ordenado (ρρρρ,θθθθ), onde ρρρρ é à
distância do ponto P ao pólo p e θθθθ é o ângulo formado entre o segmento Pp e o semi-
eixo polar. O ângulo θ é medido em radianos a partir do eixo polar e no sentido anti-
horário. Assim, 0≥ρ e π≤θ≤ 20 .
y
x
P(x,y)
(0,0)
(–)
(–)
Oy (+)
(+)
Ox
I
II
IVIII
θ
ep
P(ρ,θ)
ρ

2. 97
Exemplo (1): Representar no Sistema de Coordenadas Polares os seguintes pontos
do plano: a) ),3(P
3
π b) ),5(Q
3
2π c) ),3(R 2
3π
Podemos relacionar o Sistema de Coordenadas Cartesianas Ortogonais com o
Sistema de Coordenadas Polares. Coincidindo a origem O(0,0) do sistema cartesiano
com o pólo p do sistema polar e o semi-eixo polar com o semi-eixo positivo do eixo
Ox.
No triângulo retângulo temos: 222
yx +=ρ e






θρ=⇒
ρ
=θ
θρ=⇒
ρ
=θ
seny
y
sen
cosx
x
cos
. Pode-se
determinar o ângulo θ pelas relações anteriores ou por 





=θ
x
y
arctg , observando os
sinais das coordenadas x e y para definir a qual quadrante pertence o ângulo θ.
Portanto, as relações 222
yx +=ρ e



θρ=
θρ=
seny
cosx
, são consideradas as equações de
transformação de coordenadas entre o sistema cartesiano e o sistema polar.
Exemplo (2): Transformar de coordenadas cartesianas para coordenadas polares os
seguintes pontos do plano: a)








2
5
,
2
35
P b) )1,1(Q − .
Solução: Usando as equações de transformação temos:
),()y,x(P θρ≡
θ
ρ
y
x
Oy
pO ≡
e
Ox
R
2
3π
3
5
3
2π 3
Q
3
π
ep
P
p

3. 98
a) 5
2
5
2
35
yx
22
222
=ρ⇒





+








=+=ρ e









=θ⇒=θ⇒
ρ
=θ
=θ⇒=θ⇒
ρ
=θ
2
1
sen
5
2
5
sen
y
sen
2
3
cos
5
2
35
cos
x
cos
⇒
6
π
=θ . Portanto, ),5(P 6
π .
b) 2)1(1 222
=ρ⇒−+=ρ e







−=θ⇒
−
=θ⇒
ρ
=θ
=θ⇒=θ⇒
ρ
=θ
2
2
sen
2
1
sen
y
sen
2
2
cos
2
1
cos
x
cos
⇒
4
7π
=θ .
Portanto, ),2(Q 4
7π .
Exemplo (3): Transformar de coordenadas polares para coordenadas cartesianas os
seguintes pontos do plano: a) ( )3
4,2P π b) ),7(Q 6
5π .
Solução:
a) Usando as equações de transformação temos:




−=⇒=⇒θρ=
−=⇒=⇒θρ=
π
π
3ysen2yseny
1xcos2xcosx
3
4
3
4
. Portanto, )3,1(P −− .
b) Analogamente para o ponto Q:






=⇒=
−=⇒=
π
π
2
7
ysen7y
2
37
xcos7x
6
5
6
5
. Portanto,








−
2
7
,
2
37
Q .
1 Equação Polar das Cônicas
1.1 Circunferência
Seja uma circunferência, representada no sistema polar, de centro ),(C αδ e raio
r. Seja ),(P θρ um ponto qualquer da circunferência.
Aplicando a Lei dos co-senos no triângulo pCP, temos:
)cos(2r 222
α−θρδ−δ+ρ= , que é a equação polar da circunferência.
p e
ρ
θ-α
α θ
),(P θρ
C
δ
r

4. 99
Alguns casos interessantes são:
a) circunferência que contém o pólo. Neste caso r=δ .
)cos(r2rr 222
α−θρ−+ρ= ⇒ )cos(r2( α−θ−ρ⋅ρ ⇒



α−θ=ρ⇒α−θ−ρ
=ρ
)cos(r2)cos(r2
0
Das relações anteriores vem que: 0=ρ é chamada de equação do pólo e
)cos(r2 α−θ=ρ é a equação da circunferência que contém o pólo.
b) circunferência com centro sobre o pólo. Neste caso 0=δ .
)cos(020r 222
α−θ⋅⋅ρ−+ρ= ⇒ 22
r ρ= ⇒ ρ=r . Portanto, a expressão ρ=r é
a equação da circunferência com centro sobre o pólo.
1.2 Elipse
Considere uma elipse de eixo maior horizontal a2AA 21 = , eixo menor
b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo.
Seja ),(P θρ um ponto qualquer da elipse, na qual fazemos coincidir o pólo p
com o foco F1 e o eixo polar com o eixo maior da elipse.
p e
ρ
θ-α
α θ
),(P θρ
C
δ=r
p≡C
e
θ
),(P θρ
ρ=r
A2
),(P θρ
B2
eA1
B1
F1≡p F2
ρ
δ
θ 2c

5. 100
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:
θρ−+ρ=δ cosc4c4 222
. Da definição da elipse temos que a2|PF||PF| 21 =+ ⇒
a2=ρ+δ ⇒ ρ−=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos cossenos vem que:
θρ−+ρ=ρ− cosc4c4)a2( 222
⇒ θρ−+ρ=ρ+ρ− cosc4c4a4a4 2222
. Da relação
notável da elipse 222
cba += ⇒ 222
bca =− . Então: )cosca(ca
2
b
22
θ−ρ=− ⇒
)cosca(b2
θ−ρ= ⇒
θ−
=ρ
cosca
b2
. Portanto,
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cosca
b2
, que é a equação polar
da elipse.
Da equação polar
θ−
=ρ
cosca
b2
, dividindo todos os termos do segundo membro
da expressão pela constante a, vem que
θ−
=ρ
cos
a
c
a
a
a
b2
. Fazendo
a
b
p
2
= , chamado de
parâmetro da elipse e
a
c
e = é a excentricidade. Assim, equação polar da elipse é
mais comumente dada por
θ−
=ρ
cose1
p
.
1.3 Hipérbole
Considere uma hipérbole de eixo real horizontal a2AA 21 = , eixo menor
b2BB 21 = , distância focal c2FF 21 = e centro C(m,n) como na figura abaixo. Façamos
coincidir o pólo p com o foco F2 e o eixo polar com o eixo real da hipérbole. Seja
),(P θρ um ponto qualquer da hipérbole.
Aplicando a Lei dos cossenos no triângulo F1F2P vem que:
)180cos(c4c4 o222
θ−ρ−+ρ=δ . Da definição da hipérbole temos que
a2|PF||PF| 21 =− ⇒ a2=ρ−δ ⇒ ρ+=δ a2 . Substituindo na expressão da lei dos
δ
180o
-θ θ
ρ
e
),(P θρ
F1 F2≡pC
2c

6. 101
cossenos: θρ++ρ=ρ+ cosc4c4)a2( 222
⇒ θρ++ρ=ρ+ρ+ cosc4c4a4a4 2222
⇒
)cosca(ca 22
θ⋅+−⋅ρ=− . Da relação notável da hipérbole 222
bac += ⇒
222
bca −=− ⇒ )cosca(ca
2
b
22
θ⋅+−⋅ρ=−
−
. Portanto:
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cosca
b2
, que é a
equação polar da hipérbole.
Da equação polar
θ−
=ρ
cosca
b2
, dividindo todos os termos do segundo membro
da expressão pela constante a, vem que
θ−
=ρ
cos
a
c
a
a
a
b2
. Fazendo
a
b
p
2
= , chamado de
parâmetro da hipérbole e
a
c
e = é a excentricidade. Assim, equação polar da hipérbole
é mais comumente dada por
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cose1
p
.
1.4 Parábola
Considere uma parábola de eixo de simetria horizontal com vértice V, foco F e
pRF = . Seja P(ρ,θ) um ponto qualquer da parábola. Façamos coincidir o pólo p com o
foco F e o eixo polar com o eixo de simetria da parábola.
No triângulo PQF vem que:
ρ
ρ−
=θ−=θ−
p
cos)180cos( o
⇒
θ−
=ρ
cos1
p
, onde
p é o parâmetro da parábola. Portanto, a equação polar da parábola é
θθθθ−−−−
====ρρρρ
cos1
p
.
OBS: Note que, a elipse, a hipérbole e a parábola têm as equações polares
semelhantes a menos da excentricidade
a
c
e = que para a elipse ( 1e0 << ) e para a
hipérbole ( 1e > ). Outro fato importante é que, apesar de adotarmos os mesmos
símbolos a2AA 21 = , b2BB 21 = e c2FF 21 = para a elipse e para a hipérbole, eles
tem significados geométricos diferentes na definição de cada cônica, mesmo porque a
p-ρ
180o
-θ
(d)
Q
θ
ρ
e
),(P θρ
V
p
ρ
F
≡
R

7. 102
relação notável da elipse é 222
cba += e da hipérbole é 222
bac += . Assim, o
parâmetro
a
b
p
2
= , adotado na equação polar da elipse e da hipérbole é diferente e
não tem nada em comum com o parâmetro p da definição da parábola.
Exemplo (4): Determine a equação geral da circunferência de equação polar
θ−=ρ sen6 .
Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22
yx +=ρ e
θ⋅ρ= seny ⇒
ρ
=θ
y
sen . Substituindo na equação θ−=ρ sen6 vem que:
22
22
yx
y
6yx
+
⋅−=+ ⇒ y6yx
2
22
−=





+ ⇒ 0y6yx 22
=++ .
Exemplo (5): Dada a elipse de eixo maior horizontal e equação polar
θ−
=ρ
cos35
32
,
escrever suas equações paramétricas e a equação reduzida.
Solução: Das definições de coordenadas polares vem que 22
yx +=ρ e
θ⋅ρ= cosx ⇒
ρ
=θ
x
cos . Substituindo na equação
θ−
=ρ
cos35
32
vem que:
ρ
⋅−
=ρ
x
35
32
⇒
ρ
−ρ
=ρ
x35
32
⇒ ρ⋅=−ρ⋅ρ 32)x35( ⇒ 32x35 =−ρ ⇒ 32x35 +=ρ ⇒
22
)32x3()5( +=ρ ⇒ 1024x192x925 22
++=ρ ⇒ 1024x192x9)yx(25 222
++=+
⇒ 1024x192x9y25x25 222
=−−+ ⇒ 1024y25x192x16 22
=+− . Escrevendo na
forma reduzida vem que: 1024y25)3636x12x(16 22
=+−+−⋅ ⇒
1600y25)6x(16 22
=+−⋅ ⇒ 1
64
y
100
)6x( 22
=+
−
(equação reduzida). Como a elipse é
de eixo maior horizontal então:




=⇒=
=⇒=
8b64b
10a100a
2
2
e centro )n,m()0,6(C = . Assim,
suas equações paramétricas são:



θ+=
θ+=
senany
cosbmx
⇒



θ⋅=
θ⋅+=
sen8y
cos106x
.

8. 103
Exercícios Propostos
1) Determine a equação geral da circunferência de centro ),2(C 2
π , sabendo-se que
ela passa pelo ponto ),6(P 6
11π . Resp: 048y4yx 22
=−−+
2) Qual é a equação polar da elipse de equação geral 024y4x24yx4 22
=++−+ ?
Resp:
θ−
=ρ
cos1
1
2
3
3) Seja a hipérbole de equação 0144y16x9 22
=−− . Determine sua equação polar e
as coordenadas polares dos focos. Resp:
θ−
=ρ
cos54
9
, ),5(Fe)0,5(F 21 π
4) Determine a equação polar e as coordenadas polares do vértice da parábola
6x4xy 2
2
1 −+−= .
Resp:
θ−
=ρ
cos1
4
1
e ),52(V θ , onde 




=θ
5
5
arcsen , do 1º quadrante.
5) Seja a hipérbole de eixo vertical e centro na origem, cuja equação polar é
θ−
=ρ
cos75
24
. Determine sua equação reduzida e as equações paramétricas.
Resp:




θ=
θ=
=+
− sec5y
tg62x
e1
25
y
24
x 22
6) Determine a equação polar da elipse



θ+=
θ+=
sen162y
cos203x
. Resp:
θ−
=ρ
cos35
64
7) O foco de uma parábola é o ponto (4,3) e sua diretriz é a reta x = 2. Determine
sua equação polar. Resp:
θ−
=ρ
cos1
2