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Medida de Risco via Teoria
     de Valores Extremos
                  Análise de Risco (8)
                            R.Vicente




                                         1
Resumo
 EVT: Idéia geral
 Medidas de risco
 Teoria de Valores Extremos (EVT)
 Distribuição de Máximos
 Distribuição de Exceedances
 Estimação de Parâmetros
 Intervalos de Confiança
 Bibliografia


                                    2
EVT: Idéia Geral

1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o
   comportamento de desvios extremos;
2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e
   extremos a partir de poucas observações;
3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há
   comportamentos estatísticos gerais nos extremos;
4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento
   (desconhecido) dos extremos possa ser descrito por
   distribuições que se enquadrem em uma família
   suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento
   pelo menos).


                                                                   3
Novamente: Medidas de Risco
1. VaR
                        VaRp = F −1 (1 − p )

2. Expected Shortfall

  ES p = E (X X > VaRp ) = E (X −VaRp X > VaRp ) + VaRp

1. Nível de Retorno
                                        ⎛   1⎞
                            k
                          R =H     −1
                                        ⎜1 − ⎟
                                        ⎜     ⎟
                            n
                                        ⎝   k ⎠
  , onde H é a distribuição de máximos observados em janelas
   sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de
   risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de
   comprimento n.

                                                                4
Extremos: Definição
1. Máximo em Blocos




2. Violações de um limiar




    Limiar u



                            5
Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos
1. Máximo em Blocos




(Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja (Xt ) uma seqüência
de variáveis aleatórias iid. Sejam M n os máximos de blocos com
tamanho n. Se existem constantes c > 0, d ∈              e uma
distribuição não-degenerada H tal que n          n

                                            ⎧e −(1+ξx )−1/ ξ se
                                            ⎪                           ξ≠0
M n − dn                                    ⎪
          d
         ⎯⎯→ H           então   H ξ (x ) = ⎪ −x
                                            ⎨ −e
   cn                                       ⎪e
                                            ⎪              se       ξ=0
                                            ⎪
                                            ⎩
                                                                         6
                 Generalized Extreme Value (GEV) distribution
Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos
    Generalized Extreme Value (GEV) distribution

                        ⎧e −(1+ξx )−1/ ξ se
                        ⎪                      ξ≠0
                        ⎪
             H ξ (x ) = ⎪ −x
                        ⎨ −e
                        ⎪e
                        ⎪              se     ξ=0
                        ⎪
                        ⎩




      1                         1
   ξ=                      ξ =−
      α                         α                    ξ=0

   Fréchet                   Weibull                 Gumbel
                                                              7
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar




                                            8
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
 1. Violações de um Limiar




         Limiar u




 (Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de
 distribuições F a distribuição do excedente condicional Fu (y ) para u
 suficientemente grande é bem aproximada por :
                          ⎧ ⎛
                          ⎪         ξ ⎞
                                         −1/ ξ
                          ⎪1 − ⎜1 + y ⎟
                          ⎪             ⎟      se ξ ≠ 0
                          ⎪ ⎜
               G ξ (y ) = ⎨ ⎝      σ ⎠  ⎟
                  ,σ      ⎪
                          ⎪ 1 − e −y / σ se ξ = 0
                          ⎪
                          ⎪
                          ⎩                    ⎡  ⎤   σ
Para     y ∈ [0,(x F − u )] se ξ ≥ 0         y ∈ ⎢0, − ⎥ se ξ < 0
                                                 ⎣⎢   ξ ⎦⎥                9

       Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
 Distribuição generalizada de Pareto (GPD)

                    ⎧ ⎛
                    ⎪          ξ           ⎞
                                            −1/ ξ
                    ⎪1 − ⎜1 + (x − u )⎟
                    ⎪                      ⎟      se ξ ≠ 0
                    ⎪ ⎜
         G ξ (y ) = ⎨ ⎝       σ            ⎟
                                           ⎠
            ,σ      ⎪
                    ⎪
                    ⎪    1 − e −(x −u )/ σ se ξ = 0
                    ⎪
                    ⎩




       limite                exponencial         Caudas pesadas


                ξ : forma     u : posiçao    σ :escala
                                                                  10
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
        Obtendo a distribuição de extremos:




       n é o número total de observações e   Nu   é o número de
       observações acima do limiar u




                                                                  11
Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar
     Calculando risco dos extremos:




    Considerando o seguinte resultado de EVT para   ξ <1   :




     Assumindo




                                                               12
Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros

  Três parâmetros para estimar:

                     ξ : forma    u : posiçao      σ :escala

1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática
do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT:




  Pode-se estimar:




  Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de
                                                                         13
  u acima do qual e(u) é uma reta.
Violações de um Limiar: Estimação de
 parâmetros
 1. POSIÇÃO:

       Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de
       u acima do qual e(u) é uma reta.
                                                                                             S ample mean exces s function
                     S ample mean exces s function                    2
 4



3.5                                                                  1.8



 3
                                                                     1.6


2.5

                                                                     1.4
 2


                                                                     1.2
1.5



 1                                                                    1



0.5
                                                                     0.8

 0
  -1     0   1   2           3          4            5   6   7   8         1.4   1.6   1.8   2        2.2       2.4          2.6   2.8   3        3.2
                                  u                                                                         u

                                                                                                                                             14
Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros
2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via
maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO):




 Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente.




                                                                           15
Violações de um Limiar: Estimação de
parâmetros
         1.01



        1.005



           1



        0.995



         0.99



        0.985



         0.98



        0.975



         0.97
                0          5              10              15


  GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse
  dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com
  confianças superiores a 99%.                                    16
Determinação de Barras de Erro para o
Risco estimado.

  Como as estimações de EVT envolvem sempre
  poucos dados é estritamente necessário calcular
  barras de erro para os parâmetros, e
  conseqüentemente para o risco estimado. Há,
  pelo menos, duas formas clássicas de estimar
  estas barras de erro:


1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança;
2. Realizando simulações (bootstraping).



                                                     17
Determinação de Barras de Erro: Inversão
do teste de razão de verossimilhança.

  Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição
  assintótica do log da razão de verossimilhanças é
  conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade) .


  Assim calculam-se as diferenças entre log-
  verossimilhanças


  A região de confiança dos parâmetros é escolhida de
  forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de
  parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%.




                                                              18
Determinação de Barras de Erro: Inversão
do teste de razão de verossimilhança.

       1




      0.9
                                                      Região de 95 %
                                                       de Confiança
      0.8




      0.7
  σ



      0.6




      0.5




      0.4


            0.1   0.2   0.3   0.4   0.5   0.6   0.7
                              ξ

                                                                  19
Determinação de Barras de Erro:
Bootstraping


   Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas
   é mais apropriada para situações em que o número
   disponível de observações é limitado.
    No bootstrapping amostram-se com reposição
   subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para
   cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O
   resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada
   para estimar barras de erro através da construção de
   histogramas




                                                             20
Determinação de Barras de Erro:
Bootstraping
                                       FORMA                               ESCALA
       6                                             6

       4                                             4

       2                                             2

       0                                             0
           0         0.2         0.4     0.6   0.8           0.4     0.6         0.8        1
       6                                             2

       4
                                                     1
       2

       0                                             0
               2.2         2.4          2.6              3     3.5   4     4.5         5   5.5

           VaR(0.001)                                        ES(0.001)




                                                                                                 21
Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES

É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando:




  para reparametrizar as distribuições.




                                                                           22
Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES

Com as mudanças apropriadas de variável obtemos:




                              para   ξ≠0
                                                   23
Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES
Para o ES obtemos:


  1


  0
                                                 0.6
  -1


  -2                                             0.5


  -3
                                                 0.4
  -4
                                             ξ

  -5                                             0.3

  -6

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 -10                                                   3   3.5   4    4.5      5   5.5   6
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                     ES 0.01




  Intervalo de confiança a 95% para              Região equivalente de confiança
      a razão de verossimilhança                  a 95%. Pontos representam o
                                                       resultado bootstrap
                                                                                             24
Determinação de Barras de Erro
diretamente para o VaR ou ES
Para o VaR obtemos:



      0




      -2




      -4




      -6




      -8




     -10




     -12
           2   2.5              3     3.5
                     Va R0.01




  Intervalo de confiança a 95% para         Região equivalente de confiança
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Bibliografia

• Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring
Risk, Fevereiro 2003.
•Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall,
Nova York (1993)




                                                                               26

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Medida de risco por Teoria de Valores Extremos

  • 1. Medida de Risco via Teoria de Valores Extremos Análise de Risco (8) R.Vicente 1
  • 2. Resumo EVT: Idéia geral Medidas de risco Teoria de Valores Extremos (EVT) Distribuição de Máximos Distribuição de Exceedances Estimação de Parâmetros Intervalos de Confiança Bibliografia 2
  • 3. EVT: Idéia Geral 1. Teoremas limite similares ao Teorema do Limite Central para o comportamento de desvios extremos; 2. Permite inferência do comportamento de eventos raros e extremos a partir de poucas observações; 3. Suposição de que, apesar da variedade de causas possíveis, há comportamentos estatísticos gerais nos extremos; 4. Teoremas de EVT se aplicam desde que o comportamento (desconhecido) dos extremos possa ser descrito por distribuições que se enquadrem em uma família suficientemente bem comportada (e.g. com segundo momento pelo menos). 3
  • 4. Novamente: Medidas de Risco 1. VaR VaRp = F −1 (1 − p ) 2. Expected Shortfall ES p = E (X X > VaRp ) = E (X −VaRp X > VaRp ) + VaRp 1. Nível de Retorno ⎛ 1⎞ k R =H −1 ⎜1 − ⎟ ⎜ ⎟ n ⎝ k ⎠ , onde H é a distribuição de máximos observados em janelas sucessivas sem intersecção de comprimento n. A medida de risco é o valor que se espera violar em 1 em k períodos de comprimento n. 4
  • 5. Extremos: Definição 1. Máximo em Blocos 2. Violações de um limiar Limiar u 5
  • 6. Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos 1. Máximo em Blocos (Fisher and Tippett (1928), Gnedenko (1943)) Seja (Xt ) uma seqüência de variáveis aleatórias iid. Sejam M n os máximos de blocos com tamanho n. Se existem constantes c > 0, d ∈ e uma distribuição não-degenerada H tal que n n ⎧e −(1+ξx )−1/ ξ se ⎪ ξ≠0 M n − dn ⎪ d ⎯⎯→ H então H ξ (x ) = ⎪ −x ⎨ −e cn ⎪e ⎪ se ξ=0 ⎪ ⎩ 6 Generalized Extreme Value (GEV) distribution
  • 7. Teoremas Limite 1: Máximo em Blocos Generalized Extreme Value (GEV) distribution ⎧e −(1+ξx )−1/ ξ se ⎪ ξ≠0 ⎪ H ξ (x ) = ⎪ −x ⎨ −e ⎪e ⎪ se ξ=0 ⎪ ⎩ 1 1 ξ= ξ =− α α ξ=0 Fréchet Weibull Gumbel 7
  • 8. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar 8
  • 9. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar 1. Violações de um Limiar Limiar u (Pickands (1975), Balkema e De Haan (1974)) Pra uma classe grande de distribuições F a distribuição do excedente condicional Fu (y ) para u suficientemente grande é bem aproximada por : ⎧ ⎛ ⎪ ξ ⎞ −1/ ξ ⎪1 − ⎜1 + y ⎟ ⎪ ⎟ se ξ ≠ 0 ⎪ ⎜ G ξ (y ) = ⎨ ⎝ σ ⎠ ⎟ ,σ ⎪ ⎪ 1 − e −y / σ se ξ = 0 ⎪ ⎪ ⎩ ⎡ ⎤ σ Para y ∈ [0,(x F − u )] se ξ ≥ 0 y ∈ ⎢0, − ⎥ se ξ < 0 ⎣⎢ ξ ⎦⎥ 9 Distribuição generalizada de Pareto (GPD)
  • 10. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar Distribuição generalizada de Pareto (GPD) ⎧ ⎛ ⎪ ξ ⎞ −1/ ξ ⎪1 − ⎜1 + (x − u )⎟ ⎪ ⎟ se ξ ≠ 0 ⎪ ⎜ G ξ (y ) = ⎨ ⎝ σ ⎟ ⎠ ,σ ⎪ ⎪ ⎪ 1 − e −(x −u )/ σ se ξ = 0 ⎪ ⎩ limite exponencial Caudas pesadas ξ : forma u : posiçao σ :escala 10
  • 11. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar Obtendo a distribuição de extremos: n é o número total de observações e Nu é o número de observações acima do limiar u 11
  • 12. Teoremas Limite 2: Violações de um Limiar Calculando risco dos extremos: Considerando o seguinte resultado de EVT para ξ <1 : Assumindo 12
  • 13. Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros Três parâmetros para estimar: ξ : forma u : posiçao σ :escala 1. POSIÇÃO: Ainda não há um algoritmo que permita estimação automática do parâmetro de posição. Utilizando o seguinte resultado de EVT: Pode-se estimar: Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de 13 u acima do qual e(u) é uma reta.
  • 14. Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros 1. POSIÇÃO: Montando um gráfico para este estimador procuramos pelo valor de u acima do qual e(u) é uma reta. S ample mean exces s function S ample mean exces s function 2 4 3.5 1.8 3 1.6 2.5 1.4 2 1.2 1.5 1 1 0.5 0.8 0 -1 0 1 2 3 4 5 6 7 8 1.4 1.6 1.8 2 2.2 2.4 2.6 2.8 3 3.2 u u 14
  • 15. Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros 2. ESCALA e FORMA: os outros dois parâmetros podem ser obtidos via maximização da log-verossimilhança, dado o limiar u (POSIÇÃO): Para maximização dessa função pode-se utilizar algoritmos de gradiente. 15
  • 16. Violações de um Limiar: Estimação de parâmetros 1.01 1.005 1 0.995 0.99 0.985 0.98 0.975 0.97 0 5 10 15 GPD ajustada via maximização de log-verossimilhança. De posse dessa distribuição pode-se, em princípio, calcular VaR com confianças superiores a 99%. 16
  • 17. Determinação de Barras de Erro para o Risco estimado. Como as estimações de EVT envolvem sempre poucos dados é estritamente necessário calcular barras de erro para os parâmetros, e conseqüentemente para o risco estimado. Há, pelo menos, duas formas clássicas de estimar estas barras de erro: 1. Invertendo o teste de razão de verossimilhança; 2. Realizando simulações (bootstraping). 17
  • 18. Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança. Nessa alternativa leva-se em conta que a distribuição assintótica do log da razão de verossimilhanças é conhecida (Qui-quadrado com dois graus de liberdade) . Assim calculam-se as diferenças entre log- verossimilhanças A região de confiança dos parâmetros é escolhida de forma que a probabilidade de estar dentro do intervalo de parâmetros da barra de erro seja, por exemplo, 95%. 18
  • 19. Determinação de Barras de Erro: Inversão do teste de razão de verossimilhança. 1 0.9 Região de 95 % de Confiança 0.8 0.7 σ 0.6 0.5 0.4 0.1 0.2 0.3 0.4 0.5 0.6 0.7 ξ 19
  • 20. Determinação de Barras de Erro: Bootstraping Essa alternativa é computacionalmente mais pesada mas é mais apropriada para situações em que o número disponível de observações é limitado. No bootstrapping amostram-se com reposição subconjuntos de dados e reestimam-se os parâmetros para cada subconjunto utilizando máxima verossimilhança. O resultado é uma nuvem de pontos que pode ser utilizada para estimar barras de erro através da construção de histogramas 20
  • 21. Determinação de Barras de Erro: Bootstraping FORMA ESCALA 6 6 4 4 2 2 0 0 0 0.2 0.4 0.6 0.8 0.4 0.6 0.8 1 6 2 4 1 2 0 0 2.2 2.4 2.6 3 3.5 4 4.5 5 5.5 VaR(0.001) ES(0.001) 21
  • 22. Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES É possível obter barras de erro diretamente para o VaR ou ES utilizando: para reparametrizar as distribuições. 22
  • 23. Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES Com as mudanças apropriadas de variável obtemos: para ξ≠0 23
  • 24. Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES Para o ES obtemos: 1 0 0.6 -1 -2 0.5 -3 0.4 -4 ξ -5 0.3 -6 0.2 -7 -8 0.1 -9 0 -10 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 3 3.5 4 4.5 5 5.5 6 ES 0.01 ES 0.01 Intervalo de confiança a 95% para Região equivalente de confiança a razão de verossimilhança a 95%. Pontos representam o resultado bootstrap 24
  • 25. Determinação de Barras de Erro diretamente para o VaR ou ES Para o VaR obtemos: 0 -2 -4 -6 -8 -10 -12 2 2.5 3 3.5 Va R0.01 Intervalo de confiança a 95% para Região equivalente de confiança a razão de verossimilhança a 95%. Pontos representam o resultado bootstrap 25
  • 26. Bibliografia • Gilli, M. and Këllezi E., Na application of Extreme Value Theory for Measuring Risk, Fevereiro 2003. •Efron, B. and Tibshirani R.J., An Introduction to the Bootstrap, Chapman&Hall, Nova York (1993) 26