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                  EXERCÍCIOS RESOLVIDOS
                   EQUAÇÕES DO 2O GRAU
1. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m 2
de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo?        R: 15 cm

2. A área de um retângulo é de 64 cm 2 . Nessas condições, determine as
dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) m e a
largura mede (x- 6) m.                        R: 16 cm e 4 cm

3. Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado,
subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número?            R: 11

                                                                        2y +1 y + 5
4. Qual deve ser o valor real de y para que as frações                       e           sejam
                                                                        y+2    y+3
numericamente iguais?                                          R: ± 7

5. Se você adicionar a cada uma das seguintes expressões um determinado
número, elas se transformarão em um trinômio quadrado perfeito. Nessas
condições, escreva um número para cada expressão:

a) x 2 + 4 x     R: 4             b) x 2 − 20 x R: 100                c) x 2 − 16 x   R: 64
d) x 2 + 14 x    R: 49            e) x 2 + 3x   R: 9 4                f) x 2 − 7 x    R: 49 4

6. As equações seguintes estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o
discriminante ∆ de cada uma e identifique o tipo de raízes que cada equação
apresenta.

a)   x 2 − 4x − 5 = 0     R:   ∆ = 36 A equação tem duas raízes reais diferentes.
b)   x 2 + 8 x + 20 = 0   R:   ∆ = −16 A equação não tem raízes reais
c)   x 2 + 6x − 4 = 0     R:   ∆ = 52 A equação tem duas raízes reais diferentes.
d)   9x 2 + 6x + 1 = 0    R:   ∆ = 0 A equação tem uma única raiz real
e)   5x 2 − 3x + 1 = 0    R:   ∆ = −11 A equação não tem raízes reais

7. Encontrar o conjunto-solução de cada equação do 2o grau abaixo:

                                                                          5 
a) x 2 − 6 x − 16 = 0     R: { − 2,8}          b) 6 x 2 − x − 5 = 0   R: − ,1
                                                                          6 
                             1
c) 25 x 2 + 10 x + 1 = 0 R: −                d) 3x 2 + 4 x + 2 = 0 R:   {}
                             5
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e) y 2 − 16 y + 64 = 0 R: { 8}

8. Num Congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra
quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o
produto das quantidades dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade
de mulheres é maior do que a quantidade de homens. Justifique a resposta
pelo método da equação do 2o grau.      R: 27 mulheres e 23 homens

9. Determine os valores reais de x para que o valor numérico da expressão
x 2 + 4 x seja igual a - 3.                     R: x= - 1 ou x= - 3

10. Quais os valores reais de y para que as expressões y 2 − 3 e 2y + 1 sejam
iguais?                                            R: y = 1 + 5 ou y = 1 - 5

11. Quais os valores reais de x que tornam verdadeira a equação
 3          1
x − x  = x + ?          R: Não existem esses valores reais de x.
 4          2

                                                          1
12. Determine o conjunto-solução da equação x − 3 = −        . R: { 4}
                                                         x−5

                                   x     x−2
13. Sabendo que a expressão            +      é igual a 1, determine os valores
                                 1`+ x    x
reais de x.                      R: x = −1 + 3 ou x = 1 - 3

                                                   8− x
14. Sendo x' e x" as raízes da equação x + 1 =          , determine o valor de
                                                    x
( x') 2 + ( x") 2 .                    R: 20

15. A soma de um número real com seu quadrado dá 30. Qual é esse
número?                            R: 5 ou - 6

16.Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo
número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número? R: 10 ou - 6

17. Se você adicionar um número inteiro diferente de zero com o inverso do
                  17
número, vai obter    . Qual é esse número inteiro?          R: 4
                   4

18. A soma S dos n primeiros números inteiros positivos pode ser calculada
                  n( n + 1)
pela fórmula S =            . Nessas condições, determine a quantidade de
                      2
números inteiros positivos que dá 120 como soma.            R: 15
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19. A distância entre Curitiba e Florianópolis é de 300 km. Para cobrir essa
distância, a certa velocidade média, um automóvel gastou x horas. Sabe-se
que a mesma distância seria percorrida em 2 horas a menos se o automóvel
aumentasse de 40 km/h a sua velocidade média. Qual o tempo x gasto para
                                                     distância
percorrer os 300 km? Lembre-se: velocidade média=              .   R: 5 h
                                                      tempo

20. A equação ax 2 − 4 x − 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. Nessas
condições, qual é o valor do coeficiente a?   R: 2

                               (        )
21. Verifique se o número 2 − 3 é raiz da equação x 2 − 4 x + 1 = 0 . R: Sim

22. Qual deve ser o valor do coeficiente c para que a equação
                                                       5
− 10 x 2 − 5 x + c = 0 tenha raízes reais iguais? R: −
                                                       8

23. Na equação x 2 + mx − 12 = 0 , uma das raízes é 6. Qual é o valor de m? R:-4

24. Uma das raízes da equação 2 x 2 + mx + n = 0 é 1. Nessas condições, qual é
o valor de m+n?                                          R: - 2

25. Determine o valor de k para que a equação 3x 2 + 4 x + k − 6 = 0 tenha raízes
                                                                  22
reais e diferentes.                                      R: k <
                                                                   3

26. Determine o valor de k para que a equação        3 x 2 + kx + 3 = 0 tenha uma
única raiz real.                                             R: ± 2 3

27. Determine a soma e o produto das raízes de cada uma das seguintes
equações, sem resolver cada equação:

a) 3x 2 + x − 3 = 0    R: - 1/3 e - 1        b) 9 x 2 + 6 x + 1 = 0 R: - 2/3 e 1/9
c) 6 x 2 − 9 x = 0     R: 3/2 e 0            d) 6 x 2 − 10 x + 3 = 0 R: 5/3 e 1/2
e) x 2 + 2 x − 8 = 0   R: - 2 e - 8          f) 8 x 2 − 2 x − 3 = 0 R: 1/4 e - 3/8

                      12
28. Dada a equação        = x − 2 , escreva a equação na forma normal e
                     x −1
determine a soma e o produto dos inversos das raízes, sem resolver a
                                         3
                R: x − 3 x − 10 = 0 , -
                    2
equação.
                                        10
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29. Na equação 3 x 2 − x + k − 1 = 0 , o produto das duas raízes é 5/6. Nessas
condições, calcule o valor de k.                    R: 7/2
30. Qual deve ser o valor do coeficiente b na equação 10 x 2 − bx − 1 = 0 para
que a soma de suas raízes seja igual a 5/4?                R: 25/2

31. Na equação 3x 2 − 10 x + 2k − 1 = 0 , a soma das raízes é igual ao produto.
Nessas condições, calcule o valor de k.                   R: 11/2

32. Na equação ( k + 2 ) x 2 − 5 x + 3 = 0 , uma das raízes é igual ao inverso da
outra. Nessas condições, calcule o valor de k.               R: 1

33. Ao se inscrever para participar de uma feira, um expositor recebeu a
informação de que seu estande deveria ocupar uma área de 21,25 m2, ter
formato retangular e perímetro igual a 22 m. Que dimensões seu estande
deveria ter?                                        R: 8,5 m x 2,5 m

34. Vamos determinara equação do 2o grau, na incógnita x, cujas raízes são
os números reais seguintes:

a) 7 e 12    R: x2 - 19x + 84 = 0     b) - 10 e - 3         R: x2 +13x+30=0

c) 4/7 e - 3 R: 7x2 + 17x - 12 = 0    d) 9 e - 6            R: x2 - 3x - 54 = 0

e) - 8 e + 8 R: x2 - 64 = 0           f) 0 e - 4/9          R: 9x2 + 4x = 0

35. Qual é a equação do 2o grau na incógnita x cujas raízes reais são os
números 1 ± 3 ?                   R: x2 - 2x - 11 = 0

36. Escreva a equação do 2o grau na incógnita x que nos permite calcular
dois números reais quando a soma desses números é 7/2 e o produto é 3/2.
                                              R: 2x2 - 7x + 3 = 0




                                                      Fonte: www.salomaorjmatcnsd.hpg.ig.com.br

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Exercicios Resolvidos Equacao 2 Grau 0

  • 1. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br EXERCÍCIOS RESOLVIDOS EQUAÇÕES DO 2O GRAU 1. Um azulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45 m 2 de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? R: 15 cm 2. A área de um retângulo é de 64 cm 2 . Nessas condições, determine as dimensões do retângulo sabendo que o comprimento mede (x+6) m e a largura mede (x- 6) m. R: 16 cm e 4 cm 3. Se você multiplicar um número positivo por ele mesmo e , do resultado, subtrair 9, você obterá 112. Qual é o número? R: 11 2y +1 y + 5 4. Qual deve ser o valor real de y para que as frações e sejam y+2 y+3 numericamente iguais? R: ± 7 5. Se você adicionar a cada uma das seguintes expressões um determinado número, elas se transformarão em um trinômio quadrado perfeito. Nessas condições, escreva um número para cada expressão: a) x 2 + 4 x R: 4 b) x 2 − 20 x R: 100 c) x 2 − 16 x R: 64 d) x 2 + 14 x R: 49 e) x 2 + 3x R: 9 4 f) x 2 − 7 x R: 49 4 6. As equações seguintes estão escritas na forma normal reduzida. Calcule o discriminante ∆ de cada uma e identifique o tipo de raízes que cada equação apresenta. a) x 2 − 4x − 5 = 0 R: ∆ = 36 A equação tem duas raízes reais diferentes. b) x 2 + 8 x + 20 = 0 R: ∆ = −16 A equação não tem raízes reais c) x 2 + 6x − 4 = 0 R: ∆ = 52 A equação tem duas raízes reais diferentes. d) 9x 2 + 6x + 1 = 0 R: ∆ = 0 A equação tem uma única raiz real e) 5x 2 − 3x + 1 = 0 R: ∆ = −11 A equação não tem raízes reais 7. Encontrar o conjunto-solução de cada equação do 2o grau abaixo:  5  a) x 2 − 6 x − 16 = 0 R: { − 2,8} b) 6 x 2 − x − 5 = 0 R: − ,1  6   1 c) 25 x 2 + 10 x + 1 = 0 R: −  d) 3x 2 + 4 x + 2 = 0 R: {}  5
  • 2. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br e) y 2 − 16 y + 64 = 0 R: { 8} 8. Num Congresso havia 50 pessoas entre homens e mulheres. Descubra quantas mulheres e quantos homens estavam presentes, sabendo que o produto das quantidades dos dois grupos é igual a 621 e que a quantidade de mulheres é maior do que a quantidade de homens. Justifique a resposta pelo método da equação do 2o grau. R: 27 mulheres e 23 homens 9. Determine os valores reais de x para que o valor numérico da expressão x 2 + 4 x seja igual a - 3. R: x= - 1 ou x= - 3 10. Quais os valores reais de y para que as expressões y 2 − 3 e 2y + 1 sejam iguais? R: y = 1 + 5 ou y = 1 - 5 11. Quais os valores reais de x que tornam verdadeira a equação 3  1 x − x  = x + ? R: Não existem esses valores reais de x. 4  2 1 12. Determine o conjunto-solução da equação x − 3 = − . R: { 4} x−5 x x−2 13. Sabendo que a expressão + é igual a 1, determine os valores 1`+ x x reais de x. R: x = −1 + 3 ou x = 1 - 3 8− x 14. Sendo x' e x" as raízes da equação x + 1 = , determine o valor de x ( x') 2 + ( x") 2 . R: 20 15. A soma de um número real com seu quadrado dá 30. Qual é esse número? R: 5 ou - 6 16.Do quadrado de um número real vamos subtrair o quádruplo do mesmo número. O resultado encontrado é 60. Qual é esse número? R: 10 ou - 6 17. Se você adicionar um número inteiro diferente de zero com o inverso do 17 número, vai obter . Qual é esse número inteiro? R: 4 4 18. A soma S dos n primeiros números inteiros positivos pode ser calculada n( n + 1) pela fórmula S = . Nessas condições, determine a quantidade de 2 números inteiros positivos que dá 120 como soma. R: 15
  • 3. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br 19. A distância entre Curitiba e Florianópolis é de 300 km. Para cobrir essa distância, a certa velocidade média, um automóvel gastou x horas. Sabe-se que a mesma distância seria percorrida em 2 horas a menos se o automóvel aumentasse de 40 km/h a sua velocidade média. Qual o tempo x gasto para distância percorrer os 300 km? Lembre-se: velocidade média= . R: 5 h tempo 20. A equação ax 2 − 4 x − 16 = 0 tem uma raiz cujo valor é 4. Nessas condições, qual é o valor do coeficiente a? R: 2 ( ) 21. Verifique se o número 2 − 3 é raiz da equação x 2 − 4 x + 1 = 0 . R: Sim 22. Qual deve ser o valor do coeficiente c para que a equação 5 − 10 x 2 − 5 x + c = 0 tenha raízes reais iguais? R: − 8 23. Na equação x 2 + mx − 12 = 0 , uma das raízes é 6. Qual é o valor de m? R:-4 24. Uma das raízes da equação 2 x 2 + mx + n = 0 é 1. Nessas condições, qual é o valor de m+n? R: - 2 25. Determine o valor de k para que a equação 3x 2 + 4 x + k − 6 = 0 tenha raízes 22 reais e diferentes. R: k < 3 26. Determine o valor de k para que a equação 3 x 2 + kx + 3 = 0 tenha uma única raiz real. R: ± 2 3 27. Determine a soma e o produto das raízes de cada uma das seguintes equações, sem resolver cada equação: a) 3x 2 + x − 3 = 0 R: - 1/3 e - 1 b) 9 x 2 + 6 x + 1 = 0 R: - 2/3 e 1/9 c) 6 x 2 − 9 x = 0 R: 3/2 e 0 d) 6 x 2 − 10 x + 3 = 0 R: 5/3 e 1/2 e) x 2 + 2 x − 8 = 0 R: - 2 e - 8 f) 8 x 2 − 2 x − 3 = 0 R: 1/4 e - 3/8 12 28. Dada a equação = x − 2 , escreva a equação na forma normal e x −1 determine a soma e o produto dos inversos das raízes, sem resolver a 3 R: x − 3 x − 10 = 0 , - 2 equação. 10
  • 4. Vestibular1 – A melhor ajuda ao vestibulando na Internet Acesse Agora ! www.vestibular1.com.br 29. Na equação 3 x 2 − x + k − 1 = 0 , o produto das duas raízes é 5/6. Nessas condições, calcule o valor de k. R: 7/2 30. Qual deve ser o valor do coeficiente b na equação 10 x 2 − bx − 1 = 0 para que a soma de suas raízes seja igual a 5/4? R: 25/2 31. Na equação 3x 2 − 10 x + 2k − 1 = 0 , a soma das raízes é igual ao produto. Nessas condições, calcule o valor de k. R: 11/2 32. Na equação ( k + 2 ) x 2 − 5 x + 3 = 0 , uma das raízes é igual ao inverso da outra. Nessas condições, calcule o valor de k. R: 1 33. Ao se inscrever para participar de uma feira, um expositor recebeu a informação de que seu estande deveria ocupar uma área de 21,25 m2, ter formato retangular e perímetro igual a 22 m. Que dimensões seu estande deveria ter? R: 8,5 m x 2,5 m 34. Vamos determinara equação do 2o grau, na incógnita x, cujas raízes são os números reais seguintes: a) 7 e 12 R: x2 - 19x + 84 = 0 b) - 10 e - 3 R: x2 +13x+30=0 c) 4/7 e - 3 R: 7x2 + 17x - 12 = 0 d) 9 e - 6 R: x2 - 3x - 54 = 0 e) - 8 e + 8 R: x2 - 64 = 0 f) 0 e - 4/9 R: 9x2 + 4x = 0 35. Qual é a equação do 2o grau na incógnita x cujas raízes reais são os números 1 ± 3 ? R: x2 - 2x - 11 = 0 36. Escreva a equação do 2o grau na incógnita x que nos permite calcular dois números reais quando a soma desses números é 7/2 e o produto é 3/2. R: 2x2 - 7x + 3 = 0 Fonte: www.salomaorjmatcnsd.hpg.ig.com.br