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Conjuntos
 Conjunto: conjunto é um grupo ou             1. Reescreva cada conjunto abaixo ou
coleção de coisas.                            por enumeração de seus elementos ou
Em matemática normalmente nos                 através de uma propriedade:
interessamos por conjuntos numéricos.         a. A = {x ∈ IN / x < 4}
Representações de um conjunto:                   A = {0, 1, 2, 3}
• por enumeração de seus elementos:           b. B = {x ∈ IN / x > 10}
 A = {0, 1, 2, 3, 4, 5}                          B = {11, 12, 13, ...}
• através do diagrama de Venn:                c. C = {x ∈ IN / x < 8 e x é impar}
                                                 C = {1, 3, 5, 7}
    A
            2                                 d. D = {5, 6, 7, 8, 9}
                    1   0                        D = {x ∈ IN / 5 ≤ x < 10}
        3       4   5                         e. E = {0, 5, 10, 15, 20}
• através de uma propriedade:                    E = {x ∈ IN / x ≤ 20 e x é múltiplo de 5}
  A = {x ∈ IN / x < 6}                         f. F = {2, 3, 5, 7, 11, 13}
 A = {x ∈ IN / x ≤ 5}                             F = {x ∈ IN / x < 15 e x é primo}

 A = {x ∈ IN / 0 ≤ x ≤ 5}
 ...
                                 Milton Sgambatti Júnior
                                         álgebra
Conjuntos
Relações de pertinência:                       Importante: Os símbolos de pertence
Usamos o símbolo de pertence ( ∈ ) ou          ( ∈ ) ou de não pertence ( ∉ ) só devem
o de não pertence ( ∉ ) para indicar se        ser utilizados entre um elemento e seu
um elemento pertence ou não a um               conjunto.
conjunto.                                      3. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {2}, 3},
Dado o conjunto A = {0, 1, 5, 7, 9},           complete as lacunas com ∈ ou ∉.
podemos dizer que:                             a. 1 ∈ A            d. {3} ∉ A
0∈A          2∉A        ...                    b. 2 ∈ A            e. 3 ∈ A
1∈A          8∉A                               c. {2} ∈ A          f. {1, 2} ∉ A
2. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {3}, 4},
complete as lacunas com ∈ ou ∉.                Importante: Existe uma lista dos
                                               símbolos mais utilizados na página 10
a. 0 ∈ A            d. {3} ∈ A
                                               do livro Exercícios de matemática –
b. 5 ∉ A            e. 4 ∈ A                   volume 1 (livro rosa).
c. 3 ∉ A            f. ∅ ∉ A


                                  Milton Sgambatti Júnior
                                          álgebra
Conjuntos
Análise de diagramas de Venn-Euler:                      Elementos que pertencem a A e B: {2, 4}
Observe:                                                 Elementos que pertencem a A ou B:
                                            U            {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
      A                             B                    Elementos que pertencem apenas a A:
             1        2     0                            {1, 3, 5}
          5 3          4   6 8                           Elementos que não pertencem nem a A,
                                                         nem a B: {7, 9}
                                7       9
                                                         4. Dados os conjuntos
Do diagrama acima podemos concluir:                      A = {1, 3, 5, 7}
A = {1, 2, 3, 4, 5}                                      B = {1, 2, 3, 4} e
                                                         U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, desenhe um
B = {0, 2, 4, 6, 8}                                      diagrama de Venn para representá-los:
U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9}
                                                                 A                      B       U
O conjunto Universo ( U ) é o conjunto                                5    1    2
ao qual pertencem todos os elementos                                   7    3       4
                                                                                            6
envolvidos no exercício ou exemplo.                                                     0

                                            Milton Sgambatti Júnior
                                                    álgebra
Conjuntos
Relações de inclusão:                                Lembre-se: O conjunto vazio pode ser
                                                     representado de duas formas: F = { } ou
Usamos o símbolo de está contido ( ⊂ ), de
                                                     F = ∅.
não está contido ( ⊄ ), de contém ( ⊃ ) ou o
de não contém ( ) para relacionar dois
                ⊄                                    Cuidado: O conjunto G = { ∅ } é um
conjuntos ou subconjuntos.                           conjunto unitário cujo elemento é a letra
                                                     grega ∅ (phi).
 Dica: O “lado aberto” da relação de
 inclusão deve ficar “sempre” voltado para o         Importante: O conjunto vazio está contido em
 conjunto que for “maior” (tiver a maior             qualquer outro conjunto inclusive nele mesmo
 quantidade de elementos).                           (no exemplo anterior teríamos: F ⊂ ∅).
Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6},            5. Dados os conjuntos:
B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6}, D = {5, 6, 7},          A = {x ∈ IN / x < 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5},     C
E = {3, 1, 5} e F = { }, podemos dizer que:           = {1, 3, 5}, D = {8, 9, 10} e E = { }, complete
                                                      as lacunas usando uma relação de inclusão.
 A⊃B          C⊂A           D       A
                                ⊄
                                                     a. A ⊃ B                   D (⊄)   g. B ⊃ C
                                                                            ⊄
                                                                     d. A
 A⊃C          B⊃E           A
                                ⊄
                                    D
                                          ...        b. A ⊃ E        e. D ⊃ E           h. C ⊂ B
 B⊂A          B⊂E           E⊄D
                                                                     f. E ⊂ C           i. D ⊄ B
                                                                                                   (⊄)
                                                     c. A ⊃ C
 F⊂A          F⊂E           C⊃F

                                        Milton Sgambatti Júnior
                                                álgebra
Conjuntos
   Operações entre conjuntos:                           Intersecção entre conjuntos:
   União entre conjuntos:                               Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e
   Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e             B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto
   B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto            A ∩ B.
   A ∪ B.                                               A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5}
   A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 0, 6, 8}                     Reescrevendo:
   Se preferir “arrumar” os elementos:                  A ∩ B = {2, 4}
   A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8}
                                                                   A                     B
                                                                        1    2      0
        A                         B
              1      2       0                                         5 3    4   6 8
            5 3       4    6 8
                                                              A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B}
     A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B}                     Em uma operação de intersecção entre os
Em uma operação de união entre os conjuntos A e B      conjuntos A e B devemos escrever apenas os
devemos ‘juntar’ todos os elementos de A a todos       elementos que estiverem ao mesmo tempo em A
os elementos de B (não é necessário escrever os        e em B. (o conjunto intersecção de A com B terá
“repetidos”, nem colocar em ordem, embora esse         apenas os elementos comuns a A e B).
último seja conveniente).
                                         Milton Sgambatti Júnior
                                                 álgebra
Conjuntos
   Operações entre conjuntos:                          6. Dados os conjuntos:
                                                       A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8},
   Diferença entre conjuntos:
                                                       C = {1, 3, 5, 7, 9} e D = {8, 9, 10}, determine o
   Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e            que se pede em cada item abaixo:
   B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto
   A – B.
                                                      a. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8}
   A – B = {1, 2, 3, 4, 5}
                                                      b. A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9}
   Reescrevendo:
   A – B = {1, 3, 5}                                  c. A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10}
                                                      d. B ∪ C = {5, 6, 7, 8, 1, 3, 9}
        A                         B
              1        2    0                         e. B ∩ C = {5, 7}
            5 3         4   6 8                        f. A ∩ D = {      }
                                                      g. C ∩ D = {9}
     A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B}
Em uma operação de diferença entre os conjuntos A     h. A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4}
e B devemos escrever o primeiro conjunto e retirar
                                                      i. B – C     = {5, 6, 7, 8} = {6, 8}
dele os elementos que aparecerem no segundo
conjunto (atenção: só podem ‘sobrar’ elementos do      j. D – B    = {8, 9, 10} = {9, 10}
primeiro conjunto).
                                         Milton Sgambatti Júnior
                                                 álgebra
Conjuntos
 Operações entre conjuntos:                            7. Dados os conjuntos:
                                                       A = {p, e, r, n, a, m, b, u, c, o}, B = {a, l, e},
 Conjunto complementar:
                                                       C = {p, e, r, n, a}, D = {c, a, m, p, o} e
 Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5},               E = {e, l, a}, determine o que se pede em cada
 B = {1, 3, 5}, C = {1, 2}, D = {4, 5, 6} e            item abaixo:
 E = {1, 2}, determine cada um dos
                                                       a. A ∪ B = {p, e, r, n, a, m, b, u, c, o, l}
 conjuntos que se pede abaixo:
                                                       b. C ∩ D = {p, a}
 Dica: Quando se procura o conjunto
 complementar de B em A, a pergunta a que              c. C – D = {e, r, n}
 se deve responder é:
                                                        d.       C = {m, b, u, c, o}
           O que falta no B para ele ficar                   A
        B = igual ao A?
      A
                                                        e.       D = {e, r, n, b, u}
                          c.                                 A
 a.         B = {2, 4}             D =∃
        A                      A       (não existe)     f.       B =∃
                                                             C
 b.     C = {3, 4, 5}     d.  C ={ }
      A                     E
                                                        g.       B ={ }
Importante: Resposta não existe é muito                      E
diferente da resposta conjunto vazio.
                                          Milton Sgambatti Júnior
                                                  álgebra
Conjuntos
Conjunto das Partes de um conjunto qualquer:
O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto dos subconjuntos possíveis a
partir do conjunto A.

Exemplo:
Seja o conjunto A = {1, 2, 3}.
A partir deste conjunto podemos “criar” vários subconjuntos:
Subconjuntos com nenhum elemento: { }
Subconjuntos com um elemento:           { 1 }, { 2 }, { 3 }.
Subconjuntos com dois elementos:        {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}.
Subconjuntos com três elementos:        {1, 2, 3}

Assim concluímos que o conjunto das partes de A “P(A)” é dado por:

P(A) = { {   }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3}   }


                                       Milton Sgambatti Júnior
                                               álgebra
Conjuntos
Imagine a situação:
Rose, tem três amigos (Ana, Beto e Claudia) e quer ir ao cinema, acompanhada ou
não, quantas e quais são a maneiras que ela pode ir ao cinema?
Ela pode ir ao cinema sozinha:                 { }
Acompanhada de um dos seus amigos:             { Ana }, { Beto }, { Claudia }
Acompanhada de dois de seus amigos:            {Ana, Beto}, {Ana, Claudia}, {Beto, Claudia}
Acompanhada com seus três amigos:              {Ana, Beto, Claudia}

As maneiras com que Ana pode ir ao cinema estão listadas acima e como podemos
ver são 8 (1 + 3 + 3 + 1) maneiras diferentes.

Para encontrar apenas a quantidade de subconjuntos possíveis a partir de um
conjunto qualquer podemos usar uma regra (fórmula).

O número de elementos de P(A) é dado por: n ( P( A ) ) = 2
                                                          n( A )


                                                      onde: n(P(A)) = número de subconjuntos de A
                                                            n(A) = número de elementos de A
No exemplo onde A = {1, 2, 3} teríamos: n ( P( A ) ) = 2n( A ) ⇒ n ( P( A ) ) = 23 = 8 subconjunt os

                                      Milton Sgambatti Júnior
                                              álgebra
Conjuntos
Ampliando o estudo do conjunto complementar
Representações no diagrama de Venn-Euler:

 a.       B                                               c.        B
      A        A                                                   U
                     1     2                                                                     U
                    5 3     4                                       A                    B
                                B                                        1         0
                                                                              2
                                                                        5 3    4   6 8       7
 b.    A
      U                                                                                  9

                                          U               d.        (A ∩ B)
          A                      B                                 U
               1      2     0
              5 3      4   6 8       7
                                                                    A                    B
                                                                                                 U
                                 9                                       1    2     0
                                                                        5 3    4   6 8       7
                                                                                         9

                                         Milton Sgambatti Júnior
                                                 álgebra
Conjuntos
Ampliando o estudo do conjunto complementar
Representações no diagrama de Venn-Euler:

e.    (A ∪ B)                                              Representação “alternativa” do conjunto
     U                                                     complementar quando o conjunto de
                                               U           referência for o conjunto universo:
      A                           B
            1       2     0
                                                                     A =A
                                                                 U
           5 3       4    6 8         7
                                  9                                   B =B
                                                                 U

f.    (A – B)                                                         C =C
     U                                                           U
                                                U
       A                              B                               (A ∪ B) = (A ∪ B)
                1             0                                   U
                     2
            5 3       4    6 8            7                           (A ∩ B) = (A ∩ B)
                                                                  U
                                      9

                                              Milton Sgambatti Júnior
                                                      álgebra
Conjuntos
Problemas envolvendo conjuntos:
8. Em uma sala de aula com 50 alunos,              9. Em uma sala de aula com 50 alunos,
35 deles lêem o jornal A, 17 lêem o                todos lêem jornal, se 35 deles lêem o
jornal B e 10 lêem ambos os jornais (A             jornal A e 31 lêem o jornal B.
e B), quantos alunos não lêem nenhum               a. Qual o número de alunos que lê os
dos dois jornais?                                  dois jornais? 16 alunos
                                                   b. Qual o número de alunos que lê
                                      U            apenas o jornal A? 19 alunos
      A                      B
                                                   c. Qual o número de alunos que lê
          25        10   7                         apenas um destes dois jornais?
                                                                       34 alunos
                                 8
                                                                                            U
                                                               A                    B
 25 + 10 + 7 = 42                                                       16
                                                                   19          15
Resposta: 8 alunos não lêem nenhum
dos dois jornais                                                                     0


                                                      66 – 50 = 16           19 + 15 = 34
                                     Milton Sgambatti Júnior
                                             álgebra
Conjuntos
10. Em uma pesquisa feita com 150 
                                                                                       U
pessoas sobre a utilização de três                        A                       B
produtos A, B e C obtivemos os                                      10
                                                              23          35
resultados:
     Utilizam o       Número de                                     15
                                                               22        25
      produto          pessoas
        A                70                                         6
                                                                              C   14
        B                85 
        C                68 
                                                 40 – 15 = 25
      AeB                25 
                                                 37 – 15 = 22
      AeC               37 
a. Quantas pessoas consomem só o                 25 – 15 = 10
produto A?C
      Be                40 
                                                 C: 22 + 15 + 25 = 62
b. Quantase C
    A e B pessoas não consomem
                        15 
                                                 B: 10 + 15 + 25 = 50
nenhum dos três produtos?
                                                 A: 22 + 15 + 10 = 47
            23 pessoas
                                                 U: 23 + 10 + 35 + 22 + 15 + 25 + 6 = 136
                          14 pessoas
                                Milton Sgambatti Júnior
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Matemática conjuntos

  • 1. Conjuntos Conjunto: conjunto é um grupo ou 1. Reescreva cada conjunto abaixo ou coleção de coisas. por enumeração de seus elementos ou Em matemática normalmente nos através de uma propriedade: interessamos por conjuntos numéricos. a. A = {x ∈ IN / x < 4} Representações de um conjunto: A = {0, 1, 2, 3} • por enumeração de seus elementos: b. B = {x ∈ IN / x > 10} A = {0, 1, 2, 3, 4, 5} B = {11, 12, 13, ...} • através do diagrama de Venn: c. C = {x ∈ IN / x < 8 e x é impar} C = {1, 3, 5, 7} A 2 d. D = {5, 6, 7, 8, 9} 1 0 D = {x ∈ IN / 5 ≤ x < 10} 3 4 5 e. E = {0, 5, 10, 15, 20} • através de uma propriedade: E = {x ∈ IN / x ≤ 20 e x é múltiplo de 5} A = {x ∈ IN / x < 6} f. F = {2, 3, 5, 7, 11, 13} A = {x ∈ IN / x ≤ 5} F = {x ∈ IN / x < 15 e x é primo} A = {x ∈ IN / 0 ≤ x ≤ 5} ... Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 2. Conjuntos Relações de pertinência: Importante: Os símbolos de pertence Usamos o símbolo de pertence ( ∈ ) ou ( ∈ ) ou de não pertence ( ∉ ) só devem o de não pertence ( ∉ ) para indicar se ser utilizados entre um elemento e seu um elemento pertence ou não a um conjunto. conjunto. 3. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {2}, 3}, Dado o conjunto A = {0, 1, 5, 7, 9}, complete as lacunas com ∈ ou ∉. podemos dizer que: a. 1 ∈ A d. {3} ∉ A 0∈A 2∉A ... b. 2 ∈ A e. 3 ∈ A 1∈A 8∉A c. {2} ∈ A f. {1, 2} ∉ A 2. Dado o conjunto A = {0, 1, 2, {3}, 4}, complete as lacunas com ∈ ou ∉. Importante: Existe uma lista dos símbolos mais utilizados na página 10 a. 0 ∈ A d. {3} ∈ A do livro Exercícios de matemática – b. 5 ∉ A e. 4 ∈ A volume 1 (livro rosa). c. 3 ∉ A f. ∅ ∉ A Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 3. Conjuntos Análise de diagramas de Venn-Euler: Elementos que pertencem a A e B: {2, 4} Observe: Elementos que pertencem a A ou B: U {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} A B Elementos que pertencem apenas a A: 1 2 0 {1, 3, 5} 5 3 4 6 8 Elementos que não pertencem nem a A, nem a B: {7, 9} 7 9 4. Dados os conjuntos Do diagrama acima podemos concluir: A = {1, 3, 5, 7} A = {1, 2, 3, 4, 5} B = {1, 2, 3, 4} e U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, desenhe um B = {0, 2, 4, 6, 8} diagrama de Venn para representá-los: U = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9} A B U O conjunto Universo ( U ) é o conjunto 5 1 2 ao qual pertencem todos os elementos 7 3 4 6 envolvidos no exercício ou exemplo. 0 Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 4. Conjuntos Relações de inclusão: Lembre-se: O conjunto vazio pode ser representado de duas formas: F = { } ou Usamos o símbolo de está contido ( ⊂ ), de F = ∅. não está contido ( ⊄ ), de contém ( ⊃ ) ou o de não contém ( ) para relacionar dois ⊄ Cuidado: O conjunto G = { ∅ } é um conjuntos ou subconjuntos. conjunto unitário cujo elemento é a letra grega ∅ (phi). Dica: O “lado aberto” da relação de inclusão deve ficar “sempre” voltado para o Importante: O conjunto vazio está contido em conjunto que for “maior” (tiver a maior qualquer outro conjunto inclusive nele mesmo quantidade de elementos). (no exemplo anterior teríamos: F ⊂ ∅). Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5, 6}, 5. Dados os conjuntos: B = {1, 3, 5}, C = {2, 4, 6}, D = {5, 6, 7}, A = {x ∈ IN / x < 10}, B = {1, 2, 3, 4, 5}, C E = {3, 1, 5} e F = { }, podemos dizer que: = {1, 3, 5}, D = {8, 9, 10} e E = { }, complete as lacunas usando uma relação de inclusão. A⊃B C⊂A D A ⊄ a. A ⊃ B D (⊄) g. B ⊃ C ⊄ d. A A⊃C B⊃E A ⊄ D ... b. A ⊃ E e. D ⊃ E h. C ⊂ B B⊂A B⊂E E⊄D f. E ⊂ C i. D ⊄ B (⊄) c. A ⊃ C F⊂A F⊂E C⊃F Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 5. Conjuntos Operações entre conjuntos: Intersecção entre conjuntos: União entre conjuntos: Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto A ∩ B. A ∪ B. A ∩ B = {1, 2, 3, 4, 5} A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 0, 6, 8} Reescrevendo: Se preferir “arrumar” os elementos: A ∩ B = {2, 4} A ∪ B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 8} A B 1 2 0 A B 1 2 0 5 3 4 6 8 5 3 4 6 8 A ∩ B = { x / x ∈ A e x ∈ B} A ∪ B = { x / x ∈ A ou x ∈ B} Em uma operação de intersecção entre os Em uma operação de união entre os conjuntos A e B conjuntos A e B devemos escrever apenas os devemos ‘juntar’ todos os elementos de A a todos elementos que estiverem ao mesmo tempo em A os elementos de B (não é necessário escrever os e em B. (o conjunto intersecção de A com B terá “repetidos”, nem colocar em ordem, embora esse apenas os elementos comuns a A e B). último seja conveniente). Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 6. Conjuntos Operações entre conjuntos: 6. Dados os conjuntos: A = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7}, B = {5, 6, 7, 8}, Diferença entre conjuntos: C = {1, 3, 5, 7, 9} e D = {8, 9, 10}, determine o Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5} e que se pede em cada item abaixo: B = {0, 2, 4, 6, 8}, determine o conjunto A – B. a. A ∪ B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8} A – B = {1, 2, 3, 4, 5} b. A ∪ C = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9} Reescrevendo: A – B = {1, 3, 5} c. A ∪ D = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10} d. B ∪ C = {5, 6, 7, 8, 1, 3, 9} A B 1 2 0 e. B ∩ C = {5, 7} 5 3 4 6 8 f. A ∩ D = { } g. C ∩ D = {9} A – B = { x / x ∈ A e x ∉ B} Em uma operação de diferença entre os conjuntos A h. A – B = {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} = {1, 2, 3, 4} e B devemos escrever o primeiro conjunto e retirar i. B – C = {5, 6, 7, 8} = {6, 8} dele os elementos que aparecerem no segundo conjunto (atenção: só podem ‘sobrar’ elementos do j. D – B = {8, 9, 10} = {9, 10} primeiro conjunto). Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 7. Conjuntos Operações entre conjuntos: 7. Dados os conjuntos: A = {p, e, r, n, a, m, b, u, c, o}, B = {a, l, e}, Conjunto complementar: C = {p, e, r, n, a}, D = {c, a, m, p, o} e Dados os conjuntos A = {1, 2, 3, 4, 5}, E = {e, l, a}, determine o que se pede em cada B = {1, 3, 5}, C = {1, 2}, D = {4, 5, 6} e item abaixo: E = {1, 2}, determine cada um dos a. A ∪ B = {p, e, r, n, a, m, b, u, c, o, l} conjuntos que se pede abaixo: b. C ∩ D = {p, a} Dica: Quando se procura o conjunto complementar de B em A, a pergunta a que c. C – D = {e, r, n} se deve responder é: d. C = {m, b, u, c, o} O que falta no B para ele ficar A B = igual ao A? A e. D = {e, r, n, b, u} c. A a. B = {2, 4} D =∃ A A (não existe) f. B =∃ C b. C = {3, 4, 5} d. C ={ } A E g. B ={ } Importante: Resposta não existe é muito E diferente da resposta conjunto vazio. Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 8. Conjuntos Conjunto das Partes de um conjunto qualquer: O conjunto das partes de um conjunto A é o conjunto dos subconjuntos possíveis a partir do conjunto A. Exemplo: Seja o conjunto A = {1, 2, 3}. A partir deste conjunto podemos “criar” vários subconjuntos: Subconjuntos com nenhum elemento: { } Subconjuntos com um elemento: { 1 }, { 2 }, { 3 }. Subconjuntos com dois elementos: {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}. Subconjuntos com três elementos: {1, 2, 3} Assim concluímos que o conjunto das partes de A “P(A)” é dado por: P(A) = { { }, { 1 }, { 2 }, { 3 }, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2, 3} } Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 9. Conjuntos Imagine a situação: Rose, tem três amigos (Ana, Beto e Claudia) e quer ir ao cinema, acompanhada ou não, quantas e quais são a maneiras que ela pode ir ao cinema? Ela pode ir ao cinema sozinha: { } Acompanhada de um dos seus amigos: { Ana }, { Beto }, { Claudia } Acompanhada de dois de seus amigos: {Ana, Beto}, {Ana, Claudia}, {Beto, Claudia} Acompanhada com seus três amigos: {Ana, Beto, Claudia} As maneiras com que Ana pode ir ao cinema estão listadas acima e como podemos ver são 8 (1 + 3 + 3 + 1) maneiras diferentes. Para encontrar apenas a quantidade de subconjuntos possíveis a partir de um conjunto qualquer podemos usar uma regra (fórmula). O número de elementos de P(A) é dado por: n ( P( A ) ) = 2 n( A ) onde: n(P(A)) = número de subconjuntos de A n(A) = número de elementos de A No exemplo onde A = {1, 2, 3} teríamos: n ( P( A ) ) = 2n( A ) ⇒ n ( P( A ) ) = 23 = 8 subconjunt os Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 10. Conjuntos Ampliando o estudo do conjunto complementar Representações no diagrama de Venn-Euler: a. B c. B A A U 1 2 U 5 3 4 A B B 1 0 2 5 3 4 6 8 7 b. A U 9 U d. (A ∩ B) A B U 1 2 0 5 3 4 6 8 7 A B U 9 1 2 0 5 3 4 6 8 7 9 Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 11. Conjuntos Ampliando o estudo do conjunto complementar Representações no diagrama de Venn-Euler: e. (A ∪ B) Representação “alternativa” do conjunto U complementar quando o conjunto de U referência for o conjunto universo: A B 1 2 0 A =A U 5 3 4 6 8 7 9 B =B U f. (A – B) C =C U U U A B (A ∪ B) = (A ∪ B) 1 0 U 2 5 3 4 6 8 7 (A ∩ B) = (A ∩ B) U 9 Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 12. Conjuntos Problemas envolvendo conjuntos: 8. Em uma sala de aula com 50 alunos, 9. Em uma sala de aula com 50 alunos, 35 deles lêem o jornal A, 17 lêem o todos lêem jornal, se 35 deles lêem o jornal B e 10 lêem ambos os jornais (A jornal A e 31 lêem o jornal B. e B), quantos alunos não lêem nenhum a. Qual o número de alunos que lê os dos dois jornais? dois jornais? 16 alunos b. Qual o número de alunos que lê U apenas o jornal A? 19 alunos A B c. Qual o número de alunos que lê 25 10 7 apenas um destes dois jornais? 34 alunos 8 U A B 25 + 10 + 7 = 42 16 19 15 Resposta: 8 alunos não lêem nenhum dos dois jornais 0 66 – 50 = 16 19 + 15 = 34 Milton Sgambatti Júnior álgebra
  • 13. Conjuntos 10. Em uma pesquisa feita com 150  U pessoas sobre a utilização de três A B produtos A, B e C obtivemos os 10 23 35 resultados: Utilizam o Número de 15 22 25 produto pessoas A 70  6 C 14 B 85  C 68  40 – 15 = 25 AeB 25  37 – 15 = 22 AeC 37  a. Quantas pessoas consomem só o 25 – 15 = 10 produto A?C Be 40  C: 22 + 15 + 25 = 62 b. Quantase C A e B pessoas não consomem 15  B: 10 + 15 + 25 = 50 nenhum dos três produtos? A: 22 + 15 + 10 = 47 23 pessoas U: 23 + 10 + 35 + 22 + 15 + 25 + 6 = 136 14 pessoas Milton Sgambatti Júnior álgebra

Notas do Editor

  1. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  2. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  3. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  4. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  5. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  6. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  7. 1.o ano - Álgebra I Aula 20 - Função constante e de 1.o grau
  8. 1.o ano - Álgebra I Aula 4 - álgebra 1
  9. 1.o ano - Álgebra I Aula 4 - álgebra 1
  10. 1.o ano - Álgebra I Aula 4 - álgebra 1
  11. 1.o ano - Álgebra I Aula 4 - álgebra 1
  12. 1.o ano - Álgebra I Aula 4 - álgebra 1
  13. 1.o ano - Álgebra I Aula 4 - álgebra 1