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MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA
APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL
PROF. VINICIUS
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Vinicius Carvalho Beck
Novembro de 2011
5 – Transformações Lineares
5.1 Espaço vetorial
Definição (espaço vetorial): Seja um conjunto munido de uma operação ,
chamada adição, e de uma operação , chamada multiplicação por número real. A tripla
é chamada de espaço vetorial, se e , tem-se que:
(fechamento)
1) (comutatividade)
2) (associatividade)
3) (existência do vetor neutro)
4) (existência do vetor inverso)
5) (distributividade)
6) (multiplicação por 1)
7) (comutatividade)
Exemplos:
1)
2)
3)
4) , onde é o conjunto dos vetores com infinitas coordenadas.
5) , onde é o conjunto das matrizes .
6) , onde é o conjunto de todas as funções que levam
em .
7) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .
8) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .
9) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .
5.1 Subespaço vetorial
Definição (subespaço vetorial): Seja um espaço vetorial. Dizemos que
um subconjunto é um subespaço vetorial, se:
1) .
2)
3) , .
Exemplos:
1) ,
2) ,
3) ,
4) , triangulares
5) , , onde é o conjunto das funções
vezes deriváveis
6) ,
5.3 Base
Definição (combinação linear): Seja um espaço vetorial e um
subconjunto de . Chamamos de combinação linear dos vetores qualquer
vetor da forma , com .
Definição (subespaço gerado): O subespaço de gerado por um conjunto é
o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de . Tal subespaço é denotado
por .
Observação: Quando , então diz-se que é um subconjunto gerador de ,
ou equivalentemente, que é gerado por .
Definição (vetores linearmente independentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se
que um conjunto é linearmente independente (abrevia-se por LI), quando nenhum
é combinação linear de outros elementos de .
Definição (vetores linearmente dependentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se que
um conjunto é linearmente dependente (abrevia-se por LD), quando algum é
combinação linear de outros elementos de .
Teorema 1: Seja um conjunto LI no espaço vetorial . Então
.
Teorema 2: Se os vetores geram o espaço vetorial , então qualquer
conjunto com mais do que vetores em é LD.
Definição (base): Uma base de um espaço vetorial é um conjunto ,
linearmente independente e que gera .
Definição (dimensão): Dimensão é a quantidade de vetores da base de um espaço
vetorial. Denota-se por .
Exemplos:
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
5) , ,
5.4 Transformação linear
Definição (transformação linear): Sejam e espaços vetoriais. Uma
transformação linear é uma função que associa a cada vetor um vetor
, onde:
1)
2)
Definição (operador linear): As transformações lineares do tipo são
chamadas de operadores lineares.
Definição (funcional linear): As transformações lineares do tipo são
chamadas de funcionais lineares.
Exemplo:
1) Rotação em torno da origem:
,
2) Projeção ortogonal sobre um reta:
, ,
,
3) Derivação de polinômios:
,
5.5 Núcleo e imagem
Definição (núcleo): Seja uma transformação linear. Chamamos de núcleo
de , e denotamos por o conjunto dos vetores tais que .
Definição (imagem): Seja uma transformação linear. Chamamos de
imagem de o subconjunto , formado pelos vetores que são imagens
de através da transformação .
Teorema (teorema do núcleo e imagem): Sejam e espaços vetoriais de
dimensões finitas e uma transformação linear. Então
.
5.6 Matriz de uma transformação linear
Exemplos:
1) Rotação em torno da origem:
2) Projeção ortogonal sobre uma reta:
3) Derivação de polinômios:
6 – Autovalores e Autovetores
Definição (subespaço invariante): Diz-se que um subespaço vetorial é
invariante pelo operador linear quando , isto é, quando a imagem
de qualquer vetor é ainda um vetor de .
Definição (autovetor e autovalor): Um vetor em chama-se um autovetor do
operador quando existe tal que . Neste caso, o número real é
chamado de autovalor associado ao vetor .
Teorema (teorema do subespaço invariante): Todo operador linear num espaço
vetorial de dimensão finita possui um subespaço invariante de dimensão 1 ou 2.
Teorema (teorema dos autovalores): A autovalores diferentes do mesmo operador
linear correspondem autovetores linearmente independentes.
Corolário: Seja . Se um operador linear possui autovalores
diferentes, então existe uma base em relação à qual a matriz de é
diagonal, com os autovalores na diagonal principal, isto é,
Teorema (teorema do polinômio característico): Seja . Dada a matriz
, a qual representa o operador linear , os autovalores de são raízes
do polinômio , chamado o polinômio característico de
.

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Introdução à álgebra linear

  • 1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL PROF. VINICIUS INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR Vinicius Carvalho Beck Novembro de 2011
  • 2. 5 – Transformações Lineares 5.1 Espaço vetorial Definição (espaço vetorial): Seja um conjunto munido de uma operação , chamada adição, e de uma operação , chamada multiplicação por número real. A tripla é chamada de espaço vetorial, se e , tem-se que: (fechamento) 1) (comutatividade) 2) (associatividade) 3) (existência do vetor neutro) 4) (existência do vetor inverso) 5) (distributividade) 6) (multiplicação por 1) 7) (comutatividade) Exemplos: 1) 2) 3) 4) , onde é o conjunto dos vetores com infinitas coordenadas. 5) , onde é o conjunto das matrizes . 6) , onde é o conjunto de todas as funções que levam em . 7) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau . 8) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau . 9) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .
  • 3. 5.1 Subespaço vetorial Definição (subespaço vetorial): Seja um espaço vetorial. Dizemos que um subconjunto é um subespaço vetorial, se: 1) . 2) 3) , . Exemplos: 1) , 2) , 3) , 4) , triangulares 5) , , onde é o conjunto das funções vezes deriváveis 6) , 5.3 Base Definição (combinação linear): Seja um espaço vetorial e um subconjunto de . Chamamos de combinação linear dos vetores qualquer vetor da forma , com . Definição (subespaço gerado): O subespaço de gerado por um conjunto é o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de . Tal subespaço é denotado por . Observação: Quando , então diz-se que é um subconjunto gerador de , ou equivalentemente, que é gerado por . Definição (vetores linearmente independentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto é linearmente independente (abrevia-se por LI), quando nenhum é combinação linear de outros elementos de .
  • 4. Definição (vetores linearmente dependentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se que um conjunto é linearmente dependente (abrevia-se por LD), quando algum é combinação linear de outros elementos de . Teorema 1: Seja um conjunto LI no espaço vetorial . Então . Teorema 2: Se os vetores geram o espaço vetorial , então qualquer conjunto com mais do que vetores em é LD. Definição (base): Uma base de um espaço vetorial é um conjunto , linearmente independente e que gera . Definição (dimensão): Dimensão é a quantidade de vetores da base de um espaço vetorial. Denota-se por . Exemplos: 1) , , 2) , , 3) , , 4) , , 5) , , 5.4 Transformação linear Definição (transformação linear): Sejam e espaços vetoriais. Uma transformação linear é uma função que associa a cada vetor um vetor , onde: 1) 2) Definição (operador linear): As transformações lineares do tipo são chamadas de operadores lineares. Definição (funcional linear): As transformações lineares do tipo são chamadas de funcionais lineares. Exemplo: 1) Rotação em torno da origem:
  • 5. , 2) Projeção ortogonal sobre um reta: , , , 3) Derivação de polinômios: , 5.5 Núcleo e imagem Definição (núcleo): Seja uma transformação linear. Chamamos de núcleo de , e denotamos por o conjunto dos vetores tais que . Definição (imagem): Seja uma transformação linear. Chamamos de imagem de o subconjunto , formado pelos vetores que são imagens de através da transformação . Teorema (teorema do núcleo e imagem): Sejam e espaços vetoriais de dimensões finitas e uma transformação linear. Então . 5.6 Matriz de uma transformação linear Exemplos: 1) Rotação em torno da origem:
  • 6. 2) Projeção ortogonal sobre uma reta: 3) Derivação de polinômios:
  • 7. 6 – Autovalores e Autovetores Definição (subespaço invariante): Diz-se que um subespaço vetorial é invariante pelo operador linear quando , isto é, quando a imagem de qualquer vetor é ainda um vetor de . Definição (autovetor e autovalor): Um vetor em chama-se um autovetor do operador quando existe tal que . Neste caso, o número real é chamado de autovalor associado ao vetor . Teorema (teorema do subespaço invariante): Todo operador linear num espaço vetorial de dimensão finita possui um subespaço invariante de dimensão 1 ou 2. Teorema (teorema dos autovalores): A autovalores diferentes do mesmo operador linear correspondem autovetores linearmente independentes. Corolário: Seja . Se um operador linear possui autovalores diferentes, então existe uma base em relação à qual a matriz de é diagonal, com os autovalores na diagonal principal, isto é, Teorema (teorema do polinômio característico): Seja . Dada a matriz , a qual representa o operador linear , os autovalores de são raízes do polinômio , chamado o polinômio característico de .