1) O documento apresenta conceitos fundamentais de álgebra linear como espaços vetoriais, subespaços vetoriais, combinações lineares, independência linear e bases. 2) Introduz transformações lineares, definindo núcleo, imagem, autovetores e autovalores de um operador linear. 3) Explica que os autovetores correspondentes a autovalores diferentes formam uma base e que os autovalores são raízes do polinômio característico.

1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
UNIVERSIDADE FEDERAL DE PELOTAS
DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICA E ESTATÍSITICA
APOSTILA DE GEOMETRIA ANALÍTICA ESPACIAL
PROF. VINICIUS
INTRODUÇÃO À ÁLGEBRA LINEAR
Vinicius Carvalho Beck
Novembro de 2011

2. 5 – Transformações Lineares
5.1 Espaço vetorial
Definição (espaço vetorial): Seja um conjunto munido de uma operação ,
chamada adição, e de uma operação , chamada multiplicação por número real. A tripla
é chamada de espaço vetorial, se e , tem-se que:
(fechamento)
1) (comutatividade)
2) (associatividade)
3) (existência do vetor neutro)
4) (existência do vetor inverso)
5) (distributividade)
6) (multiplicação por 1)
7) (comutatividade)
Exemplos:
1)
2)
3)
4) , onde é o conjunto dos vetores com infinitas coordenadas.
5) , onde é o conjunto das matrizes .
6) , onde é o conjunto de todas as funções que levam
em .
7) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .
8) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .
9) , onde é o conjunto de todos os polinômios de grau .

3. 5.1 Subespaço vetorial
Definição (subespaço vetorial): Seja um espaço vetorial. Dizemos que
um subconjunto é um subespaço vetorial, se:
1) .
2)
3) , .
Exemplos:
1) ,
2) ,
3) ,
4) , triangulares
5) , , onde é o conjunto das funções
vezes deriváveis
6) ,
5.3 Base
Definição (combinação linear): Seja um espaço vetorial e um
subconjunto de . Chamamos de combinação linear dos vetores qualquer
vetor da forma , com .
Definição (subespaço gerado): O subespaço de gerado por um conjunto é
o conjunto de todas as combinações lineares dos vetores de . Tal subespaço é denotado
por .
Observação: Quando , então diz-se que é um subconjunto gerador de ,
ou equivalentemente, que é gerado por .
Definição (vetores linearmente independentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se
que um conjunto é linearmente independente (abrevia-se por LI), quando nenhum
é combinação linear de outros elementos de .

4. Definição (vetores linearmente dependentes): Seja um espaço vetorial. Diz-se que
um conjunto é linearmente dependente (abrevia-se por LD), quando algum é
combinação linear de outros elementos de .
Teorema 1: Seja um conjunto LI no espaço vetorial . Então
.
Teorema 2: Se os vetores geram o espaço vetorial , então qualquer
conjunto com mais do que vetores em é LD.
Definição (base): Uma base de um espaço vetorial é um conjunto ,
linearmente independente e que gera .
Definição (dimensão): Dimensão é a quantidade de vetores da base de um espaço
vetorial. Denota-se por .
Exemplos:
1) , ,
2) , ,
3) , ,
4) , ,
5) , ,
5.4 Transformação linear
Definição (transformação linear): Sejam e espaços vetoriais. Uma
transformação linear é uma função que associa a cada vetor um vetor
, onde:
1)
2)
Definição (operador linear): As transformações lineares do tipo são
chamadas de operadores lineares.
Definição (funcional linear): As transformações lineares do tipo são
chamadas de funcionais lineares.
Exemplo:
1) Rotação em torno da origem:

5. ,
2) Projeção ortogonal sobre um reta:
, ,
,
3) Derivação de polinômios:
,
5.5 Núcleo e imagem
Definição (núcleo): Seja uma transformação linear. Chamamos de núcleo
de , e denotamos por o conjunto dos vetores tais que .
Definição (imagem): Seja uma transformação linear. Chamamos de
imagem de o subconjunto , formado pelos vetores que são imagens
de através da transformação .
Teorema (teorema do núcleo e imagem): Sejam e espaços vetoriais de
dimensões finitas e uma transformação linear. Então
.
5.6 Matriz de uma transformação linear
Exemplos:
1) Rotação em torno da origem:

6. 2) Projeção ortogonal sobre uma reta:
3) Derivação de polinômios:

7. 6 – Autovalores e Autovetores
Definição (subespaço invariante): Diz-se que um subespaço vetorial é
invariante pelo operador linear quando , isto é, quando a imagem
de qualquer vetor é ainda um vetor de .
Definição (autovetor e autovalor): Um vetor em chama-se um autovetor do
operador quando existe tal que . Neste caso, o número real é
chamado de autovalor associado ao vetor .
Teorema (teorema do subespaço invariante): Todo operador linear num espaço
vetorial de dimensão finita possui um subespaço invariante de dimensão 1 ou 2.
Teorema (teorema dos autovalores): A autovalores diferentes do mesmo operador
linear correspondem autovetores linearmente independentes.
Corolário: Seja . Se um operador linear possui autovalores
diferentes, então existe uma base em relação à qual a matriz de é
diagonal, com os autovalores na diagonal principal, isto é,
Teorema (teorema do polinômio característico): Seja . Dada a matriz
, a qual representa o operador linear , os autovalores de são raízes
do polinômio , chamado o polinômio característico de
.