O documento discute métodos numéricos para resolver sistemas de equações lineares, incluindo classificação de sistemas, métodos exatos como eliminação de Gauss e decomposição LU, e métodos iterativos como Jacobi e Gauss-Seidel.
Pesquisa Operacional - Método Gráfico.
Para que o problema seja resolvido graficamente, deve-se começar pela representação da região de pontos (x1,x2) que satisfaz ao conjunto de restrições do PPL, essa região serádenominada região viável ou admissível do problema e, em seguida, determinar se existir, o ponto viável que otimiza o valor da FUNÇÃO OBJETIVO no conjunto de todas as soluções viáveis do problema.
Conceito de Função. Domínio, Contra-Domínio e Imagem. Notação f(x)=y. Diagramas e Gráficos de uma Função. Função Crescente, Decrescente e Constante. Exemplos Práticos.
Pesquisa Operacional - Método Gráfico.
Para que o problema seja resolvido graficamente, deve-se começar pela representação da região de pontos (x1,x2) que satisfaz ao conjunto de restrições do PPL, essa região serádenominada região viável ou admissível do problema e, em seguida, determinar se existir, o ponto viável que otimiza o valor da FUNÇÃO OBJETIVO no conjunto de todas as soluções viáveis do problema.
Conceito de Função. Domínio, Contra-Domínio e Imagem. Notação f(x)=y. Diagramas e Gráficos de uma Função. Função Crescente, Decrescente e Constante. Exemplos Práticos.
informações sobre equação linear e suas possibilidade de solução e questões para fixação do conteudo.
Sistema linear é um conjunto de equações lineares que estão relacionadas entre si, ou seja, possuem as mesmas soluções. Dizemos que uma equação é linear quando as suas variáveis possuem grau 1.
Em Matemática, um sistema de equações lineares é um conjunto finito de equações lineares aplicadas num mesmo conjunto, igualmente finito, de variáveis. Por exemplo, é um sistema de três equações com três variáveis.
Geoprocessamento aplicado a estudos ambientaisRodolfo Almeida
Palestra proferida na IV Mostra Acadêmica da Universidade Estadual de Roraima - Campus de Rorainópolis. Trata-se de um aparato das pesquisas conduzidas nas orientações de alunos de iniciação científica e no fim, um resumo do que fiz em meu doutorado.
2. Sistemas de Equações Lineares
• Os sistemas de equações lineares
aparecem em inúmeros problemas de
modelagem computacional em engenharias
e ciências.
• O que é um sistema linear?
– Conjunto formado por duas ou mais equações
lineares definidas nas mesmas incógnitas.
3. Sistemas de Equações Lineares
Forma geral:
nnnnnnn
nn
nn
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
bxaxaxaxa
332211
22323222121
11313212111
n,2,,1, ji
teindependentermo:b
escoeficient:a
incógnitas:x
i
ij
i
4. Sistemas de Equações Lineares
Forma matricial:
nnnnn
n
n
b
b
b
x
x
x
aaa
aaa
aaa
2
1
2
1
221
22221
11211
bxA
matriz de
coeficientes
vetor de
incógnitas
vetor de
termos
independentes
5. Classificação dos SistEqLin
A classificação é feita em função do número de
soluções que o sistema admite.
• Sistema Possível ou Consistente: possui
pelo menos uma solução:
– Determinado: admite uma única solução.
– Indeterminado: admite mais de uma solução.
• Sistema Impossível ou Inconsistente: não
admite solução.
6. Classificação dos SistEqLin
Admite única solução: (x,y) = (4,2) que equivale ao
ponto de intersecção das retas.
Sistema possível e determinado
8. Classificação dos SistEqLin
Não admite solução: retas paralelas (não se interceptam).
Sistema impossível
ATENÇÃO:
Neste curso iremos trabalhar com a solução numérica de sistemas
de equações lineares que admitem uma única solução!
10. Solução numérica dos SistEqLin
• Métodos exatos: Buscam encontrar a solução
exata do sistema de equações lineares.
– Eliminação de Gauss
– Decomposição LU
• Métodos iterativos: Conjunto de
procedimentos que são executados a medida
que se obtém sucessivas aproximações da
solução do sistema.
– Método de Jacobi
– Método de Gauss-Seidel
18. Solução de sistemas triangulares
• Implementar a solução do seguinte sistema
linear triangular superior:
19. Solução de sistemas triangulares
A = [2 1 3; 0 -1 1; 0 0 1];
b = [9 1 2];
n = 3;
x = zeros(n,1);
x(n) = b(n)/A(n,n);
for i=n-1:-1:1
soma = 0.0;
for j=i+1:n
soma = soma + A(i,j)*x(j);
end
x(i) = (b(i)-soma)/A(i,i);
end
disp('Solucao encontrada: ')
disp(x)
20. Solução de Sistemas Triangulares
• Vimos que é simples a solução de um
sistema linear quando este está na forma
triangular.
• Existem métodos para solução de sistemas
lineares que se aproveitam desta facilidade.
• Consistem em executar operações sobre a
matriz de coeficientes A de modo a deixá-la
na forma triangular superior ou inferior
• Exemplos:
– Método da eliminação de Gauss
– Método da decomposição LU
21. Método da Eliminação de Gauss
bxA '' bxA
sistema linear
original
sistema triangular superior
equivalente
22. Método da Eliminação de Gauss
• Resolver o sistema linear
2223
742
80484
321
321
321
xxx
xxx
xxx
23. Método da Eliminação de Gauss
• Resolver o sistema linear
22
7
80
213
412
484
3
2
1
x
x
x
24. Método da Eliminação de Gauss
• Matriz aumentada:
L1
L2
L3
pivô
22213
7412
80484
31. • Sistema triangular superior equivalente:
Resolvido via substituição retroativa:
Solução :
3
112
202
3
32
321
x
xx
xxx
Método da Eliminação de Gauss
3
5
7
3
2
1
x
x
x
32. Método da Decomposição LU
Essência do método: Fatoração LU
A = L·U
Logo:
A·x = b (L·U)·x = b
matriz de coeficientes
matriz triangular
inferior
matriz triangular
superior
36. Método da Decomposição LU
Passo 1: Decompõe a matriz de coeficientes
como o produto entre duas matrizes: uma
triangular inferior L e outra triangular superior U:
A = L·U
Logo:
A·x = b (L·U)·x = b
Passo 2: define U·x = y e resolve L·y = b via
substituição progressiva e encontra o valor de y.
Passo 3: resolve U·x = y via substituição
retroativa e encontra a solução x.
37. Método da Decomposição LU
Resolva o seguinte sistema linear pelo
método da decomposição LU:
5
7
0
311
413
125
z
y
x