Sist cont i_conf2_2014

SISTEMAS DE CONTROLE I
Dr. Miguel A. Rodríguez Borroto
Escola Superior de Tecnologia (EST)
Universidade do Estado de amazonas (UEA)
e-mail: #1. mrb1940@gmail.com

CONFERENCIA 2
Modelagem Matemático da Dinâmica de Sistemas
(Primeira parte)

CONTEUDO
• Introdução ao modelagem matemático de sistemas.
• Conceitos de função de transferência e resposta ao impulso .
• Representação do modelo de sistemas físicos mediante diagramas
de bloco.
• Conclusões.

OBJETIVOS
• Familiarizar-se com os fundamentos da modelagem de sistemas
físicos.
• Conhecer os conceitos de função de transferência e resposta ao
impulso de um sistema lineal.
• Familiarizar-se com a representação do fluxo do sinais em um
sistema mediante um diagrama de bloco do modelo.
• Conhecer e aplicar a definição e algumas regras de representação
e simplificação dos diagramas de bloco.

Introdução à modelagem de sistemas
Para estudar os sistemas de controle, diga-se analisar suas
características e realizar seu projeto, precisa-se primeiramente modelar
matematicamente o sistema.
O modelo matemático define-se como o conjunto de equações e
expressões matemáticas que descrevem acertadamente, ou ao menos
aproximadamente bem, as características de desempenho do sistema.
Há modelos e Modelos de sistemas físicos, ou seja, o modelo não é
único; o sistema pode ser modelado de varias maneiras, de acordo com
as perspectivas de sua utilização.
Os sistemas podem ser físicos: mecânicos, elétricos, térmicos, etc.
podem ser econômicos, podem ser biológicos, etc., e eles podem ser
descritos por equações integro-diferenciais e outras expressões
matemáticas.
Essas equações podem ser obtidas mediante as leis físicas que regem
no sistema. Ex. as leis de Newton, Kirchhoff, etc.

Modelos matemáticos: Podem ser de diferentes formas; em
dependência do sistema particular e das circunstancias, um modelo pode
ser melhor que outro.
Por exemplo: em controle ótimo é melhor usar a representação do
modelo em variáveis de estado; embora, no analise da resposta temporal
de sistemas SISO lineares, invariantes no tempo, é melhor usar o modelo
baseado em funções de transferência e aplicar os métodos de resposta
de frequência o localização das raízes, auxiliado das ferramentas
computacionais.

Simplicidade versus exatidão: Há uma frase que diz: “as cosas tem
que ser tão boa como seja necessário e não tão boa como seja possivel
fazer-la”.
Há modelos e modelos, mas não é mesmo desenvolver um modelo que
descreva o desempenho da insulina na sangue do ser humano quando
om mesmo recebe a insulina e outros remédios, que desenvolver um
modelo para descrever o desempenho do fluxo em uma tubaria, ou a
temperatura de um forno, ou a concentração de oxigeno na combustão
em uma usina termelétrica, ou a velocidade da ferramenta numa máquina
de ferramentas, etc, etc.
Em geral, ao solver um novo problema, temos primeiro que elaborar um
modelo o mais simplificado possível, mas que cumpra com as
especificações quanto a descrição das características do sistema, ou
seja com a exatidão necessária.
Normalmente os processos são não lineares e os modelos que os
descrevem também, mas industrialmente se precisa que eles trabalhem
em um entorno pequeno da variável de saída.

Sistemas lineares: Um sistema se diz linear se o mesmo cumpre com o
principio da superposição, o seja, a saída do sistema, como resposta a
vários sinais de entrada, pode-se calcular somando as respostas
individuais para cada entrada.
Nos sistemas lineares existe uma relação causa-feito entre entrada e
saída que é linear.
A vezes se adopta a definição seguinte: um sistema é linear se ele pode
ser descrito por um modelo linear.
Por exemplo: Os sistemas cujos modelos são:
a)
b)
dt
tdu
tuty
dt
tdy
dt
tyd )(
)()(5
)(
4
)(
2
2

)()(3
)(
2
)()(
2
2
3
3
tuty
dt
tdy
dt
tdy
dt
tyd


Sistemas lineares invariantes e variantes com o tempo: Um sistema
se diz linear invariante com o tempo se os parâmetros de seu modelo
são constantes.
Um sistema se diz linear variante com o tempo se os coeficientes ou
parâmetros de seu modelo são funções do tempo.
Os exemplo dados anteriormente são ambos os lineares in variante com
o tempo. Mas os modelos seguintes representam sistemas variantes no
tempo:
dt
)t(du
)t(u)t(yt5
dt
)t(dy
t
dt
)t(yd 2
2
2

)t(u)t(y)t2(sen3
dt
)t(dy
e
dt
)t(dy
dt
)t(yd t
2
2
3
3
 

Sistemas não lineares: Se um sistema não cumpre com o principio da
superposição se que o sistema é não linear e o modelo que o representa
tem que ser tb. não linear; assim a resposta de um sistema não linear a
dois sinais de entrada não se pode calcular somando as respostas
individuais.
Exemplos de sistemas não lineares são:
dt
tdu
tuty
dt
tdy
dt
tyd )(
)()(5
)(
4
)(
2
2
2







  0)(
)(
1
)( 2
2
2
 ty
dt
tdy
y
dt
tyd
  0)(
)()( 2
2
2
 ty
dt
tdy
dt
tyd

Em muitos sistemas físicos de todo tipo a relação entre entrada e saída não é
linear, assim nos encontramos com fenômenos de saturação, zona morta,
histereses, jogo libre nos engrenagem, etc. que motivam que o modelo
resultante seja não linear.
A seguir se mostram algumas dessas não linearidades.
Este tipo de não-linearidade se diz que é inerente ao sistema.
Fig. 1
entrada
saída
entrada
saída
entrada
saída
Saturação Zona morta Zona morta histereses

Linearização de Sistemas não lineares: Muitos processos tem que
desenvolver-se (sistemas de regulação) dentro de um entorno pequeno
da vaiável de saída; nestes casos se o sistema resultara não linear o
modelo pode ser linearizado em termos de variações pequenas das
variáveis.
El sistema assim linearizado comporta-se como o sistema original, mas
em um entorno pequeno das variáveis do mesmo.
Para fazer a linearização do modelo se aplica o conceito matemático de
variação de uma variável ou função e para obter o modelo se usa o
desenvolvimento dos termos do modelo em series de Taylor ao redor de
um entorno pequeno do ponto de operação ou ponto de equilíbrio como
tb se conhece.
Mas adiante voltaremos sobre o assunto.

Função transferencial e resposta ao impulso
Em controle automático se usa muito o conceito de função de transferência
para descrever a relação entrada-saída do sistema.
Este conceito se aplica só a sistemas lineares invariantes com o tempo e
fica muito relacionado com outro conceito muito importante tb: a resposta ao
um sinal tipo impulso.
Função transferencial (FT): Se o modelo matemático que representa a
relação que existe entre a saída y e a entrada x de um sistema linear fica
dado pela equação diferencial, ordinária e linear seguinte:
(1)
A FT deste sistema se define a relação que existe entre a transformada de
Laplace da saída e a transformada da Laplace da entrada, baixo a
consideração de que todas as condições iniciais sejam cero (0).
       
 nmxbxbxbxbyayayaya mm
mm
onn
nn
 



 1
1
11
1
10

Ou seja:
(2)
Mediante o concepto de FT é possível representar a dinâmica do sistema por equações
algébricas na variável complexa s das transformações de Laplace.
Neste caso se diz que o sistema linear descrito por (1) ou (2) é de ordem n.
 
 
)adedecausalidcondição(mn
asasasa
bsbsbsb
)s(X
)s(Y
entradaL
saidaL
)s(GcialtransferenFunção
n1n
1n
1
n
0
m1m
1m
1
m
0
zeroinciaiscondições












Comentários sobre a FT: O concepto aplicasse a sistemas lineares,
invariantes com o tempo e resulta muito útil no analise e projeto de sistemas
de controle de tais sistemas. A seguir importantes comentários:
1. A FT de um sistema é um modelo matemático onde o método
operacional permite relacionar as vaiáveis do sistema no domínio da
frequência complexa s.
2. A FT é uma propriedade do sistema e não depende da natureza ou
magnitude das entradas ao sistema.
3. A FT não inclui alguma informação sobre a estrutura física do sistema.
Funções transferenciais de diferentes sistemas físicos podem ser
idênticas.
4. Se a FT é conhecida, a saída ou resposta do sistema a qualquer tipo de
sinal de entrada pode ser estudada independente da natureza do
sistema.
5. Se a FT é desconhecida, pode-se estabelecer experimentalmente
introduzindo ao sistema sinais conhecidas de entrada.

Sistema mecânico: Seja o sistema de controle de altitude de um satélite
como se mostra a seguir:
Fig. 2.
O diagrama mostra só o controle do ângulo de derrape ou guinada (),
embora existem controles dos três eixos.

Jorros pequenos provocam reações que fazem que o satélite gire. Eles
operam em casais, em posições obliquas tais como A ou B.
Consideremos que o empurre dos jorros seja F/2 e portanto o torque
produzido e aplicado ao sistema é:
Tanto T(t) como F(t) são considerados funções do tempo. Seja J o momento
angular de inercia do satélite respeito ao eixo de giro (centro de massa).
Vamos a obter a FT do sistema considerando que T(t) é o sinal de entrada e
que (t) é o sinal de saída.
Para calcular a FT, procede-se segundo os seguintes passos:
1) Escreve-se a equação diferencial do sistema.
2) Aplicamos a transformada de Laplace considerando as condições
iniciais zero.
3) Toma-se a relação (s)/T(s).
FlT 

Aplicando a segunda Lei de Newton, considerando que no espaço onde se encontra
o satélite não há atrito se tem:
Aplicando Transformada de Laplace e desprezando condições iniciais:
Por tanto:
)(
)(
2
2
tT
dt
d
J 

)()(2
sTsJs 
2
1
)(
)(
)(
JssT
s
sG 



Resposta ao impulso: Se sabe de analise de sistemas que a função impulso
o delta de Dirac é uma função singular que tem propriedades muito
específicas, tais como que posei uma amplitude infinita (∞) e tempo de
duração cero (0).
A amplitude da função impulse recebe o nome de esforço do impulso; assim
se o esforço é k se diz que o impulso tem esforço k. Se k = 1 o impulso diz-se
unitário.
Do estudo da matemática operacional, se sabe que transformada de Laplace
da função impulso unitário é 1. Resulta a única função conhecida que cumpre
essa propriedade. Assim:
(3)
Se o impulso tem esforço k então:
(4)
  1)( tL 
  ktkL )(

Da discussão anterior e tendo em conta a definição de FT temos que:
Se x(t) é um impulso unitário então:
Portanto:
(5)
Portanto:
(6)
Ou seja, a resposta de um sistema linear a um impulso unitário é igual que a
transformada inversa de Laplace de sua FT.
)(
)(
)(
sX
sY
sG 
  1)()(  tLsX 
)(
1
)(
)(
)(
)( sY
sY
sX
sY
sG 
    )()()()( 11
tgsGLsYLty  

Integral de convolação: Segundo o concepto de FT temos:
(7)
Aplicando transformada inversa de Laplace em ambos os membros se tem:
(8)
Mas, segundo o teorema da convolação da transformada de Laplace se tem:
O qual se conhece como convolação no tempo de g(t) com x(t) e fica dado
por:
(9)
Onde se considera que g(t)=x(t)=0 para t<0
)()()( sXsGsY 
   )()()()( 11
sXsGLsYLty 

  )(*)()()()( 1
txtgsXsGLty  
    
tt
dtxgdxtgtxtgsXsGLty
00
1
)()()()()(*)()()()( 

Resumindo podemos dizer que a resposta de
qualquer sistema linear invariante no tempo se
pode calcular pela convolação no tempo do sinal
de entrada com a resposta ao impulso do
sistema.

Sistema de Controle. Representação mediante
diagramas de bloco
O modelo de todo sistema de controle não é mais que um conjunto de
equações diferenciais no domínio temporal o equações algébricas no domínio
da frequência que relacionam as entradas com as saídas do sistema.
Esse conjunto de equações determina as diferentes relações de causa-
efeito que existe entre as variáveis.
Mediante os diagramas de blocos é possível representar o fluxo dos sinais no
sistema. Dai que podamos dizer que um diagrama de bloco é uma
representação gráfica das relações causa-efeito o fluxo de sinais que
tem lugar em um sistema de controle.
Tais diagramas estão formados por blocos funcionais em cada um dos quais
se realiza uma função matemática.

Sistema de Controle. Representação mediante diagramas
de bloco
A seguir se mostra um diagrama de bloco elementar que estabelece a relação que
existe entre dois sinais a traves da FT entre eles.
Fig. 3
Função
Transferencial
G(s)
Sinal de
Entrada
Sinal de
Saída

diagramas de bloco
Definições: Os diagramas de bloques se constroem de acordo aos pontos de
vista do analise. A seguir se estabelecem as definições dos diferentes
elementos que constituem um diagrama de bloco.
Ponto se soma: Se mostra na Fig. 4 e indica a operação de soma
(subtração).
Fig. 4
a a-b
b
+
-

diagramas de bloco
Ponto de rama: É um ponto desde o qual o sinal que sai de um bloco pode
viajar para a entrada de outro bloco ou para um ponto de suma. A seguir se
mostra um ponto de rama.
Fig. 5
G(s)
Sinal de
Entrada
Sinal de
Saída
Ponto
de rama

diagramas de bloco
Diagrama de bloques em malha fechada: A seguir se mostra o diagrama de
blocos de um sistema de controle em malha fechada.
Fig. 6
R(s) C(s)
G(s)
E(s)
+
-
Ponto de
soma Ponto de
rama

diagramas de bloco
Como funciona o sistema?: O sinal de referencia ou valor desejado na
saída R(s) continuamente se compara por diferencia no ponto se suma com o
sinal de saída C(s) realimentada para obter-se o sinal de erro E(s) sobre o
qual atua o controlador para exercer um sinal corretora que compensa
qualquer efeito perturbador sobre o sinal de saída.
Neste caso o sinal de saída compara-se diretamente com o sinal de
referencia, se disse então que um feedback é unitário.
Mas, geralmente o sinal de saída, velocidade, temperatura, fluxo, nível, etc.
são sinais de engenharia que precisas ser convertidas a sinal elétrica ou
pneumática, nos controladores reais.
De modo que o diagrama de bloco do sistema realimentado é da forma que se
mostra a seguir na Fig. 7.

diagramas de bloco
Onde o sinal de feedback é representado por H(s), diferente de 1. Este é o
caso mais geral de sistema realimentado.
Fig. 7.
Agora o sinal de feedback é B(s) que segui sendo da mesma natureza que
R(s) (voltagem, corrente, etc.) não é uma magnitude de engenharia
(temperatura, pressão, etc.)
Neste caso H(s) é a FT do passo de feedback, enquanto que G(s) é a FT do
passo direto entre o erro E e a saída C.
R(s) C(s)
G(s)
E(s)
+
-
H(s)
B(s)

de bloco
Função transferencial em malha abertas e função transferencial do passo direto: De
acordo com a Fig. 7 se tem:
(10)
E
(11)
Se o feedback é unitário H(s) = 1 e ambas funções de transferência coincidem.
)()(
)(
)(
sHsG
sE
sB
abertamalhadacialtransferenFunção 
)(
)(
)(
sG
sE
sC
diretopasodocialtransferenFunção 

diagramas de bloco
Função transferencial em malha fechada: Para o sistema da Fig. 7 se tem:
(12)
(13)
Substituindo (13) em (12) resulta:
(14)
De onde resulta:
(15)
Que recebe o nome de FT de malha fechada e fica dada por FT do passo direto/1+FT
da malha aberta
)()()( sEsGsC 
)()()()()()( sCsHsRsBsRsE 
)()()()()()( sCsHsGsRsGsC 
)()(1
)(
)(
)(
sHsG
sG
sR
sC



de bloco
Sistema em malha fechada submetido a distúrbio: Seja o sistema em malha
fechada amostrado na Fig. 8 com o distúrbio D(s):
Considerando a referencia zero (R=0) e aplicando o concepto de FT de malha
fechada, dado anteriormente, resulta para a resposta ao distúrbio:
(15)
)()()(1
)(
)(
)(
21
2
sHsGsG
sG
sD
sCD


R(s)
D(s)
G1(s) G2(s)
H(s)
+
-
+
+ C(s)
H(s)

diagramas de bloco
De igual forma, considerando D(s) = 0, resulta para a resposta do sistema ao
sinal de referencia R(s):
(16)
A resposta a amos sinais R e D fica dada por:
(17)
De (15) vemos que se: G1(s)H(s)>>1e G1(s) G2(s)H(s) >>1, então a
resposta ao distúrbio CD(s)/D(s)  0
Por outro lado, de (16) vemo-nos que a FT em malha fechada CR(s)/R(s) 
1/H(s) quando G1(s)G2(s)H(s) >>1
)()()(1
)()(
)(
)(
21
21
sHsGsG
sGsG
sD
sCR


 )()()(
)()()(1
)(
)()()( 1
21
2
sDsRsG
sHsGsG
sG
sCsCsC DR 



diagramas de bloco
Obtenção de FTs mediante MatLab: No análise de sistemas de controle
normalmente se precisa calcular FTs que ficam em cascata, em paralelo ou
formando uma malha fechada.
O Mat Lab permite permite realizar esses cálculos de maneiram muito
simples. Vejamos:
Suponhamos duas FT dadas por:
Os coeficientes dos polinomios num e den se expresam em MatLab como
segui:
>> num = [b0 b1 b2 bm];
>> den = [a0 a1 a2 an];
2den
2num
)s(G;
1den
1num
)s(G 21 

diagramas de bloco
Então:
>> G1 = tf(num1, dem1);
>> G2 = tf(num2, den2);
Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em cascata:
>>[num, den] = series(mim1,den1,mum2,den2);
Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em paralelo:
>>[num, den] = parallel(mim1,den1,mum2,den2);
Para obter a FT equivalente de G1 e G2 em malha fechada (G2 no passo de
feedback):
>>[num, den] = feedback(mim1,den1,mum2,den2);

diagramas de bloco
Procedimento para o riscado do diagrama de bloco: Procede-se da
seguinte maneira:
1) Se elabora o modelo matemático no domínio temporal a partir das leis
físicas ou outro procedimento.
2) Se lineariza o modelo para obter outro modelo equivalente num entorno
pequeno das variáveis (modelo em variações).
3) Se transforma o modelo ao domínio da frequência complexa a traves da T.
de Laplace ou da transformada Z se o modelo é discreto no tempo (não
continuo).
4) Se procede a riscar o diagrama de fluxo de sinais ou o diagrama de bloco
seguindo os preceito e regras dadas para isso.
Vejamos um exemplo.

Representação mediante diagramas de bloco
Obter o diagrama de bloco do quadrupolo RC mostrado a seguir:
1) Modelo: Aplicando as lei de voltagem de Kirchhoff na malha fechada do
circuito se tem:
Num capacito à carga elétrica nas placas é proporcional a voltagem, portanto:
ei
eo
R
C
i
R
tete
titetRite oi
oi
)()(
)()()()(


C
dtti
tetCedtti oo

 
)(
)()()(

Representação mediante diagramas de bloco
2) Neste caso o modelo é linear, portanto o modelo linearizado em termos das
variações coincide com o modelo original.
3) Transformando pelo Laplace ambas os equações:
4) Representando a primeira equação no diagrama de bloco:
Representando a segunda equação:
R
sEsE
sI oi )()(
)(


Cs
sI
sEo
)(
)( 
R
1Ei(s) I(s)
Eo(s)
+
-
R
1
Eo(s)I(s)

Representação mediante diagramas de
bloque
Unindo ambos diagramas:
R
1Ei(s) I(s) Eo(s)
+
- Cs
1

Regras de redução dos diagramas de bloco
Existem regras muito simples que foram estabelecias por Mason (1953) as
quais permitem simplificar as relações causa efeito entre as variáveis de um
digrama de fluxo de sinais ou diagrama de bloco. Na tabela seguinte se
mostram as regras principais.

Regras de redução dos diagramas de bloque
Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Vejamos
primeiramente algumas definições e conceitos:
Nodo: É qualquer variável no diagrama de bloco o de fluxo de sinais. Se a variável
representa um sinal de entrada então o nodo correspondente se diz nodo de entrada;
se a variável é um sinal se saída então o nodo se diz de saída ou vértice.
Enlace ou rama (linking): É toda linha que partindo de um nodo fonte se dirige a um
nodo vértice ou saída indicando com uma seta o sentido do fluxo do sinal. Associado a
cada rama ou enlace está sempre uma FT que recebe o nome de transmitância da
rama.
Trajetória direita entre dois nodos: É toda sequência de ramas que partindo de um
nodo, mantendo o sentido do fluxo do sinal, alcança a outro nodo sem passar por um
mesmo nodo mais de uma vez.
Ganho de trajetória direita: É o produto dos ganhos ou transmitâncias dos enlaces o
ramas que formam a trajetória direita em questão.
Malha fechada: É toda sequencia de enlaces ou ramas que, mantendo o fluxo do sinal
(sentido da seta) e partindo de um nodo retorna ao mesmo nodo.

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais:
Vejamos primeiramente algumas definições e conceitos:
Ganho da trajetória fechada: É o produto das transmitâncias das ramas que
a formam.
Formula generalizada de Mason para o ganho entre um nodo vértice e
um nodo fonte: Seja Y(s) a vaiável que representa o nodo vértice e seja X(s)
a variável que representa o nodo fonte, ambas no domínio da frequência
complexa s, então:
(18)
Onde; Gk representa o ganho da trajetória direta k entre o nodo fonte e o nodo
vértice. Supõe-se que há N trajetórias direitas entre Y e X.




N
k
kkG
sX
sY
sGGanho 1
)(
)(
)(

: É o determinante do sistemas de equações que representam ao modelo do
sistema na frequência e fica dado por:
(19)
 
...
,
1
entesuscesivamassime
possiveisscombinaçõeas
toudasoconsierandseentretoquemsenãoquediagramado
fechadasmalhasduasdeganhosdosprodutosdos
possiveisscombinaçõeas
toudasoconsierandseentretoquemsenãoquediagramado
fechadasmalhasduasdeganhosdosprodutosdos
diagramadofechadasmalhasastoudasdeganhos






























k: É o valor que toma  quando toda o diagrama que toca a trajetória direita
Gk fica eliminada.
Exemplo: Dado o sistema de controle cujo diagrama de bloques se mostra a
seguir:
a) Encontrar a relação C/R aplicando a regras de simplificação.
b) Encontrar C/R aplicando a formula de Mason para o ganho.

a) Calculo de C/R aplicando a regras de simplificação.
Movendo o ponto se soma do laço contendo H2 para a esquerda (regra 1) se
tem:

Resolvendo a malha fechada G1,G2,H1 tem-se:
Resolvendo a malha fechada G1G2/(1-G1G2H1), G3, H2/G1 se tem:

Classificação dos sistemas de controle
Os controladores industrias se classificam como segui:
1. Controladores de duas posições ou on-off.
2. Controladores proporcionais.
3. Controladores integrais.
4. Controladores Proporcional-Integrais (PI).
5. Controladores proporcional-derivativos (PD).
6. Controladores proporcional-integral-derivativos (PID).
Controle on-off:
u(t) = U1, pata todo e(t) > 0
u(t) = U2, para todo e(t) < 0
u1
u2
ue
-
+

Controladores proporcionais:
u(t) = Kpe(t)
Kp : constante de proporcionalidade o ganho do controlador.
Controladores integrais:
Onde Ki é constante ou ganho integral.
Controladores proporcionais mais integrais:
s
K
)s(E
)s(U
dt)t(eK)t(u i
t
0
i  






  sT
1
1K
)s(E
)s(U
dt)t(eK)t(eK)t(u
i
p
t
0
ip

Controladores proporcionais mais derivativo:
Controladores proporcionais mais interativo mais derivativo:
 sT1K
)s(E
)s(U
dt
)t(de
TK)t(eK)t(u dpdpp 






  sT
sT
1
1K
)s(E
)s(U
dt
)t(de
TKdt)t(e
T
K
)t(eK)t(u d
i
pdp
t
0
i
p
p
E(s)  
sT
sTTsT1K
i
2
diip  U(s)
+
-

Resolvendo a malha fechada G1G2G3, 1 tem-se:
Finalmente:
b) Aplicando a fórmula de Mason:
Segundo (18):
321232121
321
1 GGGHGGHGG
GGG
R
C






N
k
kkG
sR
sC 1
)(
)(

Formula generalizada de Mason para a ganancia entre dois sinais: Neste
caso há só uma trajetória direita entre R e C, portanto N = 1. Essa trajetória esta
formada pelas ramas: G1,G2 e G3. Seu ganho é: G1G2G3
O sistema tem três malhas fechadas, cujos ganhos são: G1G2H1, G2G3H2 e
G1G2G3.
Portanto o determinante do sistema está dado segundo (19) por:
Quando elimina-se a única trajetória que existe não fica nenhuma malha fechada.
Portanto:
1 = 1-0 = 1
Portanto substituindo valores:
Observe-se a coincidência de ambos os resultados.
  32132121321232121 11 GGGHGGHGGGGGHGGHGG 
321232121
321
1)(
)(
GGGHGGHGG
GGG
sR
sC



BIBLIOGRAFIA
Ogata, K.; Engenharia de Controle Moderna,
Cap. 3, pags. 57 -70
Rodriguez Borroto, M. A.; Conferencia 2, notas
de aula.

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