SISTEMAS LINEARES E ESCALONAMENTO COMPLETA.pptx

1. E
SC
A
LO
N
A M
ENTO
SISTEMAS LINEARES

2. Dona Chica foi a feira e
comprou 1 abacaxi, 2 pencas
de bananas e 3 carambolas
gastando, no total, R$260.
Seu Juca foi a mesma feira e
comprou 2 abacaxis, 1 penca de
bananas e 1 carambola gastando
R$150.
Gigi comprou 4 abacaxis, 3 pencas
de bananas e 1 carambola
gastando R$290.
Qual o valor de cada fruta?

3. Equação linear
a1x1 + a2x2+ a3x3 + ... + anxn = b
a1, a2, a3, ... , an são números reais, que recebem o nome
de coeficientes das incógnitas x1, x2,x3, ... , xn,
b é um número real chamado termo independente

4. Equação linear
•
EXEMPLOS: CONTRA-
EXEMPLOS:

5. Sistema Linear
Conjunto de duas ou mais equações lineares

6. Sistema Linear
Em um sistema, cada incógnita deverá ter, pelo menos, uma
equação associada a ela.
Assim, só se resolve um sistema se o número de equações
for maior ou igual ao número de incógnitas, isto é, se existir
100 incógnitas, deverá existir, pelo menos 100 equações.
Cada sistema recebe uma classificação quanto ao número
de soluções.

7. Classificação de um sistema
linear
SPD – Sistema Possível e Determinado
Quando cada uma das incógnitas assume um único valor, isto
é, o sistema tem uma ÚNICA SOLUÇÃO.
x + y = 10
2x + y = 13
x = 10 - y
20 - 2y + y = 13 ⟹ y = 7
⟹ x = 10 – 7 ⟹ x = 3

8. Classificação de um sistema
linear
SPI – Sistema Possível e Indeterminado
Quando cada uma das incógnitas pode assumir mais de um
valor, isto é, o sistema é possível, mas não se pode determinar,
pois tem INFINITAS SOLUÇÕES.
x + y = 2
2x + 2y = 4
Quando as outras equações são combinações lineares de
outra, tem-se um SPI !
S = {(1, 1); ( ½ , 3/2); (3/2, ½); ...}

9. Classificação de um sistema
linear
SI – Sistema Impossível
Quando as incógnitas assumem valores absurdos,
isto é, o sistema NÃO TEM SOLUÇÃO.
x + y = 2
x + y = 5

10. Forma matricial de um sistema
Todo sistema de equações pode ser representado por um produto de
duas matrizes (a primeira dos coeficientes numéricos e a segunda das
incógnitas) resultando numa terceira matriz (dos termos
independentes).

11. Solução de um sistema linear
Em um sistema de muitas equações e variáveis, a maneira mais
simples de resolver é transformá-lo em uma matriz e zerar
todos os coeficientes abaixo da diagonal principal.
Isso faz com que a matriz final dos coeficientes fique na forma
de uma ESCADA, ou seja, ESCALONADA.
Quando a matriz está escalonada, o sistema fica muito mais
simples de ser resolvido.

12. Solução de um sistema linear
MATRIZ
ESCALONADA:
Diagonal
principal

13. Solução de um sistema linear
MATRIZ
ESCALONADA:
⟹
SISTEMA LINEAR
ASSOCIADO À
MATRIZ:

14. PROPRIEDADES DE EQUIVALÊNCIA ENTRE SISTEMAS
 Trocar de posição, entre si, duas equações do sistema.
 Multiplicar (ou dividir) os dois membros de uma equação do sistema por
uma constante não-nula.
 Substituir uma equação pela soma, membro a membro, dela com outra
equação, podendo ser ambas multiplicadas, antes por uma constante real
não-nula.

15. MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
Ensino Médio, 2º ano
Sistemas Lineares

16. EXEMPLO
Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:

17. EXEMPLO
Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:

18. EXEMPLO
Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:
Multiplicamos a primeira equação por -2.
Somamos termo a termo com a segunda equação, que será substituída pelo resultado

19. EXEMPLO
Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:
Multiplicamos a primeira equação por -2.
Somamos termo a termo com a segunda equação, que será substituída pelo resultado

20. Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:
A primeira equação continua original. O sistema neste ponto está assim:
Multiplicamos a primeira equação por -3.
EXEMPLO

21. Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:
EXEMPLO
Somamos termo a termo com a terceira, que será substituída pelo resultado.

22. Obtenha uma forma escalonada do sistema e o classifique:
EXEMPLO
Como a última linha é
uma igualdade
verdadeira do tipo 0=0,
o sistema é possível e
indeterminado, SPI.

23. EXEMPLO
 Escalonar, discutir e resolver, se possível, o sistema
2x – y = 5
x + 3y = 1
3x – y = 4
2 –1 5
1 3 1
3 –1 4
Associando o sistema a uma matriz temos:

24. 7
–70
0
30
–70
0
1
3
1
–23
0
0
30
–70
0
1
3
1
 A matriz está escalonada.
 A última linha representa a equação 0x + 0y = –23 → SI
2 –1 5
1 3 1
3 –1 4
1 3 1
2 –1 5
3 –1 4
4
–1
3
3
–7
0
1
3
1
1
–10
0
3
–7
0
1
3
1
x(-2)
+
x(-3)
+

 x10
x7

X(-1)
+

25.  Suponhamos o sistema linear
a1x + b1y = c1
a2x +b2y = c2
a1 b1
a2 b2
D = = a1.b2 – a2.b1
c1 b1
c2 b2
Dx = = c1.b2 – c2. b1
a1 c1
a2 c2
Dy = = a1. c2 – a2.c1
x =
Dx
D
REGRA DE CRAMER
 Processo de resolução de sistemas lineares por meio de
determinantes.
y =
Dy
D

26. REGRA DE CRAMER

27. EXEMPLO
 Resolver o sistema linear utilizando a regra de Cramer.
3x + y = 5
5x – 2y = 12
3 1
5 –2
D = = 3.(–2) – 1.5
5 1
12 –2
Dx = = 5.(–2) – 1.12
3 5
5 12
Dy = = 3.12 – 5.5
= –11
= –22
= 11
→ x =
–22
–11
→ y =
11
–11
= 2
= –1
Dx
D
=
Dy
D
=

28. QUESTÕES

29. 1) (Fuvest-SP) Carlos e sua irmã Andreia foram com seu cachorro Bidu à
farmácia de seu avô. Lá, encontrara uma velha balança com defeito que só
indicava corretamente pesos superiores a 60kg. Assim eles pesaram dois a
dois e obtiveram as seguintes marcas:
• Carlos e o cão pesam, juntos, 87 kg;
• Carlos e Andreia pesam 123 kg;
• Andreia e Bidu pesam 66 kg.
Podemos afirmar que:
a) Cada um deles pesa menos que 60 kg.
b) Dois deles pesam mais que 60 kg.
c) Andreia é a mais pesada de todas.
d) O peso de Andreia é a média aritmética dos pesos de Carlos e Bidu.
e) Carlos é o mais pesado que Andreia e Bidu juntos.

30. 2) (Osec – SP) O sistema linear :
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A.














7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x

31. 2) (Osec – SP) O sistema linear :
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A.














7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x

32. 2) (Osec – SP) O sistema linear :
a) admite solução única
b) admite infinitas soluções
c) admite apenas duas soluções
d) não admite solução
e) N.D.A.














7
2
4
9
4
3
2
2
2
z
y
x
z
y
x
z
y
x