O documento discute o método de discussão de sistemas lineares. Apresenta exemplos de como classificar sistemas em SPD, SPI ou SI analisando os parâmetros dos coeficientes. Demonstra a resolução passo a passo de dois exemplos que ilustram como determinar a classificação do sistema em função dos parâmetros.

1. MINISTÉRIO DA EDUCAÇÃO
SECRETARIADEEDUCAÇÃOPROFISSIONAL
ETECNOLÓGICAINSTITUTO FEDERAL DE EDUCAÇÃO,CIÊNCIA
ETECNOLOGIADE RONDÔNIA
DAMYSSON HENRIQUE
DANIEL OSAWA
ELITON TRINDADE
LUCAS FERNANDES
3º A INFORMÁTICA
MATUTINO
DISCUSSÃO DE UM SISTEMA LINEAR
Ji-Paraná, 2012.

2. Introdução
Os sistemas lineares tratam-se de uma relação entre duas ou mais equações que
possuem a mesma solução ou mesmo um conjunto de soluções que permitem a essas
equações receberem uma classificação. Porém vê-se a existências de algumas equações
que possuem coeficientes com parâmetros desconhecidos, indeterminados, que só
podem ser resolvidos através do método de discussão de um sistema linear. Este
trabalho tem por objetivo mostrar o que é e como se faz a discussão de um sistema
linear para que se consiga classificar os sistemas em SPD, SPI ou SI, mostrando
didáticas de diferentes autores sobre o assunto e apresentando alguns exemplos que
auxiliarão no melhor entendimento de todoconteúdo abordado.

3. Discussão de um Sistema Linear
A discussão de um sistema linearconsiste basicamente na análise das possíveis
soluções através de um conjunto de valores que são atribuídos a alguns parâmetros de
um sistema. Depois de escalonado é possível verificar quais são os valores dos
parâmetros e utilizá-los para assim definir a classificação do sistema, ou seja, verificar
para quais valores ele é SPD (Sistema Possível e Determinado) onde apresenta apenas
uma solução, SPI (Sistema Possível e Indeterminado) apresenta mais de uma solução ou
SI (Sistema Impossível) onde não há solução(YOUSSEF; SOARES; FERNANDEZ,
2011, p. 193).Podemos observar que a discussão do sistema linear é verificar os
coeficientes que constituem as equações,verificando quais os parâmetros que são
desconhecidos, para assim utilizando o método de discussão do sistema linear, analisar
os parâmetros e determinar para quais valores eles se adequarão a uma das três
classificações (SPD, SPI ou SI). Os autores trazem alguns exemplos que abrangem dois
problemas diferentes que podem ser resolvidos através da discussão de um sistema
linear com suas respectivas soluções, que nos auxiliam a entender na prática como se dá
o método de discussão e quais soluções ele nos apresenta. Veja abaixo os problemas e
suas respectivas soluções segundo (YOUSSEF; SOARES; FERNANDEZ, 2011, p.
193).
R10. Discuta, em função do parâmetro a, o sistema
Resolução:
Inicialmente escalonamos o sistema efetuando as transformações lineares
indicadas:
1) Se a-2 ≠ 0, então y= -2/(a-2) = 2 /(2-a) e substituindo na primeira equação,
achamos x (também em função de a):
x + y =4 x + 2 /(2-a) = 4 x = 4- 2/(2-a) (8-4ª-2) / (2-a)
x= (6-4a) / (2-a)
Então: Para cada a ≠ 2, o par ((6-4a)/(2-a) , 2/(2-a) ) é solução da equação. Note que
essa solução depende de a, mas para cada a fixado ela é única. Portanto, para a ≠ 2 o
sistema é Possível e Determinado.
X + y = 4
2x + ay = 6
X + y = 4
2x + ay = 6
X (-2)
X + y = 4
(a-2)y = -2

4. 2) Se a – 2 = 0 (ou seja, a =2), temos, na segunda equação (a-2)y = -2, ou seja, 0.y=-2, o
que é impossível. Logo, para a=2, o sistema é Impossível (não existem valores de x e y
que satisfaçam simultaneamente às duas equações).
Resumindo, temos :
1) a ≠ 2 – Sistema Possível e Determinado com soluções x= (6-4a) / (2-a) e y=2 /(2-a).
2) a = 2 – Sistema Impossível.
R12. Determine m E R de modo a se admitir apenas a solução trivial para o sistema
homogêneo:
Resolução
Para que o sistema admita apenas uma solução trivial, ele deve ser Possível e
Determinado. Para isso:
2m + 2 ≠ 0 m ≠ -1
S = {m E R | m ≠ -1 }
“A discussão dos sistemas lineares consiste em analisar parâmetros dos
coeficientes em relação ao determinante da matriz que representa os coeficientes das
equações; e, através desses parâmetros, classificar os sistemas quanto às suas soluções.”
(OLIVEIRA,A. Gabriel.Discussão e análise do sistema linear. Em:
<http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm>. Acesso
em: 05 de julho de 2012.). Segundo o autor um sistema linear trata-se de uma relação
existente entre duas ou mais equações que compartilham a mesma solução, ou seja,
possuem uma solução ou mesmo um conjunto de soluções que satisfazem todas as
equações simultaneamente, e através destas soluções classifica-se a equação em SPD
3x – my = 0
6x + 2y = 0
3x – my = 0
6x + 2y = 0
X (-2)
3x – my = 0
(2m + 2)y = 0

5. (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema Possível e Indeterminado) ou SI
(Sistema Impossível). Mas segundo ele, algumas equações possuem coeficientes com
valores desconhecidos, indeterminados, e utilizamos a discussão de um sistema linear
para determinar para quais valores o sistema pode ser classificado em SPD, SOI ou SI.
A classificação do sistema linear é feita de acordo com seu determinante, ou
seja, classifica-se um sistema de acordo com o determinante dos coeficientes das
equações que o compõem. O autor apresenta um exemplo que nos auxiliará no melhor
entendimento.
Uma matriz 2x2.
Portanto, nossa análise será pautada no determinante da matriz dos coeficientes.
D =
De acordo com o determinante D, teremos as seguintes situações:
Se D ≠ 0, então Sistema Possível e Determinado.
Se D = 0, então Sistema Possível e Indeterminado.
Os coeficientes podem estar em forma de incógnitas, e através dessas incógnitas
poderemos determinar parâmetros para o determinante. Veja no exemplo.
1- Discuta o sistema, analisando quais são os valores m e k.
Teremos que analisar o valor do determinante D e analisar os parâmetros.
D = D ≠ 0 4m -24 ≠ 0 m ≠ 6 D = 0 m = 6
Concluindo assim que para obtermos um Sistema Possível e Determinado é necessário
que m tenha um valor diferente de 6. Porém se m = 0, teremos D = 0, então devemos
determinar a classificação desse sistema em SPI ou SI.
Substituindo o m por 6, teremos o seguinte:
ax + by = k
cx + dy = w
=
a b
c d
.
x
y
=
k
w
a b
c d
mx + 4y = 2
6x + 4y = k
a b
c d
6x + 4y = 2
6x + 4y = k

6. Escalonando o sistema, teremos:
Com a equação 1 obtemos duas possibilidades:
1 - O valor de k satisfaz a equação (1), ou seja: para k=2 teremos 0=0, e com isso o
sistema se reduz apenas à primeira equação, obtendo, assim, um Sistema Possível
Indeterminado (SPI).
2 - Caso o valor de k seja diferente de 2, teremos uma equação falsa, que nunca será
satisfeita, como por exemplo (0 =1), caracterizando então um Sistema Impossível.
Para concluir a discussão do autor, temos três possibilidades:
Se m ≠ 6, Sistema Possível e Determinado (SPD).
Se m = 6 e k = 2, Sistema Possível e Indeterminado (SPI).
Se m = 6 e k ≠ 2, Sistema Impossível (SI).
Discutir um sistema linear consiste basicamente em analisar as hipóteses para
que ele seja classificado em SPD (Sistema Possível e Determinado), SPI (Sistema
Possível e Indeterminado) ou SI (Sistema Impossível). Utilizando a Regra de Cramer
pode-se fazer a discussão somente de sistemas que sejam quadrados, de acordo com o
determinante da equação o sistema terá a sua classificação. Pois se o D ≠ 0 o sistema é
SPD, se o D = 0 o sistema poderá ser SPI ou SI. (TOMIO, C. Júlio. Sistemas de
Equações Lineares. Em: <
http://www.joinville.ifsc.edu.br/~julio.tomio/Outros%20Materiais/Mat%20Ensino%20-
%20Sistemas%20Lineares%202011-02-01.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2012.).O autor
nos apresenta outra forma de como se discutir um sistema linear, que trata-se do
métodode escalonamento. Ele afirma que discutir um sistema linear consiste em analisar
a e avaliar as hipóteses para que este seja classificado em SPD, SPI ou SI. No caso de
um sistema escalonado, tem-se geralmente na última equação apenas uma incógnita.
Observe no exemplo a seguir, onde temos a incógnita “z”.
Fazendo a análise da equação m.z=k temos:
Se m ≠ 0 e kE R, então o sistema é SPD (Sistema Possível e Determinado).
Exemplo: 2z = 8 z = 4.
Se m = 0 e k= 0, então o sistema é SPI (Sistema Possível e Determinado).
Exemplo: 0z = 0 z pode assumir qualquer valor real.
Se m = 0 e k≠ 0, então o sistema é SI (Sistema Impossível).
Exemplo: 0z = 7 não existe valor real paraz.

7. O autor trata também de um assunto especial que são os sistema lineares homogêneos,
que tratam-se dos sistema lineares compostos por equações homogêneas cujos termos
independentes são nulos. Ele demonstra a forma de como se fazer a discussão de um
sistema linear homogêneo através dos dois métodos mostrados anteriormente, o da
Regra de Cramer e o do Escalonamento.
Primeiramente veremos como se resolver através da Regra de Cramer:
Discutir um sistema linear homogêneo consiste em avaliar as hipóteses para que ele seja
SPD, SPI ou SI. Pela Regra de Cramer as soluções são dadas da seguinte forma:
D=Determinante
Se D ≠ 0, o sistema possui somente a solução trivial, s={(0,0,0)}. Então o sistema é
classificado como SPD.
Se D = 0, o sistema possui solução trivial, ainda infinitas soluções denominadas
“próprias”. Portanto o sistema é classificado como SPI.
Agora veremos como é feita através do Escalonamento:
Para um sistema escalonado teremos geralmente uma incógnita, neste caso utilizaremos
como exemplo a incógnita z. Analisaremos a equação do sistema escalonado m.z = 0.
Se m ≠ 0 , o sistema é SPD, possui uma única solução.
Exemplo: 3z = 0 z = 0.
Se m = 0, o sistema é SPI, pode assumir infinitas soluções.
Exemplo: 0z = 0 z pode assumir qualquer valor real.
Uma informação importante é que um sistema linear homogêneo jamais terá a
classificação SI (Sistema Impossível), pois ele sempre terá uma solução trivial.

8. Exemplos
1. Discuta, em função dos parâmetros a e b, o sistema:
Resolução:
Inicialmente, escalonamos o sistema efetuando as transformações lineares indicadas:
Se (a-2) ≠ 0, o sistema é Possível e Determinado.
Se (a-2) =0 e b – 4=0, a segunda equação reduz-se à identidade 0.y=0. O sistema é
Possível e Indeterminado.
Se (-a -2) =0 e b - 4 ≠ 0, o sistema é Impossível, pois a segunda equação reduz-se a
sentença falsa.
Resumindo:
a ≠ -2 sistema Possível e Determinado
a = -2 e b – 4 = 0 sistema Possível e Indeterminado
a = -2 e b – 4 ≠ 0 sistema Impossível
2. Discuta o sistema avaliando os valores de k.:
Vamos calcular o valor do determinante D.
D = 2k – 8.
Se D ≠ 0 2k – 8 ≠ 0
Se D = 0 2k – 8 = 0
D ≠ 0 2k – 8 ≠ 0 k ≠ 4.
2x + 2y =6
4x + ky = 4
X + ay = 4
x-2y = b
X (-1)
x + ay = 4
(-a-2)y = b - 4
X + ay = 4
x-2y = b

9. Através desta resolução observa-se que para qualquer valor de k ≠ 0, teremos um
sistema SPD (Sistema Possível e Determinado).
Já para descobrir os valores que geram SPI ou SI, deve-se substituir o resultado de k e
através deste analisar o sistema.
D = 0 2k – 8 = 0 k = 4.
Substituindo o sistema tem-se:
Divide-se a segunda equação por dois e faz-se a análise do sistema:
Ao analisar a equação observa-se que as equações são iguais, porém os resultados são
diferentes, ou seja, as equações não estão coerentes, não batem, sendo assim conclui-se
que o sistema é SI (Sistema Impossível).
A solução do sistema de acordo com o coeficiente k fica da seguinte forma:
Se m ≠ 4, o sistema é SPD (Sistema Possível e Determinado).
Se m = 4, o sistema é SI (Sistema Impossível).
2x + 2y =6
4x + 4y = 4
2x + 2y =6
4x + 4y = 4 / (2)
2x + 2y =6
2x + 2y = 2

10. Conclusão
Com este trabalho conclui-se que a discussão de um sistema linear trata-se de
um método eficiente e eficaz de extrema importância para os sistemas lineares, pois
auxilia na resolução de sistemas cujos coeficientes são desconhecidos, determinando
assim suas soluções. Observa-se também que cada autor utiliza uma didática diferente
da outra para a resolução dos exercícios, promovendo assim uma amplitude maior nas
formas de se resolverem os problemas relacionados a este conteúdo, auxiliando na
promoção de um maior entendimento por parte das pessoas, promovendo assim um
aumento do número pessoas inseridas no assunto, aumentando as chances de se criarem
novas didáticas e maneiras de se resolverem ao atuais problemas da discussão de um
sistema linear.

11. Referências
YOUSSEF, A.; SOARES, E.; FERNANDEZ,V.Matemática: Ensino Médio, 1. ed. São
Paulo: Ed. Scipione, 2011.
OLIVEIRA, A. Gabriel. Discussão e análise do sistema linear. Em:
<http://www.brasilescola.com/matematica/discussao-analise-sistema-linear.htm>. Acesso
em: 05 de julho de 2012 as 01:24:33.
TOMIO, C. Júlio. Sistemas de Equações Lineares. Em: <
http://www.joinville.ifsc.edu.br/~julio.tomio/Outros%20Materiais/Mat%20Ensino%20-
%20Sistemas%20Lineares%202011-02-01.pdf>. Acesso em: 07 de julho de 2012 as
11:30:52.
OLIVEIRA, A. Gabriel. Discussão de um sistema linear. Em:
<http://www.alunosonline.com.br/matematica/discussao-um-sistema-linear.html>. Acesso
em: 05 de julho de 2012 as 01:20:12.
Disponível em: <www.lo.unisal.br/sistemas/.../Sistemas%20Lineares%20Final.doc>.
Acesso em: 09 de Julho de 2012 as 01: 55: 28.