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Prof.: Rodrigo Carvalho
ANÁLISE
COMBINATÓRIA
Prof.: Rodrigo Carvalho
A análise combinatória é a parte da matemática
que estuda a quantidade de possibilidades de
ocorrência de um acontecimento, sem que haja a
necessidade de descrever todas as possibilidades de
ocorrência.
Para explicarmos esse estudo podemos fazer uma
análise da situação descrita a seguir.
Trata-se de um ramo matemático com parte
teórica relativamente curta, sendo sua maior
dificuldade a interpretação dos problemas propostos
envolvendo diferentes situações de contagem.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Consideremos a figura abaixo, em que temos
parte da planta de um bairro. Uma pessoa deve
caminhar de sua casa à escola onde estuda, usando
um dos caminhos mais curtos, isto é , ela só poderá
caminhar “da esquerda para a direita”ou “de baixo
para cima”. Quantos são os possíveis caminhos
diferentes para esse percurso?
Prof.: Rodrigo Carvalho
Para resolvermos esse problema, a primeira idéia
que temos é a de tentarmos descrever todos os caminhos
possíveis, o que facilmente descartamos dada a grande
quantidade de possibilidades.
Esse e muitos outros problemas serão resolvidos
através de regras de contagem, que não exigem a
descrição das possibilidades, isto é, descobrimos
quantas são sem necessariamente sabermos quais.
Prof.: Rodrigo Carvalho
PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA
CONTAGEM (PFC)
Exemplo: Uma pessoa possui dois pares de
sapatos, três calças e duas camisas. De quantas
maneiras distintas essa pessoa pode se vestir
usando um par de sapatos, uma calça e uma
camisa?
Prof.: Rodrigo Carvalho
A regra que utilizamos para resolver uma
situação como a proposta é a do Princípio
Fundamental da Contagem (PFC), que pode ser
enunciada genericamente do seguinte modo:
Se um acontecimento pode ser analisado em
etapas sucessivas e independentes de modo que:
Então n1 · n2 · n3 · ...· nk é o número de
possibilidades de ocorrência do acontecimento.
- n1 é o número de possibilidades na 1a etapa;
- n2 é o número de possibilidades na 2a etapa;
......................................................................
- nk é o número de possibilidades na k-ésima etapa.
Prof.: Rodrigo Carvalho
No exemplo inicial, teríamos:
Par de sapatos Calça Camisa
2 3 2x 12=x
Logo, existem 12 maneiras distintas para essa
pessoa se arrumar utilizando uma peça de cada
tipo.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Outros exemplos:
Ex1: Uma sala possui dez portas. De quantas
maneiras distintas uma pessoa pode:
a) Entrar e sair dessa sala?
b) Entrar na sala e sair por uma porta diferente da
que entramos?
Ex2: Numa competição de ciclismo, há 7 atletas.
Sabendo que não pode haver empate, de quantas
maneiras distintas podemos ter os três primeiros
colocados?
Prof.: Rodrigo Carvalho
Ex3: No crachá de identificação dos funcionários de
uma empresa, cada funcionário é representado por
uma sequência constituída por 2 vogais e 3
algarismos distintos, nesta ordem. Quantos
funcionários podem ser registrados dessa forma?
Ex4: Num jogo de cara ou coroa, uma moeda é
lançada sucessivamente 3 vezes. Quantas são as
possíveis sequências para esse evento?
Prof.: Rodrigo Carvalho
Ex5: Para ir de uma cidade A para uma cidade B, há 3
caminhos possíveis, e da cidade B para a C, 5 vias
possíveis. Determine:
a) O número de possibilidades de irmos da cidade
A até a cidade C, passando por B.
b) O número de possibilidades de irmos da cidade
A até a cidade C, voltando à A, passando por B na
ida e na volta.
c) O número de possibilidades de irmos da cidade A
até a cidade C, voltando à A, passando por B na ida
e na volta, sem usar na volta as mesmas vias da
ida.
Prof.: Rodrigo Carvalho
*OBS: Princípio da preferência
Se uma situação de contagem trouxer alguma
restrição(uma condição especial), a primeira etapa
deverá sempre satisfazer tal restrição. Se houver mais
de uma restrição, daremos preferência para iniciar a
contagem do ponto em que a restrição for maior.
Ex1: Usando apenas os algarismos 1, 2, 6, 7 e 8,
quantos números pares de três algarismos distintos
podemos representar?
Ex2: Duas moças e três rapazes vão formar uma fila.
De quantas maneiras a fila pode ser formada, se no
meio da fila deve sempre ficar uma moça?
Prof.: Rodrigo Carvalho
FATORIAL (!)
É frequente nos problemas em análise
combinatória, encontrarmos produtos com todos os
fatores partindo de um número positivo n até 1, a
exemplo de 5.4.3.2.1 . Para abreviarmos tais
multiplicações, usaremos o FATORIAL.
Definição: Sendo n um número natural, definimos
como fatorial de n, representado por n!, o produto
de todos os naturais, desde n até 1.
n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 3 . 2 . 1
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Exemplos:
2! = 2 . 1 = 2
3! = 3 . 2 . 1 = 6
4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24
5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120
6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720
Observação: Ao desenvolvermos um fatorial,
colocando os fatores em ordem decrescente,
podemos interromper o desenvolvimento de acordo
com nossa conveniência, indicando apenas o último
fator com a notação de fatorial.
*OBS: 1! = 1
0! = 1
Prof.: Rodrigo Carvalho
ARRANJOS SIMPLES (An,p)
São agrupamentos que diferem uns dos
outros pela NATUREZA ou pela ORDEM dos
elementos que os compõem.
Exemplo: Os números formados por dois
algarismos distintos escolhidos entre 1, 2 e 3
são: 12, 13, 21, 23, 31 e 32.
Os seis resultados possíveis são diferentes por
usarem algarismos diferentes(natureza) ou por
usarem os mesmos algarismos em outra
posição(ordem).
Prof.: Rodrigo Carvalho
Seja An,p o número de arranjos que podem ser
feitos com n elementos, agrupando-os p a p.
A fórmula para o cálculo do número desses
arranjos é dada por:
An,p =
n!
(n - p)!
com 0 < p < n, sendo n,p N.
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COMBINAÇÕES SIMPLES (Cn,p)
São agrupamentos que diferem uns dos
outros apenas pela NATUREZA dos elementos que
os compõem.
Exemplo: Os subconjuntos com dois elementos
escolhidos do conjunto {1 , 2 , 3} são:
{1 , 2}, {1 , 3} e {2 , 3}.
Os três resultados possíveis são diferentes
apenas pela natureza diferente de seus elementos.
Prof.: Rodrigo Carvalho
Seja Cn,p o número de combinações que
podem ser feitas com n elementos, agrupando-os p
a p.
A fórmula para o cálculo do número dessas
combinações é dada por:
Cn,p =
n!
(n - p)!.p!
com 0 < p < n, sendo n,p N.
Prof.: Rodrigo Carvalho
*Observações:
I. An,p
Cn,p =
p!
II.
III.
Cn,n = 1
Cn,0 = 1
IV. Cn,1 = n
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PERMUTAÇÕES(Pn)
São agrupamentos que diferem uns dos
outros apenas pela ORDEM dos elementos que os
compõem.
Exemplo: Os números formados por três
algarismos distintos escolhidos entre 1, 2 e 3
são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321.
Os seis resultados possíveis são diferentes
apenas pela ordem diferente de seus elementos.
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Seja Pn o número de permutações que podem
ser feitas com n elementos.
A fórmula para o cálculo do número dessas
permutações é dada por:
Pn = n!
com n N.
É importante perceber que a permutação é
um caso particular de arranjo, ou seja, é um arranjo
no qual n = p.

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(2009)
Prof.: Rodrigo Carvalho
Exercícios:
1. Para ocupar os cargos de presidente e vice-
presidente do grêmio de um colégio, candidataram-
se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser
feita essa escolha?
2. (UFPB) Um sorveteiro vende sorvetes de três
bolas, que devem ser escolhidas entre os sabores
de coco, manga, graviola, cajá, acerola, maracujá e
pitanga. Quantos sorvetes com 3 sabores distintos
podem ser feitos por esse sorveteiro?
Prof.: Rodrigo Carvalho
3. Sobre uma circunferência são marcados cinco
pontos distintos. Quantas retas distintas podemos
determinar com esses pontos?
4. De quantas maneiras distintas podemos arrumar
sete amigos em uma fila?
5. Quantos são os anagramas da palavra
VESTIBULAR que começam com a letra R?
Prof.: Rodrigo Carvalho
6. (Unifor-CE) O número natural n que satisfaz a
equação 3 + An,2 = P4 + Cn,2 é tal que:
a) 2n = 16
b)n – 1 = 5
c) n = 7
d)n = -6
e) 3n = 18
Prof.: Rodrigo Carvalho
7. De quantas maneiras distintas podemos arrumar
6 amigos numa fila, de formas que Ana e Bruno
sempre fiquem juntos?
8. Determine a quantidade de anagramas da
palavra RADIOLA que:
a) começam com R e terminam com I;
b) tenham R e I nas extremidades;
c) tenham as vogais sempre juntas;
d) tenham a sílaba DI;
e) Possuam as vogais sempre separadas.
Prof.: Rodrigo Carvalho
9. Numa empresa de tecnologia há 6 brasileiros e 4
japoneses. Quantas comissões com 5 pessoas
podem ser formadas, de maneira que sejam 3
brasileiros e 2 japoneses?
10. Uma pizzaria possui 11 sabores de pizza.
Sabendo que as pizzas possuem, no máximo, 3
sabores, quantos tipos de pizzas diferentes podem
ser feitos nessa pizzaria?
11. Um edifício possui 26 condôminos aptos a
assumirem um cargo admnistrativo. Pretende-se
eleger um síndico, um sub-síndico e três
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  • 2. Prof.: Rodrigo Carvalho A análise combinatória é a parte da matemática que estuda a quantidade de possibilidades de ocorrência de um acontecimento, sem que haja a necessidade de descrever todas as possibilidades de ocorrência. Para explicarmos esse estudo podemos fazer uma análise da situação descrita a seguir. Trata-se de um ramo matemático com parte teórica relativamente curta, sendo sua maior dificuldade a interpretação dos problemas propostos envolvendo diferentes situações de contagem.
  • 3. Prof.: Rodrigo Carvalho Consideremos a figura abaixo, em que temos parte da planta de um bairro. Uma pessoa deve caminhar de sua casa à escola onde estuda, usando um dos caminhos mais curtos, isto é , ela só poderá caminhar “da esquerda para a direita”ou “de baixo para cima”. Quantos são os possíveis caminhos diferentes para esse percurso?
  • 4. Prof.: Rodrigo Carvalho Para resolvermos esse problema, a primeira idéia que temos é a de tentarmos descrever todos os caminhos possíveis, o que facilmente descartamos dada a grande quantidade de possibilidades. Esse e muitos outros problemas serão resolvidos através de regras de contagem, que não exigem a descrição das possibilidades, isto é, descobrimos quantas são sem necessariamente sabermos quais.
  • 5. Prof.: Rodrigo Carvalho PRINCÍPIO FUNDAMENTAL DA CONTAGEM (PFC) Exemplo: Uma pessoa possui dois pares de sapatos, três calças e duas camisas. De quantas maneiras distintas essa pessoa pode se vestir usando um par de sapatos, uma calça e uma camisa?
  • 6. Prof.: Rodrigo Carvalho A regra que utilizamos para resolver uma situação como a proposta é a do Princípio Fundamental da Contagem (PFC), que pode ser enunciada genericamente do seguinte modo: Se um acontecimento pode ser analisado em etapas sucessivas e independentes de modo que: Então n1 · n2 · n3 · ...· nk é o número de possibilidades de ocorrência do acontecimento. - n1 é o número de possibilidades na 1a etapa; - n2 é o número de possibilidades na 2a etapa; ...................................................................... - nk é o número de possibilidades na k-ésima etapa.
  • 7. Prof.: Rodrigo Carvalho No exemplo inicial, teríamos: Par de sapatos Calça Camisa 2 3 2x 12=x Logo, existem 12 maneiras distintas para essa pessoa se arrumar utilizando uma peça de cada tipo.
  • 8. Prof.: Rodrigo Carvalho Outros exemplos: Ex1: Uma sala possui dez portas. De quantas maneiras distintas uma pessoa pode: a) Entrar e sair dessa sala? b) Entrar na sala e sair por uma porta diferente da que entramos? Ex2: Numa competição de ciclismo, há 7 atletas. Sabendo que não pode haver empate, de quantas maneiras distintas podemos ter os três primeiros colocados?
  • 9. Prof.: Rodrigo Carvalho Ex3: No crachá de identificação dos funcionários de uma empresa, cada funcionário é representado por uma sequência constituída por 2 vogais e 3 algarismos distintos, nesta ordem. Quantos funcionários podem ser registrados dessa forma? Ex4: Num jogo de cara ou coroa, uma moeda é lançada sucessivamente 3 vezes. Quantas são as possíveis sequências para esse evento?
  • 10. Prof.: Rodrigo Carvalho Ex5: Para ir de uma cidade A para uma cidade B, há 3 caminhos possíveis, e da cidade B para a C, 5 vias possíveis. Determine: a) O número de possibilidades de irmos da cidade A até a cidade C, passando por B. b) O número de possibilidades de irmos da cidade A até a cidade C, voltando à A, passando por B na ida e na volta. c) O número de possibilidades de irmos da cidade A até a cidade C, voltando à A, passando por B na ida e na volta, sem usar na volta as mesmas vias da ida.
  • 11. Prof.: Rodrigo Carvalho *OBS: Princípio da preferência Se uma situação de contagem trouxer alguma restrição(uma condição especial), a primeira etapa deverá sempre satisfazer tal restrição. Se houver mais de uma restrição, daremos preferência para iniciar a contagem do ponto em que a restrição for maior. Ex1: Usando apenas os algarismos 1, 2, 6, 7 e 8, quantos números pares de três algarismos distintos podemos representar? Ex2: Duas moças e três rapazes vão formar uma fila. De quantas maneiras a fila pode ser formada, se no meio da fila deve sempre ficar uma moça?
  • 12. Prof.: Rodrigo Carvalho FATORIAL (!) É frequente nos problemas em análise combinatória, encontrarmos produtos com todos os fatores partindo de um número positivo n até 1, a exemplo de 5.4.3.2.1 . Para abreviarmos tais multiplicações, usaremos o FATORIAL. Definição: Sendo n um número natural, definimos como fatorial de n, representado por n!, o produto de todos os naturais, desde n até 1. n! = n . (n-1) . (n-2) . ... . 3 . 2 . 1
  • 13. Prof.: Rodrigo Carvalho Exemplos: 2! = 2 . 1 = 2 3! = 3 . 2 . 1 = 6 4! = 4 . 3 . 2 . 1 = 24 5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120 6! = 6. 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 720 Observação: Ao desenvolvermos um fatorial, colocando os fatores em ordem decrescente, podemos interromper o desenvolvimento de acordo com nossa conveniência, indicando apenas o último fator com a notação de fatorial. *OBS: 1! = 1 0! = 1
  • 14. Prof.: Rodrigo Carvalho ARRANJOS SIMPLES (An,p) São agrupamentos que diferem uns dos outros pela NATUREZA ou pela ORDEM dos elementos que os compõem. Exemplo: Os números formados por dois algarismos distintos escolhidos entre 1, 2 e 3 são: 12, 13, 21, 23, 31 e 32. Os seis resultados possíveis são diferentes por usarem algarismos diferentes(natureza) ou por usarem os mesmos algarismos em outra posição(ordem).
  • 15. Prof.: Rodrigo Carvalho Seja An,p o número de arranjos que podem ser feitos com n elementos, agrupando-os p a p. A fórmula para o cálculo do número desses arranjos é dada por: An,p = n! (n - p)! com 0 < p < n, sendo n,p N.
  • 16. Prof.: Rodrigo Carvalho COMBINAÇÕES SIMPLES (Cn,p) São agrupamentos que diferem uns dos outros apenas pela NATUREZA dos elementos que os compõem. Exemplo: Os subconjuntos com dois elementos escolhidos do conjunto {1 , 2 , 3} são: {1 , 2}, {1 , 3} e {2 , 3}. Os três resultados possíveis são diferentes apenas pela natureza diferente de seus elementos.
  • 17. Prof.: Rodrigo Carvalho Seja Cn,p o número de combinações que podem ser feitas com n elementos, agrupando-os p a p. A fórmula para o cálculo do número dessas combinações é dada por: Cn,p = n! (n - p)!.p! com 0 < p < n, sendo n,p N.
  • 18. Prof.: Rodrigo Carvalho *Observações: I. An,p Cn,p = p! II. III. Cn,n = 1 Cn,0 = 1 IV. Cn,1 = n
  • 19. Prof.: Rodrigo Carvalho PERMUTAÇÕES(Pn) São agrupamentos que diferem uns dos outros apenas pela ORDEM dos elementos que os compõem. Exemplo: Os números formados por três algarismos distintos escolhidos entre 1, 2 e 3 são: 123, 132, 213, 231, 312 e 321. Os seis resultados possíveis são diferentes apenas pela ordem diferente de seus elementos.
  • 20. Prof.: Rodrigo Carvalho Seja Pn o número de permutações que podem ser feitas com n elementos. A fórmula para o cálculo do número dessas permutações é dada por: Pn = n! com n N. É importante perceber que a permutação é um caso particular de arranjo, ou seja, é um arranjo no qual n = p. 
  • 22. Prof.: Rodrigo Carvalho Exercícios: 1. Para ocupar os cargos de presidente e vice- presidente do grêmio de um colégio, candidataram- se dez alunos. De quantos modos distintos pode ser feita essa escolha? 2. (UFPB) Um sorveteiro vende sorvetes de três bolas, que devem ser escolhidas entre os sabores de coco, manga, graviola, cajá, acerola, maracujá e pitanga. Quantos sorvetes com 3 sabores distintos podem ser feitos por esse sorveteiro?
  • 23. Prof.: Rodrigo Carvalho 3. Sobre uma circunferência são marcados cinco pontos distintos. Quantas retas distintas podemos determinar com esses pontos? 4. De quantas maneiras distintas podemos arrumar sete amigos em uma fila? 5. Quantos são os anagramas da palavra VESTIBULAR que começam com a letra R?
  • 24. Prof.: Rodrigo Carvalho 6. (Unifor-CE) O número natural n que satisfaz a equação 3 + An,2 = P4 + Cn,2 é tal que: a) 2n = 16 b)n – 1 = 5 c) n = 7 d)n = -6 e) 3n = 18
  • 25. Prof.: Rodrigo Carvalho 7. De quantas maneiras distintas podemos arrumar 6 amigos numa fila, de formas que Ana e Bruno sempre fiquem juntos? 8. Determine a quantidade de anagramas da palavra RADIOLA que: a) começam com R e terminam com I; b) tenham R e I nas extremidades; c) tenham as vogais sempre juntas; d) tenham a sílaba DI; e) Possuam as vogais sempre separadas.
  • 26. Prof.: Rodrigo Carvalho 9. Numa empresa de tecnologia há 6 brasileiros e 4 japoneses. Quantas comissões com 5 pessoas podem ser formadas, de maneira que sejam 3 brasileiros e 2 japoneses? 10. Uma pizzaria possui 11 sabores de pizza. Sabendo que as pizzas possuem, no máximo, 3 sabores, quantos tipos de pizzas diferentes podem ser feitos nessa pizzaria? 11. Um edifício possui 26 condôminos aptos a assumirem um cargo admnistrativo. Pretende-se eleger um síndico, um sub-síndico e três secretários. Quantas comissões distintas podem ser formadas?