O documento discute os produtos notáveis e sua importância para agilizar cálculos algébricos. Apresenta os principais produtos notáveis: o quadrado da soma, o quadrado da diferença, o produto da soma pela diferença, o cubo da soma e o cubo da diferença de dois termos. Explica como aplicar cada um destes produtos e fornece exemplos ilustrativos.

2. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Os conceitos sobre os produtos notáveis merecem muita atenção, pois seu uso facilita cálculos,
reduz o tempo de resolução e agiliza o aprendizado.
• O conhecimento dessa ferramenta não implica dizer que não necessitamos saber o desenvolvimento
do cálculo proposto, apenas que temos mais caminhos convergentes à solução final.
• Utilizamos o termo notável para apontar sua importância, sua notabilidade e sua carência de
atenção.

3. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Ao lidarmos com operações algébricas, perceberemos que alguns polinômios aparecem
frequentemente e, ainda, exibem certa regularidade. Esses são os Produtos Notáveis.
• Aqui estudaremos o quadrado da soma de dois termos, o quadrado da diferença de dois
termos, o produto da soma pela diferença de dois temos, o cubo da soma de dois termos e, por
fim, o cubo da diferença de dois termos. vamos à explanação de cada um deles

4. PRODUTOS NOTÁVEIS
• 1. O quadrado da soma de dois termos
• Verifiquem a representação e utilização da propriedade da potenciação em seu
desenvolvimento.
(A + B)2 = (A + B) . (A + B)
• Onde A é o primeiro termo e B é o segundo.

5. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação,
teremos:
• O quadrado da soma de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, mais duas vezes o
produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

6. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Exemplos:

7. PRODUTOS NOTÁVEIS
• 2. O quadrado da diferença de dois termos seguindo o critério do item anterior, temos:
(A - B)2 = (A - B) . (A - B)
• Onde a é o primeiro termo e b é o segundo.

8. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Ao desenvolvermos esse produto, utilizando a propriedade distributiva da multiplicação,
teremos:
• O quadrado da diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos duas
vezes o produto do primeiro termo pelo segundo, mais o quadrado do segundo termo.

9. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Exemplos:

10. PRODUTOS NOTÁVEIS
3. O produto da soma pela diferença de dois termos
• Se tivermos o produto da soma pela diferença de dois termos, poderemos transformá-lo numa diferença
de quadrados.
• o produto da soma pela diferença de dois termos é igual ao quadrado do primeiro termo, menos o
quadrado do segundo termo.

11. PRODUTOS NOTÁVEIS
• Exemplos
• (4C + 3D).(4C – 3D) = (4C)2 – (3D)2 = 16C2 – 9D2
• (X/2 + Y).(X/2 – Y) = (X/2)2 – Y2 = X2/4 – Y2
• (M + N).(M – N) = M2 – N2

12. PRODUTOS NOTÁVEIS
•QUESTÃO 1
•Desenvolva os seguintes produtos notáveis:
•A) (X + Y)2
•B) (2A + B)2
•C) (X – 5Y)2
•D) (3 – A3)2

13. PRODUTOS NOTÁVEIS
•Resposta questão 1
•Podemos resolver esses produtos notáveis através da seguinte ideia:
“O primeiro termo elevado ao quadrado mais (ou menos) o dobro do primeiro
termo multiplicado pelo segundo termo mais o segundo termo elevado ao
quadrado.”
•A) (X + Y)2 = X2 + 2.X.Y + Y2
•B) (2A + B)2 = (2A)2 + 2.2A.B + B2 = 4A2 + 4AB + B2
•C) (X – 5Y)2 = X2 – 2.X.5Y + (5Y)2 = X2 – 10XY + 25Y2
•D) (3 – A3)2 = 32 – 2.3.A3 + (A3)2 = 9 – 6A3 + A6

14. PRODUTOS NOTÁVEIS
•QUESTÃO 2
•Sabe-se que X² + Y² = 20 E X Y = 3, qual é o valor de (X + Y)²?

15. PRODUTOS NOTÁVEIS
•Resposta Questão 2_ utilizando o princípio do quadrado da soma, temos que:
•(X + Y)² = X² + 2.X.Y + Y²
•Podemos reescrever essa igualdade da seguinte forma:
(x + y)² = x² + y² + 2.x.y
•Sabemos que X² + Y² = 20 E XY = 3, substituindo esses valores na igualdade acima,
temos:
•(X + Y)² = 20 + 2.3
(X + Y)² = 20 + 6
(X + Y)² = 26
•Portanto, (X + Y)² = 26.

16. PRODUTOS NOTÁVEIS
•QUESTÃO 3
•Escreva as expressões a seguir de forma reduzida:
•a) (3M + N)² + 2N²
•b) (2A + 2B)² – A.(A – 2B)

17. PRODUTOS NOTÁVEIS
•RESPOSTA QUESTÃO 3
•A) (3M + N)² + 2N² desenvolvendo o produto notável, temos:
•(3M + N)² + 2N²
(3M)² + 2.3M.N + N² + 2N²
9M² + 6MN + N² + 2N²
9M² + 6MN + 3N²
•Portanto, (3M + N)² + 2N² = 9M² + 6MN + 3N²

18. PRODUTOS NOTÁVEIS
•b) (2A + 2B)² – A.(A – 2B)
Desenvolvendo o produto notável e aplicando a propriedade distributiva,
temos:
•(2A + 2B)² – A.(A – 2B)
(2A)² + 2.2A.2B + (2B)² – A² + 2AB
4A² + 8AB + 4B² – A² + 2AB
3A² + 10AB + 4B²
Portanto, (2A + 2B)² – A.(A – 2B) = 3A² + 10AB + 4B²

19. PRODUTOS NOTÁVEIS
•QUESTÃO 4
•(FUVEST – SP - ADAPTADO) SE , CALCULE .

20. PRODUTOS NOTÁVEIS
Resposta Questão 4_ Aplicando a propriedade do quadrado da soma, temos:
b² = x² + 2.x. 1 + 1²
x x²
b² = x² + 2 + 1
x²
b² – 2 = x² + 1
x²
Portanto:
x² + 1 = b² – 2
x²

21. PRODUTOS NOTÁVEIS
•4. O CUBO DA SOMA DE DOIS TERMOS
•CONSIDEREMOS O CASO A SEGUIR:
•(A + B)3 = (A + B).(A + B)2 → POTÊNCIA DE MESMA BASE.
•(A + B).(A2 + 2AB + B2) → (A + B)2

22. PRODUTOS NOTÁVEIS
•Aplicando a propriedade distributiva como nos casos anteriores, teremos:
(A + B)3 = A3 + 3A2B + 3AB2 + B3
•O cubo da soma de dois termos é igual ao cubo do primeiro termo, mais três
vezes o produto do quadrado do primeiro termo pelo segundo, mais três vezes
o produto do primeiro termo pelo quadrado do segundo, mais o cubo do
segundo termo.

23. PRODUTOS NOTÁVEIS
•EXEMPLOS:
•(2X + 2Y)3 = (2X)3 + 3.(2X)2.(2Y) + 3.(2X).(2Y)2 + (2Y)3 = 8X3 + 24X2Y + 24XY2 + 8Y3
•(W + 3Z)3 = W3 + 3.(W2).(3Z) + 3.W.(3Z)2 + (3Z)3 = W3 + 9W2Z + 27WZ2 + 27Z3
•(M + N)3 = M3 + 3M2N + 3MN2 + N3

24. PRODUTOS NOTÁVEIS
•5. O CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS
•ACOMPANHEM O CASO SEGUINTE:
(A – B)3 = (A - B).(A – B)2 → POTÊNCIA DE MESMA BASE.
(A – B).(A2 – 2AB + B2) → (A - B)2

25. PRODUTOS NOTÁVEIS
•APLICANDO A PROPRIEDADE DISTRIBUTIVA COMO NOS CASOS ANTERIORES,
TEREMOS:
(A – B)3 = A3 – 3A2B + 3AB2 – B3
•O CUBO DA DIFERENÇA DE DOIS TERMOS É IGUAL AO CUBO DO PRIMEIRO
TERMO, MENOS TRÊS VEZES O PRODUTO DO QUADRADO DO PRIMEIRO TERMO
PELO SEGUNDO, MAIS TRÊS VEZES O PRODUTO DO PRIMEIRO TERMO PELO
QUADRADO DO SEGUNDO, MENOS O CUBO DO SEGUNDO TERMO.

26. PRODUTOS NOTÁVEIS
•EXEMPLOS
•(2 – Y)3 = 23 – 3.(22).Y + 3.2.Y2 – Y3 = 8 – 12Y + 6Y2 – Y3 OU Y3– 6Y2 + 12Y – 8
•(2W – Z)3 = (2W)3 – 3.(2W)2.Z + 3.(2W).Z2 – Z3 = 8W3 – 12W2Z + 6WZ2 – Z3
•(C – D)3 = C3 – 3C2D + 3CD2 – D3

27. FATORAÇÃO
•FATORAR UM NÚMERO SIGNIFICA ESCREVÊ-LO COMO UMA MULTIPLICAÇÃO DE
DOIS OU MAIS NÚMEROS.
•A FATORAÇÃO É UM RECURSO QUE UTILIZAMOS NA SIMPLIFICAÇÃO DE SENTENÇAS
MATEMÁTICAS.
•QUANDO FOR O CASO, PODEMOS UTILIZÁ-LA NA SIMPLIFICAÇÃO DE UMA FRAÇÃO
OU DE UMA EQUAÇÃO, POR EXEMPLO.

28. FATORAÇÃO
• OS TIPOS DE FATORAÇÃO QUE VEREMOS ESTÃO RELACIONADOS AOS PRODUTOS
NOTÁVEIS.
• AOS ESTUDÁ-LOS VIMOS QUE O PRODUTO DA SOMA PELA DIFERENÇA DE DOIS
TERMOS NOS LEVA À DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS,
•ENTÃO PODEMOS UTILIZAR DE FORMA INVERSA ESTE CONHECIMENTO NA
FATORAÇÃO DA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS.

29. FATORAÇÃO
DIFERENÇA DE QUADRADOS
•CONSIDERE O POLINÔMIO X² – Y². ESSA DIFERENÇA DE QUADRADOS É O RESULTADO
DE (X + Y).(X – Y).
•PORTANTO, X² – Y² = (X + Y).(X – Y).
•POR ISSO, TODA DIFERENÇA DE DOIS QUADRADOS PODE SER FATORADA COMO
ACIMA.

30. FATORAÇÃO
•EXEMPLO :
FATORE X² – 25.
COMO 25 = 5²,
X² – 25 = X² – 5² = (X + 5)(X – 5).

31. FATORAÇÃO
•VEJAMOS ESTE EXEMPLO NA SEQUÊNCIA
25Y² - 9Z²
•VISTO QUE A2 - B2 = (A + B)(A - B), PODEMOS REALIZAR A FATORAÇÃO COMO A
SEGUIR:
25Y² - 9Z² = (5Y)² - (3Z)² = (5Y + 3Z).(5Y – 3Z)

32. FATORAÇÃO
•TAL FATORAÇÃO FOI REALIZADA SE ENCONTRANDO O VALOR DE A E B, QUE SÃO
RESPECTIVAMENTE A RAIZ QUADRADA DO PRIMEIRO E DO SEGUNDO TERMO E
ENTÃO OS SUBSTITUINDO EM (A + B)(A - B).
•LOGO: 25Y² - 9Z² = (5Y + 3Z)(5Y – 3Z)

33. FATORAÇÃO
•1) 81X² – 64
•B) Y² – 36
•C) 9X² – 16

34. FATORAÇÃO
FATOR COMUM
•A FORMA MAIS BÁSICA DE FATORAÇÃO É A COLOCAÇÃO DE FATORES COMUNS
EM EVIDÊNCIA.
•VAMOS FATORAR A EXPRESSÃO AX + BX + CX
AX + BX + CX = X . (A + B + C)
O X É FATOR COMUM E FOI COLOCADO EM EVIDÊNCIA.

35. FATORAÇÃO
EXEMPLO : FATORE AS EXPESSÕES
1) 6X³ + 8X². O FATOR COMUM É 2X². ASSIM, COLOCANDO 2X² EM EVIDÊNCIA,
TEMOS:
6X³ + 8X²= 2X²(3X + 4).
2) 14XY – 21XZ =7X(2Y – 3Z)
3) 5X² - 10X = 5X ( X – 2)
4) 8AX³ - 4A²X² = 4AX²(2X – A)

36. FATORAÇÃO
AGRUPAMENTO
•NO TIPO DE FATORAÇÃO POR AGRUPAMENTO NÃO TEMOS UM FATOR QUE É
COMUM A TODOS OS TERMOS, NO ENTANTO TEMOS FATORES QUE SÃO
COMUNS A ALGUNS TERMOS E OUTROS FATORES QUE SÃO COMUNS A OUTROS
TERMOS.
AX + BX + AY + BY = (A + B)(X + Y)

37. FATORAÇÃO
•VEJAMOS O EXEMPLO ABAIXO:
4X + 6X+ 4Y+ 6Y
•NOTE QUE O FATOR X É COMUM AOS DOIS PRIMEIROS TERMOS, ASSIM COMO O
FATOR Y É COMUM AOS DOIS ÚLTIMOS TERMOS, ENTÃO PODEMOS COLOCÁ-LOS EM
EVIDÊNCIA:
4X + 6X+4Y +6Y= X(4+6) + Y(4+6)

38. FATORAÇÃO
•VEJA QUE AINDA TEMOS O FATOR (4 + 6) EM COMUM E QUE TAMBÉM PODE SER COLOCADO
EM EVIDÊNCIA:
X(4+6) + Y(4+6)= (4+6).(X+Y)
•ASSIM SENDO:
4X+6X+4Y+6Y= (4+6).(X+Y)
•OBVIAMENTE, COMO MOSTRADO ABAIXO, PODEMOS CONTINUAR OS CÁLCULOS
SOMANDO 4 COM 6, MAS O FOCO AQUI É A FATORAÇÃO EM SI:
( 4 + 6).( X+ Y) = 10( X+ Y)

39. FATORAÇÃO
• EXEMPLO
FATORE: 5AX + BX + 5AY + BY
X.( 5A + B) + Y (5A + B)
(X + Y) (5A + B)

40. FATORAÇÃO
•EXEMPLO:
X² + 3X + AX + 3A
X(X + 3) + A ( X + 3)
(X + 3) . ( X + A)

41. FATORAÇÃO
•EXEMPLO :
A) VAMOS FATORAR X² – AY + XY – AX.
X² – AY + XY – AX = X²+ XY – AY – AX
= X(X + Y) – A(Y + X) = (X + Y)(X – A)

42. FATORAÇÃO
TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO
•O POLINÔMIO X² +2XY + Y² É UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.
•É UM TRINÔMIO PORQUE TEM TRÊS MONÔMIOS; E É UM QUADRADO PERFEITO
PORQUE ELE É O QUADRADO DE (X + Y), OU SEJA, É O RESULTADO DE (X + Y)².

43. FATORAÇÃO
•OUTRO TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO É X² – 2XY + Y²,
QUE É O RESULTADO DE (X – Y)².
•ASSIM, TEMOS MAIS DOIS POLINÔMIOS QUE SABEMOS FATORAR:
X² + 2XY + Y² = (X + Y)² X² – 2XY + Y² = (X – Y)²

44. FATORAÇÃO
•A) X² + 4X + 4 = R:(X + 2)²
•B) X² - 4X + 4 = R:(X -2)²
•C) A²+ 2A + 1 = R: (A + 1)²
•D) A² - 2A + 1 = R: (A – 1)²

45. FATORAÇÃO
•EXEMPLO :
• A) FATORE X² + 12X + 36.
•NESTE CASO X² E 36 SÃO QUADRADOS E SUAS BASES SÃO X E 6
E, ALÉM DISSO, 12X = 2.X.6.
ASSIM, X2 + 12X + 36 = (X + 6)2.

46. FATORAÇÃO
•B) 9X² – 12X + 25 É UM QUADRADO PERFEITO?
•ORA, 9X² = (3X)² E 25 = 5².
MAS, 2.(3X).5 = 30X.
LOGO, 9X² – 12X + 25 NÃO É UM TRINÔMIO QUADRADO PERFEITO.