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Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem
produto
alguns produtos muito usuais. É recomendado então
sabêsabê-los “de cor”.
de cor
• QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA
DIFERENÇA:

(a + b)2 = a2 + 2ab + b2
(a – b)2 = a2 – 2ab + b2
•SOMA PELA DIFERENÇA:

(a + b) . (a – b) = a2 – b2
• CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA:

(a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3
(a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3
Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma
multiplicação de fatores. Fatoração é o processo
inverso dos produtos notáveis.
Veja os retângulos e suas respectivas áreas:

•O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax.
O li ô i
á d
â
l
l
•O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay.
•O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az.
O li ô i
t á d
tâ
l
lh
Qual polinômio representa a área total?

AT = ax + ay + az = a (x + y + z)
z)
Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto
a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.
Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração
muito importantes para o desenvolvimento do cálculo
algébrico.

•Fator comum em evidência;
Fator
•Fatoração por agrupamento;
ç p
g p
;
•Diferença de dois quadrados;
•Trinômio do Quadrado Perfeito;
•Soma ou diferença de dois cubos.
Como já foi dito fatorar significa transformar uma
soma em produto de dois ou mais termos.

Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam
um fator comum, podemos colocá-lo em evidência.

Por exemplo:
•Na expressão ab + ac, o f
N
ã b
fator a aparece nos d i termos,
dois
este é o fator comum.
A forma fatorada é o produto do fator comum por uma
expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo
fator comum
comum.
Aula 2 - Produtos Notáveis e Fatoração
É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR
Ê
COMUM EM EVIDÊNCIA.

Exemplos:
•x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y)
•ax + b +2 + 2b = x(a + b) + 2( + b) = ( + b)( + 2)
by +2a
(
2(a
(a b)(x
•y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)
Neste processo verificamos que:

a2 – b2 = (a + b).(a – b)
a2 + 2ab + b2 = (a + b)2
a2 – 2ab + b2 = (a – b)2
Para reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito,
P
h
ti ô i
d d
f it
proceda da seguinte forma:
• Verifique se a expressão tem dois termos que são
quadrados perfeitos (a2 e b2);
• Determine as raízes desses quadrados (a e b);
• Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas
raízes (+2ab ou –2ab).
Aula 2 - Produtos Notáveis e Fatoração
a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2)
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Aula 2 - Produtos Notáveis e Fatoração

  • 1. Efetuar uma multiplicação é obter o produto. Existem produto alguns produtos muito usuais. É recomendado então sabêsabê-los “de cor”. de cor
  • 2. • QUADRADO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA DIFERENÇA: (a + b)2 = a2 + 2ab + b2 (a – b)2 = a2 – 2ab + b2 •SOMA PELA DIFERENÇA: (a + b) . (a – b) = a2 – b2 • CUBO DE UMA SOMA OU DIFERENÇA: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3 (a – b)3 = a3 – 3a2b + 3ab2 + b3
  • 3. Fatorar é transformar uma expressão algébrica em uma multiplicação de fatores. Fatoração é o processo inverso dos produtos notáveis.
  • 4. Veja os retângulos e suas respectivas áreas: •O polinômio que representa a área do retângulo amarelo é : A1 = ax. O li ô i á d â l l •O polinômio que representa a área do retângulo azul é : A2 = ay. •O polinômio que representa a área do retângulo vermelho é : A3 = az. O li ô i t á d tâ l lh Qual polinômio representa a área total? AT = ax + ay + az = a (x + y + z) z) Ao escrever o polinômio ax + ay + az na forma de produto a (x + y + z), estamos efetuando uma fatoração.
  • 5. Estudaremos a partir de agora cinco casos de fatoração muito importantes para o desenvolvimento do cálculo algébrico. •Fator comum em evidência; Fator •Fatoração por agrupamento; ç p g p ; •Diferença de dois quadrados; •Trinômio do Quadrado Perfeito; •Soma ou diferença de dois cubos.
  • 6. Como já foi dito fatorar significa transformar uma soma em produto de dois ou mais termos. Quando todos os termos de uma expressão algébrica apresentam um fator comum, podemos colocá-lo em evidência. Por exemplo: •Na expressão ab + ac, o f N ã b fator a aparece nos d i termos, dois este é o fator comum. A forma fatorada é o produto do fator comum por uma expressão que é obtida dividindo-se a expressão inicial pelo fator comum comum.
  • 8. É UMA RECORRÊNCIA DO FATOR Ê COMUM EM EVIDÊNCIA. Exemplos: •x2 – ay +xy – ax = x2 – ax + xy – ay = x(x – a) + y(x – a) = (x – a)(x + y) •ax + b +2 + 2b = x(a + b) + 2( + b) = ( + b)( + 2) by +2a ( 2(a (a b)(x •y3 – 5y2 + y – 5 = y2(y – 5) +1(y – 5) = (y – 5)(y2 + 1)
  • 9. Neste processo verificamos que: a2 – b2 = (a + b).(a – b)
  • 10. a2 + 2ab + b2 = (a + b)2 a2 – 2ab + b2 = (a – b)2 Para reconhecer se um trinômio é um quadrado perfeito, P h ti ô i d d f it proceda da seguinte forma: • Verifique se a expressão tem dois termos que são quadrados perfeitos (a2 e b2); • Determine as raízes desses quadrados (a e b); • Verifique se o 3.º termo é o dobro do produto dessas raízes (+2ab ou –2ab).
  • 12. a3 + b3 = (a + b) (a2 – ab + b2) a3 – b3 = (a – b) ( 2 + ab + b2) ( ) (a