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  • 1. FatoraçãoFatoração 8ª Ano8ª Ano Unidade Temática:Unidade Temática: Produtos NotáveisProdutos Notáveis Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com
  • 2. Produtos Notáveis:Produtos Notáveis: QuadradoQuadrado da Soma deda Soma de dois termos:dois termos: bb aa bbaa 2 )( ba + 2 b 2 a ba. ba. 22 ..2 bbaa ++Soma das Áreas=Soma das Áreas= )).(( baba ++= Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com
  • 3. Produtos Notáveis:Produtos Notáveis: Quadrado daQuadrado da diferença de doisdiferença de dois termos:termos: bb aa bb aa 2 )( ba − 2 )( ba − Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com
  • 4. Produtos Notáveis:Produtos Notáveis: Quadrado daQuadrado da diferença de doisdiferença de dois termos.termos. a - ba - b a - ba - b 2 )( ba − 2 )( ba − 22 ..2 bbaa +− Calculando a áreaCalculando a área que sobrou teremos:que sobrou teremos: )).(( baba −−= Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com
  • 5. Produtos Notáveis:Produtos Notáveis: Diferença deDiferença de quadrados:quadrados: 22 ba − bb aa aa bb 2 a 2 b Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com
  • 6. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Após a subtraçãoApós a subtração da maior área pelada maior área pela menor área,menor área, marcamos com umamarcamos com uma diagonal separandodiagonal separando a área restantea área restante dividindo-a em duasdividindo-a em duas partes, que são doispartes, que são dois trapézios.trapézios.
  • 7. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Após separarmosApós separarmos as áreas,as áreas, registramosregistramos algebricamente asalgebricamente as partes que sobrarampartes que sobraram (lados do trapézio).(lados do trapézio). bb aa aa bb a - ba - b a - ba - b Diferença deDiferença de quadrados:quadrados:
  • 8. ba.+ba.− Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Agora se juntarmosAgora se juntarmos os trapéziosos trapézios formaremos umformaremos um retângulo de ladoretângulo de lado (a + b) e (a - b) e se(a + b) e (a - b) e se calcularmos a suacalcularmos a sua área vamos encontrarárea vamos encontrar (a(a22 - b- b22 ).). a + ba + b a-ba-b )).(( baba −+ 2 a= = 22 ba − bb 2 b− 22 ba −
  • 9. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com aa bb bbaa aa bb Considere um cuboConsidere um cubo de aresta “a + b”,de aresta “a + b”, como o da figura aocomo o da figura ao lado.lado. O volume de um cuboO volume de um cubo de arestas ℓ é ℓde arestas ℓ é ℓ33 ,, então o volume doentão o volume do cubo representadocubo representado pela figura é (a+b)pela figura é (a+b)33 .. O Cubo da soma deO Cubo da soma de dois termos:dois termos:
  • 10. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Vamos separar as partes em que o cubo está dividido:Vamos separar as partes em que o cubo está dividido: Um cubo de aresta “a”.Um cubo de aresta “a”. Volume: aVolume: a33 .. aa aa aa33 aa
  • 11. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Três paralelepípedosTrês paralelepípedos que têm arestasque têm arestas a, a e b.a, a e b. Cada paralelepípedoCada paralelepípedo tem volume atem volume a22 b.b. O volume dos trêsO volume dos três paralelepípedos éparalelepípedos é 3a3a22 b.b. bb bb aa22 bb aa aa22 bb aa 22 bb aa aa aa bb aa aa
  • 12. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Três paralelepípedosTrês paralelepípedos que têm arestasque têm arestas a, b e b.a, b e b. Cada paralelepípedoCada paralelepípedo tem volume abtem volume ab22 .. O volume dos trêsO volume dos três paralelepípedos éparalelepípedos é 3ab3ab22 .. abab22 abab22 bb bb aa bb aa aa bb bb abab22bb
  • 13. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Um cubo de aresta “b”.Um cubo de aresta “b”. Volume: bVolume: b33 ..bb33 bb bbbb
  • 14. aa 22 bb aa22 bb aa33 Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Somando todos essesSomando todos esses volumes temos:volumes temos: abab22 3 a 3 b+ba2 3+ 2 3ab+ Como o volume do todo é igual àComo o volume do todo é igual à soma dos volumes das partes,soma dos volumes das partes, temos:temos: 32233 33)( babbaaba +++=+ aa22 bb abab22 abab22 bb33
  • 15. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Esse mesmo resultado pode ser obtido através doEsse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo: =++=+ 23 )(.)()( bababa =+++= )2(.)( 22 bababa Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva: 3 a 3 b+ba2 + 2 2ab+ba2 2+ 2 ab+
  • 16. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Portanto:Portanto: 32233 33)( babbaaba +++=+   1º1º TermoTermo 2º Termo2º Termo Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo. Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo. 3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo). 3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado doo quadrado do 22º termo).º termo).
  • 17. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Esse mesmo resultado pode ser obtido através doEsse mesmo resultado pode ser obtido através do seguinte cálculo:seguinte cálculo: =−−=− 23 )(.)()( bababa =+−−= )2(.)( 22 bababa Aplicando a propriedade distributiva:Aplicando a propriedade distributiva: 3 a 3 b−ba2 − 2 2ab+ba2 2− 2 ab+ O Cubo da diferença de dois termos:O Cubo da diferença de dois termos:
  • 18. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Portanto:Portanto: 32233 33)( babbaaba −+−=−   1º1º TermoTermo 2º Termo2º Termo Cubo do 1º Termo.Cubo do 1º Termo. Cubo 2º Termo.Cubo 2º Termo. 3 x ( o quadrado do 1º termo) x (23 x ( o quadrado do 1º termo) x (2º termo).º termo). 3 x (1º termo) x (3 x (1º termo) x (o quadrado doo quadrado do 22º termo).º termo).
  • 19. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Hora da revisão:Hora da revisão: Diferença de quadrados:Diferença de quadrados: Quadrado da soma de dois termos:Quadrado da soma de dois termos: Quadrado da diferença de dois termos:Quadrado da diferença de dois termos: 2 )( ba + 22 ..2 bbaa ++ 2 )( ba − 22 ..2 bbaa +− )).(( baba −+ = 22 ba − = = Cubo da soma de dois termos:Cubo da soma de dois termos: Cubo da diferença de dois termos:Cubo da diferença de dois termos: 32233 33)( babbaaba −+−=− 32233 33)( babbaaba +++=+
  • 20. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com =).( axx + 2 x  Fator ComumFator Comum Fatoração:Fatoração: xx aaxx 2 x xa. + xa. Calculando-se aCalculando-se a Área:Área:
  • 21. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com  Fator ComumFator Comum Fatoração:Fatoração: =)2.(2 +aa 2 .2 a 2a2a 44aa 2 2a a.4 + a.4 aa Colocando o fatorColocando o fator em evidênciaem evidência teremos:teremos: Fazendo o fatorFazendo o fator comum entre ascomum entre as áreasáreas encontraremos :2aencontraremos :2a
  • 22. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com  por agrupamento:por agrupamento: amam bb aa mm nn )).(( nmba ++ ma.= na. nb.mb.+ + + Fatoração:Fatoração: bmbm anan bnbn
  • 23. Profº Fabrício SantosProfº Fabrício Santos http://iammeatcat.blogspot.comhttp://iammeatcat.blogspot.com matemabricio1607@hotmail.commatemabricio1607@hotmail.com Fazendo o fator comum entre osFazendo o fator comum entre os termos apresentados, volta-se ao início.termos apresentados, volta-se ao início. )).(( nmba ++ =ma. na.+ + nb.mb. + ).( nma + ).( nmb ++ = Aplicando o fator comum duplamente:Aplicando o fator comum duplamente: