Este documento apresenta dois produtos notáveis: (1) o quadrado da soma de dois termos, (a + b)2, que é igual a a2 + 2ab + b2 e (2) o quadrado da diferença de dois termos, (a - b)2, que é igual a a2 - 2ab + b2. Exemplos numéricos e algébricos são fornecidos para ilustrar cada produto notável.

1. PPrroodduuttooss nnoottáávveeiiss

2. As expressões (a + b)², (a – b)², (a + b).(a –
b) são chamadas de produtos notáveis.
Os produtos notáveis aparecem com muita
frequência em problemas matemáticos como,
por exemplo, na resolução de equações e
inequações.

3. Vamos estudar dois produtos notáveis:
1º) Quadrado da soma de dois termos.
(a + b)²
2º) Quadrado da diferença de dois termos.
(a – b)²

4. QQuuaaddrraaddoo ddaa ssoommaa ddee ddooiiss
tteerrmmooss::
((aa ++ bb))²
Antes de desenvolver o produto (a +
b)², vamos analisar um cálculo
numérico:
(2 + 1)²

5. Método prático de efetuar (2 + 1)²:
1º) Calcula-se a soma.
(2 + 1)² = (3)²
2º) Calcula-se a potência.
(3)² = 3 . 3 = 9
Logo, (2 + 1)² = 9.

6. Uma outra maneira de calcular (2 + 1)².
1º) Escreve-se a potência na forma de
um produto.
(2 + 1)² = (2 + 1).(2 + 1)

7. 2º) Aplica-se a propriedade distributiva da
multiplicação:
(2 + 1).(2 + 1) = 2 . 2 + 2 . 1 + 1 . 2 + 1 . 1

8. 3º) Calculam-se os produtos:
2 . 2 + 2 . 1 + 1 . 2 + 1 . 1 = 4 + 2 + 2 + 1
4º) Para finalizar, calcula-se a soma:
4 + 2 + 2 + 1 = 9

9. Mas o que (2 + 1)² tem haver com o produto
notável (a + b)²?
O produto (a + b)² representa as expressões
(2 + 1)², (4 + 1)², (3 + 5)², (9 + 15)² ...
Em outras palavras, (2 + 1)² é um caso
particular do produto notável (a + b)² em
que
a = 2 e b = 1.

10. Não dá para desenvolver (a + b)² pelo
método prático.
Método Prático:
(2 + 1)² = (3)² = 9
Por isso, vamos desenvolvê-lo de forma
semelhante ao segundo método.
Segundo Método:
(2 + 1)² = (2 + 1).(2 + 1) = 2.2 + 2.1 + 1.2 +
1.1 = 9

11. 1º) Escreve-se a potência na forma de
um produto.
(a + b)² = (a + b).(a + b)

12. 2º) Aplica-se a propriedade distributiva
da multiplicação:
(a + b).(a + b) = a . a + a . b + b . a + b . b

13. 3º) Escrevem-se os produtos na forma
de potência e adicionam-se os termos
semelhantes. Lembre-se: a . b = b . a
a .a + a.b + b.a + b.b = a² + 2ab + b²
Logo,
(a + b)² = a² + 2ab + b²

14. QQuuaaddrraaddoo ddaa ssoommaa ddee ddooiiss
tteerrmmooss
A igualdade (a + b)² = a² + 2ab + b² é uma
identidade, pois ela é verdadeira para
quaisquer valores de a e b. Veja alguns
exemplos numéricos e algébricos:
 (3 + 1)² = 3² + 2.3.1 + 1² = 9 + 6 + 1 = 16
 (x + y)² = x² + 2.x.y + y² = x² + 2xy + y²
 (a + 2)² = a² + 2.a.2 + 2² = a² + 4a + 4

15. QQuuaaddrraaddoo ddaa ddiiffeerreennççaa ddee ddooiiss
tteerrmmooss
((aa –– bb))²
Vamos desenvolver (a – b)² do mesmo
modo que desenvolvemos (a + b)².

16. 1º) Escreve-se a potência na forma de
um produto:
(a – b)² = (a – b).(a – b)

17. 2º) Aplica-se a propriedade distributiva
da multiplicação:
(a – b).(a – b) = a.a – a.b – b.a + b.b

18. 3º) Escrevem-se os produtos na forma
de potência e adicionam-se os termos
semelhantes:
a.a – a.b – b.a + b.b = a² – 2ab + b²
Logo,
(a – b)² = a² – 2ab + b²

19. QQuuaaddrraaddoo ddaa ddiiffeerreennççaa ddee ddooiiss
tteerrmmooss
A igualdade (a – b)² = a² – 2ab + b² também
é uma identidade, pois é verdadeira para
quaisquer valores de a e b. Veja alguns
exemplos:
 (3 – 1)² = 3² – 2.3.1 + 1² = 9 – 6 + 1 = 4
 (x – y)² = x² – 2.x.y + y² = x² – 2xy + y²
 (a – 2)² = a² – 2.a.2 + 2² = a² – 4a + 4

20. RReessuummoo
Quadrado da soma de dois termos:
(a + b)² = a² + 2ab + b²
Quadrado da diferença de dois termos:
(a – b)² = a² – 2ab + b²