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                              PRODUTOS NOTÁVEIS

      É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos
produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação
dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo:

           Produtos notáveis                            Exemplos
       2      2
(a+b) = a +2ab+b          2
                                              (x+3) = x2+6x+9
                                                     2

(a-b)2 = a2-2ab+b2                            (x-3)2 = x2-6x+9
(a+b)(a-b) = a2-b2                            (x+3)(x-3) = x2-9
(x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab                     (x+2)(x+3) = x2+5x+6
(a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3                      (x+2)3 = x3+6x2+12x+8
(a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3                      (x-2)3 = x3-6x2+12x-8
(a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3                       (x+2)(x2-2x+4) = x3+8
(a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3                       (x-2)(x2+2x+4) = x3-8


ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS:

1) Desenvolva:
   a) (3x+y)2
   (3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2

   b) ((1/2)+x2)2
   ((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4

   c) ((2x/3)+4y3)2
   ((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6

   d) (2x+3y)3
   (2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3

   e) (x4+(1/x2))3
   (x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6)

   f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))
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         ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2

2) Efetue as multiplicações:
   a) (x-2)(x-3)
   (x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6

   b) (x+5)(x-4)
   (x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20


3) Simplifique as expressões:
   a) (x+y)2–x2-y2
   (x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy

   b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3)
   (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) =
   x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29

   c) (2x-y)2-4x(x-y)
   (2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2

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  • 1. Só Matemática – O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br PRODUTOS NOTÁVEIS É muito comum nas expressões algébrica o aparecimento de certos produtos. Para simplificar o trabalho nos cálculos será muito útil a aplicação dos produtos notáveis. Veja a tabela abaixo: Produtos notáveis Exemplos 2 2 (a+b) = a +2ab+b 2 (x+3) = x2+6x+9 2 (a-b)2 = a2-2ab+b2 (x-3)2 = x2-6x+9 (a+b)(a-b) = a2-b2 (x+3)(x-3) = x2-9 (x+a)(x+b) = x2+(a+b)x+ab (x+2)(x+3) = x2+5x+6 (a+b)3 = a3+3a2b+3ab2+b3 (x+2)3 = x3+6x2+12x+8 (a-b)3 = a3-3a2b+3ab2-b3 (x-2)3 = x3-6x2+12x-8 (a+b)(a2-ab+b2) = a3+b3 (x+2)(x2-2x+4) = x3+8 (a-b)(a2+ab+b2) = a3-b3 (x-2)(x2+2x+4) = x3-8 ALGUNS EXERCÍCIOS RESOLVIDOS: 1) Desenvolva: a) (3x+y)2 (3x+y)2 = (3x)2+2.3x.y+y2 = 9x2+6xy+y2 b) ((1/2)+x2)2 ((1/2)+x2)2 = (1/2)2+2.(1/2).x2+(x2)2 = (1/4) +x2+x4 c) ((2x/3)+4y3)2 ((2x/3)+4y3)2 = (2x/3)2-2.(2x/3).4y3+(4y3)2= (4/9)x2-(16/3)xy3+16y6 d) (2x+3y)3 (2x+3y)3 = (2x)3+3.(2x)2.3y+3.2x.(3y)2+(3y)3 = 8x3+36x2y+54xy2+27y3 e) (x4+(1/x2))3 (x4+(1/x2))3 = (x4)3+3.(x4)2.(1/x2)+3.x4.(1/x2)2+(1/x2)3 = x12+3x6+3+(1/x6) f) ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5))
  • 2. Só Matemática – O seu portal matemático http://www.somatematica.com.br ((2x/3)+(4y/5)).((2x/3)-(4y/5)) = (2x/3)2-(4y/5)2 = (4/9)x2-(16/25)y2 2) Efetue as multiplicações: a) (x-2)(x-3) (x-2)(x-3) = x2+((-2)+(-3))x+(-2).(-3) = x2-5x+6 b) (x+5)(x-4) (x+5)(x-4) = x2+(5+(-4))x+5.(-4) = x2+x-20 3) Simplifique as expressões: a) (x+y)2–x2-y2 (x+y)2–x2-y2 = x2+2xy+y2–x2-y2 = 2xy b) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) (x+2)(x-7)+(x-5)(x+3) = x2+(2+(-7))x+2.(-7) + x2+(-5+3)x+3.(-5) = x2-5x-14+ x2-2x-15 = 2x2-7x-29 c) (2x-y)2-4x(x-y) (2x-y)2-4x(x-y) = (2x)2-2.2x.y+y2-4x2+4xy = 4x2-4xy+y2-4x2+4xy = y2