O documento discute como abordar os produtos notáveis de forma não mecânica, mostrando suas aplicações geométricas através da comparação com áreas de figuras planas como quadrados e retângulos. Exemplos como a.(b+c), c.(a-b) e (a+b)2 são explicados geometricamente representando áreas de retângulos e quadrados divididos em setores.

1. Produtos notáveis e Áreas:
uma relação muito próxima.
Autor: Nilo Silveira Monteiro de Lima

2.  Atualmente, percebemos o Ensino da Matemática muito mecanizado por
conta da avaliação máxima do ciclo escolar, o Vestibular. Avaliação essa
que impõe aos alunos uma carga incompatível com os bons padrões de
ensino e aprendizagem pois, num espaço curtíssimo de tempo exige-se
uma ementa enorme de conteúdos de disciplinas diversas que premiam
a memorização e a adaptação de diversos conteúdos para que sejam
aplicados neste espaço de tempo. E quando nos damos conta das
perdas causadas por esses modelos, principalmente a redução da
capacidade de criação e interpretação dos alunos, acaba sendo tarde
demais.
 O Objetivo dessa apresentação é trazer um tratamento diferenciado a
um conteúdo importante do Ensino Fundamental, os Produtos notáveis,
que mostraremos além da abordagem mecanizada será mostrada sua
aplicação geométrica através da comparação com áreas de quadrados e
retângulos, e a aplicação das mesmas em exemplos do dia a dia. É
desejável uma revisão das áreas do quadrado e do retângulo para o
bom desenvolvimento deste trabalho.
Espero que Apreciem.

3. Os produtos notáveis têm esse nome por aparecerem com
freqüência em diversas fases do ciclo escolar.
Normalmente, os produtos notáveis trabalhados em sala de aula
são os seguintes:
 a.(b+c)= ?
 c.(a-b)= ?
 (a+b)²= ? (quadrado da soma)
 (a-b)²= ? (quadrado da diferença)
 (a-b).(a+b)= ?
Veremos a seguir, para cada um dos exemplos acima como
desenvolver da forma mecanizada até a comparação geométrica
das mesmas.

4. No primeiro caso, o produto a.(b+c) é desenvolvido pela distribuição
dos seus membros tão somente como indica o diagrama das setas:
Neste caso, multiplicamos a com o primeiro termo de dentro do
parênteses, b, e somamos com produto de a com c (segundo termo
da soma). Até aí seria só memorizar. Mais uma fórmula no meio de
tantas outras, mas se mostrarmos sua aplicação geométrica, sejam
dois retângulos de arestas a e b, respectivamente, de mesma altura
c temos que sua área (como na gravura abaixo) será a soma das
áreas A1 e A2. Veja:

5. Sejam as áreas A1 = a.c e A2=a.b, a
área do retângulo que é formado
pela soma de ambos será A=A1+A2
ou seja, A=a.c+a.b , justamente o
resultado da operação em questão.
Algo semelhante com a operação
seguinte, veja:
Neste caso, o que queremos exemplificar é a seguinte operação:
Mais uma vez seria apenas um problema de memorização mas levando-
se em conta a aplicação geométrica teremos:

6. O retângulo que contem as áreas A1 e A2
neste caso será de área A=a.c . Caso
queiramos separar a área A1 de A2 teremos
A1=A-A2, logo teremos A1= c.(a-b) e A-
A2=a.c-b.c daí c.(a-b) = a.c-b.c como
desejado.
Prosseguindo, passamos ao quadrado da soma que, pelo método
mecânico seria apenas o quadrado do primeiro termo somado ao produto de
duas vezes o primeiro termo pelo segundo somado ao quadrado do segundo
termo entre parênteses, funcionaria como o diagrama abaixo exemplifica.

7. Imaginemos um quadrado de lado a+b,
sua área é (a+b)². logo A=(a+b)².
Se dividirmos este em quatro setores
(como a figura ao lado indica) A1,A2 e
dois setores A3 (pois estes se repetem
duas vezes) a área dos mesmos
seriam A1=a² e A2=b² (quadrados) e
A3=a.b (retângulos).
Daí temos que a área total será o
somatório: A= A1+2.A3+A2.
Substituindo os valores nessa equação
teremos A=a²+2.a.b+b² . Logo
(a+b)²=a²+2.a.b+b²
O exemplo a seguir trabalha de forma semelhante. Vejamos:

8. Desta vez passamos ao quadrado da diferença que, pelo método
mecânico seria apenas o quadrado do primeiro termo subtraído pelo produto
duas vezes o primeiro termo pelo segundo somado ao quadrado do segundo
termo entre parênteses, funcionaria como o diagrama abaixo exemplifica.
Observando mais uma vez a
aplicação geométrica, neste caso o
que desejamos dada a área total ser
A (do quadrado maior de lado a) que
é igual a soma de todas as áreas
contidas, se desejamos calcular
apenas A1 teremos:
A=A1+2.A3+A2. Daí sendo A=a²,
A3=b²-b.a e A2=b² procede:
a²=A1+2(b²-b.a)+b². Simplificando
esta chegamos a: A1=a²-2.a.b-b².
Mais uma vez o resultado desejado.

9. Chegamos ao nosso último exemplo, o produto da soma com a diferença dados
dois termos a e b. Da forma mecanizada temos: (a+b).(a-b)= a²-b² , ou seja, a
diferença dos quadrados dos termos.
Desta vez, vamos admitir um retângulo de lado a e base a+b. (vide figura
abaixo). Desejamos desta vez a soma das áreas A1 e A3.
Sendo a área total
A = a.(a+b)= a²+b.a, segue
que:
A=A1+A2+A3+A4. Daí,
A1+A3=A-A2-A4, então:
A1+A3 = a²+b.a-b²-b.a =
a²-b²
Mais uma vez com êxito chegamos ao resultado que queríamos.

10. Bibliografia:
BARROSO, Juliana Matsubara. Projeto Araribá – Matemática. V.único. 1ª
Edição. São Paulo: Moderna, 2006. p.185,187 e 189.