Ângulos, triângulos e quadriláteros

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Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Demonstração
a + x = 180º b + x = 180ºI
= II
a + x = b + x
a + x – x = b + x – x
a + 0 = b + 0
a = b
I
II
Ângulos opostos pelo vértice

Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos formados por duas retas concorrentes
• r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , e
de medidas a, b, c e d, respectivamente.
• e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º).
• e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).

Ângulos
correspondentes
a = e
b = f
c = g
d = h
Ângulos
colaterais externos
a + h = 180º
b + g = 180º
Ângulos alternos externos
a = g b = h
Ângulos alternos internos
c = e d = f
Ângulos colaterais internos
c + f = 180º
d + e = 180º
Ângulos formados por retas paralelas cortadas
por uma reta transversal
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e e e

Se x + y + z = 180º, então
podemos concluir que:
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
• x é a medida de ;
• y é a medida de , pois e são
ângulos alternos internos, e a reta r é
paralela à reta BC;
• z é a medida de , pois as retas r
e a reta BC são paralelas, e e são
ângulos alternos internos.
= 180º.+ +

Relação que envolve as medidas dos ângulos internos
e externos de um triângulo
180º
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes a ele.
180º+ +
+ x =
x = +
y = + z = +
=
onde x é a medida do ângulo externo, e e
são ângulos internos não adjacentes a ele.

Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos:
X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST
Polígonos convexos e polígonos não convexos
Polígonos
O segmento de reta XY, independentemente das posições dos pontos X e Y,
sempre estará inteiramente contido na região limitada pelo polígono ABCDE.
Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo.
No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o
segmento de reta MN não esteja inteiramente contido na região limitada por
esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.
A
B
C
D E
X
Y
P Q
R
S
T
M
N

Elementos de um polígono convexo
Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos
internos e ângulos externos é o mesmo.

Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)
Si = 180º = 1 . 180º
Número de lados menos 2 (3 – 2)
Si = 2 . 180º = 360º
Si = 3 . 180º = 540º
Se um polígono convexo tem n lados,
a soma das medidas de seus ângulos
internos (Si) é dada pela equação:
Si = (n – 2) . 180º

+ =
Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)
SeSi 5 . 180º
Si = (n – 2) . 180º
Si = (5 – 2) . 180º
Si = 540º
540º + Se = 900º
540º – 540º + Se = 900º – 540º
Se = 360º
Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos
é igual a 360º.
Exemplo
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º

Ângulos internos e ângulos externos de polígonos regulares
Indicamos por:
ai: medida de cada ângulo interno. ai = =
ae: medida de cada ângulo externo. ae = =
Um polígono convexo é um polígono regular quando tem todos os lados com a
mesma medida e todos os ângulos internos com a mesma medida.

Números de diagonais de um polígono convexo
d =
número de diagonais que
partem de cada vértice
número de lados
Dividimos por 2 para não
contar cada diagonal 2 vezes.
A
B
CD
E

Elementos de um triângulo
Vértices: pontos A, B e C.
Ampliando o estudo dos triângulos
Ângulos internos: , e .
Lados: segmentos de reta , e .
Ângulos externos: , e .
O lado oposto ao ângulo é o lado .
O ângulo é o ângulo oposto ao lado .
Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .
Os ângulos e são adjacentes suplementares .

Condição de existência de um triângulo
Desigualdade triangular
Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a soma
das medidas dos outros dois lados.
a < b + c
b < a + c
c < a + b
a
bc
3 cm
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm 1,5 cm

Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Observe que ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e ao menor ângulo
opõe-se o menor lado.
>90º >60º 30º
Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado e, reciprocamente,
ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Da mesma forma, ao menor ângulo
opõe-se o menor lado e, reciprocamente, ao menor lado opõe-se o menor
ângulo.
> >
A
BC
60º
30º
Lados opostos

Figuras congruentes e congruência de triângulos
Figuras congruentes
Congruência de triângulos
A congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a
congruência dos dois triângulos.
A
B
C
D
P
Q
40º
40º
A B
C
P Q
R

Casos de congruência de triângulos
1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o
ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes.
A
B
C E
F
G
Então:

2o caso: LLL (lado, lado, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem os
três lados respectivamente congruentes.
A B
C
EF
G
Então:

3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado e
os dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.
A B
C
E F
G
Então:

4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
A
B
C
E F
G
Então:

Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é o segmento
de reta que tem como extremidades um
vértice do triângulo e o ponto médio do
lado aposto a esse vértice.
Baricentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três medianas
cruzam-se em um mesmo ponto,
chamado baricentro do triângulo.
O baricentro de qualquer triângulo
divide a mediana na razão de 1 para 2.
A
B C
M
F
G H
M
NL
B

Bissetriz de um triângulo
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta
que tem uma extremidade em um vértice do
triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a
outra extremidade no lado oposto a esse vértice.
Incentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-se
em um mesmo ponto, chamado incentro do
triângulo.
A
B C
S
P
Q R
I

Altura de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta com uma extremidade em um
vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
A
B C
H
E
F G
P
Q
R
X

Ortocentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um
mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.
A
B C
H
P
R

Mediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo
Mediatriz de um segmento de reta Circuncentro de um triângulo
• m é a mediatriz de
F
C
B
mediatriz
de
mediatriz
de
mediatriz
de
P
C
BA
M
m
• e é reto

Paralelogramos
Todo quadrilátero cujos lados
opostos são paralelos.
Propriedades dos paralelogramos
1a propriedade: Em todo paralelogramo,
dois ângulos opostos são congruentes e dois
ângulos não opostos são suplementares.
Ampliando o estudo dos quadriláteros
BA
C D
// e //
BA
CD
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
=
=

2a propriedade: Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Pelo caso ALA, concluímos que:
3a propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,
é o ponto médio das duas diagonais.
(medidas de ângulos alternos internos)=
(medidas de ângulos alternos internos)=
. Logo, e .
(caso ALA)
Então:
e
(lado comum)

Propriedade dos retângulos
As diagonais de um retângulo são congruentes.
As diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.
A B
CD
A
D C
B
CD
(retos)
(lados opostos de um retângulo)
(lado comum)
Pelo caso LAL, temos: .
Portanto:

Propriedade dos losangos
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas
bissetrizes dos ângulos internos do losango.
Como então e+ = 180º, = 90º.= 90º
Logo, e são perpendiculares entre si.
Então, está sobre as bissetrizes de e de .
Pelo caso LLL, temos e daí temos = .
Pelo caso LLL, temos e daí temos e .

Trapézios
Quadriláteros que têm
apenas dois lados paralelos.
: base menor
: base maior
//
Tipos de trapézio
Trapézio retângulo é aquele que tem dois
ângulos internos retos.
Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não
paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais.
A B
CD
P Q
RS
A B
CD

Base média de um trapézio
Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritmética das
medidas das bases maior e menor do trapézio.
MN =
A B
CD
M N

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