O documento apresenta conceitos geométricos como ângulos, triângulos, polígonos e quadriláteros. Inclui definições de ângulos opostos pelo vértice, soma dos ângulos internos de polígonos, elementos de triângulos e quadriláteros como paralelogramos e trapézios.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
O documento apresenta fórmulas para calcular o perímetro e área de várias figuras planas como polígonos, retângulos, quadrados e triângulos. Também fornece exemplos de como aplicar essas fórmulas para calcular a área de terrenos e propriedades rurais usando unidades como metro quadrado e hectare.
O documento descreve conceitos básicos de geometria como ponto, reta, plano e ângulos. Define pontos como localizações adimensionais representadas por letras maiúsculas. Explica que um plano é infinito e é indicado por letras gregas. Detalha os tipos de ângulos como agudos, obtusos e retos com suas aberturas correspondentes.
O documento define prisma como um poliedro convexo formado por duas bases paralelas congruentes e faces laterais em forma de paralelogramos. Descreve suas características principais como vértices, arestas, classificação, nomenclatura e fórmulas para calcular área e volume. Apresenta exemplos resolvidos e informações sobre paralelepípedos e cubos.
O documento explica o que é um ângulo, como são classificados e medidos. Um ângulo é formado por duas semirretas que têm o mesmo ponto de origem. Ângulos podem ser agudos, retos ou obtusos dependendo da abertura entre as semirretas. Eles são medidos em graus usando um transferidor, com um grau correspondendo a 1/180 de um ângulo reto.
O documento discute medidas estatísticas como desvio médio, variância e desvio padrão. O desvio médio mede a distância média dos dados em relação à média. A variância calcula a diferença entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida da dispersão dos dados.
O documento apresenta os principais conceitos de geometria espacial, incluindo tipos de sólidos geométricos, área, volume e aplicações de problemas. O professor Ary de Oliveira discute prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera e tronco, além de apresentar exemplos de cálculo de área e volume destes sólidos.
O documento discute os tipos de quadriláteros. Define quadrilátero como um polígono de quatro lados e lista exemplos de quadriláteros convexos e côncavos. Também descreve os tipos de paralelogramos, incluindo seus ângulos, lados, diagonais e eixos de simetria. Finalmente, fornece exercícios sobre propriedades dos paralelogramos.
O documento descreve como determinar se dois triângulos são semelhantes, com base em ângulos correspondentes congruentes e razão entre lados correspondentes. Explica como usar a semelhança de triângulos para medir um terreno com obstáculo, dividindo as medidas por um número para obter um triângulo menor e similar.
O documento apresenta fórmulas para calcular o perímetro e área de várias figuras planas como polígonos, retângulos, quadrados e triângulos. Também fornece exemplos de como aplicar essas fórmulas para calcular a área de terrenos e propriedades rurais usando unidades como metro quadrado e hectare.
O documento descreve conceitos básicos de geometria como ponto, reta, plano e ângulos. Define pontos como localizações adimensionais representadas por letras maiúsculas. Explica que um plano é infinito e é indicado por letras gregas. Detalha os tipos de ângulos como agudos, obtusos e retos com suas aberturas correspondentes.
O documento define prisma como um poliedro convexo formado por duas bases paralelas congruentes e faces laterais em forma de paralelogramos. Descreve suas características principais como vértices, arestas, classificação, nomenclatura e fórmulas para calcular área e volume. Apresenta exemplos resolvidos e informações sobre paralelepípedos e cubos.
O documento explica o que é um ângulo, como são classificados e medidos. Um ângulo é formado por duas semirretas que têm o mesmo ponto de origem. Ângulos podem ser agudos, retos ou obtusos dependendo da abertura entre as semirretas. Eles são medidos em graus usando um transferidor, com um grau correspondendo a 1/180 de um ângulo reto.
O documento discute medidas estatísticas como desvio médio, variância e desvio padrão. O desvio médio mede a distância média dos dados em relação à média. A variância calcula a diferença entre cada valor e a média. O desvio padrão é a raiz quadrada da variância e fornece uma medida da dispersão dos dados.
O documento apresenta os principais conceitos de geometria espacial, incluindo tipos de sólidos geométricos, área, volume e aplicações de problemas. O professor Ary de Oliveira discute prisma, pirâmide, cilindro, cone, esfera e tronco, além de apresentar exemplos de cálculo de área e volume destes sólidos.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloSandra Barreto
1) O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
2) Também define secante, cossecante e cotangente como razões inversas de cosseno, seno e tangente, respectivamente.
3) Afirma que a razão de um ângulo agudo é igual à co-razão do outro ângulo agudo no mesmo triângulo, de acordo com a propriedade dos ângulos complementares.
O documento apresenta as fórmulas para calcular a área e o volume de várias figuras geométricas planas e sólidas. Inclui as fórmulas e exemplos numéricos para calcular a área do retângulo, quadrado, triângulo, paralelograma, trapézio, losango e círculo. Também apresenta as fórmulas e exemplos para calcular o volume do cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro.
Sólidos geométricos são objetos tridimensionais que possuem comprimento, largura e altura. Eles são classificados em poliedros, que têm apenas faces planas, e corpos redondos, que têm partes arredondadas. Exemplos de poliedros incluem cubos, prisma e pirâmides, enquanto esferas, cilindros e cones são corpos redondos.
O documento apresenta fórmulas para calcular áreas de diferentes figuras geométricas planas como retângulo, quadrado, triângulo, paralelogramo, losango e trapézio. Explica que a área do retângulo é dada por base vezes altura, do quadrado é o lado ao quadrado, e do triângulo é metade da área do retângulo equivalente. Para o paralelogramo e losango, desenha figuras equivalentes a retângulos. E para o trapézio, transforma-o em paralelogra
O documento discute conceitos geométricos de triângulos, incluindo pontos notáveis como o baricentro, circuncentro e ortocentro. É apresentado um software de geometria dinâmica para explorar essas propriedades através de construções. Os alunos são instruídos a realizar várias tarefas usando o software para compreender melhor esses pontos e características dos triângulos.
Aulas De Matemática - Apoio - Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
O documento define triângulo e seus elementos, classifica triângulos de acordo com lados e ângulos, apresenta teoremas e pontos notáveis de triângulos como ortocentro, baricentro e incentro. Propriedades de triângulos isósceles e equiláteros também são descritas.
1) O documento discute vários sólidos geométricos como prisma, pirâmide, tetraedro, cilindro, cone e esfera.
2) Ele fornece definições e fórmulas para calcular a área e o volume destes sólidos.
3) Também aborda políedros regulares e o teorema de Euler para políedros.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
Este documento fornece informações sobre polígonos, incluindo suas definições, tipos e propriedades. Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta. São classificados como convexos ou côncavos e recebem nomes específicos de acordo com o número de lados, como quadriláteros, pentágonos e hexágonos. O documento também descreve propriedades específicas de quadriláteros e paralelogramos.
O documento lista várias atividades com o quebra-cabeça Tangram que envolvem cálculo de áreas de figuras geométricas construídas com peças do jogo, fornecendo a área de cada peça e pedindo para calcular a área total da figura formada.
O documento discute diferentes tipos de quadriláteros, incluindo trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados. Ele lista as propriedades definidoras de cada um, como dois lados paralelos para trapézios, lados opostos paralelos para paralelogramos, e todos os ângulos retos para retângulos.
O documento apresenta conceitos fundamentais de perímetro e área de figuras planas, incluindo polígonos, retângulos, triângulos e problemas envolvendo cálculos de área e perímetro. É explicado que o perímetro é a soma dos comprimentos dos lados de uma figura e a área é uma medida da superfície de uma região. Fórmulas para calcular a área de retângulos e triângulos são apresentadas, assim como três problemas de aplicação envolvendo cálculos de área e perímetro de terrenos.
O documento explica os métodos para calcular as áreas e perímetros de várias figuras planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, trapézios, triângulos e losangos. Inicialmente, descreve a evolução das unidades de medida e a criação do sistema métrico decimal. Em seguida, apresenta as fórmulas para calcular áreas e perímetros de cada figura plana e exemplos ilustrativos.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
O documento discute os diferentes tipos de sólidos geométricos, divididos em poliedros e não poliedros. Os poliedros incluem figuras como cubos, pirâmides e prismas, cujas faces são polígonos. Os não poliedros como esferas, cones e cilindros têm pelo menos uma face curva. Exemplos comuns de cada tipo de sólido são dados, com suas características e elementos definidos.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
O documento fornece um resumo dos tópicos que serão abordados no 6o teste de matemática do 5o ano, incluindo números racionais, expressões algébricas, áreas, ângulos, paralelismo, perpendicularidade, triângulos, paralelogramos e organização de dados. Ele também define conceitos-chave como área, paralelismo, perpendicularidade e tipos de ângulos.
1) Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem, chamadas lados, com um ponto de origem chamado vértice.
2) Existem diferentes tipos de ângulos: agudo, reto, obtuso, nulo e raso. A medida de um ângulo é dada em graus, minutos e segundos.
3) Nas operações com medidas de ângulos, aplicam-se as mesmas regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de números.
O documento descreve as propriedades básicas dos triângulos, incluindo: 1) A soma dos ângulos internos é 180o; 2) A soma dos ângulos externos é 360o; 3) Um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
Razões trigonométricas no triângulo retânguloSandra Barreto
1) O documento discute razões trigonométricas em triângulos retângulos, definindo seno, cosseno e tangente de um ângulo agudo.
2) Também define secante, cossecante e cotangente como razões inversas de cosseno, seno e tangente, respectivamente.
3) Afirma que a razão de um ângulo agudo é igual à co-razão do outro ângulo agudo no mesmo triângulo, de acordo com a propriedade dos ângulos complementares.
O documento apresenta as fórmulas para calcular a área e o volume de várias figuras geométricas planas e sólidas. Inclui as fórmulas e exemplos numéricos para calcular a área do retângulo, quadrado, triângulo, paralelograma, trapézio, losango e círculo. Também apresenta as fórmulas e exemplos para calcular o volume do cubo, paralelepípedo, esfera, cilindro.
Sólidos geométricos são objetos tridimensionais que possuem comprimento, largura e altura. Eles são classificados em poliedros, que têm apenas faces planas, e corpos redondos, que têm partes arredondadas. Exemplos de poliedros incluem cubos, prisma e pirâmides, enquanto esferas, cilindros e cones são corpos redondos.
O documento apresenta fórmulas para calcular áreas de diferentes figuras geométricas planas como retângulo, quadrado, triângulo, paralelogramo, losango e trapézio. Explica que a área do retângulo é dada por base vezes altura, do quadrado é o lado ao quadrado, e do triângulo é metade da área do retângulo equivalente. Para o paralelogramo e losango, desenha figuras equivalentes a retângulos. E para o trapézio, transforma-o em paralelogra
O documento discute conceitos geométricos de triângulos, incluindo pontos notáveis como o baricentro, circuncentro e ortocentro. É apresentado um software de geometria dinâmica para explorar essas propriedades através de construções. Os alunos são instruídos a realizar várias tarefas usando o software para compreender melhor esses pontos e características dos triângulos.
Aulas De Matemática - Apoio - Estude Menos e Aprenda Mais. Use Estratégias e Macetes. Saiba Mais F. 21 8170-6379 / 22677-3891 / 3496-9660 - Visite nosso site : www.aulasdematematicaapoio.com
O documento introduz os conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) os elementos primitivos de ponto, reta e plano; (2) as noções de figuras geométricas como triângulos e ângulos; (3) as propriedades e classificações de triângulos e ângulos.
O documento define triângulo e seus elementos, classifica triângulos de acordo com lados e ângulos, apresenta teoremas e pontos notáveis de triângulos como ortocentro, baricentro e incentro. Propriedades de triângulos isósceles e equiláteros também são descritas.
1) O documento discute vários sólidos geométricos como prisma, pirâmide, tetraedro, cilindro, cone e esfera.
2) Ele fornece definições e fórmulas para calcular a área e o volume destes sólidos.
3) Também aborda políedros regulares e o teorema de Euler para políedros.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
Este documento fornece informações sobre polígonos, incluindo suas definições, tipos e propriedades. Polígonos são figuras planas fechadas formadas por segmentos de reta. São classificados como convexos ou côncavos e recebem nomes específicos de acordo com o número de lados, como quadriláteros, pentágonos e hexágonos. O documento também descreve propriedades específicas de quadriláteros e paralelogramos.
O documento lista várias atividades com o quebra-cabeça Tangram que envolvem cálculo de áreas de figuras geométricas construídas com peças do jogo, fornecendo a área de cada peça e pedindo para calcular a área total da figura formada.
O documento discute diferentes tipos de quadriláteros, incluindo trapézios, paralelogramos, retângulos, losangos e quadrados. Ele lista as propriedades definidoras de cada um, como dois lados paralelos para trapézios, lados opostos paralelos para paralelogramos, e todos os ângulos retos para retângulos.
O documento apresenta conceitos fundamentais de perímetro e área de figuras planas, incluindo polígonos, retângulos, triângulos e problemas envolvendo cálculos de área e perímetro. É explicado que o perímetro é a soma dos comprimentos dos lados de uma figura e a área é uma medida da superfície de uma região. Fórmulas para calcular a área de retângulos e triângulos são apresentadas, assim como três problemas de aplicação envolvendo cálculos de área e perímetro de terrenos.
O documento explica os métodos para calcular as áreas e perímetros de várias figuras planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, trapézios, triângulos e losangos. Inicialmente, descreve a evolução das unidades de medida e a criação do sistema métrico decimal. Em seguida, apresenta as fórmulas para calcular áreas e perímetros de cada figura plana e exemplos ilustrativos.
O documento explica como calcular áreas e perímetros de figuras geométricas planas como retângulos, quadrados, paralelogramos, triângulos, losangos, trapézios e círculos. Fornece fórmulas para calcular a área e o perímetro de cada figura e dá exemplos práticos de como essas medidas são usadas para tarefas como calcular a quantidade de material necessário para construção ou pintura.
O documento discute os diferentes tipos de sólidos geométricos, divididos em poliedros e não poliedros. Os poliedros incluem figuras como cubos, pirâmides e prismas, cujas faces são polígonos. Os não poliedros como esferas, cones e cilindros têm pelo menos uma face curva. Exemplos comuns de cada tipo de sólido são dados, com suas características e elementos definidos.
O documento apresenta três situações envolvendo expressões algébricas. Na primeira, calcula-se a área de uma figura. Na segunda, calcula-se o perímetro de um terreno retangular. Na terceira, representa-se algebraicamente o troco que restou para uma pessoa após comprar sorvetes.
O documento apresenta exemplos de sistemas de equações do 1o e 2o grau. No primeiro exemplo, é resolvido um sistema linear com duas equações e duas incógnitas para encontrar as idades de Marlon e Maria. O segundo exemplo resolve um sistema não linear com duas equações do 2o grau para encontrar dois números cuja soma é 18 e produto é 45.
O documento fornece um resumo dos tópicos que serão abordados no 6o teste de matemática do 5o ano, incluindo números racionais, expressões algébricas, áreas, ângulos, paralelismo, perpendicularidade, triângulos, paralelogramos e organização de dados. Ele também define conceitos-chave como área, paralelismo, perpendicularidade e tipos de ângulos.
1) Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem, chamadas lados, com um ponto de origem chamado vértice.
2) Existem diferentes tipos de ângulos: agudo, reto, obtuso, nulo e raso. A medida de um ângulo é dada em graus, minutos e segundos.
3) Nas operações com medidas de ângulos, aplicam-se as mesmas regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de números.
O documento descreve as propriedades básicas dos triângulos, incluindo: 1) A soma dos ângulos internos é 180o; 2) A soma dos ângulos externos é 360o; 3) Um ângulo externo é igual à soma dos ângulos internos não adjacentes.
O documento apresenta conceitos básicos de geometria plana, incluindo:
(1) Definição de ângulo, unidades de medida e tipos de ângulos;
(2) Propriedades de quadriláteros e triângulos;
(3) Fórmulas para calcular perímetro e área de figuras planas como retângulos, círculos e triângulos.
O documento discute classificações de triângulos de acordo com o tamanho de seus lados e ângulos internos. Triângulos podem ser equiláteros, isósceles ou escalenos dependendo da igualdade entre seus lados, e podem ser agudos, retos ou obtusos dependendo se seus ângulos são menores, iguais ou maiores que 90 graus. O documento também explica a propriedade de que a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a 180 graus.
1) O documento aborda conceitos básicos de trigonometria, incluindo tipos de triângulos, teorema de Pitágoras, funções trigonométricas e suas relações no círculo trigonométrico.
2) São apresentados exemplos numéricos ilustrando aplicações das funções seno, cosseno e tangente em triângulos retângulos.
3) As tabelas de valores notáveis e as relações fundamentais entre as funções trigonométricas são explicadas detalhadamente.
Identificando os quadrantes do ciclo trigonométricotrigono_metria
O documento discute ângulos notáveis, relações trigonométricas e como calcular as funções seno, cosseno e tangente para ângulos de 30°, 45° e 60° usando triângulos retângulos e propriedades geométricas. Ele também explica arcos com mais de uma volta, arcos congruentes, funções trigonométricas recíprocas e equações trigonométricas.
O documento discute vários conceitos fundamentais de geometria plana, incluindo: 1) A definição de polígonos e seus elementos; 2) As classificações e propriedades de triângulos e quadriláteros; 3) Teoremas importantes como o de Tales e da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo.
1) O documento descreve conceitos básicos da geometria plana, incluindo pontos, retas, segmentos de reta, ângulos e triângulos.
2) É apresentada a definição e representação de pontos, retas, segmentos de reta e suas propriedades.
3) São descritos os tipos de ângulos e triângulos com base em suas medidas e relações.
Importantes exercícios de geometria sobre ângulos (soma e subtração, complementares e suplementares), triângulos e quadriláteros, área e perímetro, etc. Muito bom!
Este documento é uma apostila de geometria que resume os principais tópicos de geometria plana e noções básicas de geometria espacial. A apostila contém 10 seções que abordam ângulos, polígonos, triângulos, quadriláteros, círculos, áreas de figuras planas e noções de geometria espacial, além de questões objetivas e discursivas com respostas. O documento é assinado pelo professor Paulo Soares Batista.
O documento fornece informações sobre triângulos, incluindo:
1) As definições dos elementos de um triângulo (vértices, lados, ângulos)
2) As classificações de triângulos de acordo com os ângulos (agudo, retângulo, obtuso) e lados (equilátero, isósceles, escaleno)
3) A condição necessária para a existência de um triângulo a partir das medidas de seus lados
1) O documento descreve vários conceitos relacionados a ângulos, incluindo suas definições, tipos (agudo, obtuso, reto etc), unidades de medida e relações entre ângulos (consecutivos, adjacentes, suplementares etc).
2) Inclui também exemplos de problemas de ângulos com suas respectivas soluções.
3) Fornece detalhes sobre sistemas de medida de ângulos (sexagesimal, decimal, circular), propriedades de ângulos formados por retas paralelas cortadas por uma transversal e outros tópic
O documento descreve as principais relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. 1) No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2) Outras relações envolvem a altura, projeções e produtos dos lados. 3) Essas relações podem ser aplicadas para calcular diagonais, alturas e diagonais de figuras.
1 ano trigonometria no triângulo retângulo - 2008Erick Fernandes
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos, relacionando lados e ângulos. Apresenta as definições de seno, cosseno e tangente de um ângulo em termos dos catetos e hipotenusa. Fornece exemplos de cálculo destas razões trigonométricas e introduz outras identidades trigonométricas.
Trigonometria exercícios resolvidos e teoriatrigono_metria
Pitágoras descobriu a importante propriedade de que, num triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos, conhecida como Teorema de Pitágoras. O documento explica a vida e contribuições de Pitágoras para a matemática, incluindo a descoberta e demonstração deste importante teorema.
O documento discute trigonometria em triângulos retângulos, definindo seus lados como hipotenusa e catetos, e apresenta as funções trigonométricas básicas de seno, cosseno e tangente. Também apresenta o Teorema de Pitágoras e exemplos de exercícios resolvidos usando conceitos de trigonometria.
Congruencia e semelhanca de figuras planasjeanfree
O documento discute vários tópicos relacionados a geometria plana, incluindo: 1) congruência e semelhança de figuras planas, 2) propriedades dos triângulos semelhantes e polígonos semelhantes, 3) relações métricas do triângulo retângulo. O documento também aborda classificação de triângulos, condições de existência, e outros elementos como alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes.
Geometria plana ângulos, triângulos, quadriláteros, cálculo de áreasCamila Rodrigues
O documento apresenta os principais conceitos de Geometria Plana, incluindo: definição da disciplina e seus principais estudiosos na Grécia Antiga; elementos básicos como ponto, reta e plano; classificação e propriedades de ângulos, triângulos e quadriláteros; e cálculo de áreas de figuras planas.
1) O documento fornece dicas para resolução de exercícios, como estudar a teoria antes, começar pelos mais fáceis, ler com atenção o enunciado, traçar uma estratégia e verificar a resposta.
2) Em seguida resume pontos notáveis do triângulo como bissetriz, mediatriz, mediana e altura.
3) Por fim, apresenta uma lista de exercícios sobre esses pontos do triângulo.
Este documento fornece informações sobre ângulos e triângulos. Discute a definição e classificação de ângulos, incluindo ângulos nulos, agudos, retos e obtusos. Também explica a construção de ângulos e a bissectriz de um ângulo. Para triângulos, descreve a definição, classificação, desigualdade triangular e construção de triângulos. Inclui links para atividades e exercícios relacionados.
Semelhante a Ângulos, triângulos e quadriláteros (20)
1) O documento discute equações de 1o grau com uma ou mais incógnitas, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) São apresentados sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas, incluindo classificação, métodos de resolução e representação gráfica das soluções.
3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.
O documento apresenta diferentes grandezas físicas como comprimento, massa, tempo e capacidade. Ele explica as unidades de medida associadas a essas grandezas como metro, quilograma, hora e litro. Além disso, descreve instrumentos de medida como balança, relógio, trena e jarra medidora.
1) O documento discute coordenadas cartesianas e como localizar pontos em um plano cartesiano usando pares ordenados de números reais. 2) É introduzido o conceito de função e como mapear conjuntos usando funções afins e quadráticas. 3) São explicados conceitos como domínio, contradomínio, conjunto imagem e como interpretar e construir gráficos de funções.
1) O documento discute conceitos de divisibilidade e decomposição de números naturais em fatores primos.
2) São apresentados critérios de divisibilidade por diferentes números e métodos para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de números.
3) Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos para resolver problemas.
O documento apresenta exemplos e conceitos básicos sobre expressões algébricas, equações do 1o grau com uma incógnita e resolução de equações utilizando propriedades algébricas como distribuição e igualdade. Inclui também exemplos de equações com frações, parênteses e dízimas periódicas.
1) O documento discute conceitos de divisibilidade e decomposição de números naturais em fatores primos.
2) São apresentados critérios de divisibilidade por diferentes números e métodos para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de números.
3) Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos e métodos para resolver problemas.
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Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...Biblioteca UCS
A biblioteca abriga, em seu acervo de coleções especiais o terceiro volume da obra editada em Lisboa, em 1843. Sua exibe
detalhes dourados e vermelhos. A obra narra um romance de cavalaria, relatando a
vida e façanhas do cavaleiro Clarimundo,
que se torna Rei da Hungria e Imperador
de Constantinopla.
Sistema de Bibliotecas UCS - Chronica do emperador Clarimundo, donde os reis ...
Ângulos, triângulos e quadriláteros
1. Início Sair
Dois ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.
Demonstração
a + x = 180º b + x = 180ºI
= II
a + x = b + x
a + x – x = b + x – x
a + 0 = b + 0
a = b
I
II
Ângulos opostos pelo vértice
2. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos formados por duas retas concorrentes
• r e s são duas retas concorrentes que determinam os ângulos , , e
de medidas a, b, c e d, respectivamente.
• e são ângulos adjacentes e suplementares (a + b = 180º).
• e são ângulos opostos pelo vértice (a = c).
3. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos
correspondentes
a = e
b = f
c = g
d = h
Ângulos
colaterais externos
a + h = 180º
b + g = 180º
Ângulos alternos externos
a = g b = h
Ângulos alternos internos
c = e d = f
Ângulos colaterais internos
c + f = 180º
d + e = 180º
Ângulos formados por retas paralelas cortadas
por uma reta transversal
e
e
e
e
e
e
e
e
e
e e e
4. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Se x + y + z = 180º, então
podemos concluir que:
Soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo
• x é a medida de ;
• y é a medida de , pois e são
ângulos alternos internos, e a reta r é
paralela à reta BC;
• z é a medida de , pois as retas r
e a reta BC são paralelas, e e são
ângulos alternos internos.
= 180º.+ +
5. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Relação que envolve as medidas dos ângulos internos
e externos de um triângulo
180º
Em todo triângulo, a medida de um ângulo externo é igual à soma das medidas
dos ângulos internos não adjacentes a ele.
180º+ +
+ x =
x = +
y = + z = +
=
onde x é a medida do ângulo externo, e e
são ângulos internos não adjacentes a ele.
6. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Tomamos dois pontos na região limitada pelos polígonos:
X e Y no polígono ABCDE M e N no polígono PQRST
Polígonos convexos e polígonos não convexos
Polígonos
O segmento de reta XY, independentemente das posições dos pontos X e Y,
sempre estará inteiramente contido na região limitada pelo polígono ABCDE.
Quando isso ocorre chamamos o polígono de convexo.
No polígono PQRST é possível encontrar dois pontos (M e N) tal que o
segmento de reta MN não esteja inteiramente contido na região limitada por
esse polígono. Por isso ele é chamado de polígono não convexo.
A
B
C
D E
X
Y
P Q
R
S
T
M
N
7. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Elementos de um polígono convexo
Em qualquer polígono convexo, o número de vértices, de lados, de ângulos
internos e ângulos externos é o mesmo.
8. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Soma das medidas dos ângulos internos de um polígono convexo (Si)
Si = 180º = 1 . 180º
Número de lados menos 2 (3 – 2)
Si = 2 . 180º = 360º
Número de lados menos 2 (4 – 2)
Si = 3 . 180º = 540º
Número de lados menos 2 (5 – 2)
Se um polígono convexo tem n lados,
a soma das medidas de seus ângulos
internos (Si) é dada pela equação:
Si = (n – 2) . 180º
9. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
+ =
Soma das medidas dos ângulos externos de um polígono convexo (Se)
SeSi 5 . 180º
Si = (n – 2) . 180º
Si = (5 – 2) . 180º
Si = 540º
540º + Se = 900º
540º – 540º + Se = 900º – 540º
Se = 360º
Em qualquer polígono convexo, a soma das medidas dos ângulos externos
é igual a 360º.
Exemplo
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
10. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ângulos internos e ângulos externos de polígonos regulares
Indicamos por:
ai: medida de cada ângulo interno. ai = =
ae: medida de cada ângulo externo. ae = =
Um polígono convexo é um polígono regular quando tem todos os lados com a
mesma medida e todos os ângulos internos com a mesma medida.
11. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Números de diagonais de um polígono convexo
d =
número de diagonais que
partem de cada vértice
número de lados
Dividimos por 2 para não
contar cada diagonal 2 vezes.
A
B
CD
E
12. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Elementos de um triângulo
Vértices: pontos A, B e C.
Ampliando o estudo dos triângulos
Ângulos internos: , e .
Lados: segmentos de reta , e .
Ângulos externos: , e .
O lado oposto ao ângulo é o lado .
O ângulo é o ângulo oposto ao lado .
Os ângulos internos não adjacentes ao ângulo externo são os ângulos e .
Os ângulos e são adjacentes suplementares .
13. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Condição de existência de um triângulo
Desigualdade triangular
Em todo triângulo, a medida de um lado é sempre menor do que a soma
das medidas dos outros dois lados.
a < b + c
b < a + c
c < a + b
a
bc
3 cm
4 cm
2 cm
4 cm
2 cm 1,5 cm
14. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Relação entre lados e ângulos de um triângulo
Observe que ao maior ângulo opõe-se o maior lado, e ao menor ângulo
opõe-se o menor lado.
>90º >60º 30º
Em todo triângulo, ao maior ângulo opõe-se o maior lado e, reciprocamente,
ao maior lado opõe-se o maior ângulo. Da mesma forma, ao menor ângulo
opõe-se o menor lado e, reciprocamente, ao menor lado opõe-se o menor
ângulo.
> >
A
BC
60º
30º
Lados opostos
15. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Figuras congruentes e congruência de triângulos
Figuras congruentes
Congruência de triângulos
A congruência dos seis elementos (três lados e três ângulos) determina a
congruência dos dois triângulos.
A
B
C
D
P
Q
40º
40º
A B
C
P Q
R
16. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Casos de congruência de triângulos
1o caso: LAL (lado, ângulo, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem dois lados e o
ângulo compreendido entre eles respectivamente congruentes.
A
B
C E
F
G
Então:
17. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
2o caso: LLL (lado, lado, lado)
Dois triângulos são congruentes quando possuem os
três lados respectivamente congruentes.
A B
C
EF
G
Então:
18. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
3o caso: ALA (ângulo, lado, ângulo)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado e
os dois ângulos adjacentes a ele respectivamente congruentes.
A B
C
E F
G
Então:
19. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
4o caso: LAAo (lado, ângulo, ângulo oposto)
Dois triângulos são congruentes quando possuem um lado, um ângulo
adjacente e o ângulo oposto a esse lado respectivamente congruentes.
A
B
C
E F
G
Então:
20. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Mediana, bissetriz e altura de um triângulo
Mediana de um triângulo
Mediana de um triângulo é o segmento
de reta que tem como extremidades um
vértice do triângulo e o ponto médio do
lado aposto a esse vértice.
Baricentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três medianas
cruzam-se em um mesmo ponto,
chamado baricentro do triângulo.
O baricentro de qualquer triângulo
divide a mediana na razão de 1 para 2.
A
B C
M
F
G H
M
NL
B
21. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Bissetriz de um triângulo
Bissetriz de um triângulo é o segmento de reta
que tem uma extremidade em um vértice do
triângulo, divide o ângulo interno ao meio e tem a
outra extremidade no lado oposto a esse vértice.
Incentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três bissetrizes cruzam-se
em um mesmo ponto, chamado incentro do
triângulo.
A
B C
S
P
Q R
I
22. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Altura de um triângulo
Altura de um triângulo é o segmento de reta com uma extremidade em um
vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
A
B C
H
E
F G
P
Q
R
X
23. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Ortocentro de um triângulo
Em todo triângulo, as três alturas ou seus prolongamentos cruzam-se em um
mesmo ponto, chamado de ortocentro do triângulo.
A
B C
H
P
R
24. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Mediatriz de um segmento de reta e circuncentro de um triângulo
Mediatriz de um segmento de reta Circuncentro de um triângulo
• m é a mediatriz de
F
C
B
mediatriz
de
mediatriz
de
mediatriz
de
P
C
BA
M
m
• e é reto
25. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Paralelogramos
Todo quadrilátero cujos lados
opostos são paralelos.
Propriedades dos paralelogramos
1a propriedade: Em todo paralelogramo,
dois ângulos opostos são congruentes e dois
ângulos não opostos são suplementares.
Ampliando o estudo dos quadriláteros
BA
C D
// e //
BA
CD
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
+ = 180º
=
=
26. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
2a propriedade: Em todo paralelogramo, os lados opostos são congruentes.
Pelo caso ALA, concluímos que:
3a propriedade: Em todo paralelogramo, as diagonais cortam-se ao meio.
Ou seja, o ponto O, cruzamento das diagonais,
é o ponto médio das duas diagonais.
(medidas de ângulos alternos internos)=
(medidas de ângulos alternos internos)=
. Logo, e .
(caso ALA)
Então:
e
(lado comum)
27. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Propriedade dos retângulos
As diagonais de um retângulo são congruentes.
As diagonais de um retângulo são congruentes e cortam-se ao meio.
A B
CD
A
D C
B
CD
(retos)
(lados opostos de um retângulo)
(lado comum)
Pelo caso LAL, temos: .
Portanto:
28. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Propriedade dos losangos
As diagonais de um losango são perpendiculares entre si e estão contidas nas
bissetrizes dos ângulos internos do losango.
Como então e+ = 180º, = 90º.= 90º
Logo, e são perpendiculares entre si.
Então, está sobre as bissetrizes de e de .
Pelo caso LLL, temos e daí temos = .
Pelo caso LLL, temos e daí temos e .
29. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Trapézios
Quadriláteros que têm
apenas dois lados paralelos.
: base menor
: base maior
//
Tipos de trapézio
Trapézio retângulo é aquele que tem dois
ângulos internos retos.
Trapézio isósceles é aquele que tem dois lados não
paralelos congruentes, isto é, de medidas iguais.
A B
CD
P Q
RS
A B
CD
30. Início SairCapítulo 3 • Ângulos, triângulos e quadriláteros
Base média de um trapézio
Em todo trapézio, a medida da base média é igual à medida aritmética das
medidas das bases maior e menor do trapézio.
MN =
A B
CD
M N