O documento apresenta conceitos básicos de geometria plana, incluindo: (1) Definição de ângulo, unidades de medida e tipos de ângulos; (2) Propriedades de quadriláteros e triângulos; (3) Fórmulas para calcular perímetro e área de figuras planas como retângulos, círculos e triângulos.

1. Matemática
GEOMETRIA PLANA
Professor Dudan

2. Geometria Plana
Ângulo é a região de um plano concebida pelo encontro de duas semirretas que
possuem uma origem em comum, chamada vértice do ângulo .
A unidade usual de medida de ângulo, de acordo com o sistema internacional de
medidas, é o grau, representado pelo símbolo °, e seus submúltiplos são o minuto ’
e o segundo ”.
Temos que 1º (grau) equivale a 60’ (minutos) e 1’ equivale a 60”(segundos).
Ângulos

3. Tipos de Ângulo
• Ângulos Complementares: dois ângulos são complementares se a
soma de suas medidas é igual a 90°. Neste caso, cada um é o
complemento do outro.
Na ilustração temos que:
α + β = 90°
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4. • Ângulos Suplementares: dois ângulos são Suplementares quando a
soma de suas medidas é igual a 180°. Neste caso, cada um é o
suplemento do outro.
Na ilustração temos que:
α + β = 180°
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5. • Ângulos Replementares: dois ângulos são replementares quando a
soma de suas medidas é igual a 360°. Neste caso, cada um é o
replemento do outro.
Na ilustração temos que:
α + β = 360º
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6. • Exemplo: Assinale V para verdadeiro e F para falso nas sentenças
abaixo
( ) 80º e 10º são suplementares.
( ) 30º e 70º são complementares.
( ) 120º e 60º são suplementares.
( ) 20º e 160º são complementares.
( ) 140º e 40º são complementares.
( ) 140º e 40º são suplementares.
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7. Ângulos de um Polígono
A soma dos ângulos internos de qualquer polígono depende do número de lados (n),
sendo usada a seguinte expressão para o cálculo:
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8. Diagonais de um polígono
Diagonal de um polígono é o segmento de reta que liga um vértice
ao outro, passando pelo interior da figura. O número de diagonais
de um polígono depende do número de lados (n) e pode ser
calculado pela expressão:
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9. Exemplo:
Dada a figura abaixo , analise as sentenças
I. O triângulo CDE é isósceles.
II. O triângulo ABE é equilátero.
III. AE é bissetriz do ângulo BÂD.
é verdade que
(A) somente a I é falsa.
(B) somente a II é falsa.
(C) somente a III é falsa.
(D) são todas falsas.
(E) são todas verdadeiras.
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10. O teorema de Pitágoras é uma relação matemática entre os comprimentos dos lados
de qualquer triângulo retângulo.
Na geometria euclidiana, o teorema afirma que:
“Em qualquer triângulo retângulo, o quadrado do comprimento da hipotenusa é igual
à soma dos quadrados dos comprimentos dos catetos.”
Por definição, a hipotenusa é o lado oposto ao ângulo reto, e os catetos são os dois
lados que o formam.
Assim podemos equacionar
Teorema de Pitágoras
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11. Exemplo
Calcule o valor do segmento desconhecido no triângulo retângulo a
seguir.
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12. Existem alguns tipos especiais de triângulos retângulos cujos lados são
proporcionais a:
Triângulos Retângulos PITAGÓRICOS
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13. Exemplo
Roberto irá cercar uma parte de seu terreno para fazer um canil. Como ele tem um
alambrado de 10 metros, decidiu aproveitar o canto murado de seu terreno (em
ângulo reto) e fechar essa área triangular esticando todo o alambrado, sem sobra.
Se ele utilizou 6 metros de um muro, do outro muro ele irá utilizar, em metros.
(A) 7.
(B) 5.
(C) 8.
(D) 6.
(E) 9.
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14. Triângulo é uma figura geométrica formada por três retas que se
encontram duas a duas e não passam pelo mesmo ponto,
formando três lados e três ângulos.
Para fazer o cálculo do perímetro de um triângulo basta fazer a
soma da medida de todos os lados.
A soma dos ângulos internos é sempre 180°.
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15. • Observando o triângulo podemos identificar alguns de seus
elementos:
A, B e C são os vértices.
Os lados dos triângulos são simbolizados pelas letras a, b e c.
Os triângulos ele tem 3 lados, consequentemente, 3 ângulos.
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16. • Quanto à medida do seu lado
Triângulo Equilátero: apresenta os três lados com a mesma medida.
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados com a mesma medida.
Triângulo Escaleno: apresenta os três lados com medidas diferentes, ou
seja, três lados de tamanhos diferentes.
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17. • Quanto à medida dos ângulos
Triângulo Acutângulo: apresenta os três ângulos internos menores agudos.
Triângulo Obtusângulo: apresenta ângulo interno maior que 90º ou obtuso.
Triângulo Retângulo: apresenta um ângulo interno reto ou de 90o.
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18. TRIÂNGULO RETÂNGULO
Geometria Plana

19. A área de um triângulo é a metade do produto da medida da sua altura pela medida
da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:
onde h é a altura do triângulo, b a medida da base.
Área de Triângulos
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20. Exemplo
Determinar a área do triângulo a seguir considerando que a sua base mede 23
metros e a altura 12 metros.
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21. Exemplo
A área do triângulo sombreado da figura abaixo é
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22. TRIGONOMETRIA
no
TRIÂNGULO RETÂNGULO
Geometria Plana

23. Composição do Triângulo Retângulo
• Catetos: correspondem aos lados que compõem o ângulo
reto, formada por dois catetos: adjacente e oposto.
• Hipotenusa: lado oposto ao ângulo reto considerado o
maior lado do triângulo retângulo.
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24. Relações Trigonométricas
Geometria Plana

25. PRINCIPAIS ÂNGULOS
Geometria Plana

26. Casos Especiais
Caso : “Coisa” , “2Coisa” e “Coisa
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27. Caso : Triangulo Retângulo Isósceles
Casos Especiais
Geometria Plana

28. Exemplo
Considerando o triângulo retângulo ABC da figura, determine
as medidas a e b indicadas.
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29. Exemplo
Encontre os valores de x e y nos triângulos retângulos abaixo.
Geometria Plana

30. Exemplo
No triângulo retângulo da figura abaixo, determine as medidas de x e y indicadas .
(Use: sen 65° = 0,91; cos 65° = 0,42 ; tg 65° = 2,14)
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31. Exemplo
Uma escada de 2m de comprimento está apoiada no chão e em uma parede vertical.
Se a escada faz 30° com a horizontal, a distância do topo da escada ao chão é de:
(A) 0,5 m
(B) 1 m
(C) 1,5 m
(D) 1,7 m
(E) 2 m
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32. QUADRILÁTEROS
Geometria Plana

33. Um quadrilátero é um polígono de quatro lados.
Em geral, um quadrilátero será uma figura geométrica
limitada por quatro lados, todos diferentes e que formam
entre si quatro ângulos internos também diferentes.
Em qualquer caso, a soma dos valores dos ângulos internos
de um quadrilátero é sempre 360°.
Quadriláteros
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34. Algumas Propriedades dos quadriláteros:
1. A soma dos seus ângulos internos é 360°.
2. A soma dos seus ângulos externos é 360°.
3. Todos os quadriláteros apresentam 2 diagonais.
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35. Exemplo
Determine a medida dos ângulos indicados:
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36. Os quadriláteros classificam-se em paralelogramos e trapézios.
Paralelogramos : são quadrilátero de lados opostos paralelos.
Exemplos:
Retângulo - Paralelogramo em que todos os ângulos são retos. O
retângulo cujos lados são congruentes chama-se quadrado.
Quadrado- Retângulo cujos lados tem medidas iguais.
Losango, paralelogramo.
Classificação
Geometria Plana

37. Exemplo
Observe os paralelogramos e, considerando as propriedades estudadas, determine:
a) MN e NP b) x e y

38. Trapézios: são quadrilátero que tem dois e só dois lados opostos paralelos.
Exemplos:
Trapézio Escaleno: tem todos os lados de medidas distintas.
Trapézio Retângulo: tem dois ângulos retos.
Trapézio Isósceles: tem os lados não paralelos com a mesma medida.

39. Principais Quadriláteros
Trapézio
Características:
Apresenta 2 lados paralelos apenas.
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40. Paralelogramo
Características:
Lados paralelos congruentes, ângulos opostos congruentes.
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41. Losango
Características:
Lados paralelos congruentes, todos os lados de mesma medida,
ângulos opostos congruentes, diagonais cortam-se nos seus pontos
médios e são perpendiculares entre si.
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42. Retângulo
Características:
Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes,
diagonais de mesma medida e que se cortam nos seus pontos médios.
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43. Quadrado
Características:
Todos os ângulos internos são retos, lados paralelos congruentes, todos
os lados de mesma medida, diagonais de mesma medida,
perpendiculares entre si e que se cortam nos seus pontos médios.
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44. Exemplo
O perímetro e a área da sala representada na figura valem:
(A) 20m e 15 m2
(B) 18m e 17 m2
(C) 20 m e 19 m2
(D) 20m e 20 m2
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45. FIGURAS
CIRCULARES

46. De acordo com a Geometria Euclidiana, circunferência é o espaço
geométrico de uma região circular que compreende todos os pontos de
um plano, localizados a uma determinada distância, denominada raio,
de um ponto chamado centro. Podemos definir o círculo como a região
interna da circunferência. A circunferência limita o círculo, observe a
ilustração a seguir:
DEFINIÇÃO
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47. A circunferência e o círculo possuem um elemento denominado
diâmetro, que constitui em um segmento que passa pelo centro da
figura. Outro segmento importante pertencente às duas figuras é o raio,
que corresponde à metade do diâmetro. Observe a figura:
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48. E O FAMOSO π ?
• E o famoso valor
Há duas interpretações distintas quanto ao valor do π:
Como constante matemática,costumamos definir PI como sendo a
razão entre a circunferência e o diâmetro de um circulo, ou seja vale
aproximadamente 3,14.
Agora quando trabalhamos com ângulos, temos a seguinte relação:
• π rad = 180°
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49. 1 – CÍRCULO / CIRCUNFERÊNCIA
Geometria Plana

50. Exemplo
Calcule o valor da área e do perímetro dos círculos abaixo:
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51. 2 – SETOR CIRCULAR
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52. 3 – COROA CIRCULAR
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53. Exemplo
Determine a área da coroa circular da figura a seguir, considerando o raio da
circunferência maior igual a 10 metros e raio da circunferência menor igual a 8
metros.
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54. Comprimento
ou Perímetro

55. Definição
• O perímetro é a medida do contorno de um objeto bidimensional, ou
seja, a soma de todos os lados de uma figura geométrica.
• Imagine a seguinte situação: Um fazendeiro quer descobrir quantos
metros de arame serão gastos para cercar um terreno de pastagem
com formato retangular. Como ele deveria proceder para chegar a uma
conclusão? De maneira bem intuitiva, concluímos que ele precisa
determinar as medidas de cada lado do terreno e então, somá-las,
obtendo o quanto seria gasto. A esse procedimento damos o nome de
perímetro.
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56. 1 – TRIÂNGULO RETÂNGULO
Geometria Plana

57. 2 – TRIÂNGULO EQUILÁTERO
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58. 3 – QUADRADO
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59. 4 - RETÂNGULO
Geometria Plana

60. 5 - LOSANGO
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61. 6 - CÍRCULO
Geometria Plana

62. ÀREA
• Área é um conceito matemático que pode ser definida
como quantidade de espaço bidimensional, ou seja, de
superfície.
Existem várias unidades de medida de área, sendo a mais
utilizada o metro quadrado (m²) e os seus múltiplos e sub-
múltiplos.
• Para não haver erro , lembre-se: “Área é o que eu posso
pintar”
Geometria Plana

63. Geometria Plana

64. Exemplo
Geometria Plana

65. Geometria Plana

66. Exemplo
Geometria Plana

67. Geometria Plana

68. Geometria Plana

69. Geometria Plana

70. Geometria Plana

72. Geometria Plana

73. Geometria Plana

74. Cuidado!
Primeiro, faremos um exemplo conhecendo as medidas do retângulo, depois
faremos a generalização.
Considere o retângulo
Sua área será de:
A1 = 10 x 3 = 30 cm2
Agora, vamos duplicar as medidas dos lados.
A área desse novo retângulo será de A2 = 20 x 6 = 120 cm2
Observe que ao dobrar as medidas dos lados do retângulo sua área mais que dobrou,
na verdade quadruplicou.

75. Exemplo
No desenho abaixo, uma cruz é formada por cinco quadrados de lado 1
justapostos.
A área do quadrado ABCD é:
(A) 4.
(B) 5.
(C) 6.
(D) 7.
(E) 8.
Geometria Plana

76. Exemplo
Seja o octógono EFGHIJKL inscrito num quadrado de 12cm de lado,
conforme mostra a figura a seguir. Se cada lado do quadrado está
dividido pelos pontos assinalados em segmentos congruentes entre si,
então a área do octógono, em centímetros quadrados, é:
(A) 98.
(B) 102.
(C) 108.
(D) 112.
(E) 120.
Geometria Plana

77. GEOMETRIA
PLANA

78. COMO A
FUNDATEC
COBRA ISSO?

79. O desnível entre a calçada e a garagem da residência de Pablo é de 1,5m.
Sabe-se que a rampa de acesso da calçada para a garagem possui inclinação de
30° com a horizontal. O comprimento dessa rampa mede:
(Dados: sem 30° = 0,5 , cós 30/ = 0,86, tg 30° = 0,58)
A)1,75 m aproximadamente.
B)2m.
C) 3m.
D) 3,45 m aproximadamente.
E)4m.
POLÍCIA MILITAR/RS - 2014

80. Um jardim em formato circular medindo 4m de diâmetro foi construído no
centro de uma praça. Qual é a área, em m², esse jardim? Utilize o valor de
π=3,14.
A) 12,56.
B) 24,12.
C) 32,48.
D) 40,82.
E) 50,24.
PREF DE LIBERATO SALZANO/RS - 2015

81. O perímetro de um retângulo é de 2.040m. A medida de um lado desse
retângulo é um quarto da medida do outro lado.
As dimensões desse retângulo é:
A) 51m e 102m.
B)50m e 200m.
C) 153m e 612m.
D)102m e 408m.
E)204m e 816m.
PREF DE FOZ OD IGUAÇU/PR- 2016

82. GABARITOS
Questões FUNDATECE : C-A-E