1. Ângulos Notáveis
O estudo da trigonometria é fundamentado nas relações existentes entre ângulos e
medidas. No triângulo retângulo, essas relações são constantemente trabalhadas e alguns
ângulos presentes nesse tipo de triângulo são usados com maior frequência, eles recebem o
nome de ângulos notáveis e seus valores são de 30º, 45º e 60º.
Vamos relembrar as relações trigonométricas existentes no triângulo retângulo: seno,
cosseno e tangente.
Para demonstrarmos as relações trigonométricas no triângulo retângulo dos ângulos 30°e
60°, é preciso obter um triângulo que tenha esses dois ângulos.
Observe o triângulo equilátero (todos os ângulos internos são iguais a 60º) ABC de lado
igual a x, é preciso calcular o valor da sua altura. Traçar sua altura é o mesmo que traçar a
bissetriz do ângulo A e a mediatriz da base BC.
Para calcular a sua altura, basta aplicar o Teorema
de Pitágoras no triângulo AHC:
Com o valor da altura em função de x e utilizando o triângulo retângulo AHC, podemos
determinar as relações trigonométricas dos ângulos de 30° e de 60º no triângulo AHC.

2. Como o triângulo equilátero não possui ângulo de 45°, precisamos traçar a diagonal do
quadrado formando dois triângulos retângulos, a diagonal é uma bissetriz, ou seja, divide o
ângulo de 90º em dois de 45º. Veja como:
Dado o quadrado ABCD de lado x e diagonal Aplicando o Teorema de Pitágoras no
d. triângulo ABD, iremos descobrir um valor
para a diagonal (d) em função de x.
Assim, com o valor da diagonal é possível calcular o valor das relações trigonométricas do
triângulo retângulo ABD com o ângulo de 45°.
Com base em algumas deduções geométricas e cálculos matemáticos, conseguimos calcular
as relações trigonométricas seno, cosseno e tangente dos ângulos de 30º, 45º e 60º do
triângulo retângulo. A partir dos cálculos efetuados construímos a seguinte tabela de
relações trigonométricas:

3. Arcos com Mais de uma Volta
Temos que uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π rad, de
acordo com a ilustração a seguir:
Note que o círculo possui raio medindo uma unidade e é dividido em quatro quadrantes,
facilitando a localização dos ângulos trigonométricos, de acordo com a seguinte situação:
1º quadrante: abscissa positiva e ordenada positiva → 0º < α < 90º.
2º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 90º < α < 180º.
3º quadrante: abscissa negativa e ordenada negativa → 180º < α < 270º.
4º quadrante: abscissa positiva e ordenada negativa → 270º < α < 360º.
Nos estudos trigonométricos existem arcos que possuem medidas maiores que 360º, isto é,
eles possuem mais de uma volta. Sabemos que uma volta completa equivale a 360º ou 2π rad,
com base nessa informação podemos reduzi-lo à primeira volta, realizando o seguinte
cálculo: dividir a medida do arco em graus por 360º (volta completa), o resto da divisão será
a menor determinação positiva do arco. Dessa forma, a determinação principal do arco em
um dos quadrantes fica mais fácil.
Exemplo 1
Determinar a localização principal do arco de 4380º utilizando a regra prática.
4380º : 360º é correspondente a 4320º + 60º, portanto, o resto da divisão é igual a 60º que é
a determinação principal do arco, dessa forma, sua extremidade pertence ao 1º quadrante.
Exemplo 2
Qual a determinação principal do arco com medida igual a 1190º?
1190º : 360º, a divisão possui resultado igual a 3 e resto 110, concluímos que o arco possui
três voltas completas e extremidade no ângulo de 110º, pertencendo ao 2º quadrante.

4. Arcos Côngruos
Dois arcos são côngruos quando possuem a mesma origem e a mesma extremidade. Uma
regra prática eficiente para determinar se dois arcos são côngruos consiste em verificar se a
diferença entre eles é um número divisível ou múltiplo de 360º, isto é, a diferença entre as
medidas dos arcos dividida por 360º precisa ter resto igual a zero.
Exemplo 3
Verifique se os arcos de medidas 6230º e 8390º são côngruos.
8390º – 6230º = 2160
2160º / 360º = 6 e resto igual a zero. Portanto, os arcos medindo 6230º e 8390º são côngruos.
Exemplo 4
Confira se os arcos de medidas 2010º e 900º são côngruos.
2010º – 900º = 1110º
1110º / 360º = 3 e resto igual a 30. Portanto, os arcos não são côngruos.
As Razões Inversas do Seno, Cosseno e da Tangente
As razões trigonométricas seno, cosseno e tangente estão associadas ao triângulo retângulo e
às relações entre os catetos e a hipotenusa. Essas relações são constituídas de acordo com as
seguintes razões:
seno
cosseno
tangente
Essas razões trigonométricas possuem inversas que são nomeadas cossecante, secante e
cotangente.
A inversa do seno é a cossecante (cossec).
A inversa do cosseno é a secante (sec).

5. A inversa da tangente é a cotangente (cotg).
As razões inversas de seno, cosseno e tangente podem ser representadas pelas seguintes
expressões:
cossecante
secante
cotangente
O conhecimento das razões trigonométricas e de suas inversas auxiliará nos estudos ligados
às relações fundamentais entre as funções de um mesmo arco, relações derivadas e ao
desenvolvimento das identidades trigonométricas.
As razões recíprocas do seno, do co-seno e da
tangente
O cálculo das funções trigonométricas seno, co-seno, tangente é encontrado levando em
consideração um triângulo retângulo que possui uma hipotenusa e dois catetos, assim:
Sen x = cateto oposto ao ângulo x
Hipotenusa
Cos x = cateto adjacente ao ângulo x
Hipotenusa
Tg x = cateto oposto ao ângulo x
cateto adjacente ao ângulo x
Invertendo cada uma das funções trigonométricas (razões trigonométricas) citadas acima,
será possível encontrar as suas recíprocas, que serão nomeadas como:
• A recíproca do seno é co-secante (cossec)
Cossec x = Hipotenusa
cateto oposto ao ângulo x
• A recíproca do co-seno é secante (sec)
Sec x = Hipotenusa
cateto adjacente ao ângulo x
• A recíproca da tangente é co-tangente (cotg)

6. Cotg x = cateto adjacente ao ângulo x
cateto oposto ao ângulo x
Como essas recíprocas são razões inversas às razões seno, co-seno e tangente, elas devem ser
indicadas da seguinte forma:
Cossec x = 1
Sen x
Sec x = 1
Cos x
Cotg x = 1 = cos x
Tg x Sen x
Circunferência trigonométrica
A circunferência trigonométrica está representada no plano cartesiano com raio medindo
uma unidade. Ela possui dois sentidos a partir de um ponto A qualquer, escolhido como a
origem dos arcos. O ponto A será localizado na abscissa do eixo de coordenadas cartesianas,
dessa forma, este ponto terá abscissa 1 e ordenada 0. Os eixos do plano cartesiano dividem o
círculo trigonométrico em quatro partes, chamadas de quadrantes, onde serão localizados os
números reais α relacionados a um único ponto P. Os sentidos dos arcos trigonométricos
estão de acordo com as seguintes definições:
Se α = 0, P coincide com A.
Se α > 0, o sentido do círculo trigonométrico será anti-horário.
Se α < 0, o sentido do círculo será horário.
O comprimento do arco AP será o módulo de α.
Na ilustração a seguir estão visualizados alguns números importantes, eles são referenciais
para a determinação principal de arcos trigonométricos:

7. Uma volta completa no círculo trigonométrico corresponde a 360º ou 2π radianos, se o
ângulo α a ser localizado possuir módulo maior que 2π, precisamos dar mais de uma volta no
círculo para determinarmos a sua imagem.
Por exemplo, para localizarmos 8π/3 = 480º, damos uma volta completa no sentido anti-
horário e localizamos o arco de comprimento 2π/3, pois 8π/3 = 6π/3 + 2π/3 = 2π + 2π/3.
Na localização da determinação principal de –17π/6 = –510º, devemos dar 2 voltas completas
no sentido horário e localizarmos o arco de comprimento –5π/6, pois –17π/6 = –12π/6 – 5π/6
= 2π – 5π/6.

8. Equação trigonométrica
Para que exista uma equação qualquer é preciso que tenha pelo menos uma incógnita e uma
igualdade.
Agora, para ser uma equação trigonométrica é preciso que, além de ter essas características
gerais, é preciso que a função trigonométrica seja a função de uma incógnita.
sen x = cos 2x
sen 2x – cos 4x = 0
4 . sen3 x – 3 . sen x = 0
São exemplos de equações trigonométricas, pois a incógnita pertence à função
trigonométrica.
x2 + sen 30° . (x + 1) = 15
Esse é um exemplo de equação do segundo grau e não de uma equação trigonométrica, pois a
incógnita não pertence à função trigonométrica.
Grande parte das equações trigonométricas é escrita na forma de equações trigonométricas
elementares ou equações trigonométricas fundamentais, representadas da seguinte forma:
sen x = sen a
cos x = cos a
tg x = tag a
Cada uma dessas equações acima possui um tipo de solução, ou seja, de um conjunto de
valores que a incógnita deverá assumir em cada equação.

9. Equações do Tipo sen x = a
Equações trigonométricas são igualdades que evolvem uma ou mais funções trigonométricas
de arcos incógnitos. Para a resolução de equações trigonométricas não existe um processo
único, o que devemos fazer é tentar reduzi-las a equações mais simples, do tipo senx = α,
cosx = α e tgx = α, denominadas equações fundamentais. Das três equações citadas vamos
abordar os conceitos e as formas de resolução da equação senx = α.
As equações trigonométricas na forma senx = α possui soluções no intervalo –1 ≤ x ≤ 1. A
determinação dos valores de x que satisfazem esse tipo de equação obedecerá à seguinte
propriedade: Se dois arcos têm senos iguais, então eles são côngruos ou suplementares.
Consideremos x = α uma solução da equação sen x = α. As outras possíveis soluções são os
arcos côngruos ao arco α ou ao arco π – α. Então: sen x = sen α. Observe a representação no
ciclo trigonométrico:
Concluímos que:
x = α + 2kπ, com k Є Z ou x = π – α + 2kπ, com k Є Z
Exemplo
Resolva a equação: sen x = √3/2
Sabemos pela tabela de razões trigonométricas que √3/2 corresponde ao seno do ângulo de
60º. Então:
sen x = √3/2 → sen x = π/3 (π/3 = 180º/3 = 60º)
Dessa forma, a equação senx = √3/2 possui como solução todos os arcos côngruos ao arco π/3
ou ao arco π – π/3. Observe ilustração:

10. Concluímos que as possíveis soluções da equação sen x = √3/2 são:
x = π/3 + 2kπ, com k Є Z ou x = 2π/3 + 2kπ, com k Є Z
Equações e Inequações Trigonométricas
O que difere a equação e inequação trigonométrica das outras é que elas possuem funções
trigonométricas das incógnitas.
Função trigonométrica é a relação feita entre os lados e os ângulos de um triângulo retângulo.
Essas relações recebem o nome de seno, co-seno, tangente, co-secante, secante, co-tangente.
►Veja alguns exemplos de quando uma equação é trigonométrica e quando ela não é
trigonométrica.
sen x + cos y = 3 é uma equação trigonométrica, pois as incógnitas x e y possuem funções
trigonométricas.
x + tg30º - y2 + cos60º = √3 não é uma equação trigonométrica, pois as funções
trigonométricas não pertencem às incógnitas, ou seja, as incógnitas independem das funções
trigonométricas.
►Veja agora exemplos de inequações trigonométricas e quando uma inequação não é
trigonométrica por que possui funções trigonométricas.
sen x > √3 é uma inequação trigonométrica pois função trigonométrica é função de uma
incógnita.
(sen 30°) . x + 1 > 2 não é uma função trigonométrica, pois função trigonométrica não é uma
função da incógnita.

11. Fórmulas de adição de arcos
Ao somarmos dois ângulos e calcularmos uma função trigonométrica deles percebemos que
não obteremos o mesmo resultamos se antes de somarmos esses ângulos aplicarmos a
propriedade da adição em alguns casos, ou seja, nem sempre podemos aplicar a seguinte
propriedade cos (x + y) = cos x + cos y. Veja alguns exemplos:
Exemplo 1:
cos (π + π) = cos (2π + π) = cos (3π) = cos 270º = 0
2 2 2
cos (π + π) = cos π + cos π = cos 180° + cos 90º = -1 . 0 = 0
2 2
Nesse exemplo foi possível obter o mesmo resultado, mas veja o exemplo abaixo:
Exemplo 2:
cos (π + π) = cos (2π) = cos 270º = 0
3 3 3
cos (π + π) = cos π + cos π = cos 60º + cos 60º = 1 + 1 = 1
3 3 3 3
Verificamos que a igualdade cos (x + y) = cos x + cos y não é verdadeira para qualquer valor
que x e y assumir, por isso que concluímos que as igualdades:
sen(x + y) = sen x + sen y
sen (x – y) = sen x -sen y
cos (x + y) = cos x + cos y
cos(x - y) = cos x + cos y
tg(x + y) = tg x + tg y
tg(x - y) = tg x + tg y
São igualdades que não são verdadeiras para qualquer valor que x e y assumirem, assim veja
as verdadeiras igualdades para o cálculo da adição ou diferença de arcos do seno, cosseno e
tangente.
• sen(x + y) = sen x . cos y + sen y . cos x • tg (x + y) = tg x + tg y
1 – tg x . tg y
• sen(x - y) = sen x . cos y – sen y . cos x
• tg (x - y) = tg x - tg y
• cos (x + y) = cos x . cos y – sen x . sen y 1 + tg x . tg y
• cos (x – y) = cos x . cos y + sen x . sen y

12. Função trigonométrica do arco metade
O cálculo das funções trigonométricas do arco metade será feito considerando a fórmula do
cosseno do arco duplo (cos 2β = cos2 β – sen2 β) e a relação fundamental da trigonometria
(sen2 β + cos2 β = 1).
Para encontrar as fórmulas das funções trigonométricas (cos, sen e tg) do arco metade,
iremos considerar um arco qualquer x e o seu arco metade sendo x/2.
• Cos (x/2).
Sabendo que cos 2 β = cos2 β – sen2 β, substituindo sen2 β por sen2 β = 1 - cos2 β, teremos:
cos 2 β = cos2 β – 1 - cos2 β = 2cos2 β - 1, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x =2cos2 (x/2) – 1
Isolando cos2 (x/2), teremos:
cos2 (x/2) = cos x + 1
2
Portando, o cosseno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:
• Sen x/2
Sabendo que cos 2β = cos2 β – sen2 β, substituindo cos2 β por cos2 β = 1 - sen2 β, teremos:
cos 2 β = 1 - sen2 β - sen2 β = 1- 2sen2 β, substituindo 2β por x e β por x/2, teremos:
Cos x = 1- 2 sen2 (x/2)
Isolando sen2 (x/2), teremos:
sen2 (x/2) = 1 - cos x
2
Portando, o seno do arco metade será calculado através da seguinte fórmula:

13. • Tg (x/2)
Sabendo que tg β = sen β. Podemos dizer que:
cos β
Tg (x/2) = sen (x/2).
cos (x/2)
Portando, a tangente do arco metade será calculada pela seguinte fórmula:
Funções Trigonométricas
Função Seno
Chama-se função seno a função definida de R em R por f (x) = sen x. Para analisar a função
seno, podemos observar a extremidade de um arco percorrendo a circunferência
trigonométrica no sentido anti-horário.
Função do Tipo f(x) = α sem (ax)

14. Função Cosseno
É a função definida de R em R por f (x) = cos x
Função tangente
Função tangente é a função definida para x ≠ π/2 + kπ, k pertencendo a Z por f (x) = tg x.
Enquanto as funções seno e cosseno têm períodos iguais a 2π, a função tangente tem período
igual a π.
Função Cotangente, Secante e Cossecante
O período da função cotangente é igual a π. f(x) = cotg x

15. O período da função secante é igual a 2π.
O período da função cossecante é igual a 2π.

16. Funções trigonométricas do arco duplo
Considere um arco da circunferência trigonométrica que mede 45°, o seu arco duplo é um
arco de 90°, mas isso não significa que o valor das funções trigonométricas (seno, cosseno e
tangente) do arco duplo seja o dobro das do arco, por exemplo:
Se o arco for igual a 30º, o seu arco duplo será 60º. O sen 30º = 1/2, o sen 60º = √3/2,
portanto, percebemos que por mais que 60º seja o dobro de 30°, o sen 60º não é o dobro do
sen 30º. Podemos aplicar essa mesma situação com vários outros arcos e funções
trigonométricas, contudo iremos chegar à mesma conclusão.
De uma maneira geral considere um arco qualquer de medida β, o seu arco duplo será 2β,
portanto, sen β ≠ sen 2β, ou seja, sen 2β ≠ 2 . sen β.
Assim, para encontrar o valor das funções trigonométricas de um arco duplo (sen 2β, cos 2β e
tg 2β) teremos que seguir algumas relações, entre um arco β e o seu arco duplo 2β.
Essas relações serão feitas através das funções trigonométricas da adição de arcos. Veja
como:
• Cos 2β
Segundo a adição de arcos, cos 2β é igual a:
cos 2β = cos (β + β) = cos β . cos β – sen β . sen β
Unindo os termos semelhantes teremos:
cos 2β = cos (β + β) = cos2 β – sen2 β
Portanto, o cálculo do cos 2β será feito através da seguinte fórmula:
cos 2β = cos2 β – sen2 β
• Sen 2β
Segundo a adição de arcos, sen 2β é igual a:
Sen 2β = sen(β + β) = sen β . cos β + sen β . cos β
Colocando os termos semelhantes em evidência teremos:
Sen 2β = sen(β + β) = 2 . sen β . cos β
Portanto, o cálculo do sen 2β será feito através da seguinte fórmula:
Sen 2β = 2 . sen β . cos β

17. • tg 2β
Segundo a adição de arcos, tg 2β é igual a:
tg 2β = tg (β + β) = tg β + tg β
1 – tg x . tg β
Unindo os termos semelhantes teremos:
tg 2β = tg (β + β) = 2 tgβ
1 – tg2β
Portanto, o cálculo do tg 2β será feito através da seguinte fórmula:
tg 2β = 2 tgβ
1 – tg2β
Identificando os Quadrantes do Ciclo
Trigonométrico
O ciclo trigonométrico é uma circunferência orientada, com raio unitário, associada a um
sistema de coordenadas cartesianas. O centro da circunferência coincide com a origem do
sistema cartesiano. Dessa forma, o círculo fica dividido em quatro quadrantes, identificados
de acordo com o sentido anti-horário a partir do ponto A.
Considerando x a medida de um arco no ciclo trigonométrico, então os valores de x, tais que
0º < x < 360º, estão presentes nos seguintes quadrantes:
Primeiro quadrante: 0º < x < 90º

18. Segundo quadrante: 90º < x < 180º
Terceiro quadrante: 180º < x < 270º
Quarto quadrante: 270º < x < 360º
Os valores dos arcos também podem aparecer em radianos, 0 < x < 2π
Primeiro quadrante: 0 < x < π/2
Segundo quadrante: π/2 < x < π

19. Terceiro quadrante: π < x < 3π/2
Quarto quadrante: 3π/2 < x < 2π
É importante conhecer a localização dos ângulos nos quadrantes, isto facilitará a construção
dos arcos trigonométricos, pois cada ponto no ciclo está associado a um arco. Por exemplo:
O arco de medida π/6 rad ou 30º está localizado no 1º quadrante.
O arco de medida 3π/4 rad ou 135º está localizado no 2º quadrante.
O arco de medida 7π/6 rad ou 210º está localizado no 3º quadrante.
O arco de medida 5π/3 rad ou 300º está localizado no 4º quadrante.
O arco de medida π/3rad ou 60º está localizado no 1º quadrante.

20. Lei do cosseno
Utilizamos a lei dos cossenos nas situações envolvendo triângulos não
retângulos, isto é, triângulos quaisquer. Esses triângulos não possuem ângulo
reto, portanto as relações trigonométricas do seno, cosseno e tangente não
são válidas. Para determinarmos valores de medidas de ângulos e medidas de
lados utilizamos a lei dos cossenos, que é expressa pela seguinte lei de
formação:
Exemplo 1
Utilizando a lei dos cossenos, determine o valor do segmento x no triângulo a
seguir:
a² = b² + c² – 2 * b * c * cos
7² = x² + 3² – 2 * 3 * x * cos60º
49 = x² + 9 – 6 * x * 0,5
49 = x² + 9 – 3x
x² –3x – 40 = 0
Aplicando o método resolutivo da equação do 2º grau, temos:
x' = 8 e x" = – 5, por se tratar de medidas descartamos x" = –5 e utilizamos x' =
8. Então o valor de x no triângulo é 8 cm.

21. Exemplo 2 Em um triângulo ABC, temos as seguintes medidas: AB = 6
cm, AC = 5 cm e BC = 7 cm. Determine a medida do ângulo A.
Vamos construir o triângulo com as medidas fornecidas no exercício.
Aplicando a lei dos cossenos
a = 7, b = 6 e c = 5
7² = 6² + 5² – 2 * 6 * 5 * cos A
49 = 36 + 25 – 60 * cos A
49 – 36 – 25 = –60 * cos A
–12 = –60 * cos A
12 = 60 * cos A
12/60 = cos A
cos A = 0,2
O ângulo que possui cosseno com valor aproximado de 0,2 mede 78º.
Exemplo 3 Calcule a medida da maior diagonal do paralelogramo da
figura a seguir, utilizando a lei dos cossenos.
cos 120º = –cos(180º – 120º) = – cos 60º = – 0,5
x² = 5² + 10² – 2 * 5 * 10 * cos 60º
x² = 25 + 100 – 100 * (–0,5)
x² = 125 + 50
x² = 175
√x² = √175
x = √5² * 7
x = 5√7
Portanto, a diagonal do paralelogramo mede 5√7 cm.

22. Aplicações Trigonométricas na Física
As aplicações das definições matemáticas são primordiais nos estudos físicos, pois através de
cálculos obtemos comprovações para as teorias relacionadas à Física. As funções
trigonométricas seno, cosseno e tangente estão presentes em diversos ramos da Física,
auxiliando nos cálculos relacionados à Cinemática, Dinâmica, Óptica entre outras. Dessa
forma, Matemática e Física caminham juntas com o objetivo único de fornecer
conhecimentos e ampliar novas pesquisas científicas. Veja através de exemplos resolvidos as
aplicações da Matemática na Física.
Exemplo 1 – Dinâmica
Fórmula que permite calcular o trabalho da força F no deslocamento d de um corpo:
τ = F * d * cos
Determine o trabalho realizado pela força F de intensidade √3/3 num percurso de 2m, de
acordo com a ilustração, considerando que a superfície seja lisa. Use seno 30º = √3/2.
Exemplo 2 - Cinemática: Lançamento Oblíquo
A altura máxima atingida, o tempo de subida e o alcance horizontal são alguns dos elementos
que constituem um lançamento oblíquo. De acordo com o ângulo formado entre o
lançamento e a superfície o corpo, pode percorrer diferentes trajetórias. Caso a inclinação
(ângulo) aumente, o objeto logicamente atinge uma altura mais elevada e um alcance
horizontal menor; se o ângulo de inclinação diminui, a altura também diminui e o alcance
horizontal se torna maior.
Um objeto é lançado obliquamente no vácuo com velocidade inicial de 100m/s com uma
inclinação de 30º. Determine o tempo de subida, a altura máxima e o alcance horizontal do
objeto. Considere g = 10m/s².

23. Tempo de subida Altura máxima Alcance horizontal
’