1) O documento discute equações de 1o grau com uma ou mais incógnitas, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução. 2) São apresentados sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas, incluindo classificação, métodos de resolução e representação gráfica das soluções. 3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.

1. Início Sair
=
Uma equação é do 1o grau com uma incógnita (x) quando pode ser escrita na
forma ax = b, com a e b reais e a ≠ 0.
Exemplo
2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15
2x + 9x = 2 – 6 + 15 – 10
9x – 10 + 2x + 10 = 2 – 6 – 9x + 15 + 9x – 10
11x = 1
2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15
Vamos resolver a equação 2(x + 5) = 2 – 3(2 + 3x) + 15 no conjunto .
Equações do 1o grau com uma incógnita
x = Portanto, x = é a solução da equação em .

2. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
=
Equações literais do 1o grau com incógnita x
Exemplos
2bx = 8 ax + 3a = bx mx + n = p
Tais letras representam números reais conhecidos que são chamados de
constantes, coeficientes ou parâmetros. A essas equações damos o nome
de equações literais do 1o grau com incógnita x.
Resolução de uma equação literal
3x + 2m = x + 6m
–x – 2m + 3x + 2m = x + 6m – x – 2m
2x = 4m
x = 2m
2
1
Portanto x = 2m é a solução da equação.

3. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
–=
=
Equações fracionárias
Equações fracionárias são aquelas que apresentam incógnita no denominador.
Exemplos
reduzimos
ao mesmo
denominador
204 – 39 = 33x
33x = 165
5
1
x = 5
9x + 24 = 4x
–4x – 24 + 9x + 24 = 4x – 4x – 24
5x = –24
= 11–
=–
=+
+ =
x = –

4. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Uma equação é do 1o grau com duas incógnitas quando pode ser escrita na
forma geral, ax + by = c, com a ≠ 0 e b ≠ 0.
Soluções de equações do 1o grau com duas incógnitas
Vamos determinar alguns pares ordenados que sejam soluções da
equação 3x + 2y = 10
Fazendo x = 0:
3 . 0 + 2y = 10
2y = 10
y = 5
Par ordenado (0, 5)
Fazendo x = 1:
3 . 1 + 2y = 10
3 + 2y = 10
–3 + 3 + 2y = 10 – 3
2y = 7
Fazendo x = 2:
3 . 2 + 2y = 10
6 + 2y = 10
–6 + 6 + 2y = 10 – 6
2y = 4
y = 2
Par ordenado (2, 2)
Equações do 1o grau com duas incógnitas
Par ordenado
y = y =
y =

5. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Gráficos das soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas
Vamos determinar algumas soluções da equações 3x + y = 1 e representar
graficamente os pares ordenados obtidos em um sistema de eixos cartesianos.
x y
0 1
1 –2
–1 4
0
–2 7
Os pontos correspondentes a todos os pares de números reais que são
soluções de uma equação do 1o grau com duas incógnitas formam uma reta.
1
2
3
4
5
6
7
8
–1
–2
–3
–4
0–1–2–3–4 1 2 3 4 5
y
x
3x + y = 1
(–2, 7)
(–1, 4)
(0, 1)
(1, –2)

6. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
x + y = 7
2x + 4y = 22
Soluções de um sistema de duas equações do 1o grau
com duas incógnitas
Em um quintal há galinhas e coelhos. Há 7 cabeças e 22 pernas.
Quantas são as galinhas? E os coelhos?
x: números de galinhas y: números de coelhos
x + y = 7 (São 7 cabeças, ou seja, 7 animais ao todo.)
2x + 4y = 22 (As galinhas têm 2 pernas e os coelhos tem 4 pernas; total de 22 pernas.)
Então:
Solução de um sistema de duas equações do 1o grau com duas incógnitas
é um par ordenado que satisfaz, simultaneamente, as duas equações.
Sistemas de duas equações do 1o grau com duas incógnitas

7. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Na situação temos:
• Soluções da equação x + y = 7 (1, 6); (2, 5);(3, 4); (4, 3); etc.
• Soluções da equação 2x + 4y = 22 (1, 5); (3, 4); (5, 3); (7, 2); etc.
O par ordenado (3, 4) é a solução do sistema, pois é o único par ordenado
que é solução, ao mesmo tempo, das duas equações.
Grafica ou geometricamente:
x + y = 7 2x + 4y = 22
x y x y
0 7
7 0
1 5
5 3
x + y = 7
2x + 4y = 22
1
2
3
4
5
7
6
8
0
y
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10111213
x
(3, 4) (solução do sistema)
2x + 4y = 22
x + y = 7

8. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Métodos de resolução de um sistema de duas equações
do 1o grau com duas incógnitas
Método da substituição
x + y = 55
x + 2y = 85
I
II
x = 55 – y
x + 2y = 85
I
II
“isolamos” o x na equação I
Substituímos em :III
55 – y + 2y = 85
–y + 2y = 85 – 55
y = 30
Com o valor determinado de y, podemos substituí-lo em qualquer uma das
duas equações ou .III
Em :I
x = 55 – (30)
x = 25
Em :II
x + 2(30) = 85
x + 60 = 85
x = 85 – 60 = 25

9. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Método da adição
x + y = 59
x – y = 23 II
Adicionamos as duas equações:
I
x + y = 59
x – y = 23
+
82+ 02x =
2x = 82
Em :I
41 + y = 59
y = 59 – 41
y = 18
Em :II
41 – y = 23
–y = 23 – 41
–y = –18
y = 18
x = = 41

10. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Método da comparação
3x – 5y = 1
2x + 3y = 7
“isolamos” a mesma incógnita
nas duas equações
3x = 1 + 5y
2x = 7 – 3y
x =
x =
Então, comparamos as duas equações.
2 + 10y = 21 – 9y y = 1
Substituímos y em qualquer uma das duas equações:
x = x = x = 2
10y + 9y = 21 – 2 19y = 19
= =

11. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Sistema possível e determinado
x + y = 24
y = 3x
x + y = 24 y = 3x
x y
12 12
10 14
x y
0 0
3 9
Dizemos que o sistema é
possível e determinado,
pois tem uma única solução.
(6, 18) é a solução do sistema.
Classificação de sistemas de duas equações do 1o grau
com duas incógnitas quanto ao número de soluções

12. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Sistema impossível
x + y = 5
2x + 2y = 6
“isolamos” o x na primeira equação
x + y = 5 x = 5 – y
Substituindo na segunda equação:
2(5 – y) + 2y = 6 10 – 2y + 2y = 6 10 = 6 (sentença falsa)
Quando isso ocorre, dizemos que não existe solução para o sistema ou que o
sistema é impossível.

13. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Sistema possível e indeterminado
x + 2y = 5
2x + 4y = 10
Ao multiplicar a primeira equação por (–2), temos:
–2x – 4y = –10
2x + 4y = 10
somamos as duas equações
00y =0x +
Note que qualquer par de números reais (x, y) satisfaz a equação 0x + 0y = 0.
Quando há infinitas soluções, dizemos que o sistema é possível e indeterminado.

14. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
O conjunto solução é dado por:
3 – 2x ≥ x – 12, em
3 – 2x ≥ x – 12
–2x – x ≥ –12 – 3
(–1) ∙ –3x ≥ –15 ∙ (–1)
3x ≤ 15
x ≤
x ≤ 5
S = {x tal que x ≤ 5} S = {x tal que x > 11}
, em– x >
– x >
9x – 3 – 6x > 2x + 8
9x – 6x – 2x > 8 + 3
x > 11
>–
Revendo as inequações e sistema de inequações do 1o grau
O conjunto solução é dado por:

15. Início SairCapítulo 5 • Equações, sistemas de equações e inequações
Sistemas de inequações
Soluções da 1a inequação (S1): Soluções da 2a inequação (S2):
–x + 5 ≥ 0
A solução do sistema será a intersecção das soluções, então:
Portanto: S2 = {x | x ≤ 5}
x >
Portanto: S1 = x tal que x >
S = x tal que < x ≤ 5
3x – 4 > 0 3x > 4
x ≤ 5(–1) ∙ –x ≥ –5 ∙ (–1)
3x – 4 > 0
–x + 5 ≥ 0
, para x