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Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
TriângulosTriângulos
Congruência de triângulosCongruência de triângulos
QuadriláterosQuadriláteros
Teorema de TalesTeorema de Tales
Teorema da bissetriz de um ângulo
interno de um triângulo
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Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
2
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DefiniçãoDefinição
Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples
juntamente com os pontos da região interna que essa linha
determina.
As figuras a seguir são polígonos
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3
Um polígono se diz convexo quando o
segmento de reta que une dois pontos
quaisquer de sua região interna está
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Polígonos convexos e polígonos côncavosPolígonos convexos e polígonos côncavos
Polígonos convexos Polígonos côncavos
Um polígono se diz côncavo quando
existem dois pontos de sua região interna
tais que o segmento de reta por eles
determinado não está contido nela.
A
B
A
B
São polígonos convexos São polígonos côncavos
PolígonosPolígonos
4
PolígonosPolígonos
Elementos de um polígonoElementos de um polígono
No polígono ABCDE ao lado temos que:
A
B
CD
E
• Os segmentos
são os lados do polígono;
, , , ,AB BC CD DE EA
• Os pontos A, B, C, D, E são os vértices
do polígono;
• Os segmentos
são as diagonais do polígono;
, , , ,AC AD BD BE CE
• são os ângulos
do polígono;
ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB
Nota:
Diagonal de um polígono é o segmento de
reta que une dois vértices não
consecutivos desse polígono.
5
PolígonosPolígonos
Chama-se polígono regular a todo
polígono que tem todos os lados
congruentes e todos os ângulos
congruentes (ângulos que possuem a
mesma medida).
Polígonos regularesPolígonos regulares
A
B
CD
E Num polígono regular destacamos:
• O centro
É o ponto que dista igualmente de todos
os vértices do polígono. (Na figura ao
lado é o ponto O.)
M
O
6
Nome dos polígonosNome dos polígonos
De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial.
Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos:
Número de
lados
Nome Número de
lados
Nome
3 Triângulo 9 Eneágono
4 Quadrilátero 10 Decágono
5 Pentágono 11 Undecágono
6 Hexágono 12 Dodecágono
7 Heptágono 15 Pentadecágono
8 Octógono 20 Icoságono
PolígonosPolígonos
7
PolígonosPolígonos
Soma das medidas
dos ângulos internos:
( )180º 2iS n= −
Soma das medidas
dos ângulos externos:
360ºeS =
Ângulos internos de
um polígono regular:
( )180º 2
oui
i i
nS
a a
n n
−
= =
Ângulos externos de
um polígono regular:
360º
oue
e e
S
a a
n n
= =
Número de diagonais
de um polígono:
( )3
2
n n
d
−
=
8
Triângulos ― classificaçãoTriângulos ― classificação
Quanto aos ângulos Quanto aos lados
Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida.
Obs.: os três ângulos internos têm
medidas de 60º.
Retângulo: possui dois ângulos agudos e
um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o
teorema de Pitágoras:
hipotenusa2
= cateto2
+ cateto2
Isósceles: dois lados de mesma medida.
Obs.: os ângulos opostos aos lados
congruentes também são de mesma
medida.
Obtusângulo: possui dois ângulos agudos
e um obtuso.
Escaleno: três lados de medidas
diferentes entre si.
9
Triângulos - medidas de seus ângulosTriângulos - medidas de seus ângulos
Soma das medidas dosSoma das medidas dos
ângulos internosângulos internos
Teorema do ângulo externoTeorema do ângulo externo
Condição de existência de um triânguloCondição de existência de um triângulo
α + β + γ = 180º α + x = 180º β + γ = x
A soma das medidas
dos dois lados menores
tem que ser maior que
a medida do lado maior.
b + c > a
10
Triângulos – cevianas e pontos notáveisTriângulos – cevianas e pontos notáveis
Ceviana Definição Ponto notável Figura
Mediana
É o segmento que tem como
extremidade um vértice do
triângulo e o ponto médio do lado
oposto a esse vértice.
Baricentro (G): é o ponto de
encontro das medianas do
triângulo; é o centro de
gravidade do triângulo.
Bissetriz
É o segmento que tem uma
extremidade em um vértice do
triângulo, divide o ângulo ao meio
e tem a outra extremidade no
lado oposto a esse vértice.
Incentro (I): é o encontro das
bissetrizes internas do
triângulo; é o centro da
circunferência inscrita no
triângulo, pois equidista dos
três lados.
Altura
É o segmento com uma
extremidade em um vértice e a
outra extremidade no lado oposto
ou no seu prolongamento,
formando com ele ângulos retos.
Ortocentro (H): é o ponto de
encontro das retas que
contêm as alturas, podendo
pertencer ao exterior do
triângulo.
Mediatriz
Reta que passa pelo ponto médio
de um lado do triângulo e é
perpendicular a ele.
Circuncentro (C): é o ponto
de encontro das mediatrizes
dos lados do triângulo; é o
centro da circunferência
circunscrita ao triângulo, pois
equidista dos três vértices.
11
Congruência de triângulosCongruência de triângulos
Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem
sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a
mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos.
1o
caso: LAL
Dois lados
congruentes e o
ângulo formado por
eles congruente
3o
caso: ALA
Dois ângulos
congruentes e o lado
compreendido entre
eles congruente
4o
caso: LAAo
Um lado congruente,
um ângulo adjacente e
o ângulo oposto a esse
lado congruente
2o
caso: LLL
Três lados
congruentes
12
Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos
Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos
ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais.
Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são
semelhantes.
1o
caso: AA
Se dois ângulos de um
triângulo são
respectivamente
congruentes a dois ângulos
de outro, o terceiro ângulo
também será.
3o
caso: LAL
Dois triângulos são
semelhantes se possuem
um ângulo congruente
compreendido entre lados
proporcionais.
2o
caso: LLL
Dois triângulos são
semelhantes se os lados de
um são proporcionais aos
lados do outro.
Casos de semelhança:Casos de semelhança:
Assim teremos:
= = =
AB BC AC
constante
DE EF DF
13
Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento
perpendicular ao lado , com D em .
AD
BC BC
Definições dos
segmentos:
=
=
=
=
=
=
BC hipotenusa (medida "a")
AB cateto (medida "c")
AC cateto (medida "b")
BD projeção do cateto AB
sobre a hipotenusa (medida "m")
DC projeção do cateto AC
sobre a hipotenusa (medida "n")
AD altura relativa à
hipotenusa (medida "h")
Assim teremos:
2 2 2
2
2
2
= +
× = ×
= ×
= ×
= ×
a b c
a h b c
b m a
c n a
h m n
14
QuadriláterosQuadriláteros
Quanto aos
ângulos
Quanto às
diagonais
Quanto aos
lados
Paralelogramo
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
Encontram-se no
seu ponto médio.
Lados opostos
congruentes.
Retângulo
Quatro ângulos
retos.
São congruentes. Lados opostos
congruentes.
Losango
Ângulos opostos
congruentes e
ângulos
adjacentes
suplementares.
São perpendiculares
entre si e estão
contidas nas
bissetrizes dos
ângulos internos do
losango.
Quatro lados
congruentes.
Quadrado
Quatro ângulos
retos.
Encontram-se no
seu ponto médio e
são congruentes.
Quatro lados
congruentes.
São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
15
QuadriláterosQuadriláteros
Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de
lados paralelos, chamados base maior e base menor.
Trapézio retângulo
É todo trapézio que tem dois
ângulos retos. Nele, um dos
lados que não é base é
perpendicular às duas
bases.
Trapézio isósceles
É todo trapézio que tem dois
lados não paralelos
congruentes.
16
Teorema de TalesTeorema de Tales
Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer
determinam segmentos proporcionais.
Assim teremos:
= =
AB BC AC
DE EF DF
17
Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triânguloTeorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo
Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o
lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que
formam esse ângulo.
Assim teremos:
=
BD AB
DC AC

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  • 1. PolígonosPolígonos 1 Geometria planaGeometria plana ÍndiceÍndice Esquadros de madeira ― www.ser.com.br Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos TriângulosTriângulos Congruência de triângulosCongruência de triângulos QuadriláterosQuadriláteros Teorema de TalesTeorema de Tales Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo
  • 2. 2 PolígonosPolígonos DefiniçãoDefinição Chama-se polígono toda linha poligonal fechada simples juntamente com os pontos da região interna que essa linha determina. As figuras a seguir são polígonos As figuras a seguir não são polígonos
  • 3. 3 Um polígono se diz convexo quando o segmento de reta que une dois pontos quaisquer de sua região interna está sempre contido nela. Polígonos convexos e polígonos côncavosPolígonos convexos e polígonos côncavos Polígonos convexos Polígonos côncavos Um polígono se diz côncavo quando existem dois pontos de sua região interna tais que o segmento de reta por eles determinado não está contido nela. A B A B São polígonos convexos São polígonos côncavos PolígonosPolígonos
  • 4. 4 PolígonosPolígonos Elementos de um polígonoElementos de um polígono No polígono ABCDE ao lado temos que: A B CD E • Os segmentos são os lados do polígono; , , , ,AB BC CD DE EA • Os pontos A, B, C, D, E são os vértices do polígono; • Os segmentos são as diagonais do polígono; , , , ,AC AD BD BE CE • são os ângulos do polígono; ˆ ˆˆ ˆ ˆABC, BCD, CDE, DEA, EAB Nota: Diagonal de um polígono é o segmento de reta que une dois vértices não consecutivos desse polígono.
  • 5. 5 PolígonosPolígonos Chama-se polígono regular a todo polígono que tem todos os lados congruentes e todos os ângulos congruentes (ângulos que possuem a mesma medida). Polígonos regularesPolígonos regulares A B CD E Num polígono regular destacamos: • O centro É o ponto que dista igualmente de todos os vértices do polígono. (Na figura ao lado é o ponto O.) M O
  • 6. 6 Nome dos polígonosNome dos polígonos De acordo com o número de ângulos, o polígono recebe um nome especial. Veja, no quadro abaixo, o nome de alguns polígonos: Número de lados Nome Número de lados Nome 3 Triângulo 9 Eneágono 4 Quadrilátero 10 Decágono 5 Pentágono 11 Undecágono 6 Hexágono 12 Dodecágono 7 Heptágono 15 Pentadecágono 8 Octógono 20 Icoságono PolígonosPolígonos
  • 7. 7 PolígonosPolígonos Soma das medidas dos ângulos internos: ( )180º 2iS n= − Soma das medidas dos ângulos externos: 360ºeS = Ângulos internos de um polígono regular: ( )180º 2 oui i i nS a a n n − = = Ângulos externos de um polígono regular: 360º oue e e S a a n n = = Número de diagonais de um polígono: ( )3 2 n n d − =
  • 8. 8 Triângulos ― classificaçãoTriângulos ― classificação Quanto aos ângulos Quanto aos lados Acutângulo: possui três ângulos agudos. Equilátero: três lados de mesma medida. Obs.: os três ângulos internos têm medidas de 60º. Retângulo: possui dois ângulos agudos e um ângulo reto. Obs.: pode ser aplicado o teorema de Pitágoras: hipotenusa2 = cateto2 + cateto2 Isósceles: dois lados de mesma medida. Obs.: os ângulos opostos aos lados congruentes também são de mesma medida. Obtusângulo: possui dois ângulos agudos e um obtuso. Escaleno: três lados de medidas diferentes entre si.
  • 9. 9 Triângulos - medidas de seus ângulosTriângulos - medidas de seus ângulos Soma das medidas dosSoma das medidas dos ângulos internosângulos internos Teorema do ângulo externoTeorema do ângulo externo Condição de existência de um triânguloCondição de existência de um triângulo α + β + γ = 180º α + x = 180º β + γ = x A soma das medidas dos dois lados menores tem que ser maior que a medida do lado maior. b + c > a
  • 10. 10 Triângulos – cevianas e pontos notáveisTriângulos – cevianas e pontos notáveis Ceviana Definição Ponto notável Figura Mediana É o segmento que tem como extremidade um vértice do triângulo e o ponto médio do lado oposto a esse vértice. Baricentro (G): é o ponto de encontro das medianas do triângulo; é o centro de gravidade do triângulo. Bissetriz É o segmento que tem uma extremidade em um vértice do triângulo, divide o ângulo ao meio e tem a outra extremidade no lado oposto a esse vértice. Incentro (I): é o encontro das bissetrizes internas do triângulo; é o centro da circunferência inscrita no triângulo, pois equidista dos três lados. Altura É o segmento com uma extremidade em um vértice e a outra extremidade no lado oposto ou no seu prolongamento, formando com ele ângulos retos. Ortocentro (H): é o ponto de encontro das retas que contêm as alturas, podendo pertencer ao exterior do triângulo. Mediatriz Reta que passa pelo ponto médio de um lado do triângulo e é perpendicular a ele. Circuncentro (C): é o ponto de encontro das mediatrizes dos lados do triângulo; é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, pois equidista dos três vértices.
  • 11. 11 Congruência de triângulosCongruência de triângulos Dois triângulos são congruentes se coincidem ao serem sobrepostos. Isso significa que seus lados, dois a dois, terão a mesma medida e o mesmo ocorrerá com os seus ângulos. 1o caso: LAL Dois lados congruentes e o ângulo formado por eles congruente 3o caso: ALA Dois ângulos congruentes e o lado compreendido entre eles congruente 4o caso: LAAo Um lado congruente, um ângulo adjacente e o ângulo oposto a esse lado congruente 2o caso: LLL Três lados congruentes
  • 12. 12 Semelhança de triângulosSemelhança de triângulos Dois triângulos são semelhantes se, e somente se, possuem os três ângulos ordenadamente congruentes e os lados homólogos proporcionais. Dessa forma, basta verificar alguns elementos para saber se os dois triângulos são semelhantes. 1o caso: AA Se dois ângulos de um triângulo são respectivamente congruentes a dois ângulos de outro, o terceiro ângulo também será. 3o caso: LAL Dois triângulos são semelhantes se possuem um ângulo congruente compreendido entre lados proporcionais. 2o caso: LLL Dois triângulos são semelhantes se os lados de um são proporcionais aos lados do outro. Casos de semelhança:Casos de semelhança: Assim teremos: = = = AB BC AC constante DE EF DF
  • 13. 13 Relações métricas no triângulo retânguloRelações métricas no triângulo retângulo Considere um triângulo ABC, retângulo em A, e o segmento perpendicular ao lado , com D em . AD BC BC Definições dos segmentos: = = = = = = BC hipotenusa (medida "a") AB cateto (medida "c") AC cateto (medida "b") BD projeção do cateto AB sobre a hipotenusa (medida "m") DC projeção do cateto AC sobre a hipotenusa (medida "n") AD altura relativa à hipotenusa (medida "h") Assim teremos: 2 2 2 2 2 2 = + × = × = × = × = × a b c a h b c b m a c n a h m n
  • 14. 14 QuadriláterosQuadriláteros Quanto aos ângulos Quanto às diagonais Quanto aos lados Paralelogramo Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. Encontram-se no seu ponto médio. Lados opostos congruentes. Retângulo Quatro ângulos retos. São congruentes. Lados opostos congruentes. Losango Ângulos opostos congruentes e ângulos adjacentes suplementares. São perpendiculares entre si e estão contidas nas bissetrizes dos ângulos internos do losango. Quatro lados congruentes. Quadrado Quatro ângulos retos. Encontram-se no seu ponto médio e são congruentes. Quatro lados congruentes. São polígonos de quatro lados em que a soma das medidas dos ângulos internos é 360º.
  • 15. 15 QuadriláterosQuadriláteros Os trapézios são quadriláteros que têm apenas um par de lados paralelos, chamados base maior e base menor. Trapézio retângulo É todo trapézio que tem dois ângulos retos. Nele, um dos lados que não é base é perpendicular às duas bases. Trapézio isósceles É todo trapézio que tem dois lados não paralelos congruentes.
  • 16. 16 Teorema de TalesTeorema de Tales Um feixe de retas paralelas cortadas por duas transversais quaisquer determinam segmentos proporcionais. Assim teremos: = = AB BC AC DE EF DF
  • 17. 17 Teorema da bissetriz de um ângulo interno de um triânguloTeorema da bissetriz de um ângulo interno de um triângulo Em todo triângulo, a bissetriz de qualquer ângulo interno divide o lado oposto a ele em duas partes proporcionais aos lados que formam esse ângulo. Assim teremos: = BD AB DC AC