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Ponto  não possui definição, é uma idéia primitiva. Não tem altura, nem comprimento e nem
largura, ou seja, não tem dimensões, por isso, é chamado de adimensional.
REPRESENTAÇÃO DO PONTO  por letras maiúsculas. Ex:.A
Reta  composta por conjunto infinitos pontos. Para traçar uma reta são necessários dois
pontos. Por um ponto passam infinitas retas.
REPRESENTAÇÃO RETA A reta é representada por letras minúsculas. Ex:___ r
EQUAÇÃO DA RETA
Sejam os pontos escolhidos e . Então,
Figura: Uma reta passando por dois pontos e .
Semi-Reta  toda semi-reta é um subconjunto da reta que possui origem e não possui
extremidade. Representa-se por AB
Segmento  é conj. de pontos contido numa reta. Esse conj. de pontos tem origem e
extremidade .
Segmento-Reta é a intersecção de duas semi-retas, cada uma contendo a origem da outra,
ou seja, tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto
de origem. Representa- por AB.
Dois ou mais segmentos de retas podem ser:
• Consecutivos têm apenas um ponto em comum.
• Colineares  estão na mesma reta
1
• Adjacentes têm apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são
consecutivos e colineares ao mesmo tempo.
Posição de uma reta no plano  Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou
Inclinada(Diagonal).
Duas retas podem ser:
• Perpendiculares:
• Paralelas: Quando não tem nenhum ponto em comum. Quando o coeficiente angular de
uma igual da outra ( )
• Concorrentes: Quando tem apenas um ponto em comum.
• Coincidentes: Quando tem todos os pontos em comum.
Uma reta pode ser:
• Horizontal: .
• Vertical: não definido.
Congruência  este termo esta associado a medida. Dois entes geométricos são
congruentes ≅ se suas medidas forem iguais.
Congruência de segmentos de reta dois segmentos de reta AB e CD serão congruentes
se, e somente se, tiverem a mesma medida.
Segmentos colineares são aqueles que são subconjuntos da mesma reta.
Ponto Médio de um segmento M será ponto médio de um segmento AB se, e somente
se, M pertencer ao segmento AB e AM for congruente com BM .Ponto de equilibro de um
segmento de reta. Fórmula ponto médio:
e .
Pm = (x1 + x2 ; y1 + y2 )
2 2
Região convexa o conjunto de pontos S é uma região convexa se, e somente se,
para qualquer para de pontos A e B de S, o segmento AB for subconjunto de S
convexo não- convexo
Plano é formado por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos
não-alinhados ( não colineares) são necessários. É representa por uma letra maiúscula do
alfabeto grego. Equação : ax + by + cz + d = 0
2
Ângulo é a união de duas semi-retas da mesma origem. Representa-se por letras
maiúsculas do alfabeto grego.
Região Ângular é a região determinada pela união do conjunto dos pontos do ângulo
com o conjunto dos ponto interiores.
Ângulo consecutivos quando têm mesmo vértice e pelo meno um lado em comum.
Ângulo adjacentes dois ângulos serão adjacentes quando a intersecção entre seus
conjuntos de pontos interiores for vazia.
Ângulo consecutivo ângulo adjacente.
Congruência de Ângulos dois ângulos são congruentes se, e somente se, eles tem
a mesma medida.
Posição e classificação dos ângulos
] Posição
• Colaterais: Estão no mesmo lado
• Alternos: Estão em lados diferentes
Classificação Geral
• Colaterais internos: Estão do mesmo lado, entre as retas, a soma dos ângulos é 180°
• Colaterais externos: Estão do mesmo lado, fora das retas, a soma dos ângulos é 180°
• Colaterais adjacentes: Estão do mesmo lado, mas não na mesma região, apresentam o
mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°
• Colaterais correspondentes: Estão do mesmo lado, mas não na mesma região e não
apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais
• Alternos internos: Estão em lados diferentes, entre as retas e não apresentam o mesmo
vértice, os ângulos são iguais
• Alternos externos: Estão em lados diferentes, fora das retas e não apresentam o mesmo
vértice, os ângulos são iguais
• Alternos comuns:Estão em lados e regiões diferentes e não apresentam o mesmo vértice, a
soma de seus ângulos é 180°
• Alternos adjacentes: Estão em lados diferentes, mas na mesma região e apresentam o
mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180°
• Opostos pelo vértice: Estão em lados e regiões diferentes e apresentam o mesmo vértice, os
ângulos são iguais.
• Complementares:são aqueles que, somados, resultam 90°
• reto: é o ângulo cuja medida mede exatamente 90°.
• Ângulo central: é o angulo cujo vértice é o centro da circunferência.
• Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são
secantes a ela.
• Ângulo Obtuso: é um ângulo cuja medida está entre 90 ° e 180 °.
• Ângulo Agudo: é o ângulo cuja medida é maior do que 0 e menor que 90 graus.
3
Classificação Geral dos ângulos:
Ângulo reto é o ângulo formado por duas retas perpendiculares, cujo valor equivale a
90 graus, π/2 radianos ou 100 grados.
Sistema de medidas de ângulo:
1 reto = 90º
1º = 60 minutos
1 minuto = 60 segundos
Tipos de ângulos com relação a suas medidas
Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como
• Nulo: Um ângulo nulo mede 0 graus.
• Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus.
4
• Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão
localizados em retas perpendiculares.
• Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus.
• Raso: Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas.
• Côncavo: Ângulo que mede mais de 180º e menos de 360º.
• Giro: Ângulo que mede 360º. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta.
O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em
inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em
relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc...
Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo
coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º).
Observação: É possível obter ângulos maiores do que 360º mas os lados destes ângulos coincidirão
com os lados dos ângulos menores do que 360º na medida que ultrapassa 360º. Para obter tais
ângulos basta subtrair 360º do ângulo até que este seja menor do que 360º.
Ângulo agudo Ângulo rego Ângulo obtuso
Ângulo raso Ângulo giro
Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo, e que
divide em dois ângulos congruentes.
Triângulo
5
.
No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas
retas que se unem, com três lados e três ângulos que somam 180°. Também se pode definir
um triângulo em superfícies gerais. ( Dado três pontos não colineares à reunião dos
segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo.
O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é
suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas
dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região
externa de região côncava.
A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua
altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula:
Elementos
• Vértice
• Lados
• Ângulos
•
Tipos de triângulos
Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados:
• Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é
também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°),
sendo, portanto, classificado como um polígono regular.
• Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. O triângulo
equilátero é, consequentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que
apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos,
que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados
congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos
da base e são congruentes.
• Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos
internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes.
Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se
base o lado de medida diferente.
Eqüilátero Isósceles Escaleno
6
Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos:
• Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina-
se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os
catetos de um triângulo retângulo são complementares.
Possui ãngulo igual a 90º
• Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. Possui
ângulo maior que 90º
• Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos. Possui ângulo menor
que 90º
Retângulo Obtusângulo Acutângulo
Condição de existência de um triângulo
Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados
seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença
entre essas medidas.
| b − c | < a < b + c
Fatos Básicos
Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra
Elementos aproximadamente em 300 a.C..
Um triângulo é um polígono.
Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do
outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre,
por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse
ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são
proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo
similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do
outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado
correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro
triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo.
Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de
seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na
trigonometria.
Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a,
b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo
β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ.
7
Triângulo com vértices, lados e ângulos representados
Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos
internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite
a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos
outros dois ângulos.
Ex:
Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B'
são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo
vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o
Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um
triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes.
Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode-
se afirmar que: e = α + β
Teorema de Pitágoras
Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo
retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas
dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da
seguinte maneira:
c2
= a2
+ b2
Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se
calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos.
O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos:
Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser
usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de
três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas.
A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência
circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei
dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a
medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas.
8
Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O
chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus
lados é: . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a
proporção de seus lados é: .
Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo
Mediatriz
O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo.
A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As
três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o
centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O
diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos.
O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do
triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro
estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver
localizado fora do triângulo, este será obtusângulo.
Altura
O ponto de interseção das alturas é o ortocentro
Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento,
traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura
encontra a base é chamado de pé da altura.
O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No
triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do
ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o
ortocentro formam um sistema ortocêntrico.
Mediana
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade.
9
Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado
oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da
hipotenusa.
O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do
triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao
baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No
triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas
as que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas.
Bissetriz
O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro.
A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e
vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos
congruentes.
Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se
incentro.
O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é
denominado círculo inscrito.
Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e
a interseção com o prolongamento do lado oposto.
As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro
relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas.
Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao
prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito.
Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto
Casos de Congruência de triângulos
I) LLL (lado,lado,lado)  Se dois triang. Tem ordenadamento
congruente 3 lados e o ângulo compreendido, então eles são
congruentes.
II) LAL (lado, ângulo, lado)  se dois triângulos tem
ordenadamente 2 lados congruentes e o ângulo compreendio
entre esses lados, são chamados triângulos congruentes.
TEOREMA DO TRIÂNGULO ISÓSCELES
I)Se um triângulo isósceles, os dois ângulos da base são congruentes.
10
II) ALA (ângulo, lado, ângulo)  Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes
um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então eses triângulos são
congruentes.
Polígonos
Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmento de reta não colineares. Os
Infinitos pontos do poligonos pertencedm a um mesmo plano.
Linhas poligonais e polígonos
Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois.
Classificam-se em:
Linha poligonal fechada simples Linha poligonal fechada não-simples
Linha poligonal aberta simples Linha poligonal aberta não-simples
Polígono é uma linha poligonal fechada simples. Um polígono divide o plano em que se
encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns.
Polígonos convexos são aqueles que o segmento que une dois quaisquer de seus pontos
está contido no poligono.
Os outros são chamados não-convexos ou côncavos
Polígonos regulares
Classificação dos polígonos
A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore:
11
Polígono
/ 
Simples Complexo
/ 
Convexo Côncavo
/
Inscritível
/
Regular
• Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que
não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é
denominado complexo.
• Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja
medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo.
• Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono
circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência.
• Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus
ângulos forem congruentes.
Alguns polígonos regulares:
• triângulo equilátero
• quadrado
• pentágono regular
• hexágono regular
Propriedades dos polígonos
• De cada vértice de um polígono de n lados, saem n − 3 diagonais (dv).
• O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número
de lados do polígono.
• A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por
.
• A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a
.
A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por
.
• A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por .
• A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual
a .
• A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por .
•
Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais
que saem de cada vérice é dado por n − 2.
12
Elementos de um polígono
Um polígono possui os seguintes elementos:
• Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: , ,
, , .
• Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E.
• Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , ,
, .
• Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , ,
• Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele
consecutivo: , , , , .
Classificação dos polígonos quanto ao número de lados
Número de lados Polígono
1 Não existe
2 Não existe
3 triângulo
4 quadrilátero
5 pentágono
6 hexágono
7 heptágono
8 octógono
9 eneágono
13
10 decágono
11 hendecágono
12 dodecágono
13 tridecágono
14 tetradecágono
15 pentadecágono
16 hexadecágono
17 heptadecágono
18 octodecágono
19 eneadecágono
20 icoságono
25 icosikaipentagono
30 triacontágono
40 tetracontágono
50 pentacontágono
60 hexacontágono
70 heptacontágono
80 octacontágono
90 eneacontágono
100 hectágono
1000 quilógono
1.000.000 megágono
109
gigágono
10100
googólgono
[
14
bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes
dos seus lados, e isto dá a sulução simples da coisa. Seja P(x, y) um ponto
genérico da bissetriz, e utilize a fórmula da distância de ponto a reta.
Sejam dadas as retas Ax + By + C = 0 e Dx + Ey + F = 0. Teremos
|(Ax + By + C)/sqrt(A^2 + B^2)| = |(Dx + Ey + F/sqrt(D^2 + E^2)|, e isso dá
as duas bissetrizes mais rapidamente. No seu caso (faça o gráfico) a
bissetriz deve estar situada nos quadrantes ímpares, logo deve ter
coeficiente angular positivo.
15

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Revisao geom plana pi

  • 1. Ponto  não possui definição, é uma idéia primitiva. Não tem altura, nem comprimento e nem largura, ou seja, não tem dimensões, por isso, é chamado de adimensional. REPRESENTAÇÃO DO PONTO  por letras maiúsculas. Ex:.A Reta  composta por conjunto infinitos pontos. Para traçar uma reta são necessários dois pontos. Por um ponto passam infinitas retas. REPRESENTAÇÃO RETA A reta é representada por letras minúsculas. Ex:___ r EQUAÇÃO DA RETA Sejam os pontos escolhidos e . Então, Figura: Uma reta passando por dois pontos e . Semi-Reta  toda semi-reta é um subconjunto da reta que possui origem e não possui extremidade. Representa-se por AB Segmento  é conj. de pontos contido numa reta. Esse conj. de pontos tem origem e extremidade . Segmento-Reta é a intersecção de duas semi-retas, cada uma contendo a origem da outra, ou seja, tem começo, mas não tem fim. O ponto onde a semi-reta tem início é chamado Ponto de origem. Representa- por AB. Dois ou mais segmentos de retas podem ser: • Consecutivos têm apenas um ponto em comum. • Colineares  estão na mesma reta 1
  • 2. • Adjacentes têm apenas um ponto em comum e estão na mesma reta, ou seja, são consecutivos e colineares ao mesmo tempo. Posição de uma reta no plano  Uma reta pode estar na posição Vertical, Horizontal ou Inclinada(Diagonal). Duas retas podem ser: • Perpendiculares: • Paralelas: Quando não tem nenhum ponto em comum. Quando o coeficiente angular de uma igual da outra ( ) • Concorrentes: Quando tem apenas um ponto em comum. • Coincidentes: Quando tem todos os pontos em comum. Uma reta pode ser: • Horizontal: . • Vertical: não definido. Congruência  este termo esta associado a medida. Dois entes geométricos são congruentes ≅ se suas medidas forem iguais. Congruência de segmentos de reta dois segmentos de reta AB e CD serão congruentes se, e somente se, tiverem a mesma medida. Segmentos colineares são aqueles que são subconjuntos da mesma reta. Ponto Médio de um segmento M será ponto médio de um segmento AB se, e somente se, M pertencer ao segmento AB e AM for congruente com BM .Ponto de equilibro de um segmento de reta. Fórmula ponto médio: e . Pm = (x1 + x2 ; y1 + y2 ) 2 2 Região convexa o conjunto de pontos S é uma região convexa se, e somente se, para qualquer para de pontos A e B de S, o segmento AB for subconjunto de S convexo não- convexo Plano é formado por infinitas retas e infinitos pontos. Para traçar um plano, três pontos não-alinhados ( não colineares) são necessários. É representa por uma letra maiúscula do alfabeto grego. Equação : ax + by + cz + d = 0 2
  • 3. Ângulo é a união de duas semi-retas da mesma origem. Representa-se por letras maiúsculas do alfabeto grego. Região Ângular é a região determinada pela união do conjunto dos pontos do ângulo com o conjunto dos ponto interiores. Ângulo consecutivos quando têm mesmo vértice e pelo meno um lado em comum. Ângulo adjacentes dois ângulos serão adjacentes quando a intersecção entre seus conjuntos de pontos interiores for vazia. Ângulo consecutivo ângulo adjacente. Congruência de Ângulos dois ângulos são congruentes se, e somente se, eles tem a mesma medida. Posição e classificação dos ângulos ] Posição • Colaterais: Estão no mesmo lado • Alternos: Estão em lados diferentes Classificação Geral • Colaterais internos: Estão do mesmo lado, entre as retas, a soma dos ângulos é 180° • Colaterais externos: Estão do mesmo lado, fora das retas, a soma dos ângulos é 180° • Colaterais adjacentes: Estão do mesmo lado, mas não na mesma região, apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180° • Colaterais correspondentes: Estão do mesmo lado, mas não na mesma região e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais • Alternos internos: Estão em lados diferentes, entre as retas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais • Alternos externos: Estão em lados diferentes, fora das retas e não apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais • Alternos comuns:Estão em lados e regiões diferentes e não apresentam o mesmo vértice, a soma de seus ângulos é 180° • Alternos adjacentes: Estão em lados diferentes, mas na mesma região e apresentam o mesmo vértice, a soma dos ângulos é 180° • Opostos pelo vértice: Estão em lados e regiões diferentes e apresentam o mesmo vértice, os ângulos são iguais. • Complementares:são aqueles que, somados, resultam 90° • reto: é o ângulo cuja medida mede exatamente 90°. • Ângulo central: é o angulo cujo vértice é o centro da circunferência. • Ângulo inscrito: é o ângulo cujo vértice pertence a uma circunferência e seus lados são secantes a ela. • Ângulo Obtuso: é um ângulo cuja medida está entre 90 ° e 180 °. • Ângulo Agudo: é o ângulo cuja medida é maior do que 0 e menor que 90 graus. 3
  • 4. Classificação Geral dos ângulos: Ângulo reto é o ângulo formado por duas retas perpendiculares, cujo valor equivale a 90 graus, π/2 radianos ou 100 grados. Sistema de medidas de ângulo: 1 reto = 90º 1º = 60 minutos 1 minuto = 60 segundos Tipos de ângulos com relação a suas medidas Com relação às suas medidas, os ângulos podem ser classificados como • Nulo: Um ângulo nulo mede 0 graus. • Agudo: Ângulo cuja medida é maior do que 0 graus e menor do que 90 graus. 4
  • 5. • Reto: Um ângulo reto é um ângulo cuja medida é exatamente 90º. Assim os seus lados estão localizados em retas perpendiculares. • Obtuso: É um ângulo cuja medida está entre 90 graus e 180 graus. • Raso: Ângulo que mede exatamente 180º, os seus lados são semi-retas opostas. • Côncavo: Ângulo que mede mais de 180º e menos de 360º. • Giro: Ângulo que mede 360º. Também pode ser chamado de Ângulo de uma volta. O ângulo reto (90º) é provavelmente o ângulo mais importante, pois o mesmo é encontrado em inúmeras aplicações práticas, como no encontro de uma parede com o chão, os pés de uma mesa em relação ao seu tampo, caixas de papelão, esquadrias de janelas, etc... Um ângulo de 360 graus é o ângulo que completa o círculo. Após esta volta completa este ângulo coincide com o ângulo de zero graus mas possui a grandeza de 360 graus (360 º). Observação: É possível obter ângulos maiores do que 360º mas os lados destes ângulos coincidirão com os lados dos ângulos menores do que 360º na medida que ultrapassa 360º. Para obter tais ângulos basta subtrair 360º do ângulo até que este seja menor do que 360º. Ângulo agudo Ângulo rego Ângulo obtuso Ângulo raso Ângulo giro Bissetriz de um ângulo é a semi-reta com origem no vértice do ângulo, e que divide em dois ângulos congruentes. Triângulo 5
  • 6. . No plano, triângulo é a figura geométrica que ocupa o espaço interno limitado por três linhas retas que se unem, com três lados e três ângulos que somam 180°. Também se pode definir um triângulo em superfícies gerais. ( Dado três pontos não colineares à reunião dos segmentos AB, AC e BC chama-se triângulo. O triângulo é o único polígono que não possui diagonais e cada um de seus ângulos externos é suplementar do ângulo interno adjacente. O perímetro de um triângulo é a soma das medidas dos seus lados. Denomina-se a região interna de um triângulo de região convexa e a região externa de região côncava. A área de um triângulo retângulo obtém-se calculando a metade do produto da medida da sua altura pela medida da sua base. Assim, a área do triângulo pode ser calculada pela fórmula: Elementos • Vértice • Lados • Ângulos • Tipos de triângulos Um triângulo pode ser classificado de acordo com as medidas relativas de seus lados: • Um triângulo equilátero possui todos os lados congruentes. Um triângulo equilátero é também equiângulo: todos os seus ângulos internos são congruentes (medem 60°), sendo, portanto, classificado como um polígono regular. • Um triângulo isósceles possui pelo menos dois lados congruentes. O triângulo equilátero é, consequentemente, um caso especial de um triângulo isósceles, que apresenta não somente dois, mas todos os três lados iguais, assim como os ângulos, que medem todos 60º. Num triângulo isósceles, o ângulo formado pelos lados congruentes é chamado ângulo do vértice. Os demais ângulos denominam-se ângulos da base e são congruentes. • Em um triângulo escaleno, as medidas dos três lados são diferentes. Os ângulos internos de um triângulo escaleno também possuem medidas diferentes. Denomina-se base o lado sobre qual se apóia o triângulo. No triângulo isósceles, considera-se base o lado de medida diferente. Eqüilátero Isósceles Escaleno 6
  • 7. Um triângulo também pode ser classificado de acordo com seus ângulos internos: • Um triângulo retângulo possui um ângulo reto. Num triângulo retângulo, denomina- se hipotenusa o lado oposto ao ângulo reto. Os demais lados chamam-se catetos. Os catetos de um triângulo retângulo são complementares. Possui ãngulo igual a 90º • Um triângulo obtusângulo possui um ângulo obtuso e dois ângulos agudos. Possui ângulo maior que 90º • Em um triângulo acutângulo, todos os três ângulos são agudos. Possui ângulo menor que 90º Retângulo Obtusângulo Acutângulo Condição de existência de um triângulo Para que se possa construir um triângulo é necessário que a medida de qualquer um dos lados seja menor que a soma das medidas dos outros dois e maior que o valor absoluto da diferença entre essas medidas. | b − c | < a < b + c Fatos Básicos Fatos elementares sobre triângulos foram apresentados por Euclides nos livros 1-4 de sua obra Elementos aproximadamente em 300 a.C.. Um triângulo é um polígono. Dois triângulos são ditos semelhantes se um pode ser obtido pela expansão uniforme do outro. Este é o caso se, e somente se, seus ângulos correspondentes são iguais, e isso ocorre, por exemplo, quando dois triângulos compartilham um ângulo e os lados opostos a esse ângulo. O fato crucial sobre triângulos similares é que os comprimentos de seus lados são proporcionais. Isto é, se o maior lado de um triângulo é duas vezes o maior lado do triângulo similar, diz-se, então, que o menor lado será também duas vezes maior que o menor lado do outro triângulo, e o comprimento do lado médio será duas vezes o valor do lado correspondente do outro triângulo. Assim, a razão do maior lado e o menor lado do primeiro triângulo será a mesma razão do maior lado e o menor lado do outro triângulo. Usando-se triângulos retângulos e o conceito de similaridade, as funções trigonométricas de seno e cosseno podem ser definidas. Essas são funções de um ângulo que são investigadas na trigonometria. Nos casos a seguir, será usado um triângulo com vértices A, B e C, ângulos α, β e γ e lados a, b e c. O lado a é oposto ao vértice A e ao ângulo α, o lado b é oposto ao vértice B e ao ângulo β e o lado c é oposto ao vértice C e ao ângulo γ. 7
  • 8. Triângulo com vértices, lados e ângulos representados Na geometria Euclidiana, de acordo com o Teorema angular de Tales, a soma dos ângulos internos de qualquer triângulo é igual a dois ângulos retos (180° ou π radianos). Isso permite a determinação da medida do terceiro ângulo, desde que sejam conhecidas as medidas dos outros dois ângulos. Ex: Os ângulos A e A' são iguais (duas paralelas cortadas por uma trasversal). Os ângulos B e B' são iguais por serem alternos internos. Os ângulos C e C' são iguais por serem opostos pelo vértice. Assim vê-se que a soma dos ângulos internos do triângulo é 180o Existe um Corolário desse Teorema, que afirma que a medida de um ângulo externo de um triângulo é igual à soma das medidas dos ângulos internos não-adjacentes. Ex: Sendo e a medida do ângulo externo do triângulo que tem como vértice o vértice C, pode- se afirmar que: e = α + β Teorema de Pitágoras Um teorema central é o Teorema de Pitágoras, que afirma que em qualquer triângulo retângulo, o quadrado da medida da hipotenusa é igual à soma dos quadrados das medidas dos catetos. Se o vértice C do exemplo dado for um ângulo reto, pode-se escrever isso da seguinte maneira: c2 = a2 + b2 Isso significa que, conhecendo as medidas de dois lados de um triângulo retângulo, pode-se calcular a medida do terceiro lado — propriedade única dos triângulos retângulos. O Teorema de Pitágoras pode ser generalizado pela lei dos cossenos: Essa lei é válida para todos os triângulos, mesmo se γ não for um ângulo reto e pode ser usada para determinar o tamanho de lados e ângulos de um triângulo, desde que a medida de três ou dois lados e de um ângulo interno sejam conhecidas. A lei dos senos diz: , onde d é o diâmetro da circunferência circunscrita ao triângulo (uma circunferência que passa pelos três vértices do triângulo). A lei dos senos pode ser usada para computar a medidas dos lados de um triângulo, desde que a medida de dois ângulos e de um lado sejam conhecidas. 8
  • 9. Existem dois triângulos retângulos especiais que aparecem frequentemente em geometria. O chamado "triângulo 45º-45º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: . O "triângulo 30º-60º-90º" possui ângulos com essas medidas e a proporção de seus lados é: . Pontos, linhas e círculos associados a um triângulo Mediatriz O circuncentro é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo. A mediatriz é a reta perpendicular a um lado do triângulo, traçada pelo seu ponto médio. As três mediatrizes de um triângulo se encontram em um único ponto, o circuncentro, que é o centro da circunferência circunscrita ao triângulo, que passa pelos três vértices do triângulo. O diâmetro dessa circunferência pode ser achado pela lei dos senos. O Teorema de Tales determina que se o circuncentro estiver localizado em um lado do triângulo, o ângulo oposto a este lado será reto. Determina também que se o circuncentro estiver localizado dentro do triângulo, este será acutângulo; se o circuncentro estiver localizado fora do triângulo, este será obtusângulo. Altura O ponto de interseção das alturas é o ortocentro Altura é um segmento de reta perpendicular a um lado do triângulo ou ao seu prolongamento, traçado pelo vértice oposto. Esse lado é chamado base da altura, e o ponto onde a altura encontra a base é chamado de pé da altura. O ponto de interseção das três alturas de um triângulo denomina-se ortocentro (H). No triângulo acutângulo, o ortocentro é interno ao triângulo; no triângulo retângulo, é o vértice do ângulo reto; e no triângulo obtusângulo é externo ao triângulo. Os três vértices juntos com o ortocentro formam um sistema ortocêntrico. Mediana O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade. 9
  • 10. Mediana é o segmento de reta que une cada vértice do triângulo ao ponto médio do lado oposto. A mediana relativa à hipotenusa em um triângulo retângulo mede metade da hipotenusa. O ponto de interseção das três medianas é o baricentro ou centro de gravidade do triângulo. O baricentro divide a mediana em dois segmentos. O segmento que une o vértice ao baricentro vale o dobro do segmento que une o baricentro ao lado oposto deste vértice. No triângulo Equilátero, as medianas, bissetrizes e alturas são coincidentes. No isósceles, apenas as que chegam ao lado diferente, no escaleno, nenhuma delas. Bissetriz O ponto de interseção das três bissetrizes é o incentro. A bissetriz interna de um triângulo corresponde ao segmento de reta que parte de um vértice e vai até o lado oposto do vértice em que partiu, dividindo o seu ângulo em dois ângulos congruentes. Em um triângulo há três bissetrizes internas, sendo que o ponto de interseção delas chama-se incentro. O círculo que tem o incentro como centro e é tangente aos três lados do triângulo é denominado círculo inscrito. Já a bissetriz externa é o segmento da bissetriz de um ângulo externo situado entre o vértice e a interseção com o prolongamento do lado oposto. As bissetrizes externas duas a duas têm um ponto de interseção, denominado ex-incentro relativo ao lado que contêm os vértices pelos quais passam essas retas. Dado um ex-incentro, o círculo que tem esse ponto como centro, e é tangente a um lado e ao prolongamento dos dois outros lados do triângulo, é denominado círculo ex-inscrito. Em um triângulo equilátero, o incentro, o ortocentro e o baricentro são o mesmo ponto Casos de Congruência de triângulos I) LLL (lado,lado,lado)  Se dois triang. Tem ordenadamento congruente 3 lados e o ângulo compreendido, então eles são congruentes. II) LAL (lado, ângulo, lado)  se dois triângulos tem ordenadamente 2 lados congruentes e o ângulo compreendio entre esses lados, são chamados triângulos congruentes. TEOREMA DO TRIÂNGULO ISÓSCELES I)Se um triângulo isósceles, os dois ângulos da base são congruentes. 10
  • 11. II) ALA (ângulo, lado, ângulo)  Se dois triângulos tem ordenadamente congruentes um lado e os dois ângulos a ele adjacentes, então eses triângulos são congruentes. Polígonos Um polígono é uma figura geométrica plana limitada por segmento de reta não colineares. Os Infinitos pontos do poligonos pertencedm a um mesmo plano. Linhas poligonais e polígonos Linha poligonal é uma sucessão de segmentos consecutivos e não-colineares, dois a dois. Classificam-se em: Linha poligonal fechada simples Linha poligonal fechada não-simples Linha poligonal aberta simples Linha poligonal aberta não-simples Polígono é uma linha poligonal fechada simples. Um polígono divide o plano em que se encontra em duas regiões (a interior e a exterior), sem pontos comuns. Polígonos convexos são aqueles que o segmento que une dois quaisquer de seus pontos está contido no poligono. Os outros são chamados não-convexos ou côncavos Polígonos regulares Classificação dos polígonos A classificação dos polígonos pode ser ilustrada pela seguinte árvore: 11
  • 12. Polígono / Simples Complexo / Convexo Côncavo / Inscritível / Regular • Um polígono é denominado simples se ele for descrito por uma fronteira simples e que não se cruza (daí divide o plano em uma região interna e externa), caso o contrário é denominado complexo. • Um polígono simples é denominado convexo se não tiver nenhum ângulo interno cuja medida é maior que 180°, caso o contrário é denominado côncavo. • Um polígono convexo é denominado circunscrito a uma circunferência ou polígono circunscrito se todos os vértices pertencerem a uma mesma circunferência. • Um polígono inscritível é denominado regular se todos os seus lados e todos os seus ângulos forem congruentes. Alguns polígonos regulares: • triângulo equilátero • quadrado • pentágono regular • hexágono regular Propriedades dos polígonos • De cada vértice de um polígono de n lados, saem n − 3 diagonais (dv). • O número de diagonais (d) de um polígono é dado por , onde n é o número de lados do polígono. • A soma das medidas dos ângulos internos de um polígono de n lados (Si) é dada por . • A soma das medidas dos ângulos externos de um polígono de n lados (Se) é igual a . A medida do ângulo interno de um polígono regular de n lados (ai) é dada por . • A medida do ângulo externo de um polígono regular de n lados (ae) é dada por . • A soma das medidas dos ângulos centrais de um polígono regular de n lados (Sc) é igual a . • A medida do ângulo central de um polígono regular de n lados (ac) é dada por . • Em um polígono convexo de n lados, o número de triângulos formados por diagonais que saem de cada vérice é dado por n − 2. 12
  • 13. Elementos de um polígono Um polígono possui os seguintes elementos: • Lados: Cada um dos segmentos de reta que une vértices consecutivos: , , , , . • Vértices: Ponto de encontro de dois lados consecutivos: A, B, C, D, E. • Diagonais: Segmentos que unem dois vértices não consecutivos: , , , , . • Ângulos internos: Ângulos formados por dois lados consecutivos: , , , , • Ângulos externos: Ângulos formados por um lado e pelo prolongamento do lado a ele consecutivo: , , , , . Classificação dos polígonos quanto ao número de lados Número de lados Polígono 1 Não existe 2 Não existe 3 triângulo 4 quadrilátero 5 pentágono 6 hexágono 7 heptágono 8 octógono 9 eneágono 13
  • 14. 10 decágono 11 hendecágono 12 dodecágono 13 tridecágono 14 tetradecágono 15 pentadecágono 16 hexadecágono 17 heptadecágono 18 octodecágono 19 eneadecágono 20 icoságono 25 icosikaipentagono 30 triacontágono 40 tetracontágono 50 pentacontágono 60 hexacontágono 70 heptacontágono 80 octacontágono 90 eneacontágono 100 hectágono 1000 quilógono 1.000.000 megágono 109 gigágono 10100 googólgono [ 14
  • 15. bissetriz de um ângulo é o lugar geométrico dos pontos equidistantes dos seus lados, e isto dá a sulução simples da coisa. Seja P(x, y) um ponto genérico da bissetriz, e utilize a fórmula da distância de ponto a reta. Sejam dadas as retas Ax + By + C = 0 e Dx + Ey + F = 0. Teremos |(Ax + By + C)/sqrt(A^2 + B^2)| = |(Dx + Ey + F/sqrt(D^2 + E^2)|, e isso dá as duas bissetrizes mais rapidamente. No seu caso (faça o gráfico) a bissetriz deve estar situada nos quadrantes ímpares, logo deve ter coeficiente angular positivo. 15