O documento discute vários tópicos relacionados a geometria plana, incluindo: 1) congruência e semelhança de figuras planas, 2) propriedades dos triângulos semelhantes e polígonos semelhantes, 3) relações métricas do triângulo retângulo. O documento também aborda classificação de triângulos, condições de existência, e outros elementos como alturas, medianas, mediatrizes e bissetrizes.

1. Unidade 11 – Geometria Plana I
Congruência e semelhança
de figuras planas
Relações métricas do
triângulo retângulo
Triângulo qualquer

2. Congruência e Semelhança de Figuras
Planas

3. TRIÂNGULOS SEMELHANTES
Dois polígonos são semelhantes quando satisfazem,
simultaneamente, duas condições: os ângulos são
respectivamente congruentes e os lados correspondentes são
proporcionais.
Os triângulos, no entanto, constituem um casos especial.
Para que dois triângulos sejam semelhantes, basta que
verifiquem uma das duas condições de semelhança; se essa
condição for satisfeita, a outra será automaticamente válida.
Portanto, dois triângulos são semelhantes quando têm os
ângulos respectivamente congruentes ou lados homólogos
correspondentes proporcionais.

4. TRIÂNGULOS SEMELHANTES

5. PROPRIEDADES

6. EXEMPLO 1

7. EXEMPLO 2

8. Para você fazer – p. 33
4
4
02
2052.105
105
2
)2
5,7
2
15
1523.52
3
5
2
)1
10
3
5
2
:,
=→=→=→=→=
=→=→=→=→=
==
mmmm
m
nnnn
n
m
n
temosproporçãoPela
45,7 == mn e

9. POLÍGONOS SEMELHANTES
Para que duas figuras sejam semelhantes, é necessário que tenham
ângulos correspondentes de mesma medida e as medidas dos
segmentos correspondentes proporcionais.
Consideremos os polígonos QRSTU e ABCDE das figuras
seguintes:

10. POLÍGONOS SEMELHANTES

11. POLÍGONOS SEMELHANTES

12. POLÍGONOS SEMELHANTES
Os valores ½ obtido chama-se razão de semelhança
do pentágono QRSTU para o pentágono ABCDE.
Dois polígonos com o mesmo número de lados são
de semelhantes quando possuem ângulos
respectivamente congruentes e lados
correspondentes proporcionais.
A razão entre qualquer lado de um pol[igono e o
lado correspondente do outro chama-se razão de
semelhança.

13. POLÍGONOS SEMELHANTES

14. PROPRIEDADES

15. PROPRIEDADES

16. EXEMPLO 1

17. CONTINUAÇÃO

18. Para você fazer – p. 35
→=
=→=
103
2
35
2
3
:,
DF
DFDF
AC
temosproporçãoPela
cmDF
3
10
=

19. A
B CH
αααα
m n
a = m + n
αααα ββββ
c bh
ββββ
Os triângulos HBA, HAC e
ABC são semelhantes
)1(. 2
cma
a
c
c
m
=⇒=
)2(. 2
bna
a
b
b
n
=⇒=
amc =2
anb =2
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo

20. Relação Métricas do Triângulo
Retângulo
22
)( cbnma +=+
A
m
αααα
c
ββββ
HB
h
CH
αααα
n
ββββ
bh
Somando as
equações (1) e (2) 222
cba +=

21. n
h
h
m
=
nmh .2
=
A área do triângulo ABC
pode ser calculada por:
2
.
2
. cbha
=
cbha .. =
B
a = m + n
CH
αααα
n
ββββ
bh
A
m
αααα
c
ββββ
A
m
αααα
c
ββββ
HB
h
CH
αααα
n
ββββ
bh
Relação Métricas do Triângulo
Retângulo

22. Resolução de Atividades
Página 37 e 38

23. Triângulo qualquer e suas
propriedades
O estudo de triângulos é um dos assuntos mais
importantes na Geometria.
Isso ocorre porque eles podem ser associados a
figuras geométricas circulares, possibilitando
relações importantes, além de serem elementos
básicos constituintes de figuras poligonais com mais
de três lados.
A seguir, apresentaremos algumas propriedades
geométricas e generalidades sobre triângulos.

24. Elementos principais de um triângulo
Os principais elementos de
um triângulo são os lados,
os vértices, os ângulos
internos e externos:
Considerando o triângulo
ABC ao lado, temos:
CeB,AângulosossãoexternosângulosOs
;CeBÂ,formadossãointernosângulosOs
,BCeAC,ABsegmentosossãoladosOs
eee
ˆˆˆ
ˆˆ
→
→
→

25. Soma dos ângulos internos de um
triângulo
Vamos relembrar agora uma
propriedade que relaciona
os ângulos internos de um
triângulo. Observe:
Se, pelo vértice C,
traçarmos uma reta paralela
ao lado AB, obteremos
ângulos congruentes aos
ângulos A e B.
Os três ângulos destacados
no vértice C, juntos,
correspondem a um ângulo
de 180º.
Logo, podemos concluir
que:
180ºCB =++ ˆˆ
Portanto, em qualquer triângulo, a
soma dos ângulos internos é
sempre igual a 180º.
Essa relação é conhecida como
Teorema Angular de Tales.

26. Soma dos ângulos externos de um
triângulo
Observe, no triângulo ABC
abaixo, que a soma de
qualquer ângulo interno de um
triângulo com correspondente
ângulo externo é sempre igual
a 180º.
º180ˆˆ
º180ˆˆ
º180ˆˆ
=+
=+
=+
e
e
e
CC
BB
AA
relações.seguintes
asescreverpodemosAssim,

27. Soma dos ângulos externos de um
triângulo
º180º180º180ˆˆˆˆˆˆ ++=+++++ eee CCBBAA
:temosequações,íltimastrês
essasmembro,amembroSomando,
( )
º540ˆˆˆº180
º540ˆˆˆˆˆˆ
=+++
=+++++
eee
eee
CBA
CBACBA
º180º540ˆˆˆ −=++ eee CBA
º360ˆˆˆ =++ eee CBA

28. Resolução de Atividades
Página 39

29. Classificação dos triângulos
Os triângulos podem ser classificados de acordo
com dois critérios principais: quanto aos lados e
quanto aos ângulos.
Quanto aos lados:
Triângulo Equilátero: apresenta os lados e os
ângulos com a mesma medida.
Triângulo Isósceles: apresenta dois lados e dois
ângulos com a mesma medida.
Triângulo escaleno: apresenta os três lados e os
ângulos com medidas diferentes.

30. Classificação dos triângulos
Quanto aos ângulos:
Triângulo acutângulo: apresenta os ângulos
internos agudos, ou seja, de medidas
menores que 90º;
Triângulo retângulo: apresenta um ângulo
reto, ou seja, com medida igual a 90º;
Triângulo obtusângulo: apresenta um ângulo
interno obtuso, ou seja, de medida maior que
90º.

31. Condição de existência de um
triângulo
Para a existência de um triângulo cujos
lados tenham medidas a, b, e c devem ser
verificadas as seguintes condições:
A medida de cada lado deve ser menor que
a soma das medidas dos outros dois lados:
a > b + c
b > a + c
c > a + b

32. Condição de existência de um
triângulo
A medida de cada lado deve ser maior que o módulo
da diferença das medidas dos outros dois lados:
a > |b – c |
b > |a – c |
c > |a – b |
Para qualquer lado de medida a de um triângulo,
necessariamente, devemos ter:
|b – c | < a < b + c
Essa última expressão é denominada desigualdade
triangular.

33. Outros elementos de um triângulo
Além dos chamados elementos principais de um
triângulo, que são os lados, os vértices, os ângulos
internos e externos, existem outros elementos cujo
conhecimento será importante no desenvolvimento
da Geometria.
Estudaremos, agora, no contexto de triângulos, as
alturas, as medidas, as mediatrizes e as bissetrizes.
Cada um desses elementos determinará um ponto
notável distinto de um triângulo:

34. Outros elementos de um triângulo

35. Altura
Uma altura de um triângulo é um segmento
de reta que tem extremidades em u vértice e
no lado oposto a esse vértice, sendo
perpendicular a esse lado.
H é o ortocentro do triângulo ABC
ha
hb
hc
A
B C

36. Altura
ha
hc
hb
A
B
H é o ortocentro do triângulo ABC
C
Triângulo Obtuso

37. Mediana
Mediana em um triângulo é um segmento de
reta que tem extremidades no ponto médio
de um lado e no vértice oposto a esse lado.
A
B CM1
M2
M3
G
G é o baricentro
do triângulo ABC

38. VOCÊ LEMBRA?
Mediatriz de um segmento é
a reta que passa pelo ponto
médio desse segmento
sendo perpendicular a ele.
A mediatriz de um segmento
traduz o lugar geométrico
dos pontos equidistantes
dos vértices do segmento:
Bissetriz de um ângulo é a
reta que divide esse ângulo
em duas partes iguais.
A bissetriz é o lugar
geométrico dos pontos
equidistantes dos lados de
um ângulo.

39. Mediatriz
Todo triângulo admite um
circunferência circunscrita a
ele que passa pelos vértices
desse triângulo.
O centro dessa
circunferência, chamado
circuncentro, é obtido pela
intersecção das mediatrizes
dos lados do triângulo.
A
B C
O

40. Bissetriz
Todo triângulo admite uma
circunferência inscrita que
tangencia internamente os
três lados.
O centro dessa
circunferência, chamada de
incentro, é obtido pela
intersecção das bissetrizes
dos ângulos internos do
triângulo.