1) O documento discute coordenadas cartesianas e como localizar pontos em um plano cartesiano usando pares ordenados de números reais. 2) É introduzido o conceito de função e como mapear conjuntos usando funções afins e quadráticas. 3) São explicados conceitos como domínio, contradomínio, conjunto imagem e como interpretar e construir gráficos de funções.
O documento define triângulo e seus elementos, classifica triângulos de acordo com lados e ângulos, apresenta teoremas e pontos notáveis de triângulos como ortocentro, baricentro e incentro. Propriedades de triângulos isósceles e equiláteros também são descritas.
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre semelhança de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 08 de setembro de 2011 pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt. Os exercícios vão de 01 a 31 e abordam problemas envolvendo semelhança entre triângulos.
Há uma vídeo-aula associada a estes eslaides. Veja em http://www.youtube.com/watch?v=SscYn7T-Q40
Aula apresentada aos alunos do 1.º ano do Ensino Médio do Colégio Nahim Ahmad (http://www.colegioahmad.com.br). Esta aula é trabalhada como pré-requisito antes da introdução à Física.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
O documento introduz os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo a representação de pontos no plano cartesiano, cálculo da distância entre pontos, e propriedades do módulo de um número real. Exemplos ilustram como representar pontos, calcular distâncias, e aplicar propriedades do módulo.
O documento descreve funções de primeiro grau, incluindo sua forma geral como y = ax + b, onde a é a taxa de variação e b é o termo independente. Ele explica como calcular a raiz ou zero de uma função, que é o valor de x que torna y igual a zero. Também discute como determinar se uma função é crescente ou decrescente com base no sinal de a, e como identificar uma função de primeiro grau a partir de seu gráfico.
O documento discute os ângulos formados pelos ponteiros do relógio ao longo de 24 horas, perguntando quantos ângulos são formados, qual o ângulo marcado às 4h e em que horas do dia são formados ângulos de 90° e 180°.
Este documento apresenta as principais relações métricas no triângulo retângulo, incluindo a relação de Pitágoras. Ele define os elementos do triângulo retângulo, como hipotenusa e catetos, e mostra como dois triângulos dentro de um triângulo retângulo são semelhantes, levando às relações a2 = b2 + c2, h2 = mn, ah = bc e b2 = an. Ele então resume formalmente estas relações métricas importantes no triângulo retângulo.
O documento define triângulo e seus elementos, classifica triângulos de acordo com lados e ângulos, apresenta teoremas e pontos notáveis de triângulos como ortocentro, baricentro e incentro. Propriedades de triângulos isósceles e equiláteros também são descritas.
Mat utfrs 18. semelhanca de triangulos exerciciostrigono_metria
O documento apresenta uma lista de exercícios sobre semelhança de triângulos para um curso preparatório de matemática ministrado no Instituto Federal do Rio Grande do Sul em 08 de setembro de 2011 pelo professor Paulo Roberto Martins Berndt. Os exercícios vão de 01 a 31 e abordam problemas envolvendo semelhança entre triângulos.
Há uma vídeo-aula associada a estes eslaides. Veja em http://www.youtube.com/watch?v=SscYn7T-Q40
Aula apresentada aos alunos do 1.º ano do Ensino Médio do Colégio Nahim Ahmad (http://www.colegioahmad.com.br). Esta aula é trabalhada como pré-requisito antes da introdução à Física.
O documento discute funções afins, definidas como funções do tipo y = ax + b. Apresenta exemplos de situações em que a temperatura varia linearmente com o tempo e constrói os respectivos gráficos. Explica como obter a equação de uma função a partir de dois pontos e analisa propriedades como raiz, crescimento e estudo de sinal.
O documento introduz os conceitos fundamentais de geometria analítica, incluindo a representação de pontos no plano cartesiano, cálculo da distância entre pontos, e propriedades do módulo de um número real. Exemplos ilustram como representar pontos, calcular distâncias, e aplicar propriedades do módulo.
O documento descreve funções de primeiro grau, incluindo sua forma geral como y = ax + b, onde a é a taxa de variação e b é o termo independente. Ele explica como calcular a raiz ou zero de uma função, que é o valor de x que torna y igual a zero. Também discute como determinar se uma função é crescente ou decrescente com base no sinal de a, e como identificar uma função de primeiro grau a partir de seu gráfico.
O documento discute os ângulos formados pelos ponteiros do relógio ao longo de 24 horas, perguntando quantos ângulos são formados, qual o ângulo marcado às 4h e em que horas do dia são formados ângulos de 90° e 180°.
Este documento apresenta as principais relações métricas no triângulo retângulo, incluindo a relação de Pitágoras. Ele define os elementos do triângulo retângulo, como hipotenusa e catetos, e mostra como dois triângulos dentro de um triângulo retângulo são semelhantes, levando às relações a2 = b2 + c2, h2 = mn, ah = bc e b2 = an. Ele então resume formalmente estas relações métricas importantes no triângulo retângulo.
O documento discute conjuntos e operações entre conjuntos. Explica como representar conjuntos por enumeração de elementos ou propriedades, relações de pertinência e inclusão, operações como união, intersecção e diferença, conjuntos complementares e o conjunto de partes de um conjunto.
O documento descreve o plano cartesiano, incluindo seus eixos x e y, a origem onde se cruzam, e como localizar pontos usando pares ordenados (x, y). Exemplos mostram como identificar as coordenadas de pontos e em que quadrantes eles se encontram.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
O documento discute frações geratrizes e dízimas periódicas. Explica que frações geratrizes geram dízimas periódicas e fornece exemplos. Também explica como identificar dízimas periódicas simples e compostas e como calcular a fração geratriz para cada tipo. Por fim, fornece exercícios práticos para aplicar os conceitos aprendidos.
Geometria analítica distancia entre dois pontosCamila Oliveira
O documento discute geometria analítica e fornece a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Ele também apresenta exemplos de cálculos de distâncias entre pontos e determinação de pontos equidistantes em eixos.
Relações métricas no triângulo retânguloNeil Azevedo
O documento discute as relações métricas em triângulos retângulos. Ele apresenta como dividir um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes e deriva as proporções entre os lados dos triângulos. Ele também apresenta o Teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa e os catetos em um triângulo retângulo.
1) O documento apresenta 10 exercícios sobre logaritmos, incluindo cálculos de logaritmos, resolução de equações logarítmicas e aplicações em química e biologia.
2) As respostas incluem explicações detalhadas para duas questões, mostrando os passos de raciocínio para chegar à resposta.
3) A resolução dos exercícios envolve propriedades dos logaritmos e cálculos numéricos.
Sistema de-numeracao-indoarabico-6o-anoNivea Neves
O sistema de numeração indo-arábico foi criado no século VI d.C. na Índia e transmitido para a Europa pelos árabes. Utiliza 9 símbolos para números e um décimo símbolo, o zero, criado no século VII. Os matemáticos árabes Al-Khowarizmi e Al-Kindi aperfeiçoaram o sistema no século IX, que passou a ser chamado de sistema indo-arábico.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
Este documento descreve as funções do segundo grau, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. Explica que o gráfico é uma parábola que pode ter concavidade voltada para cima ou baixo dependendo do sinal de a. Detalha como encontrar as raízes, vértice e traçar o gráfico passo a passo.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
Este documento apresenta resoluções de exercícios relacionados a cubos e paralelepípedos retângulos. São calculadas medidas como diagonais, áreas totais e volumes destes sólidos geométricos a partir de expressões algébricas envolvendo as dimensões dadas nos enunciados.
O documento descreve o conceito de homotetia em geometria. Uma homotetia é uma transformação geométrica que preserva a forma de uma figura mas não necessariamente seu tamanho, de modo que as figuras originais e transformadas são semelhantes. Uma homotetia pode ser usada para ampliar ou reduzir figuras geométricas mantendo propriedades como ângulos correspondentes e razões entre segmentos correspondentes.
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversalAndréa Thees
O documento discute os diferentes tipos de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, incluindo ângulos correspondentes, alternos, e colaterais. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar as propriedades desses ângulos, como ter a mesma medida ou serem suplementares. Os alunos são designados a fazer exercícios adicionais para praticar.
Este documento contém um protocolo de avaliação de matemática com 21 questões para um aluno específico. Ele lista o nome do aluno, professor, escola e as questões de 1 a 21 divididas em 6 páginas.
Este documento contém 11 exercícios de matemática sobre álgebra, incluindo expressões algébricas, polinômios, áreas e perímetros de figuras geométricas. Os alunos devem determinar expressões que representam lados, áreas e perímetros de retângulos, quadrados e outras figuras, além de efetuar operações algébricas como multiplicação e divisão de polinômios.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
O documento discute conjuntos e operações entre conjuntos. Explica como representar conjuntos por enumeração de elementos ou propriedades, relações de pertinência e inclusão, operações como união, intersecção e diferença, conjuntos complementares e o conjunto de partes de um conjunto.
O documento descreve o plano cartesiano, incluindo seus eixos x e y, a origem onde se cruzam, e como localizar pontos usando pares ordenados (x, y). Exemplos mostram como identificar as coordenadas de pontos e em que quadrantes eles se encontram.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
O documento discute frações geratrizes e dízimas periódicas. Explica que frações geratrizes geram dízimas periódicas e fornece exemplos. Também explica como identificar dízimas periódicas simples e compostas e como calcular a fração geratriz para cada tipo. Por fim, fornece exercícios práticos para aplicar os conceitos aprendidos.
Geometria analítica distancia entre dois pontosCamila Oliveira
O documento discute geometria analítica e fornece a fórmula para calcular a distância entre dois pontos. Ele também apresenta exemplos de cálculos de distâncias entre pontos e determinação de pontos equidistantes em eixos.
Relações métricas no triângulo retânguloNeil Azevedo
O documento discute as relações métricas em triângulos retângulos. Ele apresenta como dividir um triângulo retângulo em dois triângulos semelhantes e deriva as proporções entre os lados dos triângulos. Ele também apresenta o Teorema de Pitágoras, que relaciona a hipotenusa e os catetos em um triângulo retângulo.
1) O documento apresenta 10 exercícios sobre logaritmos, incluindo cálculos de logaritmos, resolução de equações logarítmicas e aplicações em química e biologia.
2) As respostas incluem explicações detalhadas para duas questões, mostrando os passos de raciocínio para chegar à resposta.
3) A resolução dos exercícios envolve propriedades dos logaritmos e cálculos numéricos.
Sistema de-numeracao-indoarabico-6o-anoNivea Neves
O sistema de numeração indo-arábico foi criado no século VI d.C. na Índia e transmitido para a Europa pelos árabes. Utiliza 9 símbolos para números e um décimo símbolo, o zero, criado no século VII. Os matemáticos árabes Al-Khowarizmi e Al-Kindi aperfeiçoaram o sistema no século IX, que passou a ser chamado de sistema indo-arábico.
O documento apresenta fórmulas para calcular a área de várias figuras planas como retângulos, quadrados, triângulos e círculos. Inclui também a definição de área como um número real positivo associado à superfície de uma região. Explica que a área de uma figura é dada pela multiplicação de medidas como base e altura ou pelo produto de medidas de lados.
Este documento descreve as funções do segundo grau, definidas como f(x) = ax2 + bx + c. Explica que o gráfico é uma parábola que pode ter concavidade voltada para cima ou baixo dependendo do sinal de a. Detalha como encontrar as raízes, vértice e traçar o gráfico passo a passo.
Sistemas de equações do 1⁰ grau revisãoAngela Costa
Sistemas de equações do 1o grau são ferramentas comuns em matemática e outras áreas. Embora geralmente resolvidos com facilidade, é importante prestar atenção na construção e solução corretas do problema. O documento descreve três métodos para resolver sistemas de equações do 1o grau: método da adição, método da substituição e método da igualdade.
[1] O documento discute conceitos fundamentais de funções matemáticas, incluindo noção intuitiva de função, par ordenado, produto cartesiano, domínio, imagem e contradomínio. [2] Também apresenta exemplos de gráficos de funções no plano cartesiano e critérios para identificar se um gráfico representa uma função ou relação. [3] O documento fornece uma introdução abrangente aos principais conceitos teóricos relacionados a funções.
O documento contém 15 exercícios de matemática sobre equações do 1° grau. Os exercícios envolvem identificar equações de 1° grau, verificar se números são raízes de equações, resolver equações, calcular massas usando balanças e equações, e resolver problemas envolvendo idades e quantidades de itens.
Este documento apresenta resoluções de exercícios relacionados a cubos e paralelepípedos retângulos. São calculadas medidas como diagonais, áreas totais e volumes destes sólidos geométricos a partir de expressões algébricas envolvendo as dimensões dadas nos enunciados.
O documento descreve o conceito de homotetia em geometria. Uma homotetia é uma transformação geométrica que preserva a forma de uma figura mas não necessariamente seu tamanho, de modo que as figuras originais e transformadas são semelhantes. Uma homotetia pode ser usada para ampliar ou reduzir figuras geométricas mantendo propriedades como ângulos correspondentes e razões entre segmentos correspondentes.
Âgulos formados por duas retas paralelas e uma transversalAndréa Thees
O documento discute os diferentes tipos de ângulos formados por duas retas paralelas cortadas por uma transversal, incluindo ângulos correspondentes, alternos, e colaterais. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar as propriedades desses ângulos, como ter a mesma medida ou serem suplementares. Os alunos são designados a fazer exercícios adicionais para praticar.
Este documento contém um protocolo de avaliação de matemática com 21 questões para um aluno específico. Ele lista o nome do aluno, professor, escola e as questões de 1 a 21 divididas em 6 páginas.
Este documento contém 11 exercícios de matemática sobre álgebra, incluindo expressões algébricas, polinômios, áreas e perímetros de figuras geométricas. Os alunos devem determinar expressões que representam lados, áreas e perímetros de retângulos, quadrados e outras figuras, além de efetuar operações algébricas como multiplicação e divisão de polinômios.
O documento descreve as funções quadráticas, definindo-as como funções polinomiais do segundo grau na forma f(x)=ax2+bx+c. Apresenta exemplos de funções quadráticas, explica que seu gráfico é uma parábola e como construí-lo, e discute os conceitos de raízes, vértice e discriminante.
(EM13MAT101) Interpretar criticamente situações econômicas, sociais e fatos relativos às Ciências da Natureza que envolvam a variação de grandezas, pela análise dos gráficos das funções representadas e das taxas de variação, com ou sem apoio de tecnologias digitais.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau, incluindo definições, gráficos, raízes, vértice e estudo do sinal. É apresentada a noção de módulo e como resolvver equações e inequações modulares.
O documento descreve as principais características das funções do 1o e 2o grau. No 1o grau, destaca-se a definição, gráfico, coeficientes angular e linear, raiz e estudo do sinal. No 2o grau, explica-se a definição, gráfico em forma de parábola, raiz, vértice, imagem e estudo do sinal. Por fim, aborda-se a função modular, equações e inequações modulares.
Este documento fornece um resumo sobre funções polinomiais do 1o e 2o grau. Ele define o que são funções do 1o grau e suas características, como ter um gráfico em forma de reta. Também define funções do 2o grau, cujo gráfico forma uma parábola, e explica como determinar zeros, vértice e máximos/mínimos destas funções.
O documento descreve funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Estas funções têm a forma f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente de x e b é o termo constante. O documento explica que o gráfico de uma função afim é uma reta, e discute conceitos como crescimento, decrescimento, raiz e sinal destas funções.
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de funções como identidade, constante, linear, afim e quadrática. Explica também o plano cartesiano e como representar graficamente diferentes tipos de funções.
Uma função afim é definida como uma função do 1o grau cujo gráfico é uma reta. Pode ser expressa como f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. Uma função afim pode ser crescente ou decrescente dependendo do sinal de a, e seu gráfico corta o eixo y na ordenada b.
O documento discute funções quadráticas. Explica que uma função quadrática relaciona uma variável independente x com uma variável dependente y através de uma equação do tipo y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. Também mostra como interpretar os gráficos de funções quadráticas e identificar suas propriedades como vértice, raízes e concavidade.
O documento apresenta os conceitos de funções afim, quadrática e exponencial, incluindo suas definições, gráficos e propriedades. Exemplos ilustram como essas funções podem ser usadas para modelar situações do cotidiano e resolver problemas envolvendo taxímetros, crescimento de populações bacterianas e sistemas de equações.
Uma função quadrática é definida como f(x)= ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. Exemplos incluem áreas de quadrados e círculos em relação ao comprimento do lado ou raio. Uma função quadrática produz uma curva em forma de parábola com um vértice e eixo de simetria. O sinal de a determina se a concavidade da parábola está voltada para cima ou para baixo.
O documento descreve funções do primeiro grau, onde a temperatura de uma substância varia linearmente com o tempo de duas maneiras: aumentando ou diminuindo 10°C por minuto. As equações para calcular a temperatura T após t minutos são apresentadas como T = 30 + 10t para aumento e T = 30 - 10t para diminuição. Gráficos ilustram as duas funções lineares.
O documento apresenta uma aula sobre funções afins. Resume os conceitos principais de funções do 1o grau, incluindo sua definição como f(x) = ax + b, exemplos de construção de gráficos, interpretação dos coeficientes a e b e cálculo do zero da função. Exemplos e exercícios são fornecidos para reforçar os conceitos.
FunçãO Do 1º E 2º Grau Autor Antonio Carlos Carneiro BarrosoAntonio Carneiro
A função do 2o grau é definida por y = ax2 + bx + c, onde a, b e c são constantes. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola. As coordenadas do vértice e as raízes da função podem ser determinadas a partir dos valores de a, b e c.
1) O documento discute parábolas, funções quadráticas e suas propriedades como vértice, raízes, domínio e conjunto imagem.
2) Uma função quadrática é dada por f(x) = ax2 + bx + c, onde a, b e c são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função quadrática é uma parábola.
3) Propriedades como vértice, raízes, domínio, conjunto imagem e estudo do sinal de uma função quadrática podem ser determinados a partir de seus coeficientes a
Equações do 2ºgrau, Função Polinomial do 1º e 2º grau, Semelhanças, Segmentos...Zaqueu Oliveira
O documento apresenta um resumo sobre equações de segundo grau. Define o que é uma equação de segundo grau e explica os conceitos de coeficientes, raízes, equações completas e incompletas. Apresenta exemplos e atividades sobre identificação de coeficientes e resolução de equações.
Aula prepara para quem quer estudar para concursos e para vestibulares envolvendo os assuntos sobre funções e conjuntos numéricos que fazem parte do ensino medio
O documento discute conjuntos numéricos e funções matemáticas. Apresenta os conjuntos dos números naturais, inteiros, racionais e reais, além de exemplos de números como p e e. Em seguida, explica o plano cartesiano e como representar funções nele através de coordenadas. Por fim, define diferentes tipos de funções como lineares, afins, identidade, constante, quadráticas e cúbicas.
O documento discute funções quadráticas do segundo grau. Explica que a parábola é a curva fundamental para entender essas funções e apresenta a forma geral F(x) = ax2 + bx + c. Demonstra gráficos de funções do primeiro e segundo grau e discute como determinar a função a partir de seu gráfico.
Este documento fornece uma introdução às funções polinomiais de 2o grau. Discute como Galileu Galilei usou funções quadráticas para descrever o movimento de objetos sob a gravidade. Também define funções quadráticas como qualquer função na forma y = ax2 + bx + c, e discute como calcular e interpretar os vértices, zeros, máximos e mínimos dessas funções.
Uma função de 1o grau é definida por y = ax + b, onde a e b são constantes reais e a ≠ 0. Se b = 0, é uma função linear. Exemplos de gráficos mostram que a define o sentido da reta (positivo = crescente, negativo = decrescente) e b é a ordenada quando x = 0.
1) O documento discute equações de 1o grau com uma ou mais incógnitas, incluindo definições, exemplos e métodos de resolução.
2) São apresentados sistemas de equações de 1o grau com duas incógnitas, incluindo classificação, métodos de resolução e representação gráfica das soluções.
3) Inequações e sistemas de inequações de 1o grau também são abordados, com definição de conjuntos solução.
O documento apresenta diferentes grandezas físicas como comprimento, massa, tempo e capacidade. Ele explica as unidades de medida associadas a essas grandezas como metro, quilograma, hora e litro. Além disso, descreve instrumentos de medida como balança, relógio, trena e jarra medidora.
1) O documento discute conceitos de divisibilidade e decomposição de números naturais em fatores primos.
2) São apresentados critérios de divisibilidade por diferentes números e métodos para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de números.
3) Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos para resolver problemas.
O documento apresenta exemplos e conceitos básicos sobre expressões algébricas, equações do 1o grau com uma incógnita e resolução de equações utilizando propriedades algébricas como distribuição e igualdade. Inclui também exemplos de equações com frações, parênteses e dízimas periódicas.
1) O documento discute conceitos de divisibilidade e decomposição de números naturais em fatores primos.
2) São apresentados critérios de divisibilidade por diferentes números e métodos para encontrar o máximo divisor comum e o mínimo múltiplo comum de números.
3) Exemplos ilustram como aplicar esses conceitos e métodos para resolver problemas.
1) Ângulo é a figura formada por duas semirretas de mesma origem, chamadas lados, com um ponto de origem chamado vértice.
2) Existem diferentes tipos de ângulos: agudo, reto, obtuso, nulo e raso. A medida de um ângulo é dada em graus, minutos e segundos.
3) Nas operações com medidas de ângulos, aplicam-se as mesmas regras de adição, subtração, multiplicação e divisão de números.
O documento descreve as principais relações métricas no triângulo retângulo e na circunferência. 1) No triângulo retângulo, o quadrado da hipotenusa é igual à soma dos quadrados dos catetos. 2) Outras relações envolvem a altura, projeções e produtos dos lados. 3) Essas relações podem ser aplicadas para calcular diagonais, alturas e diagonais de figuras.
O documento apresenta conceitos geométricos como ângulos, triângulos, polígonos e quadriláteros. Inclui definições de ângulos opostos pelo vértice, soma dos ângulos internos de polígonos, elementos de triângulos e quadriláteros como paralelogramos e trapézios.
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Folheto | Centro de Informação Europeia Jacques Delors (junho/2024)Centro Jacques Delors
Estrutura de apresentação:
- Apresentação do Centro de Informação Europeia Jacques Delors (CIEJD);
- Documentação;
- Informação;
- Atividade editorial;
- Atividades pedagógicas, formativas e conteúdos;
- O CIEJD Digital;
- Contactos.
Para mais informações, consulte o portal Eurocid:
- https://eurocid.mne.gov.pt/quem-somos
Autor: Centro de Informação Europeia Jacques Delors
Fonte: https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9267
Versão em inglês [EN] também disponível em:
https://infoeuropa.mne.gov.pt/Nyron/Library/Catalog/winlibimg.aspx?doc=48197&img=9266
Data de conceção: setembro/2019.
Data de atualização: maio-junho 2024.
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A QUESTÃO ANTROPOLÓGICA: O QUE SOMOS OU QUEM SOMOS.pdf
Explorando a ideia da função
1. Início Sair
Coordenadas cartesianas
Para localizar pontos em um plano, usamos o referencial cartesiano.
Indicamos um par ordenado de números reais a e b como:
(a, b)primeira coordenada
(abscissa)
segunda coordenada
(ordenada)
Sistema de eixos ortogonais
Um sistema de eixos ortogonais
é constituído por dois eixos
perpendiculares, Ox e Oy, que
têm a mesma origem O.
Um plano munido de um sistema
de eixos ortogonais é chamado
de plano cartesiano.
P(a, b)
y
x
(0, y)
1º quadrante2º quadrante
3º quadrante 4º quadrante
(x, 0)
b
a
2. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
x
1 2 3 4‒4 ‒3 ‒2 ‒1
4
3
2
1
‒1
‒2
‒3
0
B
Cada par ordenado de números reais corresponde a um ponto do plano
cartesiano e, reciprocamente, a cada ponto do plano corresponde um par
ordenado de números reais.
Vamos localizar no plano cartesiano abaixo os pontos:
A(4, 1)
B(1, 4)
C(‒2, ‒3)
D(2, ‒2)
E(‒1, 0)
F(0, 3)
O(0, 0)
y
OE
C
D
A
F
3. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Explorando intuitivamente a noção de função
A ideia de função está presente quando relacionamos duas
grandezas variáveis.
Exemplo
Número de litros Preço a pagar (R$)
1 2,90
2 5,80
3 8,70
4 11,60
40 116,00
x 2,90x
MM
O preço a pagar é dado
em função do número de
litros comprados, ou seja,
o preço a pagar depende
do número de litros
comprados.
O preço (p) a pagar é igual a 2,60 vezes o número de litros comprados.
p = 2,60x
Relação entre o número de litros
de gasolina e o preço a pagar
4. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Observe os conjuntos A e B. Devemos associar cada elemento de A
a seu triplo em B.
Todos os elementos de A têm
correspondentes em B.
Cada elemento de A corresponde
a um único elemento de B.
A noção de função por meio de conjuntos
‒2 •
‒1 •
0 •
1 •
2 •
• ‒8
• ‒6
• ‒4
• ‒3
• 0
• 3
• 6
• 7
A B
Temos uma função de A em B, expressa pela função y = 3x.
5. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Observe esses conjuntos.
Não é uma função de A em B,
pois ao elemento 0 de A
correspondem 3 elementos de B.
Não é uma função de A em B,
pois há elementos de A que não
têm correspondentes em B.
Cada elemento de A é menor do
que um elemento de B.
Cada elemento de A tem o mesmo
valor que um elemento de B.
0 •
4 •
• 2
• 3
• 5
A B
‒4 •
‒2 •
0 •
2 •
4 •
• 0
• 2
• 4
• 6
• 8
A B
6. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Todos os elementos de A têm
correspondente em B.
Cada elemento de A corresponde a
um único elemento de B.
A correspondência entre A e B é dada pela fórmula y = x4.
Portanto, essa correspondência é uma função de A em B.
‒2 •
‒1 •
0 •
1 •
2 •
• 0
• 1
• 4
• 8
• 16
A B
7. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Definição e notação
Usamos a seguinte notação:
Lê-se: f é uma função de A em B.
A função f transforma x de A em y de B.
y = f(x) Lê-se: y é igual a f de x.
x • • y
f
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra
que indica como associar cada elemento x A a um único elemento y B.
f: A B ou A Bf
A B
8. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Domínio, contradomínio e conjunto imagem de uma função
Dada uma função f de A em B.
O conjunto A chama-se
domínio (D) da função.
O conjunto B chama-se
contradomínio (CD) da função.
Para cada x de A, o elemento y
de B chama-se imagem de x
pela função f.
O conjunto de todos os y é
chamado conjunto imagem da
função f e é indicado como Im(f).
x • • y
f
A B
9. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Gráficos de funções
O gráfico de uma função ajuda a analisar a variação de grandezas, uma
dependendo da outra.
Construção de gráficos de funções
Vamos construir o gráfico de uma função.
• Construir uma tabela com valores x escolhidos convenientemente e seus
respectivos correspondentes y.
• A cada par ordenado (x, y) da tabela, associar um ponto do plano
determinado pelos eixos x e y.
• Marcar um número suficiente de pontos até que seja possível esboçar o
gráfico da função.
10. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Exemplo
Função y = 2x + 1, com x real.
Como x varia no conjunto dos números
reais, escolhemos alguns valores
arbitrários para x e obtemos os valores
correspondentes para y.
Com os pares ordenados (x, y) obtidos,
podemos localizá-los no plano cartesiano.
x y = 2x + 1 (x, y)
‒2 ‒3 (‒2, ‒3)
‒1 ‒1 (‒1, ‒1)
0 1 (0, 1)
1 3 (1, 3)
2 5 (2, 5)
Unindo os pontos, obtemos a reta que
representa a função y = 2x + 1.
y
x
y = 2x +15
3
1
1 2
‒1
‒3
‒1‒2 0
‒2
11. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Reconhecendo se um gráfico é de uma função
Para uma função existir, é necessário que, para qualquer x de um conjunto de
valores, corresponda um único y, de outro ou do mesmo conjunto de valores.
Geometricamente, isso significa que, no gráfico de uma função, qualquer reta
perpendicular ao eixo x deve intersectar o gráfico sempre em um único ponto.
Exemplos
É uma função. Não é uma função.
É uma função somente
para 1 ≤ x ≤ 4.
12. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Função afim
Definição de função afim
Exemplos
y = ‒x + 6
y = 4x
a = ‒1 e b = 6
a = 4 e b = 0
y = 2x ‒ 7
a = 2 e b = ‒7
Função afim é toda função de em cuja lei de formação pode ser indicada
por y = ax + b, com a e b reais.
O gráfico de uma função afim
O gráfico de uma função afim é sempre uma reta não perpendicular ao eixo x.
Como dois pontos determinam uma reta, basta encontrar apenas dois de seus
pontos para traçá-la.
13. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Exemplo
x y = 5x ‒ 6
1 ‒1
2 4
O gráfico “corta” o eixo y no ponto (0, ‒6), pois para:
y
x
y = 5x ‒ 6
1
1
4
2
‒1
‒4
O gráfico (a reta) “corta” o eixo x no ponto ,
pois para:
y = 0 5x – 6 = 0 x =
x = 0 y = 5 . 0 ‒ 6 y = ‒ 6
14. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Ângulo de declividade da reta de uma função afim
O ângulo correspondente a um giro no sentido anti-horário, partindo do eixo x
até a reta que corresponde ao gráfico de uma função afim, é chamado de
ângulo de declividade da reta.
• Quando a é positivo em y = ax + b, é um ângulo agudo e a função afim é
crescente.
y
x
y
x
• Quando a é negativo, é um ângulo obtuso e a função afim é decrescente.
15. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Um caso particular de função afim: a função linear
y = 3x y = 2x + 5
É função afim que é função linear. É função afim mas não é função linear.
O gráfico de uma função linear também é uma
reta mas com uma característica própria: a reta
passa pela origem (0, 0).
Gráfico de uma função linear
Uma função, definida em e com valores em , com lei de formação do tipo
y = ax, com a real e a 0, é chamada de função linear.
A função linear é um caso particular da função afim, pois y = ax equivale a
y = ax + b, com a 0 e b = 0.
y = 2x
y
x
Exemplo
16. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Função identidade
A função linear que faz corresponder a cada x (real) um y tal que y = x
é chamada de função identidade.
Ou seja, cada número real corresponde a ele próprio.
Função linear e proporcionalidade
As funções do tipo y = ax, com a 0, x e y reais, apresentam proporcionalidade
direta entre os valores de x e y.
y
y = x
x
1º quadrante
2º quadrante
3º quadrante
4º quadrante
CASADETIPOS/ARQUIVODAEDITORA
17. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Estudo do sinal da função afim
Fazer um estudo sobre o sinal de uma função afim consiste em determinar os
valores de x do domínio para os quais f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.
Zero da função afim
Para determinar esse valor, basta resolver a equação ax + b = 0.
Geometricamente, o zero da função afim é a abscissa do ponto de intersecção
do gráfico da função com o eixo x.
O valor de x para o qual a função f(x) = ax + b, a 0, se anula, ou seja, para
o qual f(x) = 0, denomina-se zero da função afim.
f(x) = 0 ax + b = 0 ax = ‒b x = ‒
O coeficiente b em y = ax + b
Na função afim y = ax + b, para x = 0, temos que y = b, ou seja, b é o valor da
função quando x = 0.
O gráfico intersecta o eixo y no ponto de ordenada b.
18. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Estudo do sinal da função pela análise do gráfico
a < 0 (função crescente) a < 0 (função decrescente)
Dispositivo prático:
x
+
‒r
Dispositivo prático:
x
+
‒ r
y
x
(r, 0)
imagens
positivas
imagens
negativas
x
y
(r, 0)
imagens
positivas
imagens
negativas
x = r f(x) = 0
x > r f(x) > 0
x < r f(x) < 0
x = r f(x) = 0
x > r f(x) < 0
x < r f(x) > 0
19. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Resolução de inequações do 1o grau
Você já viu esse conteúdo. Vamos relembrar com um exemplo.
Podemos também resolver por meio do estudo do sinal da função afim:
S = x | x >
2x – 5 > 0, em
f(x)
x > f(x) > 0
S = x | x >
x+
‒
2x ‒ 5 > 0 em
2x > 5 x >
2x – 5 = 0 2x = 5 x = (zero)
20. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Função quadrática
Definição de função quadrática
Exemplos
y = 3x2 ‒ 2x + 5 y = ‒x2 + 5x + 6
a = 3, b = ‒2 e c = 5 a = ‒1, b = 5 e c = 6
y = ‒4x2 ‒ 3x
a = ‒4, b = ‒3 e c = 0
y = ‒6x2
a = ‒6, b = 0 e c = 0
Função quadrática é toda função de em cuja lei de formação pode
ser indicada por y = ax2 + bx + c, com a, b e c reais e a 0.
21. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Valor de uma função quadrática em um ponto
Dada uma função y = ax2 + bx + c, pode-se ter um valor de x e determinar
o valor de y ou ter um valor de y e determinar o valor de x.
Exemplo
Dado x = 2, vamos calcular o valor de y.
y = 22 – 5 . 2 + 6
y = 4 – 10 + 6
y = 0
Então, para x = 2, y = 0.
Considere a função y = x2 ‒ 5x + 6.
Dado y = 0, vamos calcular x.
0 = x2 – 5 . x + 6
x2 – 5x + 6 = 0
Resolvendo a equação do 2º grau,
temos que x′ = 3 e x″ = 2.
Então, para y = 0, x = 3 ou x = 2.
22. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Zeros de uma função quadrática
Exemplo
Considere a função y = x2 ‒ 9x + 20.
Fazemos y = 0 e determinamos os valores reais de x que satisfazem a
equação do 2º grau obtida.
x = = =
x′ = 5
x″ = 4
Damos o nome de zeros de uma função quadrática dada por y = ax2 + bx + c
(a 0), aos valores reais de x que anulam y, quando existirem.
= b2 ‒ 4ac = (‒9)2 ‒ 4 . 1 . 20 = 81 – 80 = 1
Os zeros da função quadrática y = x2 ‒ 9x + 20 são 5 e 4.
23. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Gráfico de uma função quadrática
x 4 3 2 1 0 ‒1 ‒2
y 5 0 ‒3 ‒4 ‒3 0 5
Exemplo
• A parábola apresenta simetria.
• O eixo de simetria da parábola é
sempre perpendicular ao eixo x.
• O encontro da parábola com o
seu eixo de simetria é o vértice
da parábola.
O gráfico de uma função quadrática, ou seja, com y igual a um polinômio
do 2º grau da forma ax2 + bx + c, com a 0, é sempre uma curva chamada
parábola.
eixo de simetria
x
y
0
V(1, ‒4) vértice da parábola
= = = 1
26. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Gráfico da função quadrática e os coeficientes a, b, c
Responsável pela concavidade e abertura da parábola.
• Se a > 0, a concavidade é para cima.
Coeficiente a
• Se a < 0, a concavidade é para baixo.
Quanto maior o valor absoluto de a, menor será a abertura da parábola,
independentemente da concavidade.
x
a > 0
y y = 5x2
y = 2x2
y = x2
0
y = x2
y = x2
a < 0
x
y = ‒5x2 y = ‒2x2
y = ‒x2
0
y
y = ‒ x2
y = ‒ x2
27. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Indica se a parábola cruza o eixo y no ramo crescente ou decrescente da
parábola, no sentido da esquerda para a direita.
• Se b > 0, a parábola cruza o
eixo y no ramo crescente.
Coeficiente b
• Se b < 0, a parábola cruza o
eixo y no ramo decrescente.
• Se b = 0, a parábola cruza o eixo y no vértice.
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
x
y
28. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Indica o ponto em que a parábola cruza o eixo y.
A parábola cruza o eixo y no ponto (0, c).
Coeficiente c
A parábola e suas intersecções com os eixos
Dada a equação y = x2 – 2x + 1, vejamos como calcular
algebricamente os pontos de intersecção com os eixos.
• Intersecção com eixo y:
A parábola intersecta o eixo y em (0,1).
• Intersecção com eixo x:
x
y
c
x
y
(1, 0)
(0, 1)
x = 0 y = 02 – 2 . 0 + 1 y = 1
y = 0 x2 – 2x + 1
x = = 1
= 4 – 4 = 0 = 0
29. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
V – , – = V(2, ‒8)
Vértice da parábola, valor máximo ou valor mínimo da função quadrática
Exemplo
Dada a equação y = 2x2 – 8x, vamos calcular o vértice da parábola.
A função quadrática y = 2x2 – 8x assume valor mínimo –8 quando x = 2.
Todos os valores da função
são maiores do que –8.
O vértice de uma parábola dada por y = ax2 + bx + c (a 0) é determinado por:
V – , –
= b2 – 4ac = (–8)2 – 4 . 2 . 0 = 64
30. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Estudo do sinal da função quadrática
Estudar o sinal da função quadrática significa determinar os valores reais de x
para os quais: f(x) = 0, f(x) > 0 e f(x) < 0.
• a função admite dois zeros reais diferentes, x′ e x″;
• a parábola que representa a função intersecta o eixo x em dois pontos.
a > 0 a < 0
f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′
f(x) > 0 para x < x″ ou x > x′
f(x) < 0 para x″ < x < x′
f(x) = 0 para x = x″ ou x = x′
f(x) > 0 para x″ < x < x′
f(x) < 0 para x < x″ ou x > x′
1º caso: > 0
+
––
x’x”+ +
– x’x”
Assim, quando > 0, f(x) tem sinal oposto ao de a quando x está entre as raízes
da equação, e tem o sinal de a quando x está fora do intervalo das raízes.
31. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
• a função admite um zero real duplo x′ = x″;
• a parábola que representa a função tangencia o eixo x.
a > 0 a < 0
f(x) = 0 para x = x′ = x″ f(x) = 0 para x = x′ = x″
2º caso: = 0
f(x) > 0 para x x′ f(x) < 0 para x x′
+ +
x’ = x”
– –
x’ = x”
Assim, quando = 0, f(x) tem o sinal de a para x diferente da raiz da equação.
32. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
• a função não admite zeros reais;
• a parábola que representa a função não intersecta o eixo x.
f(x) > 0 para todo x real f(x) < 0 para todo x real
3º caso: < 0
Assim, quando < 0, f(x) tem o sinal de a para qualquer valor real de x.
a > 0
+ + + + + + + + +
a < 0
– – – – – – – – –
33. Início SairCapítulo 3 • Explorando a ideia de função
Desigualdades como:
x2 – 5x + 6 > 0 3x2 < 0 (x ‒ 3)(x + 3) < 0
são denominadas inequações do 2º grau.
Vamos resolver a inequação x2 – 3x + 2 < 0.
Isso significa determinar os
valores reais de x para os quais
a função f(x) = x2 – 3x + 2
assume valores negativos.a = 1 > 0; a > 0
As raízes da equação x2 – 3x + 2 são
x′ = 1 e x″ = 2.
–
++
1 2
x
Como queremos f(x) < 0 então
S = {x | 1 < x < 2}.
= (–3)² – 4 . 1 . 2 = 9 – 8 = 1 > 0 = 0
Inequações de 2o grau
Exemplo