Carregado porAndréia Rodrigues
Lista resolvida 9º ano
1) O documento apresenta 17 situações-problema envolvendo equações do segundo grau. Os problemas abordam temas como raízes, determinação de valores desconhecidos, áreas de figuras geométricas e torneios esportivos. 2) As questões devem ser resolvidas calculando o discriminante, raízes ou outros elementos algébricos para determinar valores como comprimentos, áreas e números de times ou partidas. 3) A resolução envolve passos como isolamento da incógnita, fatoração, raiz quadrada e substituição para che
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- 1. Centro Educacional Adventistado Gama Lista de exercícios – 2º Bimestre – 9º ano Prof.ª Andréia – Matemática 1 Calcule o valor desconhecido das equações abaixo sabendo que: 1) A soma de um número com o seu quadrado é 90. 𝒙 + 𝒙 𝟐 = 𝟗𝟎 𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟗𝟎 = 𝟎 ∆= 𝟏 𝟐 − 𝟒. 𝟏. −𝟗𝟎 = 𝟏 + 𝟑𝟔𝟎 = 𝟑𝟔𝟏 𝒙 = −𝟏 ± 𝟑𝟔𝟏 𝟐. 𝟏 = −𝟏 ± 𝟏𝟗 𝟐 𝒙′ = 𝟏𝟖 𝟐 = 𝟗 𝒙′′ = − 𝟐𝟎 𝟐 = −𝟏𝟎 2) A soma do quadrado de um número com o próprio número é 12. 𝒙 𝟐 + 𝒙 = 𝟏𝟐 𝒙 𝟐 + 𝒙 − 𝟏𝟐 = 𝟎 ∆= 𝟏 𝟐 − 𝟒. 𝟏. −𝟏𝟐 = 𝟏 + 𝟒𝟖 = 𝟒𝟗 𝒙 = −𝟏 ± 𝟒𝟗 𝟐. 𝟏 = −𝟏 ± 𝟕 𝟐 𝒙′ = 𝟔 𝟐 = 𝟑 𝒙′′ = − 𝟖 𝟐 = −𝟒 3) O quadrado menos o dobro de um número é igual a -1. 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = −𝟏 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 + 𝟏 = 𝟎 ∆= −𝟐 𝟐 − 𝟒. 𝟏. 𝟏 = 𝟒 − 𝟒 = 𝟎 𝒙 = − −𝟐 ± 𝟎 𝟐. 𝟏 = 𝟐 ± 𝟎 𝟐 = 𝟐 𝟐 = 𝟏 4) A diferença entre o quadrado e o dobro de um mesmo número é 80. 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 = 𝟖𝟎 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟖𝟎 = 𝟎 ∆= −𝟐 𝟐 − 𝟒. 𝟏. −𝟖𝟎 = 𝟒 + 𝟑𝟐𝟎 = 𝟑𝟐𝟒 𝒙 = − −𝟐 ± 𝟑𝟐𝟒 𝟐. 𝟏 = 𝟐 ± 𝟏𝟖 𝟐 𝒙′ = 𝟐𝟎 𝟐 = 𝟏𝟎 𝒙′′ = − 𝟏𝟔 𝟐 = −𝟖
- 2. 5) O quadradomenos o quádruplo de um número é igual a 5. 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 = 𝟓 𝒙 𝟐 − 𝟒𝒙 − 𝟓 = 𝟎 ∆= −𝟒 𝟐 − 𝟒. 𝟏. −𝟓 = 𝟏𝟔 + 𝟐𝟎 = 𝟑𝟔 𝒙 = − −𝟒 ± 𝟑𝟔 𝟐. 𝟏 = 𝟒 ± 𝟔 𝟐 𝒙′ = 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟓 𝒙′′ = − 𝟐 𝟐 = −𝟏 6) O dobro do quadrado de um número é igual ao produto desse número por 7 menos 3. 𝟐𝒙 𝟐 = 𝟕. 𝒙 − 𝟑 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟕𝒙 + 𝟑 = 𝟎 ∆= −𝟕 𝟐 − 𝟒. 𝟐. 𝟑 = 𝟒𝟗 − 𝟐𝟒 = 𝟐𝟓 𝒙 = − −𝟕 ± 𝟐𝟓 𝟐. 𝟐 = 𝟕 ± 𝟓 𝟒 𝒙′ = 𝟏𝟐 𝟒 = 𝟑 𝒙′′ = 𝟐 𝟒 → 𝟏 𝟐 𝒐𝒖 𝟎, 𝟓 7) O triplo de um número menos o quadrado desse número é igual a 2. 𝟑𝒙 − 𝒙² = 𝟐 −𝒙 𝟐 + 𝟑𝒙 − 𝟐 = 𝟎 ∆= 𝟑 𝟐 − 𝟒. −𝟏 . −𝟐 = 𝟗 − 𝟖 = 𝟏 𝒙 = −𝟑 ± 𝟏 𝟐. −𝟏 = −𝟑 ± 𝟏 −𝟐 = 𝒙′ = −𝟐 −𝟐 = 𝟏 𝒙′′ = −𝟒 −𝟐 = 𝟐 8) O quadrado de um número diminuído de 15 é igual ao seu dobro. 𝒙 𝟐 − 𝟏𝟓 = 𝟐𝒙 𝒙 𝟐 − 𝟐𝒙 − 𝟏𝟓 = 𝟎 ∆= −𝟐 𝟐 − 𝟒. 𝟏. −𝟏𝟓 = 𝟒 + 𝟔𝟎 = 𝟔𝟒 𝒙 = − −𝟐 ± 𝟔𝟒 𝟐. 𝟏 = 𝟐 ± 𝟖 𝟐 𝒙′ = 𝟏𝟎 𝟐 = 𝟓 𝒙′′ = − 𝟔 𝟐 = −𝟑 9) A diferença entre o dobro do quadrado de um número positivo e o triplo desse número é 77. 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 = 𝟕𝟕 𝟐𝒙 𝟐 − 𝟑𝒙 − 𝟕𝟕 = 𝟎 ∆= −𝟑 𝟐 − 𝟒. 𝟐. −𝟕𝟕 = 𝟗 + 𝟔𝟏𝟔 = 𝟔𝟐𝟓 𝒙 = − −𝟑 ± 𝟔𝟐𝟓 𝟐. 𝟐 = 𝟑 ± 𝟐𝟓 𝟒 𝒙′ = 𝟐𝟖 𝟒 = 𝟕 𝒙′′ = −𝟐𝟐 𝟒 = − 𝟏𝟏 𝟐 𝒐𝒖 − 𝟓, 𝟓
- 3. Situações problemas 10) Umazulejista usou 2000 azulejos quadrados e iguais para revestir 45m² de parede. Qual é a medida do lado de cada azulejo? 2000. 𝑥2 = 45 𝑥2 = 45 2000 𝑥2 = 0,0225 𝑥 = 0,0225 𝑥 = 0,15 𝑚 𝑜𝑢 15 𝑐𝑚 11) Dada a equação literal de incógnita x: 2x2 + (k – 4)x + (6k – 2) = 0 𝑎 = 2 𝑏 = 𝑘 − 4 𝑐 = 6𝑘 − 2 a) para que valor de k as raízes tem soma 11? 𝑥′ + 𝑥′′ = − 𝑏 𝑎 11 = − 𝑘 − 4 2 −𝑘 + 4 = 22 −𝑘 = 22 − 4 −𝑘 = 18 𝑘 = −18 b) para que valor de k as raízes tem produto 11? 𝑥′ . 𝑥′′ = 𝑐 𝑎 11 = 6𝑘 − 2 2 6𝑘 − 2 = 22 6𝑘 = 22 + 2 6𝑘 = 24 𝑘 = 24 6 𝑘 = 4 c) para que valor de k o número 0 é raiz? 2𝑥2 + 𝑘 – 4 𝑥 + 6𝑘 – 2 = 0 2. 02 + 𝑘 – 4 . 0 + 6𝑘 – 2 = 0 0 + 0 + 6𝑘 − 2 = 0 6𝑘 − 2 = 0 6𝑘 = 2 𝑘 = 2 6 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎 𝑘 = 1 3
- 4. d) para quevalor de k o número 1 é raiz? 2𝑥2 + 𝑘 – 4 𝑥 + 6𝑘 – 2 = 0 2. 12 + 𝑘 – 4 . 1 + 6𝑘 – 2 = 0 2 + 𝑘 − 4 + 6𝑘 − 2 = 0 7𝑘 − 4 = 0 7𝑘 = 4 𝑘 = 4 7 12) Determine o valor de m, se as raízes da equação do 2º grau 4x2 + (m – 2).x + (m – 5) = 0 tenham soma 2 7 . 𝑥′ + 𝑥′′ = − 𝑏 𝑎 7 2 = − 𝑚 − 2 4 −2 𝑚 − 2 = 28 −2𝑚 + 4 = 28 −2𝑚 = 28 − 4 −2𝑚 = 24 𝑚 = 24 −2 𝑚 = −12 13) Determinar o valor de m na equação x2 – 5x + m = 0, sabendo que uma raiz é 3. 𝑥2 − 5𝑥 + 𝑚 = 0 32 − 5.3 + 𝑚 = 0 9 − 15 + 𝑚 = 0 −6 + 𝑚 = 0 𝑚 = 6 14) Observe a figura e determine o comprimento dos catetos do triângulo ABC e em seguida determine o perímetro desse triângulo. 𝑥 + 4 2 + 𝑥 + 7 2 = 15² 𝑥 + 4 . 𝑥 + 4 + 𝑥 + 7 . 𝑥 + 7 = 225 𝑥2 + 4𝑥 + 4𝑥 + 16 + 𝑥2 + 7𝑥 + 7𝑥 + 49 − 225 = 0 2𝑥2 + 22𝑥 − 160 = 0 ∆= 222 − 4.2. −160 ∆= 1764 𝑥 = −22+√1764 2.2 = −22+42 4 = 20 4 = 5 Comprimentos dos catetos: 𝑥 + 4 = 5 + 4 = 9 𝑥 + 7 = 5 + 7 = 12 Perímetro: 9 + 12 + 15 = 36
- 5. 15) Na figuraestá representado um trapézio isósceles (ABCD) de área 216 m2 , de acordo com a figura, determine o valor de x. 𝑩+𝒃 .𝒉 𝟐 = Área do Trapézio 𝑥+4+𝑥 . 𝑥−4 2 = 216 (Passa o 2 multiplicando) 2𝑥 + 4 𝑥 − 4 = 432 2𝑥2 − 8𝑥 + 4𝑥 − 16 − 432 = 0 2𝑥2 − 4𝑥 − 448 = 0 ∆= −4 2 − 4.2. −448 ∆= 16 + 3584 ∆= 3600 𝑥 = − −4 + √3600 2.2 = 4 + 60 4 = 64 4 = 16 16) O número P de partidas que devem ser disputadas em um torneio de futebol, com turno e returno, pode ser calculado pela fórmula p = x.(x – 1), onde x indica o número de clubes que participam desse torneio. Quantos clubes participam de um torneio onde é disputado um total de 380 partidas? 𝑝 = 𝑥. 𝑥 − 1 380 = 𝑥2 − 𝑥 𝑥2 − 𝑥 − 380 = 0 ∆= −1 2 − 4.1. −380 ∆= 1 + 1520 ∆= 1521 𝑥 = − −1 + √1521 2.1 = 1 + 39 2 = 40 2 = 20 𝑐𝑙𝑢𝑏𝑒𝑠 17) O retângulo da figura abaixo tem 140 cm2 de área. Nessas condições: 𝑥 + 2 . 𝑥 + 6 = 140 𝑥2 + 6𝑥 + 2𝑥 + 12 − 140 = 0 𝑥2 + 8𝑥 − 128 = 0 ∆= 82 − 4.1. −128 ∆= 64 + 512 ∆= 576 𝑥 = −8 + √576 2.1 = −8 + 24 2 = 16 2 = 8 a) Qual é o perímetro desse retângulo? 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑥 + 6 = 8 + 6 = 14 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎: 𝑥 + 2 = 8 + 2 = 10 𝑷𝒆𝒓í𝒎𝒆𝒕𝒓𝒐: 𝟏𝟒 + 𝟏𝟒 + 𝟏𝟎 + 𝟏𝟎 𝟒𝟖 b) Qual a área de um quadrado cujo lado tem a mesma medida da largura desse retângulo? 𝑆𝑒 𝑎 𝑙𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎 é 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 10. 𝐸𝑛𝑡ã𝑜 𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜 10 𝑒 á𝑟𝑒𝑎 100 𝑝𝑜𝑖𝑠 10.10 = 100
- 6. 18) A telade um quadro tem a forma retangular e mede 50 cm por 30 cm. Nessa tela foi colocada uma moldura, também retangular, de largura x uniforme. Calcule essa largura sabendo que o quadro todo passou a ocupar uma área de 2400 cm2. Área maior = 𝟐𝟒𝟎𝟎 Área menor = 50 . 30 = 𝟏𝟓𝟎𝟎 2400 − 1500 = 900 2𝑥 + 50 2𝑥 + 30 − 1500 = 900 4𝑥2 + 100𝑥 + 60𝑥 + 1500 − 1500 = 900 4𝑥2 + 160𝑥 − 900 = 0 ∆= 1602 − 4.4. −900 ∆= 25600 + 14400 ∆= 40000 𝑥 = −160 + 200 2.4 = 40 8 = 5 19) Uma placa de compensado, cuja espessura não levamos em conta, tem a forma retangular e sua área é de 1200 cm2. Suas dimensões (comprimento e largura) são tais que o comprimento tem 40 cm a mais que a largura. Qual é o comprimento dessa placa? 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎: 𝑥 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑥 + 40 𝑥 𝑥 + 40 = 1200 𝑥2 + 40𝑥 − 1200 = 0 ∆= 402 − 4.1. −1200 ∆= 1600 + 4800 ∆= 6400 𝑥 = −40 + √6400 2.1 = −40 + 80 2 = 40 2 = 20 𝐿𝑎𝑟𝑔𝑢𝑟𝑎: 𝑥 = 20 𝐶𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜: 𝑥 + 40 = 20 + 40 = 60
- 7. 20) Um pedaçode arame de 40 cm de comprimento foi cortado em dois pedaços de comprimentos diferentes. Os pedaços foram usados para fazer dois quadrados que juntos formam uma área de 58 cm2. Determine o comprimento de cada pedaço em que o arame foi cortado. 𝑂𝑠 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑟𝑖𝑚𝑒𝑛𝑡𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑠 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠 𝑠ã𝑜 𝑥 𝑒 40 − 𝑥 𝑈𝑚 𝑑𝑜𝑠 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑡𝑒𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜 𝑥 4 𝑒 á𝑟𝑒𝑎 𝑥2 16 𝑂 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑞𝑢𝑎𝑑𝑟𝑎𝑑𝑜 𝑡𝑒𝑚 𝑙𝑎𝑑𝑜 40 − 𝑥 4 𝑒 á𝑟𝑒𝑎 40 − 𝑥 ² 16 . 𝐸𝑛𝑡ã𝑜, 𝑥2 16 + 40 − 𝑥 2 16 = 𝑥2 16 + 1600 16 − 80𝑥 16 + 𝑥2 16 = 58. 𝑅𝑒𝑑𝑢𝑧𝑖𝑛𝑑𝑜 𝑒 𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑛𝑑𝑜, 𝑒𝑛𝑐𝑜𝑛𝑡𝑟𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑎 𝑒𝑞𝑢𝑎çã𝑜 𝑥2 − 40𝑥 + 336 = 0, 𝑐𝑢𝑗𝑎𝑠 𝑟𝑎í𝑧𝑒𝑠 𝑠ã𝑜 𝑥′ = 28 𝑒 𝑥′′ = 12. 𝐿𝑜𝑔𝑜, 𝑜𝑠 40 𝑐𝑚 𝑓𝑜𝑟𝑎𝑚 𝑐𝑜𝑟𝑡𝑎𝑑𝑜𝑠 𝑒𝑚 𝑑𝑜𝑖𝑠 𝑝𝑒𝑑𝑎ç𝑜𝑠, 𝑢𝑚 𝑐𝑜𝑚 28 𝑐𝑚 𝑒 𝑜𝑢𝑡𝑟𝑜 𝑐𝑜𝑚 12 𝑐𝑚.