SlideShare uma empresa Scribd logo
MATRIZES, DETERMINANTES
E
SISTEMAS LINEARES
Cristiano De Angelis
Demetrio ccesa rayme
Introdução
Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir
conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e
Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam,
problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria,
logaritmo, e uso de softwares.
Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento
do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas
lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se
possível material de apoio.
Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e
os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo
momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este
conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do
software como recurso didático.
1. Matrizes
 Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e
colunas.
Exemplo:






534
463 1a linha
2a linha
1a coluna
2a coluna
3a coluna
A = B =













710
345
230
1a coluna
2a coluna
3a coluna
1a linha
2a linha
3a linha
 A indicação do número de linhas e colunas é chamada de
ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem
ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda
matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).
 O elemento que está na linha i e coluna j é representado
por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é
representada por:












anmananan
maaaa
maaaa
...321
......
2...232221
1...131211
A =
1.1 Matrizes Com Denominações
Especiais
 Matriz Linha
 Matriz Coluna
 Matriz Quadrada
* Diagonal principal de uma matriz quadrada
* Diagonal secundária de uma matriz quadrada
 Matriz Nula
 Matriz Diagonal
 Matriz Identidade ou Unidade
 Matriz Transposta
 Matriz Simétrica
 Matriz Oposta
 Matriz Escalar
Exercícios
1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3
definida por aij = i + j.
2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma
são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij =
aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3
definida por aij = i-j.
3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal
são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz
identidade de ordem n?
4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98
de AT.
1.2 Igualdade De Matrizes
 Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e
somente se, os elementos que ocupam a mesma posição
são iguais.
SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM.
Exemplo:






4
2
x
8






4
2
1
y






nm
yx








54
27





54
27
nm
yx

b)
=
serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8
A = B =
a) Estas matrizes, A e B:
2. Operações Com Matrizes
 Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de
exemplos:
A = B = C =
a) A - 2.B = - =
b) A . C = . = =
c) A . B = . = =





 
10
21





 
11
20






 201
011





 
10
21





 
22
40






 12
21





 
10
21






 201
011








200010
400121








201
413





 
10
21





 
11
20








1010
2220





 
11
42
d) B . A = . = =
e) A . I = . = =





 
11
20





 
10
21





 
10
21








1201
2000








11
20






10
01








1000
2001





 
10
21
 A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).
 Em geral A.B B.A (não comutativa).
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C
(distributiva).
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C
(associativa).

Exercícios
1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são
dadas pela seguinte matriz A:
A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B =
Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus
dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para
aprovação.
0 7 8
7 8 0
7 0 8
6 6 6
1 0 4 0
0 4 1 0


















2
3
5










2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo,
 5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0
distribuiçãoSalário
Aluguel, água,
luz,etc matéria prima
Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B,
 1 1 2 1 0 2 1 0 5 1 1 0, , , ,
A =
B =
Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários
repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final,
alegando que o custo aumentou 12%.
3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados
num restaurante:
1
3
2










C =
arroz
carne
salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na
composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante:
2 1 1
1 2 1
2 1 0










P =
Prato P1
Prato P2
Prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é:
7
9
8










4
4
4










9
11
4










2
6
8










2
2
4










(A) (B) (C) (D) (E)
4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando
alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ”
e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”.

0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
















A = P1
P2
P3
P4
P5
Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?
(A) P1
(B) P2
(C) P3
(D) P4
(E) P5
3. Matriz Inversa
 A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz
representada por tal que : =
Exemplo:
A
1
AA
1

I






15
16
A
1








65
11






15
16
. 







65
11
= 







6555
6656
= 





10
01
A = tem = como inversa, pois
4. Determinantes e Sistemas
Lineares
4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial
 Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na
forma matricial.
Exemplo:
 A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS
INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES.
Dado o sistema













3
2874
132
yx
zyx
zyx
,
podemos colocá-lo na forma:










 011
874
321
.










z
y
x
=










3
2
1
, ou seja, A . X = B.
A X B
4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2
 Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:





feydx
cbyax
bfbeydbx
cebeyaex


afaeyadx
cdbdyadx


bfcexbdae  )( afcdyaebd  )(
bfcex  afcdy  afad 
bdae  aebd  aebd 
bdafy 
bdae 
bdae
bfce


bdae
cdaf


(* -1)
Assim temos:
x = e y =
 Observamos que denominadores são iguais nas duas
expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal
do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução
(divisão por zero).
 Desta forma, é este denominador que determina a existência e
a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que
determina?
Vamos definir e representar o determinante da matriz
por
Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secundária.






ed
ba
ed
ba
=det (A) =ae - bd
4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes
 Nas expressões encontradas para x e y observamos que os
numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz
utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na
segunda expressão, foi substituída a segunda coluna.
Exemplo: 




feydx
cbyax
 





ed
ba
* 





y
x
= 





f
c
bdae
bfce


bdae
cdaf


x = e y =
Chamando =det (A)=ae-bd,
,cdaf
fd
ca
yebfce
ef
bc
x  temos:






y
ye
x
x
 Esta regra, válida apenas se , é chamada de REGRA DE
CRAMMER.
0
4.4 Discussão de Um Sistema 2x2
 Um sistema pode ser de três tipos:
DETERMINADO: possui uma única solução.
INDETERMINADO: possui mais de uma solução.
IMPOSSÍVEL: não possui solução.
x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado.
x = 1 e y = 1,
x = 2 e y = 0 e
x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado.
não tem solução: Impossível.
 Podemos classificar um sistema analisando os determinantes.
A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso , nos
induz à discussão do sistema.
Vamos, por exemplo, considerar que:
0
2
0
0
2
0
0
existe e é único
não está definido
tem infinitas respostas
Assim, temos:
0 Determinado








00
0
0
youx
yx
e
Indeterminado
Impossível
4.5 Determinantes De Ordem n
 Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2.
Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2,
bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De
forma análoga, podemos obter determinantes de ordens
superiores a 2.
a) Determinante De Ordem 3:










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Dada a matriz A = , temos:
det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13
-a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11
Exemplo:












112
140
321
-4 - 4 + 0
- 24 - 0 - 1 = -33
=
* No sentido da
diagonal secundária
troca-se o sinal.
 No cálculo do det(A) observamos o seguinte:
* Usamos 6 parcelas (fatorial de 3).
* Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz.
* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.
* A soma de n! parcelas.
* Cada parcela é o produto de n elementos da matriz.
* em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.
b) Determinate De Ordem n:
Com base no que foi observado no cálculo do determinante de
ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é:
 Vamos calcular o determinante através do baixamento de
ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são
expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então,
calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento
aij da matriz A:
cij é o produto de pelo determinante da matriz obtida da A eliminando-
se a linha i e a coluna j.
1
 ji
( )
Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma:
(1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz.
(2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu
co-fator.
(3) Soma-se todos os produtos obtidos.
4.6 Propriedades Dos Determinantes
 As propriedades dos determinantes são decorrentes da
definição de determinante.
 As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma
matriz quadrada A.
 Contudo, são válidas também para as colunas.
(1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0
(2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal.
(3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0
(4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0
(5) det(A.B) = det(A).det(B)
(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k.
(7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos:
substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.
Exemplo:
321
111
cba
Sabendo que = 2, calcular
222
311
333  cba
a b c  3 3 3
1 1 1
1 2 3
 Tocar a segunda linha pela terceira.
 Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por
uma constante (3) somada com a primeira linha.
a b c  3 3 3
1 2 3
1 1 1
 Multiplicar a terceira linha por uma constante (2).
a b c  3 3 3
1 2 3
2 2 2
Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4
4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2
 Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da
seguinte forma:
(1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição.
(2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal.
(3) Dividir todos os elementos por det(A).
Conclusão
O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais
detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares.
O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas
de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de
software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão,
descobrindo novas possibilidades de uso do material numa
aplicação à sala de aula.
Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a
importância do conteúdo e do “material concreto” no ensino da
matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não
desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.
Referências Bibliográficas
BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume
2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152.
GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora
Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a
208.
MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular. 2a
edição, p. 109 a 126.
TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes -
Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo Vestibulares,
p. 1 a 86.

Mais conteúdo relacionado

Mais procurados

Discussão de um sistema linear
Discussão de um sistema linearDiscussão de um sistema linear
Discussão de um sistema linear
Damysson Henrique
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinantewww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
Aulas De Matemática Apoio
 
Matrizes (AP 01)
Matrizes (AP 01)Matrizes (AP 01)
Matrizes 2014
Matrizes 2014Matrizes 2014
Matrizes 2014
Rodrigo Carvalho
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
con_seguir
 
Matrizes ppt
Matrizes pptMatrizes ppt
Matrizes ppt
Ariosvaldo Carvalho
 
Aula 02 matrizes - parte 1 e 2
Aula 02   matrizes - parte 1 e 2Aula 02   matrizes - parte 1 e 2
Aula 02 matrizes - parte 1 e 2
Valderlândio de Araújo Pontes
 
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula MatrizesMatemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
Aulas Apoio
 
Matrizes - CONCEITOS INICIAIS
Matrizes - CONCEITOS INICIAISMatrizes - CONCEITOS INICIAIS
Matrizes - CONCEITOS INICIAIS
José Junior Barreto
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
Mayra Henrique
 
2 ano matrizes 2010
2 ano   matrizes 20102 ano   matrizes 2010
2 ano matrizes 2010
profcesarlassis
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
1) matrizes 2012 (prevest)
1) matrizes 2012 (prevest)1) matrizes 2012 (prevest)
1) matrizes 2012 (prevest)
Márcio Queiroz
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
Sergio Manoel
 
Lista matrizes 2_ano_2012_pdf
Lista matrizes 2_ano_2012_pdfLista matrizes 2_ano_2012_pdf
Lista matrizes 2_ano_2012_pdf
cristianomatematico
 
Matrizes aula 01
Matrizes aula 01Matrizes aula 01
Matrizes aula 01
Pedro Henrique Drehmer
 
Matrizes determinantes
Matrizes determinantesMatrizes determinantes
Matrizes determinantes
slidericardinho
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
J M
 

Mais procurados (18)

Discussão de um sistema linear
Discussão de um sistema linearDiscussão de um sistema linear
Discussão de um sistema linear
 
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinantewww.AulasDeMatematicaApoio.com  - Matemática - Determinante
www.AulasDeMatematicaApoio.com - Matemática - Determinante
 
Matrizes (AP 01)
Matrizes (AP 01)Matrizes (AP 01)
Matrizes (AP 01)
 
Matrizes 2014
Matrizes 2014Matrizes 2014
Matrizes 2014
 
Sistemas lineares
Sistemas linearesSistemas lineares
Sistemas lineares
 
Matrizes ppt
Matrizes pptMatrizes ppt
Matrizes ppt
 
Aula 02 matrizes - parte 1 e 2
Aula 02   matrizes - parte 1 e 2Aula 02   matrizes - parte 1 e 2
Aula 02 matrizes - parte 1 e 2
 
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula MatrizesMatemática - Vídeo Aula Matrizes
Matemática - Vídeo Aula Matrizes
 
Matrizes - CONCEITOS INICIAIS
Matrizes - CONCEITOS INICIAISMatrizes - CONCEITOS INICIAIS
Matrizes - CONCEITOS INICIAIS
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
2 ano matrizes 2010
2 ano   matrizes 20102 ano   matrizes 2010
2 ano matrizes 2010
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
1) matrizes 2012 (prevest)
1) matrizes 2012 (prevest)1) matrizes 2012 (prevest)
1) matrizes 2012 (prevest)
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Lista matrizes 2_ano_2012_pdf
Lista matrizes 2_ano_2012_pdfLista matrizes 2_ano_2012_pdf
Lista matrizes 2_ano_2012_pdf
 
Matrizes aula 01
Matrizes aula 01Matrizes aula 01
Matrizes aula 01
 
Matrizes determinantes
Matrizes determinantesMatrizes determinantes
Matrizes determinantes
 
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)Aula 15    matrizes e determinantes(parte ii)
Aula 15 matrizes e determinantes(parte ii)
 

Semelhante a Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007

01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
JosivaldoFarias1
 
Apostila de matrizes ju
Apostila de matrizes juApostila de matrizes ju
Apostila de matrizes ju
Ju Glowacki
 
Implementação mód4
Implementação   mód4 Implementação   mód4
Implementação mód4
inechidias
 
Implementação mód4 -
Implementação   mód4 - Implementação   mód4 -
Implementação mód4 -
inechidias
 
Implementação mód4 - encontro 1-
Implementação   mód4 - encontro 1-Implementação   mód4 - encontro 1-
Implementação mód4 - encontro 1-
inechidias
 
Implementação módulo4
Implementação   módulo4 Implementação   módulo4
Implementação módulo4
inechidias
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
Otávio Sales
 
Plano de trabalho matrizes e determinantes.
Plano de trabalho  matrizes e determinantes.Plano de trabalho  matrizes e determinantes.
Plano de trabalho matrizes e determinantes.
José Américo Santos
 
Álgebra Linear e Suas Aplicações - André Gustavo de A. Santos
Álgebra Linear e Suas Aplicações -  André Gustavo de A. SantosÁlgebra Linear e Suas Aplicações -  André Gustavo de A. Santos
Álgebra Linear e Suas Aplicações - André Gustavo de A. Santos
André Gustavo Santos
 
Plano de trabalho matrizes e determinantes
Plano de trabalho  matrizes e determinantesPlano de trabalho  matrizes e determinantes
Plano de trabalho matrizes e determinantes
José Américo Santos
 
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs ComplexosImplementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
inechidias
 
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs ComplexosImplementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
inechidias
 
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
Evonaldo Gonçalves Vanny
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
MatrizesMatrizes
Algebra linear apostila i prof inacio
Algebra linear apostila i   prof inacioAlgebra linear apostila i   prof inacio
Algebra linear apostila i prof inacio
Eng Amb
 
10 - Matrizes
10 - Matrizes10 - Matrizes
Matemática pga1
Matemática pga1Matemática pga1
Matemática pga1
takahico
 
Apostila álgebra linear
Apostila   álgebra linearApostila   álgebra linear
Apostila álgebra linear
Franciéllen de Barros
 
Matriz aula-1-2-3
Matriz aula-1-2-3Matriz aula-1-2-3
Matriz aula-1-2-3
Leudo Abreu
 

Semelhante a Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007 (20)

01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
01. Matrizes_Determinantes_SistemasLineares.pptx
 
Apostila de matrizes ju
Apostila de matrizes juApostila de matrizes ju
Apostila de matrizes ju
 
Implementação mód4
Implementação   mód4 Implementação   mód4
Implementação mód4
 
Implementação mód4 -
Implementação   mód4 - Implementação   mód4 -
Implementação mód4 -
 
Implementação mód4 - encontro 1-
Implementação   mód4 - encontro 1-Implementação   mód4 - encontro 1-
Implementação mód4 - encontro 1-
 
Implementação módulo4
Implementação   módulo4 Implementação   módulo4
Implementação módulo4
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Plano de trabalho matrizes e determinantes.
Plano de trabalho  matrizes e determinantes.Plano de trabalho  matrizes e determinantes.
Plano de trabalho matrizes e determinantes.
 
Álgebra Linear e Suas Aplicações - André Gustavo de A. Santos
Álgebra Linear e Suas Aplicações -  André Gustavo de A. SantosÁlgebra Linear e Suas Aplicações -  André Gustavo de A. Santos
Álgebra Linear e Suas Aplicações - André Gustavo de A. Santos
 
Plano de trabalho matrizes e determinantes
Plano de trabalho  matrizes e determinantesPlano de trabalho  matrizes e determinantes
Plano de trabalho matrizes e determinantes
 
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs ComplexosImplementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
Implementação Currículo - módulo4 - Matrizes/Nºs Complexos
 
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs ComplexosImplementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
Implementação currículo- Módulo IV-Matrizes/Determinantes/Nºs Complexos
 
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
A regra de cramer é uma das maneiras de resolver um sistema linear, mas só po...
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Matrizes
MatrizesMatrizes
Matrizes
 
Algebra linear apostila i prof inacio
Algebra linear apostila i   prof inacioAlgebra linear apostila i   prof inacio
Algebra linear apostila i prof inacio
 
10 - Matrizes
10 - Matrizes10 - Matrizes
10 - Matrizes
 
Matemática pga1
Matemática pga1Matemática pga1
Matemática pga1
 
Apostila álgebra linear
Apostila   álgebra linearApostila   álgebra linear
Apostila álgebra linear
 
Matriz aula-1-2-3
Matriz aula-1-2-3Matriz aula-1-2-3
Matriz aula-1-2-3
 

Mais de Demetrio Ccesa Rayme

Desarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdf
Desarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdfDesarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdf
Desarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Plan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdf
Plan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdfPlan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdf
Plan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdfDale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdfLiderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
El Desarrollo del Coaching y el Mentoring Ccesa007.pdf
El Desarrollo del Coaching y el Mentoring  Ccesa007.pdfEl Desarrollo del Coaching y el Mentoring  Ccesa007.pdf
El Desarrollo del Coaching y el Mentoring Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
El Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdf
El Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdfEl Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdf
El Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
La Educacion es la vacuna contra la violencia.pdf
La Educacion es la vacuna contra la violencia.pdfLa Educacion es la vacuna contra la violencia.pdf
La Educacion es la vacuna contra la violencia.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdfLiderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdfDale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Educacion Digital en las Universidades TEC Ccesa007.pdf
Educacion Digital en las Universidades TEC  Ccesa007.pdfEducacion Digital en las Universidades TEC  Ccesa007.pdf
Educacion Digital en las Universidades TEC Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
La Investigación-Acción en la Práctica Educativa ALB Ccesa007.pdf
La Investigación-Acción en  la Práctica Educativa  ALB Ccesa007.pdfLa Investigación-Acción en  la Práctica Educativa  ALB Ccesa007.pdf
La Investigación-Acción en la Práctica Educativa ALB Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Basado en Proyectos Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial  en el  Aprendizaje Basado en Proyectos  Ccesa007.pdfInteligencia Artificial  en el  Aprendizaje Basado en Proyectos  Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Basado en Proyectos Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Los Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdf
Los Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdfLos Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdf
Los Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Proyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Proyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdfProyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Proyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
El Aporte de la Inteligencia Artificial.pdf
El Aporte de la Inteligencia Artificial.pdfEl Aporte de la Inteligencia Artificial.pdf
El Aporte de la Inteligencia Artificial.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Charlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdf
Charlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdfCharlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdf
Charlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
La Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo Ccesa007.pdf
La Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo  Ccesa007.pdfLa Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo  Ccesa007.pdf
La Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Razonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdfRazonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Instructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo Ccesa007.pdf
Instructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo  Ccesa007.pdfInstructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo  Ccesa007.pdf
Instructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 
Inteligencia Artificial y Pensamiento Critico PA1 Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial y Pensamiento Critico  PA1  Ccesa007.pdfInteligencia Artificial y Pensamiento Critico  PA1  Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial y Pensamiento Critico PA1 Ccesa007.pdf
Demetrio Ccesa Rayme
 

Mais de Demetrio Ccesa Rayme (20)

Desarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdf
Desarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdfDesarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdf
Desarrollo del Talento Humano MA4 Ccesa007.pdf
 
Plan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdf
Plan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdfPlan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdf
Plan del Aula de Educacion Inclusiva Ccesa007.pdf
 
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdfDale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
 
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdfLiderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
 
El Desarrollo del Coaching y el Mentoring Ccesa007.pdf
El Desarrollo del Coaching y el Mentoring  Ccesa007.pdfEl Desarrollo del Coaching y el Mentoring  Ccesa007.pdf
El Desarrollo del Coaching y el Mentoring Ccesa007.pdf
 
El Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdf
El Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdfEl Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdf
El Coaching para Lideres Educativos Ccesa007.pdf
 
La Educacion es la vacuna contra la violencia.pdf
La Educacion es la vacuna contra la violencia.pdfLa Educacion es la vacuna contra la violencia.pdf
La Educacion es la vacuna contra la violencia.pdf
 
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdfLiderazgo Basado en  Valores  Ccesa007.pdf
Liderazgo Basado en Valores Ccesa007.pdf
 
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdfDale la vuelta a tu clase  JB-AS  Ccesa007.pdf
Dale la vuelta a tu clase JB-AS Ccesa007.pdf
 
Educacion Digital en las Universidades TEC Ccesa007.pdf
Educacion Digital en las Universidades TEC  Ccesa007.pdfEducacion Digital en las Universidades TEC  Ccesa007.pdf
Educacion Digital en las Universidades TEC Ccesa007.pdf
 
La Investigación-Acción en la Práctica Educativa ALB Ccesa007.pdf
La Investigación-Acción en  la Práctica Educativa  ALB Ccesa007.pdfLa Investigación-Acción en  la Práctica Educativa  ALB Ccesa007.pdf
La Investigación-Acción en la Práctica Educativa ALB Ccesa007.pdf
 
Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Basado en Proyectos Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial  en el  Aprendizaje Basado en Proyectos  Ccesa007.pdfInteligencia Artificial  en el  Aprendizaje Basado en Proyectos  Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial en el Aprendizaje Basado en Proyectos Ccesa007.pdf
 
Los Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdf
Los Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdfLos Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdf
Los Componentes del Liderazgo Transformacional Ccesa007.pdf
 
Proyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Proyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdfProyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
Proyectos Practicos de Inteligencia Artificial Ccesa007.pdf
 
El Aporte de la Inteligencia Artificial.pdf
El Aporte de la Inteligencia Artificial.pdfEl Aporte de la Inteligencia Artificial.pdf
El Aporte de la Inteligencia Artificial.pdf
 
Charlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdf
Charlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdfCharlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdf
Charlas TED de Inteligencia Artificial Ccesa.pdf
 
La Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo Ccesa007.pdf
La Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo  Ccesa007.pdfLa Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo  Ccesa007.pdf
La Inteligencia Artificial en el Ambito Educativo Ccesa007.pdf
 
Razonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdfRazonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdf
Razonamiento Matematico 6to Primaria MA6 Ccesa007.pdf
 
Instructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo Ccesa007.pdf
Instructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo  Ccesa007.pdfInstructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo  Ccesa007.pdf
Instructivo de Habilidades Socioemocionales y Factores de Riesgo Ccesa007.pdf
 
Inteligencia Artificial y Pensamiento Critico PA1 Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial y Pensamiento Critico  PA1  Ccesa007.pdfInteligencia Artificial y Pensamiento Critico  PA1  Ccesa007.pdf
Inteligencia Artificial y Pensamiento Critico PA1 Ccesa007.pdf
 

Último

Caça-palavaras e cruzadinha - Dígrafos.
Caça-palavaras  e cruzadinha  - Dígrafos.Caça-palavaras  e cruzadinha  - Dígrafos.
Caça-palavaras e cruzadinha - Dígrafos.
Mary Alvarenga
 
Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptxRoteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
pamellaaraujo10
 
UFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdf
UFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdfUFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdf
UFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdf
Manuais Formação
 
A justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdf
A justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdfA justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdf
A justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdf
MarcoAurlioResende
 
Eurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento Europeu
Eurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento EuropeuEurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento Europeu
Eurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento Europeu
Centro Jacques Delors
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período pedagogia
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período  pedagogiaAVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período  pedagogia
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período pedagogia
KarollayneRodriguesV1
 
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
Apostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdf
Apostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdfApostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdf
Apostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdf
bmgrama
 
Psicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptx
Psicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptxPsicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptx
Psicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptx
TiagoLouro8
 
MAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdf
MAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdfMAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdf
MAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdf
GracinhaSantos6
 
Como montar o mapa conceitual editado.pdf
Como montar o mapa conceitual editado.pdfComo montar o mapa conceitual editado.pdf
Como montar o mapa conceitual editado.pdf
AlineOliveira625820
 
Slides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptxSlides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptx
LuizHenriquedeAlmeid6
 
O livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdf
O livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdfO livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdf
O livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdf
dataprovider
 
ATIVIDADES de alfabetização do mês de junho
ATIVIDADES de alfabetização do mês de junhoATIVIDADES de alfabetização do mês de junho
ATIVIDADES de alfabetização do mês de junho
Crisnaiara
 
formação - 2º ano São José da Tapera ...
formação - 2º ano São José da Tapera ...formação - 2º ano São José da Tapera ...
formação - 2º ano São José da Tapera ...
JakiraCosta
 
Aula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdf
Aula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdfAula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdf
Aula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdf
AntonioAngeloNeves
 
PALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇO
PALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇOPALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇO
PALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇO
ARIADNEMARTINSDACRUZ
 
Aula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidade
Aula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidadeAula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidade
Aula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidade
AlessandraRibas7
 
Pedagogia universitária em ciência e tecnologia
Pedagogia universitária em ciência e tecnologiaPedagogia universitária em ciência e tecnologia
Pedagogia universitária em ciência e tecnologia
Nertan Dias
 
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
DouglasMoraes54
 

Último (20)

Caça-palavaras e cruzadinha - Dígrafos.
Caça-palavaras  e cruzadinha  - Dígrafos.Caça-palavaras  e cruzadinha  - Dígrafos.
Caça-palavaras e cruzadinha - Dígrafos.
 
Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptxRoteiro para análise do Livro Didático.pptx
Roteiro para análise do Livro Didático.pptx
 
UFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdf
UFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdfUFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdf
UFCD_10789_Metodologias de desenvolvimento de software_índice.pdf
 
A justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdf
A justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdfA justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdf
A justiça divina segundo o Espiritismo (V2).pdf
 
Eurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento Europeu
Eurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento EuropeuEurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento Europeu
Eurodeputados Portugueses 2024-2029 | Parlamento Europeu
 
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período pedagogia
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período  pedagogiaAVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período  pedagogia
AVALIAÇÃO PRESENCIAL 8º período pedagogia
 
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptxSlides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
Slides Lição 12, Central Gospel, O Milênio, 1Tr24, Pr Henrique.pptx
 
Apostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdf
Apostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdfApostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdf
Apostila-Microbiologia-e-Parasitologia-doc.pdf
 
Psicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptx
Psicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptxPsicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptx
Psicologia e Sociologia - Módulo 2 – Sociedade e indivíduo.pptx
 
MAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdf
MAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdfMAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdf
MAPAS MENTAIS Conhecimentos Pedagógicos - ATUALIZADO 2024 PROF. Fernanda.pdf
 
Como montar o mapa conceitual editado.pdf
Como montar o mapa conceitual editado.pdfComo montar o mapa conceitual editado.pdf
Como montar o mapa conceitual editado.pdf
 
Slides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptxSlides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptx
Slides Lição 12, Betel, Ordenança para amar o próximo, 2Tr24.pptx
 
O livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdf
O livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdfO livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdf
O livro O Corpo Fala, a linguagem da comunicação não verbal.pdf
 
ATIVIDADES de alfabetização do mês de junho
ATIVIDADES de alfabetização do mês de junhoATIVIDADES de alfabetização do mês de junho
ATIVIDADES de alfabetização do mês de junho
 
formação - 2º ano São José da Tapera ...
formação - 2º ano São José da Tapera ...formação - 2º ano São José da Tapera ...
formação - 2º ano São José da Tapera ...
 
Aula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdf
Aula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdfAula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdf
Aula 02 - Introducao a Algoritmos.pptx.pdf
 
PALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇO
PALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇOPALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇO
PALAVRA SECRETA - ALFABETIZAÇÃO- REFORÇO
 
Aula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidade
Aula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidadeAula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidade
Aula de filosofia sobre Sexo, Gênero e sexualidade
 
Pedagogia universitária em ciência e tecnologia
Pedagogia universitária em ciência e tecnologiaPedagogia universitária em ciência e tecnologia
Pedagogia universitária em ciência e tecnologia
 
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
O Profeta Jeremias - A Biografia de Jeremias.pptx4
 

Matrices y Sistema de Ecuaciones Lineales ccesa007

  • 2. Introdução Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam, problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria, logaritmo, e uso de softwares. Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se possível material de apoio. Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do software como recurso didático.
  • 3. 1. Matrizes  Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e colunas. Exemplo:       534 463 1a linha 2a linha 1a coluna 2a coluna 3a coluna A = B =              710 345 230 1a coluna 2a coluna 3a coluna 1a linha 2a linha 3a linha
  • 4.  A indicação do número de linhas e colunas é chamada de ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).  O elemento que está na linha i e coluna j é representado por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é representada por:             anmananan maaaa maaaa ...321 ...... 2...232221 1...131211 A =
  • 5. 1.1 Matrizes Com Denominações Especiais  Matriz Linha  Matriz Coluna  Matriz Quadrada * Diagonal principal de uma matriz quadrada * Diagonal secundária de uma matriz quadrada  Matriz Nula  Matriz Diagonal  Matriz Identidade ou Unidade  Matriz Transposta  Matriz Simétrica  Matriz Oposta  Matriz Escalar
  • 6. Exercícios 1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3 definida por aij = i + j. 2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij = aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3 definida por aij = i-j. 3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz identidade de ordem n? 4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98 de AT.
  • 7. 1.2 Igualdade De Matrizes  Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e somente se, os elementos que ocupam a mesma posição são iguais. SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM. Exemplo:       4 2 x 8       4 2 1 y       nm yx         54 27      54 27 nm yx  b) = serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8 A = B = a) Estas matrizes, A e B:
  • 8. 2. Operações Com Matrizes  Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de exemplos: A = B = C = a) A - 2.B = - = b) A . C = . = = c) A . B = . = =        10 21        11 20        201 011        10 21        22 40        12 21        10 21        201 011         200010 400121         201 413        10 21        11 20         1010 2220        11 42
  • 9. d) B . A = . = = e) A . I = . = =        11 20        10 21        10 21         1201 2000         11 20       10 01         1000 2001        10 21  A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).  Em geral A.B B.A (não comutativa).  Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C (distributiva).  Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C (associativa). 
  • 10. Exercícios 1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são dadas pela seguinte matriz A: A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B = Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para aprovação. 0 7 8 7 8 0 7 0 8 6 6 6 1 0 4 0 0 4 1 0                   2 3 5          
  • 11. 2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo,  5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0 distribuiçãoSalário Aluguel, água, luz,etc matéria prima Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B,  1 1 2 1 0 2 1 0 5 1 1 0, , , , A = B = Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final, alegando que o custo aumentou 12%.
  • 12. 3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados num restaurante: 1 3 2           C = arroz carne salada A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante: 2 1 1 1 2 1 2 1 0           P = Prato P1 Prato P2 Prato P3 A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é: 7 9 8           4 4 4           9 11 4           2 6 8           2 2 4           (A) (B) (C) (D) (E)
  • 13. 4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ” e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”.  0 0 1 0 0 0 0 0 1 0 1 0 0 0 1 0 1 0 0 1 0 0 1 1 0                 A = P1 P2 P3 P4 P5 Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho? (A) P1 (B) P2 (C) P3 (D) P4 (E) P5
  • 14. 3. Matriz Inversa  A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz representada por tal que : = Exemplo: A 1 AA 1  I       15 16 A 1         65 11       15 16 .         65 11 =         6555 6656 =       10 01 A = tem = como inversa, pois
  • 15. 4. Determinantes e Sistemas Lineares 4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial  Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na forma matricial. Exemplo:  A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES. Dado o sistema              3 2874 132 yx zyx zyx , podemos colocá-lo na forma:            011 874 321 .           z y x =           3 2 1 , ou seja, A . X = B. A X B
  • 16. 4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2  Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:      feydx cbyax bfbeydbx cebeyaex   afaeyadx cdbdyadx   bfcexbdae  )( afcdyaebd  )( bfcex  afcdy  afad  bdae  aebd  aebd  bdafy  bdae  bdae bfce   bdae cdaf   (* -1) Assim temos: x = e y =
  • 17.  Observamos que denominadores são iguais nas duas expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução (divisão por zero).  Desta forma, é este denominador que determina a existência e a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que determina?
  • 18. Vamos definir e representar o determinante da matriz por Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da diagonal secundária.       ed ba ed ba =det (A) =ae - bd
  • 19. 4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes  Nas expressões encontradas para x e y observamos que os numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na segunda expressão, foi substituída a segunda coluna. Exemplo:      feydx cbyax        ed ba *       y x =       f c bdae bfce   bdae cdaf   x = e y =
  • 20. Chamando =det (A)=ae-bd, ,cdaf fd ca yebfce ef bc x  temos:       y ye x x  Esta regra, válida apenas se , é chamada de REGRA DE CRAMMER. 0
  • 21. 4.4 Discussão de Um Sistema 2x2  Um sistema pode ser de três tipos: DETERMINADO: possui uma única solução. INDETERMINADO: possui mais de uma solução. IMPOSSÍVEL: não possui solução. x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado. x = 1 e y = 1, x = 2 e y = 0 e x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado. não tem solução: Impossível.
  • 22.  Podemos classificar um sistema analisando os determinantes. A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso , nos induz à discussão do sistema. Vamos, por exemplo, considerar que: 0 2 0 0 2 0 0 existe e é único não está definido tem infinitas respostas Assim, temos: 0 Determinado         00 0 0 youx yx e Indeterminado Impossível
  • 23. 4.5 Determinantes De Ordem n  Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2. Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2, bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De forma análoga, podemos obter determinantes de ordens superiores a 2. a) Determinante De Ordem 3:           333231 232221 131211 aaa aaa aaa Dada a matriz A = , temos: det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13 -a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11 Exemplo:             112 140 321 -4 - 4 + 0 - 24 - 0 - 1 = -33 = * No sentido da diagonal secundária troca-se o sinal.
  • 24.  No cálculo do det(A) observamos o seguinte: * Usamos 6 parcelas (fatorial de 3). * Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz. * Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e coluna. * A metade das parcelas tem o sinal trocado.
  • 25. * A soma de n! parcelas. * Cada parcela é o produto de n elementos da matriz. * em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e coluna. * A metade das parcelas tem o sinal trocado. b) Determinate De Ordem n: Com base no que foi observado no cálculo do determinante de ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é:  Vamos calcular o determinante através do baixamento de ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então, calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento aij da matriz A:
  • 26. cij é o produto de pelo determinante da matriz obtida da A eliminando- se a linha i e a coluna j. 1  ji ( ) Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma: (1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz. (2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu co-fator. (3) Soma-se todos os produtos obtidos.
  • 27. 4.6 Propriedades Dos Determinantes  As propriedades dos determinantes são decorrentes da definição de determinante.  As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma matriz quadrada A.  Contudo, são válidas também para as colunas. (1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0 (2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal. (3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0 (4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0 (5) det(A.B) = det(A).det(B) (6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k. (7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos: substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.
  • 28. Exemplo: 321 111 cba Sabendo que = 2, calcular 222 311 333  cba a b c  3 3 3 1 1 1 1 2 3  Tocar a segunda linha pela terceira.  Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por uma constante (3) somada com a primeira linha. a b c  3 3 3 1 2 3 1 1 1  Multiplicar a terceira linha por uma constante (2). a b c  3 3 3 1 2 3 2 2 2 Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4
  • 29. 4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2  Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da seguinte forma: (1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição. (2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal. (3) Dividir todos os elementos por det(A).
  • 30. Conclusão O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas Lineares. O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão, descobrindo novas possibilidades de uso do material numa aplicação à sala de aula. Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a importância do conteúdo e do “material concreto” no ensino da matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.
  • 31. Referências Bibliográficas BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume 2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152. GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a 208. MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular. 2a edição, p. 109 a 126. TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes - Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo Vestibulares, p. 1 a 86.