DOCUMENTO

1. MATRIZES, DETERMINANTES
E
SISTEMAS LINEARES
Cristiano De Angelis
Demetrio ccesa rayme

2. Introdução
Este trabalho tem como objetivos, reforçar conteúdos e introduzir
conceitos matemáticos, através de Matrizes, Determinantes e
Sistemas Lineares. É possível desenvolver atividades que envolvam,
problemas, cálculos, algoritmos, combinatória, trigonometria,
logaritmo, e uso de softwares.
Sem dúvida, cabe ao ensino de matemática o desenvolvimento
do raciocínio e nesse sentido matrizes, determinantes e sistemas
lineares são interessantes para serem trabalhados, utilizando se
possível material de apoio.
Este trabalho está estruturado de tal forma que a parte teórica e
os exercícios visam a exploração deste conteúdo. Num segundo
momento, passamos a exercícios mais específicos, ligados a este
conteúdo matemático como forma de exemplificar o uso do
software como recurso didático.

3. 1. Matrizes
 Matriz é um conjunto com elementos dispostos em linhas e
colunas.
Exemplo:






534
463 1a linha
2a linha
1a coluna
2a coluna
3a coluna
A = B =













710
345
230
1a coluna
2a coluna
3a coluna
1a linha
2a linha
3a linha

4.  A indicação do número de linhas e colunas é chamada de
ordem da matriz. Nos exemplos, A tem ordem (2X3) e B tem
ordem (3X3), ou, simplesmente 3. Matriz quadrada é toda
matriz que tem igual número de linhas e colunas (ordem n).
 O elemento que está na linha i e coluna j é representado
por aij. Desta forma, uma matriz genérica de ordem m x n é
representada por:












anmananan
maaaa
maaaa
...321
......
2...232221
1...131211
A =

5. 1.1 Matrizes Com Denominações
Especiais
 Matriz Linha
 Matriz Coluna
 Matriz Quadrada
* Diagonal principal de uma matriz quadrada
* Diagonal secundária de uma matriz quadrada
 Matriz Nula
 Matriz Diagonal
 Matriz Identidade ou Unidade
 Matriz Transposta
 Matriz Simétrica
 Matriz Oposta
 Matriz Escalar

6. Exercícios
1. Determinar a soma dos elementos da diagonal principal da matriz de ordem 3
definida por aij = i + j.
2. A transposta de uma matriz A= (aij) é a matriz AT = (bij), tal que as linhas de uma
são as colunas de outra. Se A tem ordem nxm, então At tem ordem mxn e bij =
aji, para todo i e todo j. Determinar a matriz transposta da matriz de ordem 2x3
definida por aij = i-j.
3. Matriz identidade é toda matriz quadrada cujos elementos da diagonal principal
são iguais a 1e os demais iguais a zero. Quantos zeros tem uma matriz
identidade de ordem n?
4. Seja A de ordem 15x20 definida por aij = i - j + 10. Determinar o elemento b98
de AT.

7. 1.2 Igualdade De Matrizes
 Duas matrizes de mesma ordem são iguais, se, e
somente se, os elementos que ocupam a mesma posição
são iguais.
SÓ EXISTE IGUALDADE DE MATRIZES QUE POSSUEM A MESMA ORDEM.
Exemplo:






4
2
x
8






4
2
1
y






nm
yx








54
27





54
27
nm
yx

b)
=
serão iguais se, e somente se: x = 1 e y = 8
A = B =
a) Estas matrizes, A e B:

8. 2. Operações Com Matrizes
 Vamos apresentar as operações básicas com matrizes através de
exemplos:
A = B = C =
a) A - 2.B = - =
b) A . C = . = =
c) A . B = . = =





 
10
21





 
11
20






 201
011





 
10
21





 
22
40






 12
21





 
10
21






 201
011








200010
400121








201
413





 
10
21





 
11
20








1010
2220





 
11
42

9. d) B . A = . = =
e) A . I = . = =





 
11
20





 
10
21





 
10
21








1201
2000








11
20






10
01








1000
2001





 
10
21
 A.I = A, para qualquer matriz A (I é o 1 das matrizes).
 Em geral A.B B.A (não comutativa).
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B+C)=A.B + A.C
(distributiva).
 Para A, B, C quadradas de mesma ordem, A.(B.C)=(A.B).C
(associativa).


10. Exercícios
1. Numa turma, os graus que seis alunos receberam em três provas bimestrais são
dadas pela seguinte matriz A:
A matriz B informa o peso de cada uma das provas: 2, 3 e 5 nesta ordem. B =
Use as matrizes A e B para calcular as notas finais dos alunos e analise os graus
dos aprovados e dos reprovados, sabendo que é necessário 60 pontos para
aprovação.
0 7 8
7 8 0
7 0 8
6 6 6
1 0 4 0
0 4 1 0


















2
3
5











11. 2. Uma micro-empresa, em abril teve a seguinte matriz custo,
 5 0 0 1 0 0 0 1 1 0 0 3 0 0
distribuiçãoSalário
Aluguel, água,
luz,etc matéria prima
Em maio houve vários aumentos, colocados na matriz B,
 1 1 2 1 0 2 1 0 5 1 1 0, , , ,
A =
B =
Utilize A e B para calcular o custo total do mês de maio. Muitos empresários
repassaram os 12% de aumento do salário mínimo para o preço do produto final,
alegando que o custo aumentou 12%.

12. 3. A matriz C fornece, em reais, o custo das porções arroz, carne e salada usados
num restaurante:
1
3
2










C =
arroz
carne
salada
A matriz P fornece o número de porções de arroz, carne e salada usados na
composição dos pratos tipo P1, P2, P3 deste restaurante:
2 1 1
1 2 1
2 1 0










P =
Prato P1
Prato P2
Prato P3
A matriz que fornece o custo de produção, em reais, dos pratos P1, P2, P3 é:
7
9
8










4
4
4










9
11
4










2
6
8










2
2
4










(A) (B) (C) (D) (E)

13. 4. A matriz A = [aij]5x5, com i, j {1, 2, 3, 4 , 5}, revela um caminho ligando
alguns pontos do desenho, onde aij = 1 significa: “existe uma ligação entre Pi e Pj ”
e aij = 0 significa: “não existe uma ligação entre Pi e Pj ”.

0 0 1 0 0
0 0 0 1 0
1 0 0 0 1
0 1 0 0 1
0 0 1 1 0
















A = P1
P2
P3
P4
P5
Saindo de P1, sem repetir trechos, qual o ponto final do caminho?
(A) P1
(B) P2
(C) P3
(D) P4
(E) P5

14. 3. Matriz Inversa
 A inversa de uma matriz A, quando existir, é a matriz
representada por tal que : =
Exemplo:
A
1
AA
1

I






15
16
A
1








65
11






15
16
. 







65
11
= 







6555
6656
= 





10
01
A = tem = como inversa, pois

15. 4. Determinantes e Sistemas
Lineares
4.1 Sistema De Equações Na Forma Matricial
 Um sistema de equações do primeiro grau pode ser posto na
forma matricial.
Exemplo:
 A matriz A é chamada de MATRIZ PRINCIPAL, a X de MATRIZ DAS
INCÓGNITAS e a B de MATRIZ DOS TERMOS INDEPENDENTES.
Dado o sistema













3
2874
132
yx
zyx
zyx
,
podemos colocá-lo na forma:










 011
874
321
.










z
y
x
=










3
2
1
, ou seja, A . X = B.
A X B

16. 4.2 Determinante De Uma Matriz De Ordem 2
 Sistema genérico de duas equações e duas incógnitas:





feydx
cbyax
bfbeydbx
cebeyaex


afaeyadx
cdbdyadx


bfcexbdae  )( afcdyaebd  )(
bfcex  afcdy  afad 
bdae  aebd  aebd 
bdafy 
bdae 
bdae
bfce


bdae
cdaf


(* -1)
Assim temos:
x = e y =

17.  Observamos que denominadores são iguais nas duas
expressões, sendo formados pelos elementos da matriz principal
do sistema. Se forem nulos, não poderemos determinar a solução
(divisão por zero).
 Desta forma, é este denominador que determina a existência e
a unicidade da solução. Como poderíamos chamar algo que
determina?

18. Vamos definir e representar o determinante da matriz
por
Determinante de uma matriz de ordem 2 é o produto dos
elementos da diagonal principal menos o produto dos elementos da
diagonal secundária.






ed
ba
ed
ba
=det (A) =ae - bd

19. 4.3 Resolução De Um Sistema 2x2 Por Determinantes
 Nas expressões encontradas para x e y observamos que os
numeradores são também determinantes. Na primeira, a matriz
utilizada teve a primeira coluna substituída pela matriz B. Na
segunda expressão, foi substituída a segunda coluna.
Exemplo: 




feydx
cbyax
 





ed
ba
* 





y
x
= 





f
c
bdae
bfce


bdae
cdaf


x = e y =

20. Chamando =det (A)=ae-bd,
,cdaf
fd
ca
yebfce
ef
bc
x  temos:






y
ye
x
x
 Esta regra, válida apenas se , é chamada de REGRA DE
CRAMMER.
0

21. 4.4 Discussão de Um Sistema 2x2
 Um sistema pode ser de três tipos:
DETERMINADO: possui uma única solução.
INDETERMINADO: possui mais de uma solução.
IMPOSSÍVEL: não possui solução.
x = 1 e y = 1 é o único par de soluções: Determinado.
x = 1 e y = 1,
x = 2 e y = 0 e
x = 0 e y = 2 são algumas das infinitas soluções: Indeterminado.
não tem solução: Impossível.

22.  Podemos classificar um sistema analisando os determinantes.
A regra de Crammer, ainda que válida apenas caso , nos
induz à discussão do sistema.
Vamos, por exemplo, considerar que:
0
2
0
0
2
0
0
existe e é único
não está definido
tem infinitas respostas
Assim, temos:
0 Determinado








00
0
0
youx
yx
e
Indeterminado
Impossível

23. 4.5 Determinantes De Ordem n
 Vimos a origem e o cálculo de um determinante de ordem 2.
Este foi útil na resolução e discussão de um sistema de ordem 2,
bem como na identificação de matrizes inversíveis de ordem 2. De
forma análoga, podemos obter determinantes de ordens
superiores a 2.
a) Determinante De Ordem 3:










333231
232221
131211
aaa
aaa
aaa
Dada a matriz A = , temos:
det(A)= a11 . a22 . a33 + a12 . a23 . a31 + a21 . a32 . a13
-a13 . a22 . a31 - a12 . a21 . a33 - a23 . a32 . a11
Exemplo:












112
140
321
-4 - 4 + 0
- 24 - 0 - 1 = -33
=
* No sentido da
diagonal secundária
troca-se o sinal.

24.  No cálculo do det(A) observamos o seguinte:
* Usamos 6 parcelas (fatorial de 3).
* Cada parcela é o produto de 3 elementos da matriz.
* Em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.

25. * A soma de n! parcelas.
* Cada parcela é o produto de n elementos da matriz.
* em cada produto há um e somente um elemento de cada linha e
coluna.
* A metade das parcelas tem o sinal trocado.
b) Determinate De Ordem n:
Com base no que foi observado no cálculo do determinante de
ordem 3, temos que o determinante de uma matriz de ordem n é:
 Vamos calcular o determinante através do baixamento de
ordem. Desta forma determinantes de ordem superior a 3 são
expressos em função de determinantes de ordem 3 e, então,
calculados. Inicialmente, definimos co-fator cij de um elemento
aij da matriz A:

26. cij é o produto de pelo determinante da matriz obtida da A eliminando-
se a linha i e a coluna j.
1
 ji
( )
Para se obter o baixamento de ordem procede-se da seguinte forma:
(1) Escolhe-se qualquer linha ou coluna da matriz.
(2) Multiplica-se cada elemento da linha ou coluna escolhida pelo seu
co-fator.
(3) Soma-se todos os produtos obtidos.

27. 4.6 Propriedades Dos Determinantes
 As propriedades dos determinantes são decorrentes da
definição de determinante.
 As propriedades abaixo são enunciadas para as linhas de uma
matriz quadrada A.
 Contudo, são válidas também para as colunas.
(1) Se A tem uma linha nula, então det(A) =0
(2) Permutando-se duas linhas de A, det(A) inverte o sinal.
(3) Se A tem duas linhas iguais, então det(A) =0
(4) Se A tem duas linhas múltiplas, então det(A) =0
(5) det(A.B) = det(A).det(B)
(6) Multiplicando uma linha de A por k real, det(A) fica multiplicado por k.
(7) Se Li e Lj são linhas de A e k é real, temos:
substituindo Li por Li + k.Lj, det (A) não se altera.

28. Exemplo:
321
111
cba
Sabendo que = 2, calcular
222
311
333  cba
a b c  3 3 3
1 1 1
1 2 3
 Tocar a segunda linha pela terceira.
 Substituindo a primeira linha pela segunda multiplicada por
uma constante (3) somada com a primeira linha.
a b c  3 3 3
1 2 3
1 1 1
 Multiplicar a terceira linha por uma constante (2).
a b c  3 3 3
1 2 3
2 2 2
Determinante = 2 . (-1) . 2 = -4

29. 4.7 Cálculo Da Inversa De Uma Matriz De Ordem 2
 Podemos calcular a inversa de uma matriz A de ordem 2 da
seguinte forma:
(1) Elementos da diagonal principal: trocar de posição.
(2) Elementos da diagonal secundária: trocar de sinal.
(3) Dividir todos os elementos por det(A).

30. Conclusão
O nosso objetivo com este trabalho, foi obter informações mais
detalhadas a respeito de Matrizes, Determinantes e Sistemas
Lineares.
O desafio no qual a dupla se propôs foi descobrir outras formas
de apresentar este conteúdo, apresentando também o uso de
software para que de alguma forma possa facilitar a compreensão,
descobrindo novas possibilidades de uso do material numa
aplicação à sala de aula.
Foi válida essa experiência, pois podemos perceber, a
importância do conteúdo e do “material concreto” no ensino da
matemática, principalmente, pelo estímulo que ele traz, pois não
desejamos que a matemática de hoje se torne monótona e repetitiva.

31. Referências Bibliográficas
BACCARO, Nelson. e CYRINO, Hélio. Matemática. segundo grau, volume
2, editora Ática, 6a edição, p. 96 a 152.
GENTIL, Nelson. e outros. Matemática para o 2o. grau. volume 2, editora
Ática, 277 exercícios resolvidos e 754 exercícios propostos, p. 139 a
208.
MÓTTOLA, Paulo R. de Carvalho. Móttola Matemática pra o vestibular. 2a
edição, p. 109 a 126.
TEXEIRA, José Carlos. e outros. Matemática - Matrizes - Determinantes -
Sistemas Lineares. livro 15, sistema anglo de ensino, Anglo Vestibulares,
p. 1 a 86.