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Joaquim Elias de Freitas
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Cálculo ID I S C I P L I N A
Funções contínuas
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Imagens Utilizadas
Banco de Imagens Sedis - UFRN
Fotografias - Adauto Harley
Stock.XCHG - www.sxc.hu
Pereira, André Gustavo Campos
   Cálculo I  /  André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal,
RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.
   220 p.
   1. Cálculo.  2. Funções reais.  3. Reta real.  4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II
Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título.
ISBN: 978-85-7273-398-4
CDD 515
RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3
Aula 02  Cálculo I 
Apresentação
N
a aula 1 (Limite e funções reais em um ponto), falamos de limites de funções num
dado ponto, o qual poderia ou não pertencer ao domínio da função. Vimos exemplos
de funções definidas no ponto, mas cujo limite era diferente do valor da função.
Nesta aula, trataremos dos casos em que o limite coincide com o valor da função no ponto.
Essa propriedade é chamada continuidade.
Objetivos
Ao final desta aula, esperamos que você: tenha uma idéia de
continuidade de uma função; saiba mostrar a continuidade
de algumas funções simples; e seja capaz de utilizar suas
propriedades.
Aula 02  Cálculo I
1
14 16 Tempo (h)
status
300
Volume (mL)
Tempo (min)1
Continuidade de uma função real
O que nos vem à cabeça quando alguém fala em continuidade?
Por exemplo: “João estudou cálculo continuamente das 14h às 16h”; ou “durante um
minuto um copo foi enchido continuamente com um certo líquido”.
No primeiro exemplo, será que João parou de estudar em algum momento? E, no
segundo, será que o copo parou de ser enchido por algum instante de tempo e perto de 1
minuto alguém o encheu de uma só vez?
Para se ter uma idéia, vamos imaginar que estamos observando João estudar das 14h
às 16h. Vamos desenhar um gráfico da seguinte forma: em cada instante de tempo, se ele
estiver estudando, marcamos o valor 1 e, se ele não estiver estudando, marcarmos o valor 0.
Assim, depois de transcorrido o tempo (chegamos às 16h), obtemos o Gráfico 1.
Gráfico 1 - Representação do tempo de estudo
Por status do estudo, entendemos que em 1 ele está estudando e em 0 ele não está
estudando.
E se observássemos o processo de enchimento do copo (vamos imaginar um copo de 300
mL) e colocássemos um medidor de volume para acompanhar esse processo, enviando on-line
os dados observados para um computador que traçaria automaticamente o gráfico do volume
no tempo. Supondo que a velocidade fosse constante, obteríamos o Gráfico 2 seguinte.
Gráfico 2 - Representação do processo de enchimento do copo
Aula 02  Cálculo I 
3
2
1
1 2
Note que os dois gráficos foram desenhados sem tirar o lápis do papel. Essa é
uma característica dos gráficos que representam funções contínuas: eles não possuem
interrupções, ou seja, buracos nem saltos.
A pergunta então é: o que faz com que o gráfico de uma função não tenha buracos (no
desenho de seu gráfico foi necessário tirar o lápis do papel)?
Vamos analisar três casos:
1. ���������������������������������������������os limites laterais existem e são diferentes;
2. �������������������������������������������������������������������������������������os limites laterais existem e são iguais, mas diferentes do valor da função no ponto;
3. ����������������������������������������������������������������������������������os limites laterais existem, são iguais e também coincidem com o valor da função
no ponto.
Vamos lá!
Caso 1 - Seja f : [0, 2] → R definida por f(x) =

x 0 ≤ x  1
x + 1 1 ≤ x ≤ 2
.
. Quando
desenhamos o gráfico dessa função, temos:
Gráfico 3 - Representação da função f(x) =

x 0 ≤ x  1
x + 1 1 ≤ x ≤ 2
Ora, mas essa função não é contínua no ponto x = 1, pois neste temos um salto, ou
seja, precisamos tirar o lápis do papel para desenhar o gráfico!
Aula 02  Cálculo I
2
1
1 2
2
1
1 2
Caso 2 - Seja f : [0, 2] → R definida por f(x) =



x 0 ≤ x  1
2 x = 1
x 1  x ≤ 2
.
. Quando
desenhamos o gráfico dessa função, temos:
Gráfico 4 - Representação da função f(x) =



x 0 ≤ x  1
2 x = 1
x 1  x ≤ 2
Ora, mas essa função também não é contínua no ponto x = 1,, pois neste temos um
buraco, ou seja, precisamos tirar o lápis do papel para fazer o pontinho (1,2) e depois voltar
com o lápis para desenhar o restante do gráfico!
Caso 3 - Seja f : [0, 2] → R definida porf(x) =



x 0 ≤ x  1
1 x = 1
x 1  x ≤ 2
.
. Quando desenhamos o
gráfico dessa função, temos:
Gráfico 5 - Gráfico da função f(x) =



x 0 ≤ x  1
1 x = 1
x 1  x ≤ 2
Aula 02  Cálculo I 
Note agora que não precisamos tirar o lápis do papel para desenhar o Gráfico 5, nem
mesmo no ponto x = 1,, que está destacado. Nesse ponto, temos a existência dos limites
laterais, ambos iguais a 1. Portanto, o limite também existe e é igual a 1 e, mais, o valor da
função nesse ponto também vale 1. Resumindo: o limite da função no ponto existe e é igual
ao valor da função no ponto.
Imagine-se soldando dois pedaços de fio. Primeiro, você tem que juntá-los (fazer o
limite existir); mesmo juntos ainda existe um vazio entre eles (a função naquele ponto ainda
não está definida) e, com isso, ainda não representam uma peça única. Quando colocar o
pingo de solda entre os fios, acontecerá a conexão (o limite existirá e será igual ao valor da
função no ponto) entre as duas peças, que passam a formar uma peça única de fio.
Agora, creio que temos a idéia intuitiva de continuidade em um ponto e podemos,
então, formalizá-la
Definição 1
Seja f : (a, b) → R uma função e c ∈ (a, b),, isto é, a função está definida no
ponto c. Dizemos que f é contínua em c se o limite de f(x),, quando x tende a
c, existe e esse limite é igual ao valor da função no ponto c. Em outras palavras,
dizemos que f é contínua em c, se:
1. ������������o limite de f(x),, quando x tende a c, existe, ou seja, lim
x→c
f(x).existe;
2. ��������������������������������a função está definida no ponto c, ou seja, existe f(c);;
3.  lim
x→c
f(x) = f(c)..
Exemplo 1
Verifique se a função f : R → R definida por f(x) = x2 + 3 é contínua no ponto x = 2.
Solução
1. ��������������������������������������������������������������������������������Verificamos no exemplo 3 da aula 1 que o limite à direita e à esquerda no ponto
x = 2 existem e são iguais a 7, logo, o limite no ponto x = 2 existe e vale 7, ou seja,
lim
x→2
f(x) = 7.
Aula 02  Cálculo I
2. �����Como x = 2 pertence ao domínio, então, f está definida no ponto 2 e f(2) = 22 + 3 = 7.
3. ���������������������������������������Pelos itens anteriores, concluímos que lim
x→2
f(x) = 7 = f(2)..
Portanto, por definição, temos que f é contínua no ponto x = 2.
Definição 2
Seja f : (a, b) → R dizemos que f é contínua se f é contínua em todo ponto
de seu domínio.
Mas o intervalo (a, b),, domínio da f, não tem infinitos pontos? Tem!
Temos, então, que analisar a existência do limite e, caso o limite exista, comparar com
o valor da função no ponto nos infinitos pontos de (a, b),.
E como vou conseguir garantir que a função é contínua em todos os pontos, se não
calcular as três condições que me garantam a continuidade para cada um deles?
Da seguinte maneira: escolhemos um ponto qualquer do domínio, por exemplo, x = c..
Como não demos valor específico para c, então, tudo que concluirmos para esse valor
genérico valerá para qualquer outro valor, concorda?
É assim que funciona, vamos testar?
Exemplo 2
Verifique se a função do exemplo 1 é contínua em todos os pontos do domínio.
Solução
Seja a ∈ R,, verifiquemos se as três condições para continuidade são satisfeitas, ou seja,
se o limite no ponto a existe, se a função está definida nesse ponto e se ambos são iguais.
1. ���������������������������������������������������������������������Calculemos os limites laterais para verificar a existência do limite.
a) À direita
Aula 02  Cálculo I 
Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se
aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a + ∆x).. Calculemos f(a + ∆x)..
f(a + ∆x) = (a + ∆x)2
+ 3 = a2 + 2a∆x + ∆x2 + 3 = a2 + 3 + 2a∆x + ∆x2
Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se
aproxime de zero, f(a + ∆x).sempre se aproximará de um mesmo valor.
Note, porém, que o ponto a foi dado, ou seja, ele já está estipulado (ele é um número
fixo, não varia mais, é uma constante), logo, pelo que argumentamos na aula passada,
quando ∆x se aproximar de zero, 2 a∆ x, ∆x2
também se aproximarão de zero e, portanto,
f(a + ∆x) = a2 + 3 + 2a∆x + ∆x2 se aproximará de a2 + 3.. Ou seja, o limite à direita
existe e vale a2 + 3..
b) À esquerda
Para mostrar que o limite lateral à esquerda no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se
aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a − ∆x).. Calculemos f(a − ∆x)..
f(a − ∆x) = (a − ∆x)2
+ 3 = a2 − 2a∆x + ∆x2 + 3 = a2 + 3 − 2a∆x + ∆x2
Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se
aproxime de zero, f(a − ∆x).sempre se aproximará de um mesmo valor.
Pelo mesmo argumento utilizado anteriormente, quando ∆x se aproximar de zero,
2a∆x, ∆x2 tambémseaproximarãodezeroe,portanto, f(a + ∆x) = a2 + 3 − 2a∆x + ∆x2
se aproximará de a2 + 3.. Ou seja, o limite à esquerda existe e vale a2 + 3..
Pelo fato dos limites laterais no ponto a existirem e terem o mesmo valor, garantimos
que a função tem limite no ponto a e este vale a2 + 3., ou seja, lim
x→a
f(x) = a2
+ 3.
2. �����Como a ∈ R ea ∈ R é o domínio da f, então, f(a) está definida (existe) e vale f(a) = a2 + 3..
3. ��������������������De 1 e 2, temos que lim
x→a
f(x) = a2
+ 3. .
E com isso concluímos que a função é contínua no ponto a ∈ R.. Ora, mas não sabemos
quem é o ponto a ∈ R.. Veremos a seguir que pode ser qualquer valor, pois se definirmos,
por exemplo, que a = 2,, temos que:
1.
a) �����������������������������o limite à esquerda no ponto a = 2,vale 22 + 3 = 4 + 3 = 7;
b) ����������������������������o limite à direita no ponto a = 2,vale 22 + 3 = 4 + 3 = 7;;
c) ���������������������������������������por a e b, temos que o limite no ponto a = 2,vale 7.
Aula 02  Cálculo I
Atividade 1
1
2
3
4
5
2. Como 3 pertence ao domínio da f, então, f(2) está definida (existe) e vale
f(2) = 22 + 3 = 7..
3.  De 1 e 2, temos que lim
x→2
f(x) = 7 = f(2) ..
E com isso concluímos que a função é contínua no ponto a = 2,.
Esse raciocínio se repetirá, bastando para isso substituir o valor desejado no valor
genérico, pois já foi provado que a função é contínua.
Agora é sua vez de tentar.
Mostre que a função f(x) =

3x x ≤ 1
x + 2 x  1
é contínua no ponto
x = 1.
Mostre que a função f : R → R definida por f(x) = x
3
é contínua
em todos os pontos do domínio.
Lembrete - reveja a aula sobre binômio de Newton da disciplina Análise
Combinatória e Probabilidade, se necessário, para se convencer de que:
(a + b)3
= a3 + 3a2b + 3ab2 + b3..
Aproveite e mostre que a função f : R → R definida por f(x) = x
n
é contínua em todos os pontos do domínio, qualquer que seja a
potência natural n. (Este exercício é um pouquinho mais trabalhoso
do que o primeiro, mas se você não sentiu dificuldade ao fazê-lo, este
não será problema.)
Se f : R → R é contínua no ponto a = 2, e f(2) = 32,, calcule
lim
x→2
f(x).
�����������Mostre que f : R → R definida por f(x) = K (função constante)
é contínua.
Aula 02  Cálculo I 
Propriedades das
funções contínuas
Sejam f, g : A → R funções contínuas definidas sobre o mesmo domínio, então:
a)  (f + g)(x) = f(x) + g(x) também é contínua;
b)  (f − g)(x) = f(x) − g(x) também é contínua;
c)  (f.g)(x) = f(x)g(x) também é contínua;
d) se g(x) = 0 para todo x ∈ A,, então, vale

f
g

(x) =
f(x)
g(x)
,, que também é contínua.
Exemplo 3
Supondo que você tenha feito todos os exercícios da atividade proposta anteriormente,
fica até sem sentido eu perguntar quanto vale o seguinte limite:
lim
x→3
�
2x3
+ 5x + 6

Solução
Considere as seguintes funções:
f, g, h, k, l : R → R definidas por f(x) = 2, g(x) = x3, h(x) = 5, k(x) = x e l(x) = 6..
Pelo que vimos nos exercícios, todas essas funções são contínuas e, pelas
propriedades soma e produto de funções contínuas, confirma-se que são contínuas, logo,
a função p(x) = f(x)g(x) + h(x)k(x) + l(x) = 2x3 + 5x + 6 é contínua, o que implica
lim
x→3
�
2x3
+ 5x + 6

= lim
x→3
p(x) = p(3) = 2(3)3
+ 5 · 3 + 6 = 75..
Quando a função é contínua, calcular o limite fica “mamão com açúcar”!!!
Outra propriedade interessante de funções contínuas diz respeito à composta de
funções contínuas.
e) sejam f : A ⊂ R → R e g : B ⊂ R → R funções contínuas tais que f(A) ⊂ B,,
então, g ◦ f : A ⊂ R → R também é contínua.
Aula 02  Cálculo I10
Exemplo 4
Considere f, g : R → R funções contínuas definidas por f(x) = 3x + 2
e g(x) = 5x2 + 4x.. Mostre que as funções h, k : R → R definidas por
h(x) = 3(5x2 + 4x) + 2 = 15x2 + 12x + 2 e
k(x) = 5(3x + 2)2
+ 4(3x + 2)x = 5(9x2 + 12x + 4) + 12x + 8
= 45x2 + 60x + 20 + 12x + 8
= 45x2 + 72x + 28 são contínuas.
Solução
Note que podemos escrever
h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(5x2 + 4x) = 3(5x2 + 4x) + 2 = 15x2 + 12x + 2 e
k(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = 5(3x + 2)2
+ 4(3x + 2),, ou seja, tanto a h
quanto a k são compostas de funções contínuas, portanto, pela propriedade e. são contínuas.
Apresentaremos agora mais uma propriedade de limite de uma função (o teorema do
confronto ou, como é mais conhecido, o teorema do sanduíche), o qual usaremos para
encerrar esta aula com um exemplo mais elaborado.
Essa propriedade é bem natural, diz essencialmente que se uma quantidade está
entre dois valores e se fizermos os valores dos extremos tender para o mesmo valor,
então, obrigatoriamente o valor que se encontra no meio tem que assumir também esse
último valor.
Mais uma propriedade de limite de funções: o teorema do confronto. Sejam
f, g, h : R → R funções que satisfazem f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)para todo x em algum intervalo
aberto que contenha o ponto c. Se f, h tiverem o mesmo limite quando x tende a c, digamos
lim
x→c
f(x) = lim
x→c
h(x) = L,,
então, g também tem esse limite quando x tende a c, isto é,
lim
x→c
g(x) = L..
Finalizaremos esta aula mostrando que a função sen(x) é contínua em todos os
pontos. Para tanto, usaremos um fato que, embora simples, dificilmente paramos para
analisar, a saber:
|sen(x) − sen(y)| ≤ |x − y|
para quaisquer valores valores de x, y. Se você não acredita, faça alguns cálculos para se
convencer. Entretanto, nas suas tentativas limite-se a valores de x, y cuja diferença não exceda
(1)
Aula 02  Cálculo I 11
2, pois como o seno sempre está entre -1 e 1 a diferença máxima será 2. Lembre também de
usar o valor aproximado do π = 3, 14 para seus cálculos não ficarem muito extensos.
Para mostrar que sen(x) é contínua em todos os pontos, seja a um ponto qualquer do
domínio do seno e mostremos que o limite à direita e à esquerda no ponto a existem e que
esses valores coincidem com o valor da função no ponto a.
n   Limite à esquerda
Para mostrar que o limite lateral à esquerda no ponto a existe, precisamos fazer ∆x
se aproximar de zero e verificar o que ocorre com sen(a − ∆x).. Usaremos o teorema
do confronto para nos auxiliar neste estudo. Vimos na aula 7 (Inequações algébricas e
intervalos), da disciplina Pré-Cálculo que o módulo de qualquer quantidade é sempre maior
ou igual a zero, certo? Assim,
0 ≤ |sen(a − ∆x) − sen(a)|,
Sabemos pela (1) que |sen(x) − sen(y)| ≤ |x − y| para quaisquer valores de x, y, em
particular, para x = a + ∆x e y = a , ou seja,
|sen(a − ∆x) − sen(a)| ≤ |a − ∆x − a| = |∆x|..
Juntando essas duas informações, temos
0 ≤ |sen(a − ∆x) − sen(a)| ≤ |a − ∆x − a| = |∆x|..
Aplicando o teorema do confronto, temos que ao fazer ∆x se aproximar de zero, os
extremos se aproximarão de zero, o que vai implicar que a quantidade do meio também se
aproximará de zero, mas dizer que |sen(a − ∆x) − sen(a)| se aproxima de zero é dizer que
sen(a − ∆x) se aproxima do valor sen(a).. Note que isso acontece independentemente de
como o ∆x se aproxima de zero. Logo, o limite à esquerda de sen(x) quando x tende a a
existe e vale sen(a)..
n   Limite à direita
Se procedermos da mesma forma para o limite à direita, chegaremos no ponto em que
0 ≤ |sen(a + ∆x) − sen(a)| ≤ |a + ∆x − a| = |∆x|
e pelo mesmo argumento concluiremos que o limite à direita de sen(x), quando x tende a
a, existe e vale sen(a)..
Com essas duas informações, teremos que o limite de sen(x), quando x tende a a,
existe e vale sen(a)., ou seja,
lim
x→a
sen(x) = sen(a)..
Aula 02  Cálculo I12
Atividade 2
Resumo
Ora, sen(a).é o valor da função sen(x) no ponto a, logo mostramos que o limite de
sen(x) no ponto a, existe e é igual ao valor da função sen(x) no ponto a, mas isso significa
que a função sen(x) é contínua no ponto a. Como a foi um ponto qualquer do domínio,
teremos que isso vale para qualquer ponto do domínio, logo a função sen(x) é contínua.
Que tal experimentar esse tipo de argumentação?
Sabendo que a função cos(x) satisfaz
|cos(x) − cos(y)| ≤ |x − y|
para quaisquer valores de x, y, mostre que cos(x) é contínua em todos os
pontos.
(2)
Nesta aula, estudamos continuidade de uma função, propriedade que
geometricamente significa que seu gráfico é desenhado sem tirarmos o lápis
do papel. Tomando como base essa propriedade geométrica, vimos que uma
função é contínua em um ponto quando o limite da função naquele ponto existe
e coincide com o valor da função nesse mesmo ponto. Em seguida, vimos que a
soma, produto e quociente (respeitando uma condição) e composta de funções
contínuas também constituem uma função contínua.
Aula 02  Cálculo I 13
1
2
3
Auto-avaliação
Você já deve ter ouvido a frase: “Na natureza, a evolução não se dá por saltos”.
Como você interpreta essa frase à luz da continuidade?
Você poderia imaginar uma situação prática em que o processo se dê de modo
contínuo?
Identifique na disciplina Física e Meio Ambiente algumas situações cujo
comportamento ocorra de forma contínua.
Referências
ANDRADE, Rubens L. de; LIMA, Ronaldo F. de. Pré-cálculo. Natal: Editora da UFRN, 2006.
ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 1.
BARRETO, Ciclamio Leite; BORBA, Gilvan Luiz; MEDEIROS, Rui Tertuliano de. Física e meio
ambiente. Natal: Editora da UFRN, 2006.
Aula 02  Cálculo I14
Anotações
Aula 02  Cálculo I 15
Anotações
Aula 02  Cálculo I16
Anotações
Cal i a02
Cal i a02

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  • 1. André Gustavo Campos Pereira Joaquim Elias de Freitas Roosewelt Fonseca Soares Cálculo ID I S C I P L I N A Funções contínuas Autores aula 02
  • 2. Copyright © 2007  Todos os direitos reservados. Nenhuma parte deste material pode ser utilizada ou reproduzida sem a autorização expressa da UFRN - Universidade Federal do Rio Grande do Norte. Divisão de Serviços Técnicos Catalogação da publicação na Fonte. UFRN/Biblioteca Central “Zila Mamede” Governo Federal Presidente da República Luiz Inácio Lula da Silva Ministro da Educação Fernando Haddad Secretário de Educação a Distância – SEED Carlos Eduardo Bielschowsky Universidade Federal do Rio Grande do Norte Reitor José Ivonildo do Rêgo Vice-Reitora Ângela Maria Paiva Cruz Secretária de Educação a Distância Vera Lúcia do Amaral Secretaria de Educação a Distância- SEDIS Coordenadora da Produção dos Materiais Marta Maria Castanho Almeida Pernambuco Coordenador de Edição Ary Sergio Braga Olinisky Projeto Gráfico Ivana Lima Revisores de Estrutura e Linguagem Eugenio Tavares Borges Jânio Gustavo Barbosa Thalyta Mabel Nobre Barbosa Revisora das Normas da ABNT Verônica Pinheiro da Silva Revisoras de Língua Portuguesa Janaina Tomaz Capistrano Sandra Cristinne Xavier da Câmara Revisores Técnicos Leonardo Chagas da Silva Thaísa Maria Simplício Lemos Revisora Tipográfica Nouraide Queiroz Ilustradora Carolina Costa Editoração de Imagens Adauto Harley Carolina Costa Diagramadores Bruno de Souza Melo Dimetrius de Carvalho Ferreira Ivana Lima Johann Jean Evangelista de Melo Adaptação para Módulo Matemático André Quintiliano Bezerra da Silva Kalinne Rayana Cavalcanti Pereira Thaísa Maria Simplício Lemos Colaboradora Viviane Simioli Medeiros Campos Imagens Utilizadas Banco de Imagens Sedis - UFRN Fotografias - Adauto Harley Stock.XCHG - www.sxc.hu Pereira, André Gustavo Campos    Cálculo I  /  André Gustavo Campos Pereira, Joaquim Elias de Freitas, Roosewelt Fonseca Soares. – Natal, RN: EDUFRN Editora da UFRN, 2008.    220 p.    1. Cálculo.  2. Funções reais.  3. Reta real.  4. Funções compostas. I. Freitas, Joaquim Elias de. II Soares, Roosewelt Fonseca. III. Título. ISBN: 978-85-7273-398-4 CDD 515 RN/UF/BCZM 2008/12 CDU 517.2/.3
  • 3. Aula 02  Cálculo I Apresentação N a aula 1 (Limite e funções reais em um ponto), falamos de limites de funções num dado ponto, o qual poderia ou não pertencer ao domínio da função. Vimos exemplos de funções definidas no ponto, mas cujo limite era diferente do valor da função. Nesta aula, trataremos dos casos em que o limite coincide com o valor da função no ponto. Essa propriedade é chamada continuidade. Objetivos Ao final desta aula, esperamos que você: tenha uma idéia de continuidade de uma função; saiba mostrar a continuidade de algumas funções simples; e seja capaz de utilizar suas propriedades.
  • 4. Aula 02  Cálculo I 1 14 16 Tempo (h) status 300 Volume (mL) Tempo (min)1 Continuidade de uma função real O que nos vem à cabeça quando alguém fala em continuidade? Por exemplo: “João estudou cálculo continuamente das 14h às 16h”; ou “durante um minuto um copo foi enchido continuamente com um certo líquido”. No primeiro exemplo, será que João parou de estudar em algum momento? E, no segundo, será que o copo parou de ser enchido por algum instante de tempo e perto de 1 minuto alguém o encheu de uma só vez? Para se ter uma idéia, vamos imaginar que estamos observando João estudar das 14h às 16h. Vamos desenhar um gráfico da seguinte forma: em cada instante de tempo, se ele estiver estudando, marcamos o valor 1 e, se ele não estiver estudando, marcarmos o valor 0. Assim, depois de transcorrido o tempo (chegamos às 16h), obtemos o Gráfico 1. Gráfico 1 - Representação do tempo de estudo Por status do estudo, entendemos que em 1 ele está estudando e em 0 ele não está estudando. E se observássemos o processo de enchimento do copo (vamos imaginar um copo de 300 mL) e colocássemos um medidor de volume para acompanhar esse processo, enviando on-line os dados observados para um computador que traçaria automaticamente o gráfico do volume no tempo. Supondo que a velocidade fosse constante, obteríamos o Gráfico 2 seguinte. Gráfico 2 - Representação do processo de enchimento do copo
  • 5. Aula 02  Cálculo I 3 2 1 1 2 Note que os dois gráficos foram desenhados sem tirar o lápis do papel. Essa é uma característica dos gráficos que representam funções contínuas: eles não possuem interrupções, ou seja, buracos nem saltos. A pergunta então é: o que faz com que o gráfico de uma função não tenha buracos (no desenho de seu gráfico foi necessário tirar o lápis do papel)? Vamos analisar três casos: 1. ���������������������������������������������os limites laterais existem e são diferentes; 2. �������������������������������������������������������������������������������������os limites laterais existem e são iguais, mas diferentes do valor da função no ponto; 3. ����������������������������������������������������������������������������������os limites laterais existem, são iguais e também coincidem com o valor da função no ponto. Vamos lá! Caso 1 - Seja f : [0, 2] → R definida por f(x) =  x 0 ≤ x 1 x + 1 1 ≤ x ≤ 2 . . Quando desenhamos o gráfico dessa função, temos: Gráfico 3 - Representação da função f(x) =  x 0 ≤ x 1 x + 1 1 ≤ x ≤ 2 Ora, mas essa função não é contínua no ponto x = 1, pois neste temos um salto, ou seja, precisamos tirar o lápis do papel para desenhar o gráfico!
  • 6. Aula 02  Cálculo I 2 1 1 2 2 1 1 2 Caso 2 - Seja f : [0, 2] → R definida por f(x) =    x 0 ≤ x 1 2 x = 1 x 1 x ≤ 2 . . Quando desenhamos o gráfico dessa função, temos: Gráfico 4 - Representação da função f(x) =    x 0 ≤ x 1 2 x = 1 x 1 x ≤ 2 Ora, mas essa função também não é contínua no ponto x = 1,, pois neste temos um buraco, ou seja, precisamos tirar o lápis do papel para fazer o pontinho (1,2) e depois voltar com o lápis para desenhar o restante do gráfico! Caso 3 - Seja f : [0, 2] → R definida porf(x) =    x 0 ≤ x 1 1 x = 1 x 1 x ≤ 2 . . Quando desenhamos o gráfico dessa função, temos: Gráfico 5 - Gráfico da função f(x) =    x 0 ≤ x 1 1 x = 1 x 1 x ≤ 2
  • 7. Aula 02  Cálculo I Note agora que não precisamos tirar o lápis do papel para desenhar o Gráfico 5, nem mesmo no ponto x = 1,, que está destacado. Nesse ponto, temos a existência dos limites laterais, ambos iguais a 1. Portanto, o limite também existe e é igual a 1 e, mais, o valor da função nesse ponto também vale 1. Resumindo: o limite da função no ponto existe e é igual ao valor da função no ponto. Imagine-se soldando dois pedaços de fio. Primeiro, você tem que juntá-los (fazer o limite existir); mesmo juntos ainda existe um vazio entre eles (a função naquele ponto ainda não está definida) e, com isso, ainda não representam uma peça única. Quando colocar o pingo de solda entre os fios, acontecerá a conexão (o limite existirá e será igual ao valor da função no ponto) entre as duas peças, que passam a formar uma peça única de fio. Agora, creio que temos a idéia intuitiva de continuidade em um ponto e podemos, então, formalizá-la Definição 1 Seja f : (a, b) → R uma função e c ∈ (a, b),, isto é, a função está definida no ponto c. Dizemos que f é contínua em c se o limite de f(x),, quando x tende a c, existe e esse limite é igual ao valor da função no ponto c. Em outras palavras, dizemos que f é contínua em c, se: 1. ������������o limite de f(x),, quando x tende a c, existe, ou seja, lim x→c f(x).existe; 2. ��������������������������������a função está definida no ponto c, ou seja, existe f(c);; 3.  lim x→c f(x) = f(c).. Exemplo 1 Verifique se a função f : R → R definida por f(x) = x2 + 3 é contínua no ponto x = 2. Solução 1. ��������������������������������������������������������������������������������Verificamos no exemplo 3 da aula 1 que o limite à direita e à esquerda no ponto x = 2 existem e são iguais a 7, logo, o limite no ponto x = 2 existe e vale 7, ou seja, lim x→2 f(x) = 7.
  • 8. Aula 02  Cálculo I 2. �����Como x = 2 pertence ao domínio, então, f está definida no ponto 2 e f(2) = 22 + 3 = 7. 3. ���������������������������������������Pelos itens anteriores, concluímos que lim x→2 f(x) = 7 = f(2).. Portanto, por definição, temos que f é contínua no ponto x = 2. Definição 2 Seja f : (a, b) → R dizemos que f é contínua se f é contínua em todo ponto de seu domínio. Mas o intervalo (a, b),, domínio da f, não tem infinitos pontos? Tem! Temos, então, que analisar a existência do limite e, caso o limite exista, comparar com o valor da função no ponto nos infinitos pontos de (a, b),. E como vou conseguir garantir que a função é contínua em todos os pontos, se não calcular as três condições que me garantam a continuidade para cada um deles? Da seguinte maneira: escolhemos um ponto qualquer do domínio, por exemplo, x = c.. Como não demos valor específico para c, então, tudo que concluirmos para esse valor genérico valerá para qualquer outro valor, concorda? É assim que funciona, vamos testar? Exemplo 2 Verifique se a função do exemplo 1 é contínua em todos os pontos do domínio. Solução Seja a ∈ R,, verifiquemos se as três condições para continuidade são satisfeitas, ou seja, se o limite no ponto a existe, se a função está definida nesse ponto e se ambos são iguais. 1. ���������������������������������������������������������������������Calculemos os limites laterais para verificar a existência do limite. a) À direita
  • 9. Aula 02  Cálculo I Para mostrar que o limite lateral à direita no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a + ∆x).. Calculemos f(a + ∆x).. f(a + ∆x) = (a + ∆x)2 + 3 = a2 + 2a∆x + ∆x2 + 3 = a2 + 3 + 2a∆x + ∆x2 Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, f(a + ∆x).sempre se aproximará de um mesmo valor. Note, porém, que o ponto a foi dado, ou seja, ele já está estipulado (ele é um número fixo, não varia mais, é uma constante), logo, pelo que argumentamos na aula passada, quando ∆x se aproximar de zero, 2 a∆ x, ∆x2 também se aproximarão de zero e, portanto, f(a + ∆x) = a2 + 3 + 2a∆x + ∆x2 se aproximará de a2 + 3.. Ou seja, o limite à direita existe e vale a2 + 3.. b) À esquerda Para mostrar que o limite lateral à esquerda no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com f(a − ∆x).. Calculemos f(a − ∆x).. f(a − ∆x) = (a − ∆x)2 + 3 = a2 − 2a∆x + ∆x2 + 3 = a2 + 3 − 2a∆x + ∆x2 Neste ponto, é que precisamos garantir que qualquer que seja a forma pela qual ∆x se aproxime de zero, f(a − ∆x).sempre se aproximará de um mesmo valor. Pelo mesmo argumento utilizado anteriormente, quando ∆x se aproximar de zero, 2a∆x, ∆x2 tambémseaproximarãodezeroe,portanto, f(a + ∆x) = a2 + 3 − 2a∆x + ∆x2 se aproximará de a2 + 3.. Ou seja, o limite à esquerda existe e vale a2 + 3.. Pelo fato dos limites laterais no ponto a existirem e terem o mesmo valor, garantimos que a função tem limite no ponto a e este vale a2 + 3., ou seja, lim x→a f(x) = a2 + 3. 2. �����Como a ∈ R ea ∈ R é o domínio da f, então, f(a) está definida (existe) e vale f(a) = a2 + 3.. 3. ��������������������De 1 e 2, temos que lim x→a f(x) = a2 + 3. . E com isso concluímos que a função é contínua no ponto a ∈ R.. Ora, mas não sabemos quem é o ponto a ∈ R.. Veremos a seguir que pode ser qualquer valor, pois se definirmos, por exemplo, que a = 2,, temos que: 1. a) �����������������������������o limite à esquerda no ponto a = 2,vale 22 + 3 = 4 + 3 = 7; b) ����������������������������o limite à direita no ponto a = 2,vale 22 + 3 = 4 + 3 = 7;; c) ���������������������������������������por a e b, temos que o limite no ponto a = 2,vale 7.
  • 10. Aula 02  Cálculo I Atividade 1 1 2 3 4 5 2. Como 3 pertence ao domínio da f, então, f(2) está definida (existe) e vale f(2) = 22 + 3 = 7.. 3.  De 1 e 2, temos que lim x→2 f(x) = 7 = f(2) .. E com isso concluímos que a função é contínua no ponto a = 2,. Esse raciocínio se repetirá, bastando para isso substituir o valor desejado no valor genérico, pois já foi provado que a função é contínua. Agora é sua vez de tentar. Mostre que a função f(x) =  3x x ≤ 1 x + 2 x 1 é contínua no ponto x = 1. Mostre que a função f : R → R definida por f(x) = x 3 é contínua em todos os pontos do domínio. Lembrete - reveja a aula sobre binômio de Newton da disciplina Análise Combinatória e Probabilidade, se necessário, para se convencer de que: (a + b)3 = a3 + 3a2b + 3ab2 + b3.. Aproveite e mostre que a função f : R → R definida por f(x) = x n é contínua em todos os pontos do domínio, qualquer que seja a potência natural n. (Este exercício é um pouquinho mais trabalhoso do que o primeiro, mas se você não sentiu dificuldade ao fazê-lo, este não será problema.) Se f : R → R é contínua no ponto a = 2, e f(2) = 32,, calcule lim x→2 f(x). �����������Mostre que f : R → R definida por f(x) = K (função constante) é contínua.
  • 11. Aula 02  Cálculo I Propriedades das funções contínuas Sejam f, g : A → R funções contínuas definidas sobre o mesmo domínio, então: a)  (f + g)(x) = f(x) + g(x) também é contínua; b)  (f − g)(x) = f(x) − g(x) também é contínua; c)  (f.g)(x) = f(x)g(x) também é contínua; d) se g(x) = 0 para todo x ∈ A,, então, vale  f g  (x) = f(x) g(x) ,, que também é contínua. Exemplo 3 Supondo que você tenha feito todos os exercícios da atividade proposta anteriormente, fica até sem sentido eu perguntar quanto vale o seguinte limite: lim x→3 � 2x3 + 5x + 6  Solução Considere as seguintes funções: f, g, h, k, l : R → R definidas por f(x) = 2, g(x) = x3, h(x) = 5, k(x) = x e l(x) = 6.. Pelo que vimos nos exercícios, todas essas funções são contínuas e, pelas propriedades soma e produto de funções contínuas, confirma-se que são contínuas, logo, a função p(x) = f(x)g(x) + h(x)k(x) + l(x) = 2x3 + 5x + 6 é contínua, o que implica lim x→3 � 2x3 + 5x + 6  = lim x→3 p(x) = p(3) = 2(3)3 + 5 · 3 + 6 = 75.. Quando a função é contínua, calcular o limite fica “mamão com açúcar”!!! Outra propriedade interessante de funções contínuas diz respeito à composta de funções contínuas. e) sejam f : A ⊂ R → R e g : B ⊂ R → R funções contínuas tais que f(A) ⊂ B,, então, g ◦ f : A ⊂ R → R também é contínua.
  • 12. Aula 02  Cálculo I10 Exemplo 4 Considere f, g : R → R funções contínuas definidas por f(x) = 3x + 2 e g(x) = 5x2 + 4x.. Mostre que as funções h, k : R → R definidas por h(x) = 3(5x2 + 4x) + 2 = 15x2 + 12x + 2 e k(x) = 5(3x + 2)2 + 4(3x + 2)x = 5(9x2 + 12x + 4) + 12x + 8 = 45x2 + 60x + 20 + 12x + 8 = 45x2 + 72x + 28 são contínuas. Solução Note que podemos escrever h(x) = (f ◦ g)(x) = f(g(x)) = f(5x2 + 4x) = 3(5x2 + 4x) + 2 = 15x2 + 12x + 2 e k(x) = (g ◦ f)(x) = g(f(x)) = g(3x + 2) = 5(3x + 2)2 + 4(3x + 2),, ou seja, tanto a h quanto a k são compostas de funções contínuas, portanto, pela propriedade e. são contínuas. Apresentaremos agora mais uma propriedade de limite de uma função (o teorema do confronto ou, como é mais conhecido, o teorema do sanduíche), o qual usaremos para encerrar esta aula com um exemplo mais elaborado. Essa propriedade é bem natural, diz essencialmente que se uma quantidade está entre dois valores e se fizermos os valores dos extremos tender para o mesmo valor, então, obrigatoriamente o valor que se encontra no meio tem que assumir também esse último valor. Mais uma propriedade de limite de funções: o teorema do confronto. Sejam f, g, h : R → R funções que satisfazem f(x) ≤ g(x) ≤ h(x)para todo x em algum intervalo aberto que contenha o ponto c. Se f, h tiverem o mesmo limite quando x tende a c, digamos lim x→c f(x) = lim x→c h(x) = L,, então, g também tem esse limite quando x tende a c, isto é, lim x→c g(x) = L.. Finalizaremos esta aula mostrando que a função sen(x) é contínua em todos os pontos. Para tanto, usaremos um fato que, embora simples, dificilmente paramos para analisar, a saber: |sen(x) − sen(y)| ≤ |x − y| para quaisquer valores valores de x, y. Se você não acredita, faça alguns cálculos para se convencer. Entretanto, nas suas tentativas limite-se a valores de x, y cuja diferença não exceda (1)
  • 13. Aula 02  Cálculo I 11 2, pois como o seno sempre está entre -1 e 1 a diferença máxima será 2. Lembre também de usar o valor aproximado do π = 3, 14 para seus cálculos não ficarem muito extensos. Para mostrar que sen(x) é contínua em todos os pontos, seja a um ponto qualquer do domínio do seno e mostremos que o limite à direita e à esquerda no ponto a existem e que esses valores coincidem com o valor da função no ponto a. n   Limite à esquerda Para mostrar que o limite lateral à esquerda no ponto a existe, precisamos fazer ∆x se aproximar de zero e verificar o que ocorre com sen(a − ∆x).. Usaremos o teorema do confronto para nos auxiliar neste estudo. Vimos na aula 7 (Inequações algébricas e intervalos), da disciplina Pré-Cálculo que o módulo de qualquer quantidade é sempre maior ou igual a zero, certo? Assim, 0 ≤ |sen(a − ∆x) − sen(a)|, Sabemos pela (1) que |sen(x) − sen(y)| ≤ |x − y| para quaisquer valores de x, y, em particular, para x = a + ∆x e y = a , ou seja, |sen(a − ∆x) − sen(a)| ≤ |a − ∆x − a| = |∆x|.. Juntando essas duas informações, temos 0 ≤ |sen(a − ∆x) − sen(a)| ≤ |a − ∆x − a| = |∆x|.. Aplicando o teorema do confronto, temos que ao fazer ∆x se aproximar de zero, os extremos se aproximarão de zero, o que vai implicar que a quantidade do meio também se aproximará de zero, mas dizer que |sen(a − ∆x) − sen(a)| se aproxima de zero é dizer que sen(a − ∆x) se aproxima do valor sen(a).. Note que isso acontece independentemente de como o ∆x se aproxima de zero. Logo, o limite à esquerda de sen(x) quando x tende a a existe e vale sen(a).. n   Limite à direita Se procedermos da mesma forma para o limite à direita, chegaremos no ponto em que 0 ≤ |sen(a + ∆x) − sen(a)| ≤ |a + ∆x − a| = |∆x| e pelo mesmo argumento concluiremos que o limite à direita de sen(x), quando x tende a a, existe e vale sen(a).. Com essas duas informações, teremos que o limite de sen(x), quando x tende a a, existe e vale sen(a)., ou seja, lim x→a sen(x) = sen(a)..
  • 14. Aula 02  Cálculo I12 Atividade 2 Resumo Ora, sen(a).é o valor da função sen(x) no ponto a, logo mostramos que o limite de sen(x) no ponto a, existe e é igual ao valor da função sen(x) no ponto a, mas isso significa que a função sen(x) é contínua no ponto a. Como a foi um ponto qualquer do domínio, teremos que isso vale para qualquer ponto do domínio, logo a função sen(x) é contínua. Que tal experimentar esse tipo de argumentação? Sabendo que a função cos(x) satisfaz |cos(x) − cos(y)| ≤ |x − y| para quaisquer valores de x, y, mostre que cos(x) é contínua em todos os pontos. (2) Nesta aula, estudamos continuidade de uma função, propriedade que geometricamente significa que seu gráfico é desenhado sem tirarmos o lápis do papel. Tomando como base essa propriedade geométrica, vimos que uma função é contínua em um ponto quando o limite da função naquele ponto existe e coincide com o valor da função nesse mesmo ponto. Em seguida, vimos que a soma, produto e quociente (respeitando uma condição) e composta de funções contínuas também constituem uma função contínua.
  • 15. Aula 02  Cálculo I 13 1 2 3 Auto-avaliação Você já deve ter ouvido a frase: “Na natureza, a evolução não se dá por saltos”. Como você interpreta essa frase à luz da continuidade? Você poderia imaginar uma situação prática em que o processo se dê de modo contínuo? Identifique na disciplina Física e Meio Ambiente algumas situações cujo comportamento ocorra de forma contínua. Referências ANDRADE, Rubens L. de; LIMA, Ronaldo F. de. Pré-cálculo. Natal: Editora da UFRN, 2006. ANTON, Howard. Cálculo: um novo horizonte. 6. ed. Porto Alegre: Bookman, 2000. v. 1. BARRETO, Ciclamio Leite; BORBA, Gilvan Luiz; MEDEIROS, Rui Tertuliano de. Física e meio ambiente. Natal: Editora da UFRN, 2006.
  • 16. Aula 02  Cálculo I14 Anotações
  • 17. Aula 02  Cálculo I 15 Anotações
  • 18. Aula 02  Cálculo I16 Anotações