O documento descreve o conceito de função matemática, abordando sua origem histórica e definição. Apresenta exemplos para ilustrar a noção intuitiva de função, como planos de saúde, corridas de táxi e preços de combustível. Explica os conceitos de domínio, contradomínio e conjunto imagem. Por fim, discute a representação gráfica de funções.
O documento apresenta o conceito de função matemática, abordando sua origem histórica e definição. Explica a noção intuitiva de função por meio de exemplos do cotidiano e apresenta as principais características de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento discute conceitos de função matemática, apresentando três situações que ilustram funções. A primeira situação mostra uma função que relaciona a quantidade de litros de gasolina comprados ao preço a pagar. A segunda situação relaciona o perímetro de um terreno quadrado à medida de seu lado. A terceira situação apresenta exemplos de "máquinas" que operam sobre números de entrada para produzir números de saída.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo: (1) a história do conceito de função, atribuída a Gottfried Leibniz; (2) exemplos de situações do cotidiano que podem ser representadas por funções; (3) definição formal de função afim; e (4) características e propriedades das funções afins como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear, e análise do sinal.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta o conceito de função matemática, abordando sua origem histórica e definição. Explica a noção intuitiva de função por meio de exemplos do cotidiano e apresenta as principais características de uma função como domínio, contradomínio e conjunto imagem.
[1] O documento discute o conceito de função em matemática, apresentando sua origem histórica e definição formal. [2] É destacada a importância do conceito de função em diversas áreas do conhecimento e como expressar fenômenos físicos, biológicos e sociais por meio de funções. [3] Exemplos ilustram a noção intuitiva de função e como determinar o domínio, contradomínio e conjunto imagem a partir de situações do cotidiano ou de gráficos.
O documento discute conceitos de função matemática, apresentando três situações que ilustram funções. A primeira situação mostra uma função que relaciona a quantidade de litros de gasolina comprados ao preço a pagar. A segunda situação relaciona o perímetro de um terreno quadrado à medida de seu lado. A terceira situação apresenta exemplos de "máquinas" que operam sobre números de entrada para produzir números de saída.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo: (1) a história do conceito de função, atribuída a Gottfried Leibniz; (2) exemplos de situações do cotidiano que podem ser representadas por funções; (3) definição formal de função afim; e (4) características e propriedades das funções afins como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear, e análise do sinal.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta conceitos fundamentais sobre funções afins e lineares, incluindo:
1) A história do termo "função" e sua criação por Gottfried Leibniz;
2) Exemplos de situações do dia-a-dia que podem ser representadas por funções;
3) Definição formal de função afim e suas características principais como conjunto domínio, conjunto imagem, coeficientes angular e linear.
O documento apresenta um material didático sobre matemática e suas tecnologias para o ensino médio. O material foi desenvolvido de acordo com o currículo estadual de Goiás e aborda conceitos como funções definidas por uma ou mais sentenças, análise de funções por meio de representações algébricas e gráficas, e identificação de domínios, imagens e comportamentos de funções. Sugere atividades para os alunos compreenderem e aplicarem esses conceitos matemáticos.
Informática educativa - história das funções com a web 2.0 - parte 2Rafael Araujo
1) O documento discute o ensino de funções do 1o e 2o grau utilizando ferramentas da Web 2.0 como blogs e softwares educativos.
2) Apresenta exemplos de como modelar matematicamente situações reais utilizando funções quadráticas, como o cálculo da área de um terreno.
3) Explica conceitos-chave como vértice, raízes, concavidade e discriminante para a análise de funções do 2o grau.
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxJuliana Menezes
O documento apresenta conceitos básicos sobre funções matemáticas. Resume:
1) Discute noções intuitivas de função e exemplos de dependência de variáveis; 2) Apresenta formas de representar funções através de diagramas, tabelas, equações e gráficos; 3) Define os conceitos de domínio, contradomínio e imagem.
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Estas funções possuem a forma geral f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O gráfico de uma função do 1o grau é sempre uma reta, e sua raiz ou zero é encontrada quando f(x) = 0. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar o conceito.
O documento descreve um projeto final sobre função quadrática para o ensino médio. O projeto utiliza softwares e atividades práticas para ensinar conceitos-chave como gráficos, raízes, vértices, máximos e mínimos de funções quadráticas.
1) O documento apresenta conceitos básicos sobre funções do 1o grau, incluindo definições, exemplos e gráficos.
2) Uma função do 1o grau relaciona duas variáveis onde uma depende da outra de acordo com uma fórmula polinomial.
3) Os gráficos de funções do 1o grau na forma y=ax+b resultam em uma reta, sendo crescente se a>0 e decrescente se a<0.
051 apostila de_geometria_analitica_filipeKaua Richard
O documento apresenta um resumo sobre a história da geometria analítica, destacando as contribuições de Fermat e Descartes. Fermat foi o primeiro a associar equações a curvas geométricas, enquanto Descartes desenvolveu uma notação algébrica mais eficiente. Embora tenham chegado às mesmas ideias de forma independente, Descartes ficou mais conhecido como criador da geometria analítica.
O documento apresenta um resumo sobre a história da geometria analítica, destacando as contribuições de Fermat e Descartes. Fermat foi o primeiro a associar equações a curvas geométricas, enquanto Descartes desenvolveu uma notação algébrica mais eficiente. Embora tenham chegado às mesmas ideias de forma independente, Descartes ficou mais conhecido como criador da geometria analítica.
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Elas são definidas por uma equação da forma f(x)=ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função afim é uma reta. O documento também aborda conceitos como coeficientes angular e linear, zeros da função, inequações do 1o grau e casos particulares como função linear, identidade e constante.
O documento apresenta diversas fórmulas e conceitos matemáticos importantes para a prova do ENEM, incluindo fórmulas de divisibilidade, proporcionalidade, produtos notáveis, fatoração, potenciação, radicais, equações do 2o grau, matemática financeira, teoria dos conjuntos, funções, sequências numéricas, combinatória, probabilidade, geometria analítica e unidades de medida. O texto fornece as definições e propriedades essenciais de cada tópico para a resolução de itens da
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
Projeto Final da disciplina Informatica e Internetmonikpnog
O documento discute funções do 1o grau, apresentando sua história, exemplos de sua ocorrência no cotidiano e como representá-las graficamente usando o programa GeoGebra. É explicado o conceito de função do 1o grau como uma equação na forma y=ax+b e como seu gráfico forma uma reta. Atividades pedem para os alunos construírem gráficos de funções usando o GeoGebra.
Este documento fornece um resumo de conceitos básicos de matemática como operações numéricas e algébricas, frações, potenciação, expressões algébricas, polinômios, funções e gráficos de função. Inclui exemplos e exercícios para praticar cada tópico.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para que o aluno teste seus conhecimentos sobre o assunto.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
O documento discute potenciação, funções exponenciais e logaritmos. Apresenta as propriedades e definições dessas funções, incluindo exemplos de equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Explica como resolver esses tipos de problemas aplicando conceitos como mudança de base e propriedades dos logaritmos.
1) O documento apresenta o programa de uma disciplina de cálculo que aborda tópicos como derivadas, máximos e mínimos de funções, integrais indefinidas e definidas.
2) A bibliografia lista 3 livros de cálculo.
3) As avaliações incluem duas provas bimestrais e um exame final, sem uso de calculadora ou formulário.
Este documento discute funções quadráticas e suas propriedades. Primeiro, apresenta um exemplo de cálculo de áreas de diferentes seções de uma sala comercial. Em seguida, generaliza o problema para uma sala cujas dimensões dependem de uma variável x. Por fim, explica como determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática.
1) O documento discute funções do 1o grau, definindo-as como relações entre variáveis onde o segundo membro é um polinômio de 1o grau.
2) Apresenta exemplos de funções lineares e afins e explica como construir seus gráficos no plano cartesiano.
3) Discutem propriedades como domínio, imagem e monotonicidade de funções do 1o grau.
O documento apresenta um material didático sobre matemática e suas tecnologias para o ensino médio. O material foi desenvolvido de acordo com o currículo estadual de Goiás e aborda conceitos como funções definidas por uma ou mais sentenças, análise de funções por meio de representações algébricas e gráficas, e identificação de domínios, imagens e comportamentos de funções. Sugere atividades para os alunos compreenderem e aplicarem esses conceitos matemáticos.
Informática educativa - história das funções com a web 2.0 - parte 2Rafael Araujo
1) O documento discute o ensino de funções do 1o e 2o grau utilizando ferramentas da Web 2.0 como blogs e softwares educativos.
2) Apresenta exemplos de como modelar matematicamente situações reais utilizando funções quadráticas, como o cálculo da área de um terreno.
3) Explica conceitos-chave como vértice, raízes, concavidade e discriminante para a análise de funções do 2o grau.
Aula de Apresentação, Função e Função do 1º Grau.ppt · versão 1.pptxJuliana Menezes
O documento apresenta conceitos básicos sobre funções matemáticas. Resume:
1) Discute noções intuitivas de função e exemplos de dependência de variáveis; 2) Apresenta formas de representar funções através de diagramas, tabelas, equações e gráficos; 3) Define os conceitos de domínio, contradomínio e imagem.
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Estas funções possuem a forma geral f(x) = ax + b, onde a é o coeficiente angular e b é o coeficiente linear. O gráfico de uma função do 1o grau é sempre uma reta, e sua raiz ou zero é encontrada quando f(x) = 0. Exemplos e exercícios são fornecidos para ilustrar o conceito.
O documento descreve um projeto final sobre função quadrática para o ensino médio. O projeto utiliza softwares e atividades práticas para ensinar conceitos-chave como gráficos, raízes, vértices, máximos e mínimos de funções quadráticas.
1) O documento apresenta conceitos básicos sobre funções do 1o grau, incluindo definições, exemplos e gráficos.
2) Uma função do 1o grau relaciona duas variáveis onde uma depende da outra de acordo com uma fórmula polinomial.
3) Os gráficos de funções do 1o grau na forma y=ax+b resultam em uma reta, sendo crescente se a>0 e decrescente se a<0.
051 apostila de_geometria_analitica_filipeKaua Richard
O documento apresenta um resumo sobre a história da geometria analítica, destacando as contribuições de Fermat e Descartes. Fermat foi o primeiro a associar equações a curvas geométricas, enquanto Descartes desenvolveu uma notação algébrica mais eficiente. Embora tenham chegado às mesmas ideias de forma independente, Descartes ficou mais conhecido como criador da geometria analítica.
O documento apresenta um resumo sobre a história da geometria analítica, destacando as contribuições de Fermat e Descartes. Fermat foi o primeiro a associar equações a curvas geométricas, enquanto Descartes desenvolveu uma notação algébrica mais eficiente. Embora tenham chegado às mesmas ideias de forma independente, Descartes ficou mais conhecido como criador da geometria analítica.
Este documento descreve as funções polinomiais do 1o grau, também chamadas de funções afins. Elas são definidas por uma equação da forma f(x)=ax + b, onde a e b são números reais e a ≠ 0. O gráfico de uma função afim é uma reta. O documento também aborda conceitos como coeficientes angular e linear, zeros da função, inequações do 1o grau e casos particulares como função linear, identidade e constante.
O documento apresenta diversas fórmulas e conceitos matemáticos importantes para a prova do ENEM, incluindo fórmulas de divisibilidade, proporcionalidade, produtos notáveis, fatoração, potenciação, radicais, equações do 2o grau, matemática financeira, teoria dos conjuntos, funções, sequências numéricas, combinatória, probabilidade, geometria analítica e unidades de medida. O texto fornece as definições e propriedades essenciais de cada tópico para a resolução de itens da
O documento discute o conceito de função em matemática, sua história e importância. Explica que funções relacionam variáveis dependentes e independentes e podem ser representadas de diferentes formas, incluindo diagramas, tabelas, gráficos e expressões algébricas. Funções desempenham um papel fundamental em diversas áreas como economia e física.
O documento apresenta uma introdução ao estudo de funções matemáticas. Aborda conceitos como domínio, imagem e contradomínio de funções, representações gráficas e algébricas de funções, funções exponenciais e logarítmicas, funções compostas e inversas. O texto destaca a importância histórica de matemáticos como Euler e Leibniz no desenvolvimento da teoria de funções.
Projeto Final da disciplina Informatica e Internetmonikpnog
O documento discute funções do 1o grau, apresentando sua história, exemplos de sua ocorrência no cotidiano e como representá-las graficamente usando o programa GeoGebra. É explicado o conceito de função do 1o grau como uma equação na forma y=ax+b e como seu gráfico forma uma reta. Atividades pedem para os alunos construírem gráficos de funções usando o GeoGebra.
Este documento fornece um resumo de conceitos básicos de matemática como operações numéricas e algébricas, frações, potenciação, expressões algébricas, polinômios, funções e gráficos de função. Inclui exemplos e exercícios para praticar cada tópico.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para que o aluno teste seus conhecimentos sobre o assunto.
O documento apresenta uma aula sobre funções polinomiais do 1o grau. Nele, são discutidos conceitos como diagrama de flechas, produto cartesiano, domínio, contradomínio e imagem de uma função. Além disso, são fornecidos exercícios interativos para ajudar os alunos a fixarem os conceitos apresentados.
O documento discute potenciação, funções exponenciais e logaritmos. Apresenta as propriedades e definições dessas funções, incluindo exemplos de equações e inequações exponenciais e logarítmicas. Explica como resolver esses tipos de problemas aplicando conceitos como mudança de base e propriedades dos logaritmos.
1) O documento apresenta o programa de uma disciplina de cálculo que aborda tópicos como derivadas, máximos e mínimos de funções, integrais indefinidas e definidas.
2) A bibliografia lista 3 livros de cálculo.
3) As avaliações incluem duas provas bimestrais e um exame final, sem uso de calculadora ou formulário.
Este documento discute funções quadráticas e suas propriedades. Primeiro, apresenta um exemplo de cálculo de áreas de diferentes seções de uma sala comercial. Em seguida, generaliza o problema para uma sala cujas dimensões dependem de uma variável x. Por fim, explica como determinar o máximo e o mínimo de uma função quadrática.
1) O documento discute funções do 1o grau, definindo-as como relações entre variáveis onde o segundo membro é um polinômio de 1o grau.
2) Apresenta exemplos de funções lineares e afins e explica como construir seus gráficos no plano cartesiano.
3) Discutem propriedades como domínio, imagem e monotonicidade de funções do 1o grau.
2. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Um pouco da história
O conceito de função, presente nos mais diversos
ramos da ciência, teve sua origem na tentativa de
filósofos e cientistas em compreender a realidade e
encontrar métodos que permitissem estudar e
descrever os fenômenos naturais. Ao longo da
História vários matemáticos contribuíram para que
se chegasse ao conceito atual de função.
Ao matemático alemão Leibniz (1646-1716) atribui-
se a denominação função que usamos hoje.
A representação de uma função pela notação (x)
(lê-se: de x) foi atribuída ao matemático suíço
Euler (1707-1783), no século XVII.
O Matemático alemão Dirichlet (1805-1859)
escreveu uma primeira definição de função muito
semelhante àquela que usamos atualmente.
Imagem : Christoph Bernhard
Francke / Portrait of Gottfried Leibniz, c.
1700 / Herzog-Anton-Ulrich-Museum,
Braunschweig / Public Domain.
3. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Aplicação do conceito
O conceito de função é um dos mais importantes
da Matemática e ocupa lugar em destaque em
vários de seus ramos, bem como em outras áreas
do conhecimento. É muito comum e conveniente
expressar fenômenos físicos, biológicos, sociais,
etc. por meio de funções.
4. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
A noção intuitiva de função
Situação 1
João vai escolher um plano de saúde entre duas opções: A e B. Veja as
condições dos planos:
Plano A: cobra um valor fixo mensal de R$ 140,00 e R$ 20,00 por
consulta num certo período.
Plano B: cobra um valor fixo mensal de R$ 110,00 e R$ 25,00 por
consulta num certo período.
Dependendo da necessidade, João fará 5, 6 ou 7 consultas. Qual o plano
mais econômico para ele em cada situação?
Observe que o gasto total de cada plano é dado em função do número
de consultas dentro do período preestabelecido.
5. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Situação 2
Na cidade do Recife, de acordo com
valores em vigor desde 01/01/2015, um
motorista de táxi cobra R$ 4,32 de
bandeirada (comum) mais R$ 2,10 por
quilômetro rodado (comum). Sabendo que
o preço a pagar é dado em função do
número de quilômetros rodados, calcule o
preço a ser pago por uma corrida em que
se percorreu 22 quilômetros?
Imagem: The Wordsmith / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
6. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Situação 3
O diagrama a seguir considera a quantidade de litros de gasolina e os seus
respectivos preços a pagar em um posto de combustível na cidade de Itapetim:
Quantidade
de litros (l)
Preço
a pagar (R$) O preço a pagar é dado em função
da quantidade de litros que se coloca
no tanque, ou seja o preço depende
do número de litros comprados.
1
2
3
.
.
.
50
x
3,37
6,74
10,11
.
.
.
168,50
3,27x
preço a pagar (p) = R$ 3,27 vezes o número de litros (x) comprados
p = 3,27.x (lei da função ou fórmula matemática da função)
Agora, responda:
a) Qual é o preço de 10 litros de
gasolina?
b) Quantos litros de gasolina podem
ser comprados com R$ 43,81?
7. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Situação 4
A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um terreno quadrado (l), em
metros, e o seu perímetro (P), também em metros.
Observe que o perímetro do quadrado é dado em
função da medida do seu lado, isto é, o perímetro
depende da medida do lado. A cada valor dado
para a medida do lado corresponde um único
valor para o perímetro.
perímetro (P) = 4 vezes a medida do lado (l ) ou
P = 4.l
Como o perímetro depende da medida do lado,
ele é a variável dependente, a medida do lado é a
chamada variável independente.
Agora, responda:
a) Qual o perímetro de um terreno quadrado cuja medida do lado é 3,5 m?
b) Qual a medida do lado do terreno quadrado cujo perímetro é de 22 m?
Medida
do lado (l)
Perímetro (P)
1 4
2 8
2,5 10
3 12
4,1 16,4
...
...
l 4l
l
l
8. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Situação 5
Uma maneira útil de interpretar uma função é considerá-la como uma
máquina, onde os números que entram nessa máquina são processados ou
calculados. Os números que saem da máquina são dados em função dos
números que entram. Observe a seguir uma “máquina” de dobrar números.
Representando o número de saída n e o número de entrada x, temos:
n = 2.x (fórmula matemática da função)
Agora, invente uma “máquina de triplicar e somar 1”, baseada no exemplo
acima, e escreva a fórmula matemática dessa função.
- 3 4,3 x
2
1
2 - 6
4 8,6 2x
Máquina
de dobrar
9. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Ainda sobre “máquina de função”...
Acesse o link http://odeb.hol.es/maquina_funcao.swf e encontre
um “máquina de função” (em formato flash) onde você coloca a
função, o número de entrada e descobre o número de saída.
Já no link http://odeb.hol.es/relacao.swf você encontrará um
“máquina de função” (em formato flash) onde você coloca
número de entrada, observa o número de saída e descobre a
fórmula da “máquina”.
10. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
A noção de função por meio de conjuntos
1) Observe os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: em A estão os
números inteiros e em B, outros.
Devemos associar cada elemento de A ao seu triplo em B
Note que:
- todos os elementos de A têm correspondente em B;
- a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula y = 3x.
-2∙
-1∙
0 ∙
1 ∙
2 ∙
∙ -8
∙ -6
∙ -4
∙ -3
∙ 0
∙ 3
∙ 6
A B
11. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, relacionamos A e B da seguinte forma: cada
elemento de A é menor do que um elemento de B:
Nesse caso, não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A
correspondem três elementos de B, e não apenas um único elemento de B.
0 ∙
4 ∙
∙ 2
∙ 3
∙ 5
A B
12. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
3) Dados A = {- 4, - 2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A
aos elementos de igual valor em B.
Observe que há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse
caso, não temos uma função de A em B.
-4∙
-2∙
0 ∙
2 ∙
4 ∙
∙ 0
∙ 2
∙ 4
∙ 6
∙ 8
A B
13. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Definição e notação
Dados dois conjuntos não vazios, A e B, uma função de A em B é uma relação
que indica como associar cada elemento x do conjunto A a um único elemento
y do conjunto B.
Usamos a seguinte notação:
“A cada x de A corresponde um único (x) de B, levado pela função .”
A B
: A → B
x f(x)
14. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Uma pausa para um vídeo...
No link https://www.youtube.com/watch?v=HCr6Ys0zvr8 vamos assistir um
vídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de
Campinas (Unicamp).
Vídeo: Descobrindo o algoritmo de Guido
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Apresentar as definições e exemplos de relação e de função.
2. Mostrar uma conexão histórica entre a música Gregoriana e a Matemática.
Sinopse
Um jovem aprende o segredo do monge Guido para compor músicas
devocionais, no estilo Gregoriano. O segredo envolve relações entre um
conjunto de notas musicais e um conjunto de letras do alfabeto.
15. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Domínio, contradomínio e conjunto imagem
O diagrama de flechas a seguir representa uma função f de A em B.
Vamos determinar:
a) D(f) b) CD(f)
D(f) = 2, 3, 5 ou D(f) = A CD(f) = 0, 2, 4, 6, 8, 10 ou CD(f) = B
c) Im (f) d) f(3)
Im(f) = 4, 6, 10 f(3) = 6
e) f(5) f) x para f(x) = 4
f(5) = 10 x = 2
2∙
3 ∙
5 ∙
∙ 0
∙ 2
∙ 4
∙ 6
∙ 8
∙ 10
A B
16. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Uma pausa para um vídeo...
No link https://www.youtube.com/watch?v=UhIbDZaObfQ vamos assistir um
vídeo do Programa M3 Matemática Multimídia da Universidade Estadual de
Campinas (Unicamp).
Vídeo: Carro Flex
Série Matemática na Escola
Objetivos
1. Recordar conceitos básicos relacionados a funções;
2. Exemplificar o uso de funções no cotidiano.
Sinopse
Frentista ajuda cliente a descobrir quais são as proporções de álcool e gasolina
que devem ser abastecidas em seu carro flex para que o custo tenha um valor
preestabelecido.
17. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Função e gráfico
Coordenadas cartesianas
A forma de localizar pontos no plano foi imaginada por René
Descartes (1596-1650), no século XVII. O sistema cartesiano é
formado por duas retas perpendiculares entre si e que se cruzam
no ponto zero. Esse ponto é denominado origem do sistema
cartesiano e é frequentemente denotado por O. Cada reta
representa um eixo e são nomeados Ox e Oy. Sobrepondo um
sistema cartesiano e um plano, obtém-se o um plano
cartesiano, cuja principal vantagem é associar a cada
ponto do plano um par de números reais. Assim, um ponto
A do plano corresponde a um par ordenado (m, n) com m
e n reais.
O eixo horizontal Ox é chamado de eixo das abscissas e o
eixo vertical Oy, de eixo das ordenadas. Esses eixos
dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes.
Imagem: Frans Hals / Portrait of
René Descartes, c. 1649-1700 /
Louvre Museum, Richelieu, 2nd
floord, room 27 Paris / Public
Domain.
y
x
1º Q
0
Eixo das ordenadas
Eixo das
abscissas
2º Q
3º Q 4º Q
m
n A (m,n)
18. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Gráfico de função
O gráfico de uma função é o conjunto de pares ordenados (x, y) que tenham x
pertencente ao domínio da função e y = f(x).
Reconhecimento do gráfico de uma função
Para saber se um gráfico representa uma função é preciso verificar se cada
elemento do domínio existe apenas um único correspondente no
contradomínio. Geometricamente significa que qualquer reta perpendicular ao
eixo Ox deve interceptar o gráfico em um único ponto.
y
x
y
x
y
x
Qualquer reta perpendicular ao eixo Ox
intercepta o gráfico em um único ponto;
portanto, o gráfico representa uma
função de x em y.
Existem retas perpendiculares ao eixo Ox
que interceptam o gráfico em mais de
um ponto; portanto, o gráfico não
representa uma função de x em y.
Existem retas perpendiculares ao eixo Ox
que interceptam o gráfico em mais de
um ponto; portanto, o gráfico não
representa uma função de x em y.
19. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Domínio e imagem a partir do gráfico
x
y
a b
f(b)
f(a)
Domínio: a x b ou [a, b]
Imagem: f(a) x f(b) ou [f(a), f(b)]
20. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Todos os dias nos deparamos com notícias do tipo:
•Número de católicos no Brasil diminuem, enquanto
o número de evangélicos aumentam;
•Dólar fecha em queda após quatro altas seguidas;
•Mercado prevê mais inflação, queda maior do PIB e
nova alta dos juros;
•Com mercado de carros novos em queda, cresce a
venda de veículos novos;
•Previsão de inflação para 2015 continua subindo;
•Agência aprova novas taxas, e conta de luz vai subir
em todo o país.
Função crescente e decrescente
21. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Pensando no ENEM...
(ENEM) O dono de uma farmácia resolveu colocar a vista do público o gráfico mostrado
a seguir, que apresenta a evolução do total de vendas (em Reais) de certo medicamento
ao longo do ano de 2011. De acordo com o gráfico, os meses
em que ocorreram, respectivamente,
a maior e a menor venda absoluta
em 2011 foram
a) março e abril.
b) março e agosto.
c) agosto e setembro.
d) junho e setembro.
e) junho e agosto.
De acordo com o gráfico, os meses em que ocorreram, respectivamente, a maior e a
menor venda absolutas em 2011 foram junho e agosto. Portanto item E.
Agora analise os intervalos onde aconteceram crescimento (aumento) ou decrescimento
(queda) das vendas do medicamento em questão.
Imagem: INEP-MEC
22. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Função crescente Função decrescente
quando o valor de y
aumentar conforme o de x
aumentar, temos uma
função crescente.
quando o valor de y
diminuir conforme o de x
aumentar, temos uma
função decrescente.
23. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Pensando no SAEPE...
1) A função y = f(x) é crescente para 1 ≤ x < 3, decrescente para 3 ≤ x < 4 e é constante
para x ≥ 4. O gráfico que mais adequadamente representa a função y = f(x) é
2) Observe abaixo o gráfico de uma função real definida no intervalo [–5, 6].
Essa função é decrescente em
a) [– 5, – 3] U [3, 5]
b) [– 3, 0] U [0, 3]
c) [– 3, – 1] U [4, 6]
d) [– 3, 0] U [5, 6]
e) [– 1, 2] U [2, 4]
Imagem: SEE-PE
Imagem: SEE-PE
24. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Aplicação de função na Biologia...
(ENEM) Um cientista trabalha com as espécies I e II de bactérias em um ambiente de
cultura. Inicialmente, existem 350 bactérias da espécie I e 1 250 bactérias da espécie II.
O gráfico representa as quantidades de bactérias de cada espécie, em função do dia,
durante uma semana. Em que dia dessa semana a
quantidade total de bactérias nesse
ambiente de cultura foi máxima?
a) Terça-feira.
b) Quarta-feira.
c) Quinta-feira.
d) Sexta-feira.
e) Domingo.
A quantidade total de bactérias nesse ambiente de cultura foi máxima na terça feira,
num total de 800 + 1100 = 1900, pois nos demais dias, temos: Segunda: 350 + 1250 =
1600; Quarta: 300 + 1450 = 1750; Quinta = 850 + 650 = 1500; Sexta: 300 + 1400 = 1700;
Sábado: 290 + 100 = 1290 e Domingo: 0 + 1350 = 1350. Portanto a resposta é o item A.
Imagem:
INEP
-
MEC
25. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Aplicação de função na Física...
Um rapaz desafia seu pai para uma corrida de 100 m. O pai permite que o filho comece
30 m à sua frente. Um gráfico bastante simplificado dessa corrida é dado a seguir:
a) Pelo gráfico, como é possível dizer
quem ganhou a corrida e qual foi a
diferença de tempo?
O pai ganhou a corrida, pois ele
chegou aos 100 m em 14 s e o filho,
em 17 s; a diferença de tempo foi de
3 s.
b) A que distância do início o pai
alcançou seu filho?
Cerca de 70 m.
5 10 15
20
40
60
80
100
Distância (m)
Tempo (s)
0
c) Em que momento depois do início da corrida ocorreu a ultrapassagem?
Cerca de 10 s.
26. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Extras: confecções de jogos envolvendo funções
Jogo de damas – Borba (2008)
Objetivos:
- reconhecer o sistema de coordenadas cartesianas;
- desenvolver o conceito de função.
Regras do Jogo:
Neste Jogo de Damas, cada casa pode ser identificada por um par ordenado de
números e letras, onde as letras indicam as colunas e os números representam
as linhas. Em duplas, os alunos deverão realizar as jogadas, mas sempre
anotando a “casa” de saída e a “casa” de chegada. Vencerá o jogo que “comer”
todas as peças do adversário, e tenha escrito corretamente todos os pontos
encontrados.
27. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Máquina de função (descubra a saída) – Borba (2008)
Objetivos:
- desenvolver o conceito de Função através de representações numéricas;
- descobrir as saídas presentes em cada situação.
Regras do Jogo:
Neste jogo são apresentadas diferentes situações onde em cada uma está
representada uma entrada, que contém números, e uma função. Questiona-se
qual será a saída para cada situação. Os educandos deverão debater no grupo
quais serão as saídas referentes a cada situação apresentada.
Observação: Neste jogo não há vencedores nem perdedores, pois visamos o
debate em grupo e a construção de conhecimentos.
28. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Máquina de função (descubra a função) – (Borba 2008)
Objetivos:
- desenvolver o conceito de Função através de representações numéricas;
- descobrir as funções presentes em cada situação.
Regras do Jogo:
Neste jogo estão representadas diferentes situações, onde aparecem números
na entrada e na saída. Os estudantes deverão analisar cada situação e descobrir
qual a função presente em cada uma.
Observação: Neste jogo não há vencedores nem perdedores, pois visamos o
debate em grupo e a construção de conhecimentos.
29. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Referências
DANTE, Luiz Roberto Dante. Matemática: contexto & aplicações / Luiz Roberto
Dante. – 2. ed. – São Paulo: Ática, 2013. Obra em 3 v.
BIANCHINI, Edwaldo. Matemática, volume 1: versão beta / Edwaldo Bianchini,
Herval Paccola. 2. ed. Ver. E ampl. – São Paulo: Moderna 1995.
BUCCHI, Paulo. Curso prático de matemática / Paulo Bucchi – São Paulo:
Moderna, 1998.
STOCCO SMOLE, Kátia. Matemática: ensino médio 1 / Kátia Stocco Smole,
Maria Ignez Diniz. - 8. ed. São Paulo: Saraiva 2013.
LIMA, Elon Lages. A Matemática do ensino médio – volume 1 / Elon Lages
Lima, Paulo Cezar Pinto Carvalho, Eduardo Wagner, Augusto César Morgado. –
10. ed. – Rio de Janeiro: SBM, 2012.
BORBA, Fabiana Machado de. Jogos matemáticos para o ensino de função /
Fabiana Machado de Borba. – Canoas, 2008.
30. Matemática, 1º Ano, Função: conceito
Slide Autoria / Licença Link da Fonte Data do
Acesso
3 Christoph Bernhard Francke / Portrait of
Gottfried Leibniz, c. 1700 / Herzog-Anton-Ulrich-
Museum, Braunschweig / Public Domain.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Gottfri
ed_Wilhelm_von_Leibniz.jpg
16/06/2015
5 The Wordsmith / Creative
Commons Attribution-Share Alike 3.0 Unported.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:NYC_T
axi_in_motion.jpg
16/06/2012
15 Frans Hals / Portrait of René Descartes, c. 1649-
1700 / Louvre Museum, Richelieu, 2nd floord,
room 27 Paris / Public Domain.
http://commons.wikimedia.org/wiki/File:Frans_
Hals_-_Portret_van_Ren%C3%A9_Descartes.jpg
16/06/2015
21 INEP - MEC Acervo INEP - MEC 17/06/2012
23 SEE-PE Acervo SEE-PE 17/06/2012
24 INEP - MEC Acervo INEP - MEC 17/06/2012
Tabelas de imagens