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MATEMÁTICA_2

PROF. MIGUEL
Funções
Idéia de função

A tarifa de táxi, é composta por duas partes, a
  chamada bandeirada que é um valor fixo
  para qualquer corrida, e a outra é uma
  quantia que depende da quilometragem
  (valor variável). Supondo que em
  determinada cidade a bandeirada seja de R$
  3,00 e o valor por quilômetro rodado R$ 0,60.
  Tal situação pode ser descrita por uma
  função.
Você saberia escrever tal função?
Uma vez conhecida a função determinar:
a) O valor pago em um corrida de táxi na qual
   foram percorridos 21 km.



b)   O percurso da corrida sabendo que o valor
     pago foi R$ 12,00.
Definição

Dados dois conjuntos, A e B, não vazio,
 dizemos que f é uma função de A em B (ou
 que y é uma função de x) se, e somente se,
 para cada elemento x ∈ A existe em
 correspondência um único elemento y∈B .
Representamos por

               f : A→ B
(Lemos “função f de A em B”)
Domínio, Contradomínio e conjunto
            imagem
Domínio: A (conjunto de “partida)
 (valores de x)
Contradomínio: B ( conjunto de
 “chegada”) (valores de y )
Imagem: y∈B       tal que f ( x )= y
 (elementos de B que estão
 associados a algum elemento de A)
Quando o domínio e contradomínio não
 estiver explícito, admitiremos o CD(f) ser
 R, e o D(f) ser R exceto os valores em que
 a função não for definida.
Zero ou raiz de uma função

Valor de x, pertencente ao domínio da função,
 que faz com que f(x)=0.
Função polinomial do 1º grau ou
               função afim
                           f :R →R
                         f ( x )=ax+b
                       { a , b }⊂R   a≠0

Coeficientes: a e b.
Gráfico da função afim
O gráfico de uma função afim é uma reta.




    f ( x )=ax+b                           f ( x )=−ax+b
Pontos notáveis do gráfico da função do
1º grau
Intersecção com o eixo 0y
Nessa situação x=0 e o gráfico intercepta 0y em
  b (0,b).

Intersecção com o eixo 0x
Nessa situação y=0 e o gráfico intercepta 0x no
  valor da raiz da função (x,0).
Taxa de variação

 Δy y 2 − y 1 f ( x 2 )− f ( x 1 )
   =         =                     =a
 Δx x 2 −x 1       x 2 −x1



A taxa de variação de uma função afim é
 constante para qualquer intervalo do domínio.
Estudo do Sinal
Inequação-produto e inequação-
          quociente


          {                   {
            ¿0                  ¿0
            ¿0                  ¿0
f ( x) ( x) ¿0
     ⋅g                  f (x )
                                ¿0
                         g ( x)
            ¿0                  ¿0
            ¿0                  ¿0

a ) ( 2x−1 )( 4− x )>0
    2x−6
b)        <0
    x+2
   ( 2+2x )( x−3 )
c)                  ≥0
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Função do 2º grau ou função
        quadrática
             f :R →R
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    f ( x )=ax +bx+c

 { a , b , c }⊂R       a≠0
Gráfico da função quadrática
O gráfico de uma função afim é uma uma curva chamada parábola.
Pontos notáveis do gráfico da função do
2º grau
Intersecção com o eixo 0y
Nessa situação x=0 e o gráfico intercepta 0y em
  c (0,c).

Intersecção com o eixo 0x
Nessa situação y=0 e o gráfico intercepta 0x no
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Vértice: intersecção da parábola com seu eixo de
 simetria.

Coordenadas do vértice



     ( b
   V − ,−
          Δ
      2a 4a      )
Máximo e mínimo de uma função
quadrática
É o valor da ordenada do vértice da parábola.
  Permite-nos determinar a imagem da função.

A função terá mínimo quando a>0.

A função terá máximo quando a<0.
Estudo do Sinal
Inequação-produto e inequação-
          quociente


          {                         {
            ¿0                        ¿0
            ¿0                        ¿0
f ( x) ( x) ¿0
     ⋅g                        f (x )
                                      ¿0
                               g ( x)
            ¿0                        ¿0
            ¿0                        ¿0


a ) ( x 2−5x+4 )(−x 2 +9) >0
    x 2 −x−6
b) 2          ≥0
    x +x−20
Estudo do domínio
Algumas funções não têm como domínio o
 conjunto R. Para determinar o domínio dessas
 funções, podemos aplicar o estudo das
 inquações.


          √
 a ) f ( x )=
               2x−2
                x−7

          √
 b ) g ( x )=
              31
               x
             2x−3
 c ) h( x )= 2
             −x +5x
Exercícios
Capítulo 3
7, 10, 13, 15, 32

Capítulo 4
7, 8, 14, 22, 39, 44, 47, 54

Capítulo 5
13, 14, 20, 35, 36, 42, 49, 62, 63, 64, 68, 69, 80
Referências
PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática 1. 1ª edição. São Paulo:
  Moderna, 1995.

PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática 1. 1ª edição. São Paulo:
  Moderna, 2009.

Conexões com a matemática/ editora responsável Juliane
  Matsubara Barroso; obra coletiva concebida, desenvolvida e
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Funções

  • 3. Idéia de função A tarifa de táxi, é composta por duas partes, a chamada bandeirada que é um valor fixo para qualquer corrida, e a outra é uma quantia que depende da quilometragem (valor variável). Supondo que em determinada cidade a bandeirada seja de R$ 3,00 e o valor por quilômetro rodado R$ 0,60. Tal situação pode ser descrita por uma função. Você saberia escrever tal função?
  • 4. Uma vez conhecida a função determinar: a) O valor pago em um corrida de táxi na qual foram percorridos 21 km. b) O percurso da corrida sabendo que o valor pago foi R$ 12,00.
  • 5. Definição Dados dois conjuntos, A e B, não vazio, dizemos que f é uma função de A em B (ou que y é uma função de x) se, e somente se, para cada elemento x ∈ A existe em correspondência um único elemento y∈B . Representamos por f : A→ B (Lemos “função f de A em B”)
  • 6.
  • 7. Domínio, Contradomínio e conjunto imagem Domínio: A (conjunto de “partida) (valores de x) Contradomínio: B ( conjunto de “chegada”) (valores de y ) Imagem: y∈B tal que f ( x )= y (elementos de B que estão associados a algum elemento de A)
  • 8. Quando o domínio e contradomínio não estiver explícito, admitiremos o CD(f) ser R, e o D(f) ser R exceto os valores em que a função não for definida.
  • 9. Zero ou raiz de uma função Valor de x, pertencente ao domínio da função, que faz com que f(x)=0.
  • 10. Função polinomial do 1º grau ou função afim f :R →R f ( x )=ax+b { a , b }⊂R a≠0 Coeficientes: a e b.
  • 11. Gráfico da função afim O gráfico de uma função afim é uma reta. f ( x )=ax+b f ( x )=−ax+b
  • 12. Pontos notáveis do gráfico da função do 1º grau Intersecção com o eixo 0y Nessa situação x=0 e o gráfico intercepta 0y em b (0,b). Intersecção com o eixo 0x Nessa situação y=0 e o gráfico intercepta 0x no valor da raiz da função (x,0).
  • 13. Taxa de variação Δy y 2 − y 1 f ( x 2 )− f ( x 1 ) = = =a Δx x 2 −x 1 x 2 −x1 A taxa de variação de uma função afim é constante para qualquer intervalo do domínio.
  • 15. Inequação-produto e inequação- quociente { { ¿0 ¿0 ¿0 ¿0 f ( x) ( x) ¿0 ⋅g f (x ) ¿0 g ( x) ¿0 ¿0 ¿0 ¿0 a ) ( 2x−1 )( 4− x )>0 2x−6 b) <0 x+2 ( 2+2x )( x−3 ) c) ≥0 4x−5
  • 16. Função do 2º grau ou função quadrática f :R →R 2 f ( x )=ax +bx+c { a , b , c }⊂R a≠0
  • 17. Gráfico da função quadrática O gráfico de uma função afim é uma uma curva chamada parábola.
  • 18.
  • 19. Pontos notáveis do gráfico da função do 2º grau Intersecção com o eixo 0y Nessa situação x=0 e o gráfico intercepta 0y em c (0,c). Intersecção com o eixo 0x Nessa situação y=0 e o gráfico intercepta 0x no valor da(s) raiz(es), caso exista(m) (x,0).
  • 20. Vértice: intersecção da parábola com seu eixo de simetria. Coordenadas do vértice ( b V − ,− Δ 2a 4a )
  • 21. Máximo e mínimo de uma função quadrática É o valor da ordenada do vértice da parábola. Permite-nos determinar a imagem da função. A função terá mínimo quando a>0. A função terá máximo quando a<0.
  • 23. Inequação-produto e inequação- quociente { { ¿0 ¿0 ¿0 ¿0 f ( x) ( x) ¿0 ⋅g f (x ) ¿0 g ( x) ¿0 ¿0 ¿0 ¿0 a ) ( x 2−5x+4 )(−x 2 +9) >0 x 2 −x−6 b) 2 ≥0 x +x−20
  • 24. Estudo do domínio Algumas funções não têm como domínio o conjunto R. Para determinar o domínio dessas funções, podemos aplicar o estudo das inquações. √ a ) f ( x )= 2x−2 x−7 √ b ) g ( x )= 31 x 2x−3 c ) h( x )= 2 −x +5x
  • 25. Exercícios Capítulo 3 7, 10, 13, 15, 32 Capítulo 4 7, 8, 14, 22, 39, 44, 47, 54 Capítulo 5 13, 14, 20, 35, 36, 42, 49, 62, 63, 64, 68, 69, 80
  • 26. Referências PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática 1. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 1995. PAIVA, Manoel Rodrigues. Matemática 1. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 2009. Conexões com a matemática/ editora responsável Juliane Matsubara Barroso; obra coletiva concebida, desenvolvida e produzida pela editora Moderna. 1ª edição. São Paulo: Moderna, 2010.