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Função Polinomial do 1º grau

O documento descreve o sistema de coordenadas cartesianas e funções polinomiais do 1o grau. Explica como construir um sistema cartesiano com duas retas perpendiculares e atribuir coordenadas aos pontos. Também define o que é uma função, domínio, conjunto imagem e como representar graficamente funções polinomiais do 1o grau, encontrando seus zeros.

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FUNÇÃO POLINOMIAL DO
1º GRAU
Professor: João Paulo Luna
SISTEMA DE COORDENADAS
CARTESIANAS
• Essa ideia foi lançada pelo filósofo e
matemático francês René Descartes;
• Usando como referência um par de retas
que se interceptavam, seria possível
construir um sistema na qual números
poderiam estar associados a pontos;
APLICAÇÕES DO SISTEMA
CARTESIANO
• Muito utilizado para localização de
qualquer ponto em mapas, plantas de
regiões, gráficos, etc.
CONSTRUINDO UM SISTEMA
CARTESIANO
• 1º passo: traçamos duas
retas perpendiculares,
uma horizontal (x) e outra
vertical (y);
• 2º passo: identificamos o
ponto de intersecção (O);
• 3º passo: usaremos
números positivos
(direita/acima) e números
negativos
(esquerda/abaixo).
• O ponto de intersecção recebe o
nome de origem do sistema;
• Assim, todo ponto do sistema
pode ser representado por um
par ordenado (x,y). Esses valores
são as coordenadas do ponto.
NOÇÃO DE FUNÇÃO
• Note que os valores
de y variam de acordo
com os valores que o
x assume;
Para 𝑥 = 2 → 𝑦 = 1
Para 𝑥 = 3 → 𝑦 = 2
Para 𝑥 = 4 → 𝑦 = 3
• A variável x é chamada
variável independente,
pois varia de forma
independente, e a
variável y é
dependente da
variável x;
• A todos os valores de
x, está associado um
único valor de y;
NOÇÃO DE FUNÇÃO
• Situação 1: Uma camisa custa
20 reais. Se representarmos
por x a quantidade de
camisas iguais a essa que
João quer comprar e por y o
preço, em reais, que ele vai
pagar podemos organizar o
quadro ao lado.
Quantidade de camisas (x) Preço a pagar (y)
1 1 ∙ 20 = 20
2 2 ∙ 20 = 40
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  • 1. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU Professor: João Paulo Luna
  • 2. SISTEMA DE COORDENADAS CARTESIANAS • Essa ideia foi lançada pelo filósofo e matemático francês René Descartes; • Usando como referência um par de retas que se interceptavam, seria possível construir um sistema na qual números poderiam estar associados a pontos;
  • 3. APLICAÇÕES DO SISTEMA CARTESIANO • Muito utilizado para localização de qualquer ponto em mapas, plantas de regiões, gráficos, etc.
  • 4. CONSTRUINDO UM SISTEMA CARTESIANO • 1º passo: traçamos duas retas perpendiculares, uma horizontal (x) e outra vertical (y); • 2º passo: identificamos o ponto de intersecção (O); • 3º passo: usaremos números positivos (direita/acima) e números negativos (esquerda/abaixo). • O ponto de intersecção recebe o nome de origem do sistema; • Assim, todo ponto do sistema pode ser representado por um par ordenado (x,y). Esses valores são as coordenadas do ponto.
  • 5. NOÇÃO DE FUNÇÃO • Note que os valores de y variam de acordo com os valores que o x assume; Para 𝑥 = 2 → 𝑦 = 1 Para 𝑥 = 3 → 𝑦 = 2 Para 𝑥 = 4 → 𝑦 = 3 • A variável x é chamada variável independente, pois varia de forma independente, e a variável y é dependente da variável x; • A todos os valores de x, está associado um único valor de y;
  • 6. NOÇÃO DE FUNÇÃO • Situação 1: Uma camisa custa 20 reais. Se representarmos por x a quantidade de camisas iguais a essa que João quer comprar e por y o preço, em reais, que ele vai pagar podemos organizar o quadro ao lado. Quantidade de camisas (x) Preço a pagar (y) 1 1 ∙ 20 = 20 2 2 ∙ 20 = 40 3 3 ∙ 20 = 60 ... ... 10 10 ∙ 20 = 200
  • 7. NOÇÃO DE FUNÇÃO • Situação 1: o preço y a pagar é dado em função da quantidade x de camisas adquiridas, e a sentença 𝑦 = 20𝑥 é chamada lei de formação dessa função. a) Quanto João vai pagar por 50 camisas iguais a essa? 𝑦 = 20𝑥 𝑦 = 20 ∙ 50 𝑦 = 1000 Logo, João vai pagar R$ 1000,00 por 50 camisas. b) Se ele tiver R$ 560,00, quantas dessas camisas poderão ser compradas? 𝑦 = 20𝑥 560 = 20𝑥 𝑥 = 560 20 𝑥 = 28 Logo, João poderá comprar 28 camisas.
  • 8. DOMÍNIO E CONJUNTO IMAGEM DE UMA FUNÇÃO • Domínio da função (D): conjunto de valores que a variável x pode assumir; • Imagem: o valor da variável y correspondente a um determinado valor de x; • Conjunto imagem da função (Im): conjunto formado por todos os valores de y que correspondem a algum x do domínio.  Exemplos:  Na função 𝑦 = 3 𝑥 , a variável x não pode assumir o valor 0. Logo 0 não pode fazer parte do domínio dessa função.  O perímetro de um quadrado dado pela função 𝑦 = 4𝑥, a variável x só pode assumir valores positivos, pois não existe medida de lado igual a 0 ou negativo. Sendo assim, a imagem e o conjunto imagem também só poderão conter números positivos.
  • 9. FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU • Situação 1: Dada a função 𝑦 = −2𝑥 + 8 , vamos determinar a imagem do número real −5 por essa função. Para determinar a imagem dessa função, substituímos 𝑥 por −5. 𝑦 = −2𝑥 + 8 𝑦 = −2 ∙ −5 + 8 𝑦 = 10 + 8 𝑦 = 18 Logo, 18 é a imagem do número −5 pela função dada. • Uma função é chamada função polinomial do 1º grau quando é definida pela sentença matemática 𝑦 = 𝑎𝑥 + 𝑏, com 𝑎 e 𝑏 ∈ 𝑅 e 𝑎 ≠ 0.  Exemplos:  𝑦 = 3𝑥 + 9 𝑦 = −7𝑥 𝑦 = 2 5 𝑥 + 3𝑥
  • 10. GRÁFICO DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU NO PLANO CARTESIANO • Vamos construir, no plano cartesiano, o gráfico da função 𝑦 = 2𝑥, considerando 𝑥 um número real qualquer. • Inicialmente vamos atribuir valores arbitrários para 𝑥, determinando os valores correspondente para 𝑦, e organizá-los. 𝑥 = 0 → 𝑦 = 2 ∙ (0) = 0 𝑥 = 1 → 𝑦 = 2 ∙ (1) = 2 𝑥 = −1 → 𝑦 = 2 ∙ −1 = −2 𝑥 = 2 → 𝑦 = 2 ∙ 2 = 4 𝑥 = −2 → 𝑦 = 2 ∙ −2 = −4
  • 11. ZERO (OU RAIZ) DA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU • O valor real de 𝑥, para o qual se tem 𝑦 = 0 (ou 𝑎𝑥 + 𝑏 = 0), denomina-se zero ou raiz da função polinomial do 1º grau. • Vamos determinar o zero da função definida por 𝑦 = 𝑥 − 3 . Algebricamente, devemos fazer 𝑥 − 3 = 0 e resolver a equação. 𝑥 − 3 = 0 𝑥 = 3 • Geometricamente, construímos o gráfico da função. 𝑥 𝒚 0 −3 2 −1 3 0
  • 12. ANALISANDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU • Observe o gráfico de uma determinada função com a seguinte lei de formação 𝑦 = 2𝑥 − 3 𝒙 𝒚 0 -3 1 -1 2 1  Na função 𝑦 = 2𝑥 − 3, o coeficiente 𝑎 é um número real positivo 𝑎 > 0 ;  Essa função é crescente (aumentando-se o valor de 𝑥, o valor correspondente de 𝑦 também aumenta.  De modo geral podemos definir que:  Esboço do gráfico (𝑎 > 0) 𝑥 = −𝑏 𝑎
  • 13. ANALISANDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU • Observe o gráfico de uma determinada função com a seguinte lei de formação 𝑦 = −𝑥 + 3  Na função 𝑦 = −𝑥 + 3, o coeficiente 𝑎 é um número real negativo 𝑎 < 0 ;  Essa função é decrescente (aumentando-se o valor de 𝑥, o valor correspondente de 𝑦 diminui.  De modo geral podemos definir que:  Esboço do gráfico (𝑎 < 0) 𝒙 𝒚 0 3 2 1 3 0 𝑥 = −𝑏 𝑎
  • 14. • Situação 1: Dada a função 𝑦 = 𝑥 − 5, vamos obter os valores reais de x para os quais: a)𝑦 = 0 b)𝑦 > 0 c) 𝑦 < 0 Cálculo do zero da função: 𝑥 − 5 = 0 𝑥 = 5 Como 𝑎 = 1 → 𝑎 > 0, função crescente. Desses dois fatos temos o esboço do gráfico: ANALISANDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU
  • 15. • Situação 2: Dada a função 𝑦 = −𝑥 − 1, vamos obter os valores reais de x para os quais: a)𝑦 = 0 b)𝑦 > 0 c) 𝑦 < 0 Cálculo do zero da função: −𝑥 − 1 = 0 −𝑥 − 1 = 0 ∙ −1 𝑥 + 1 = 0 → 𝑥 = −1 Como 𝑎 = −1 → 𝑎 < 0, função decrescente. Desses dois fatos temos o esboço do gráfico: ANALISANDO O GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO POLINOMIAL DO 1º GRAU