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Profª Débora Bastos
Integração de funções racionais do 1º tipo:
 grau(g) >grau(h).
                             g x)
                              (                                                          R(x)
                                      dx                      Q x)
                                                               ( dx                                    dx
                             h(x)                                                        h(x)
Integração de funções racionais do 2º tipo: grau(g) >grau(h).
(a) h(x) tem raízes a, b, c, ...,n, reais e diferentes.
              g x)
               (                           A                                     B                                          N
                     dx                                   dx                             dx        ...                              dx
              h(x)               a n(x               a)                     x        b                                x         n

  Onde A, B, ..., N são constantes a determinar.

(b) h(x) tem raízes reais e algumas iguais.
  g x)
   (                 A                B1                           B2                                  B3                                K1
         dx                 dx                     dx                           dx   ...                         dx   ...                         dx
  h(x)         a n(x      a)                   m                        m   1                     (x        b)                                n
                                 (x        b)                 (x   b)                                                               (x    k)

                                                K2                                       Kn
                                                              dx    ...                           dx
                                                     n    1                          x        k
                                      (x           k)


 Onde A, B1, B2, ...,Bm, ...,K1,K3,...kN são constantes a determinar.
(c) O denominador tem raízes complexas diferentes.
Quando o denominador tem raízes complexas, a fatoração mínima é
com expressões do segundo grau, uma cada par de raízes complexas
conjugadas.
Por exemplo, h(x) tem uma raiz real e dois pares de complexos como
raízes. (isso quer dizer que de ambos os fatores é negativo). Então a
cada expressão do tipo x2+px+q no denominador corresponde uma
fração do tipo          PX  Q      2
                                                             p            4q
                               2
                           x         px          q

g x)
 (                             g x)
                                (                                                       A                     PX        Q
h x)
 (                     2                         2                              a n(x       a)            2
       a n(x   a)( x           px        q)( x       rx              s)                               x            px       q

                                                                     RX             S
                                                                 2
                                                             x             rx           s
          g x)
           ( dx                    Adx                   PX              Q dx                   RX    S dx
           h x)
            (              a n(x          a)             2                                      2
                                                     x               px         q           x        rx        s

                                                                     2
                                                                 p         4q
                                                                     2
                                                                 r         4s
Exemplos:
              x
 1                         dx
          3
      x               1

                       dx
 2
          2                    2
     (x               1)( x        1)


              4                3        2
     (2x                  4x       4x       5x   3)dx
 3
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              x           3x       4x       5x   3
Exercícios:
                  3                   2
          4x                  4x                  x       4
1                                                              dx
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                              2               3       2
                          x               2 x                  1                 x
Rta       ln                                                        arctg                k
                                  x           1                 2                2


                      3                   2
              2x                      x               13 x     1
    2                                                               dx
                          4                       2
                      x               13 x                36



                              4                   2                 1                x   1           x
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  • 2. Integração de funções racionais do 1º tipo: grau(g) >grau(h). g x) ( R(x) dx Q x) ( dx dx h(x) h(x) Integração de funções racionais do 2º tipo: grau(g) >grau(h). (a) h(x) tem raízes a, b, c, ...,n, reais e diferentes. g x) ( A B N dx dx dx ... dx h(x) a n(x a) x b x n  Onde A, B, ..., N são constantes a determinar. (b) h(x) tem raízes reais e algumas iguais. g x) ( A B1 B2 B3 K1 dx dx dx dx ... dx ... dx h(x) a n(x a) m m 1 (x b) n (x b) (x b) (x k) K2 Kn dx ... dx n 1 x k (x k)  Onde A, B1, B2, ...,Bm, ...,K1,K3,...kN são constantes a determinar.
  • 3. (c) O denominador tem raízes complexas diferentes. Quando o denominador tem raízes complexas, a fatoração mínima é com expressões do segundo grau, uma cada par de raízes complexas conjugadas. Por exemplo, h(x) tem uma raiz real e dois pares de complexos como raízes. (isso quer dizer que de ambos os fatores é negativo). Então a cada expressão do tipo x2+px+q no denominador corresponde uma fração do tipo PX Q 2 p 4q 2 x px q g x) ( g x) ( A PX Q h x) ( 2 2 a n(x a) 2 a n(x a)( x px q)( x rx s) x px q RX S 2 x rx s g x) ( dx Adx PX Q dx RX S dx h x) ( a n(x a) 2 2 x px q x rx s 2 p 4q 2 r 4s
  • 4. Exemplos: x 1 dx 3 x 1 dx 2 2 2 (x 1)( x 1) 4 3 2 (2x 4x 4x 5x 3)dx 3 5 4 3 x 3x 4x 5x 3
  • 5. Exercícios: 3 2 4x 4x x 4 1 dx 4 3 2 x x 2x 2x 2 3 2 x 2 x 1 x Rta ln arctg k x 1 2 2 3 2 2x x 13 x 1 2 dx 4 2 x 13 x 36 4 2 1 x 1 x Rta ln x 13 x 36 arctg arctg k 2 2 3 3