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FUNÇÕES
1 – Noção Intuitiva de função

   Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos
uma situação :
 Exemplo : Seja um quadrado de lado l .



                                        l




           Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre
           p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :




  Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que
Pode ser verificado pela tabela seguinte :
                               Medida do Medida do
                               Lado (l)    Perímetro (p)
                                    1m
                                    2m
                                  3,5 m
                                    3m
                                  4,5 m
                                    7m
                                   10 m
   Pela tabela , observamos que :
    A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável
    A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável
    A todos os valores de l estão associados valores de p
    A cada valor de l está asociado um único valor de p
Dizemos então:
           a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado
           b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.

2 – Noção de função através de conjuntos
  1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de
               de A em B expressa por y = 2x –3 , com x  A e y  B , temos :




                                                                                                           1
2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por
            y = 3x+1 , com x  A e y  B , temos :




3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por
            y = x2 , com x  A e y  B , temos :




4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por
            y =  x , com x  A e y  B , temos :




OUTROS EXEMPLOS
1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3,
    com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.




                                                                                                           2
2º) Seja uma relação de A={-4,-3,-2,-1,0} em B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,} definida por F(x)= 2x + 5.
   Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o
   domínio e a imagem.




3º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula
   y = x2 + 2, com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.




4º)Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,12} e uma relação de A em B expressa por y= x2- 4 , faça um
   diagrama e diga se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a
    imagem.




5º) Dada a função f:R  R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5).




                                                                                                      3
6º) Dada a função f:RR/ f(x)=3x + 1, calcule:
    a) f(-2)=
   b) f(-1) =
   c) f(0)=
   d) f(3)=
   e) f(5)=
           1
   f) f(     )=
           2
7º) Sendo f:R R/f(x)=x2 3x 10 , calcule:
    a) f(2)=

   b) f(1)=

   c) f(0)=

   d) f(3)=

   e) f(5)=

           1
   f) f(     )
           2

8º) Dada a função f(x)=  4x + 3 , determine os valores de x para que:
                                                            1
    a) f(x) =  4                                 b) f(x) =
                                                            2




9º) Seja a função definida por f(x)= x2  3x  4. Determine os valores de x para que se tenha :
     a) f(x) =  6                                      b) f ( x) = 14




                                                                                                  4
10º) Seja a função definida por f(x)= 3x2  2x  1. Determine os valores de x para que se tenha :
    b) f(x) = 0                                      b) f ( x) = 4




EXERCÍCIOS

1º) Seja uma relação de A={-1,0,1,3} em B={-2,-1,0,2,4,6,8} expressa pela fórmula y=2x. Faça um
   diagrama e diga se temos ou não uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e
   a imagem.




2º) Dados A={-2,-1,1,3} e B={-8,-4,-1,1,10,27,30} e uma relação de A em B expressa por y=x3 , faça um
   diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a
   imagem.




3º) Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,13} e uma relação de A em B expressa por y=3x – 1 , faça
    um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a
    imagem.



                                                                                                       5
4º) Seja uma relação de A={-3,-2,-1,0,3} em B ={-4,-2,-1,0,2,3,4,5,10} definida por F(x) = 2x + 4.
   Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o
  domínio e a imagem.




5º) Dada a função f:RR/ f(x )= 5x + 2, calcule:
   a ) f ( 2) 
   b) f (3) 
   c ) f ( 4 ) 
   d ) f ( 1) 
         3
   e) f   
         4
           1
    f ) f  
           5
6º) Dada a função f:RR/ f(x )= 7x – 30 , calcule os valores de x para que :

                                                                  5
  a) f ( x)  26                                    b) f ( x) 
                                                                  8


7º) Dada a função f:RR/ f(x )= 4x + 3, calcule:
    a) f(-3)=                                     e) f(5)=
                                                      2
    b) f(-2)                                      f(   
                                                      3
                                                       1
    c) f(0)=                                      g)    
                                                       5
    d) f(2)=


8º) Determine o conjunto imagem da função f: {-2,0, 3 } R / f(x)= x2 + 3 .




9º) Dada a função f(x)= 8x + 7 , determine os valores de x para que:
                                                        7
    a) f(x) = 55                              b) f(x) =
                                                        3


                                                                                                      6
10º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :

    a) f(x) = – 1                                      b) f(x) = 9




11º) Dadas as funções f(x)= 2x –3 e g(x) = –3x + 2, calcule o valor de f(1) + g(–2).




12º) Dada a função f(x)= 20x –30, calcule o valor de x para que se tenha:
   a) f(x) = 30                                  b) f(x) = –20




                                1
13º) Dada a função f(x) = 1 –     x , calcule :
                                5
                                                           1
   a) f(0)=                                          d) f( ) 
                                                           5
                                                             2
   b) f(–1)=                                          e) f(– ) 
                                                             3

   c) f(2)=


14º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :

    b) f(x) = 12                                      b) f(x) = 0




                                                                                                    7
3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO
        O sistema cartesino é constituído por dois eixos , x e y , perpendiculares entre si. O eixo x é
denominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Essas eixos dividem o plano
em quatro regiões chamadas quadrantes.




  Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Cada ponto é determinado por um par
ordenado ( x , y ). Esse par ordenado representa as coordenadas do ponto.
  Vamos marcar alguns pontos no plano. Acompanhe os exemplos :

1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,4), B(5,3) , C(-2,3), D(-4,1), E(-3,-1), F(-1,4), G(2,-3) e
    H(3,-5).




2º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(-2,1), B(-1,4) , C(2,-3), D(4,-1), E(3,1), F(5,4), G(-3,-3) e
    H(-4,-5).




                                                                                                             8
3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,0), B(3,0) , C(5,0), D(-4,0), E(-2,0), F(0,2), G(0,4) ,
    H(0,-3), I (0,-5) e J(0,-1).




4º) Marque no plano cartesiano os pontos A(1,3), B(0,4), C(-2,3), D(-2,1), E(-1,-1), F(1,-1) e G(2,1).
   Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?




5º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(0,2), B(3,2), C(3,1), D(5,3), E(3,5), F(3,4) e G(0,4). Una os
    pontos na ordem dada. Que figura obtemos?




                                                                                                         9
Exercícios
1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,1), B(1,3) , C(-2,5), D(-4,2), E(-3,-4), F(-2,4), G(0,-2) e
    H(3,-5).




2º) Marque no plano cartesiano os pontos A(4,1), B(2,5), C(-2,5), D(-4,1), E(-4,-2), F(-2,-4) ,G(2,-4) e
   H(4,-2). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?




3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,0), B(3,2), C(2,4), D(0,4), E(-1,3), F(-1,2) e G(0,0). Una
os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?




                                                                                                             10
4 – GRÁFICOS

4.1 - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
       Toda a função do tipo F : R  R / F(x) = ax + b é chamada função do 1º grau.
      Assim são funções do 1º grau :
     f(x) = 5x + 7
     f(x) = - 7x + 4
     f(x) = 4x
     f(x) = x – 3
     f(x) = 2x – 5

4.2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
        Para construir o gráfico de uma função devemos encontrar pontos que satisfaçam a função.
Para isso atribuímos valores para x e calculamos o valor de y, montando uma tabela.
Veja os exemplos:

1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 1 .
            Resolução:

  Tabela
  x     y




2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – 3x+ 1 .
            Resolução:

  Tabela
  x     y




                                                                                                   11
Pelos exemplos podemos concluir que o gráfico da função do 1ºgrau é sempre uma reta. Logo bastam
dois pontos para traçar esse gráfico. Veja os exemplos:

1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x +2 .
            Resolução:

  Tabela
  x     y




2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = –2x+ 3 .
            Resolução:

  Tabela
  x     y




                                                                                                  12
Pelos exemplos podemos concluir também que :

    se a > 0 a função do 1º grau é crescente.
    Se a < 0 a função do 1º grau é decrescente
Exemplos:
            1º) Diga se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes e justifique:
      a) F(x) = 3x + 2
      b) F(x) = –4x – 7
      c) F(x) = 3 – 2x
      d) F(x) = – 7 + 5x

EXERCÍCIOS

   1º) Construa, num sistema cartesiano, o gráfico das funções, dizendo em cada caso se a função é
crescente ou decrescente :
    a) f(x) = x + 2                                      b) f(x) = -1 + 3x




    c) f(x) = - x+ 2                                          d) f(x)= -1 - 3x




                                                                                               13
1
e)f(x) = 1 – 2x   f) f(x) =     x 1
                              2




                                       14
4.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

       Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x que anula a função,
ou seja, torna f(x) = 0.

Exemplos :
 1º ) Calcular a raiz da função f(x) = 3x – 12 .




2º) Calcular a raiz de cada função abaixo :
                                                                                       3x
  a) f(x) = –3x + 5                b) f(x) = 5x +10                        c) f(x) =      8
                                                                                       5




4.4 - INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA RAIZ
    Vamos construir o gráfico e calcular a raiz de cada função abaixo :

a) f(x) = x – 2                                       b) f(x) = – 2x + 6




                                                                                                      15
Então , pelos exemplos podemos dizer que:

   Geometricamente, raiz ou zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, representa o “corte” no eixo x.

EXERCÍCIOS

1º) Calcule as raízes das seguintes funções do 1º grau :
     a) f(x) = 2x – 6                                       d) f(x) =3 – 3x




                                                                         x
    b) f(x) = – 2x + 4                                     e) f(x) = –     2
                                                                         2




                                                                            x
    c) f(x) = 2x – 10                                       f) f(x) = 2 +
                                                                            2




   g) f(x) = 10x + 25




                                                                                                       16
2º) Faça o gráfico das funções f(x) = x – 2 , g(x) = –2x + 1 e h(x) = 3x - 2, num mesmo sistema
   cartesiano. Identifique como crescente ou decrescente cada uma das funções.




4.5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU

     A função do 1º grau f(x) = ax+b , conforme os valores atribuídos a x , pode ser positiva ( f(x) >0 )
pode ser negativa ( f(x)<0 ) ou pode ser igual a zero ( f(x) = 0 ). Em outras palavras a função pode
variar entre positiva, negativa ou nula. Observe os exemplos :

1º) Dada a função f(x) = 2x – 4 , determinar os valores de x parta os quais :

      a) f(x) = 0                 b) f(x) > 0                             c) f(x) < 0




                                                                                                        17
2º) Dada a função f(x) = – 3x +6 , determinar os valores de x parta os quais :

      a) f(x) = 0                 b) f(x) > 0                            c) f(x) < 0




Pelos exemplos podemos estabelecer o seguinte resumo :




Exemplos:
1º) Estude a variação do sinal de cada função do 1º grau abaixo :
   a) f(x) = 5x – 15




  b) f(x) = – 2x – 8




                                                                                       18
c) f(x) = 2x – 1




Exercícios:
1º) Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1º grau :
     a) f(x) = x + 5                                        e) f(x) = –3x + 6




    b) f(x) = – 3x + 9                                     f) f(x) =1 - 5x




                                                                       x
    c) f(x) = 2 – 3x                                       g) f(x) =     1
                                                                       3




                                                                                19
x
d) f(x) = 2x + 5                                     h) f(x) = 2 +
                                                                     2




2º) Para que valores de x a função f(x) = 5x + 3 é positiva ?




3º) Para que valores de x a função f(x) = – 3x – 5 é negativa ?




5 - FUNÇÃO DO 2º GRAU ( OU FUNÇÃO QUADRÁTICA )
                                                                         20
5.1 - DEFINIÇÃO

               Função do 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática
   F(x) = ax2 + bx + c , com a, b, c números reais e a  0.

 Assim, são funções polinomiais do 2º grau :
 f(x) = 3x2 +5x + 8
 y = – x2 – 3x – 4
 f(x) = x2 – 9
 y = – 2x2 + 6x
 f(x) = x2 – 2x + 1
 y = 4x2
 f(x) = 5 – 3x + 5x2

5.2 - RAÍZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
        Os valores reais de x para os quais se tem f(x) = 0 são denominados raízes ou zeros da função
do 2º grau .

EXEMPLOS:
              1º) Determinar as raízes de cada uma das funções abaixo :
           2
a) f(x) = x – 3x – 10




b) f(x) = x2 – 8x + 16




c) f(x) = x2 – 3x + 8




PELOS EXEMPLOS PODEMOS OBSERVAR QUE :

                                                                                                        21
     Se   0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais diferentes.
     Se  = 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais iguais.
     Se  < 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c não tem raízes reais.

EXERCÍCIOS

1º) Calcule a raíz de cada função do 2º grau abaixo :
   a) f(x) = x2 – 25                                             b) y = x2 – 10x + 21




    c) f(x) = – x2 + 6x                                          d) f(x) = x2 + 4x + 8




    e) y = – x2 + x + 6                                           f) f(x) = – 4x2 + 4x – 1




6 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
                                                                                             22
Para construir o gráfico da função do 2º grau precisamos marcar pontos no plano cartesiano.
Veja alguns exemplos :


1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2 .
            Resolução:



  Tabela
  x     y




2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 +2 .
            Resolução:

  Tabela
  x     y




3º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3 .


                                                                                                 23
Resolução:

  Tabela
  x     y




4º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 2x – 4 .
            Resolução:

  Tabela
  x     y




                                                                   24
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  • 1. FUNÇÕES 1 – Noção Intuitiva de função Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos uma situação : Exemplo : Seja um quadrado de lado l . l Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática : Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que Pode ser verificado pela tabela seguinte : Medida do Medida do Lado (l) Perímetro (p) 1m 2m 3,5 m 3m 4,5 m 7m 10 m Pela tabela , observamos que :  A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável  A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável  A todos os valores de l estão associados valores de p  A cada valor de l está asociado um único valor de p Dizemos então: a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função. 2 – Noção de função através de conjuntos 1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de de A em B expressa por y = 2x –3 , com x  A e y  B , temos : 1
  • 2. 2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por y = 3x+1 , com x  A e y  B , temos : 3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por y = x2 , com x  A e y  B , temos : 4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por y =  x , com x  A e y  B , temos : OUTROS EXEMPLOS 1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3, com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 2
  • 3. 2º) Seja uma relação de A={-4,-3,-2,-1,0} em B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,} definida por F(x)= 2x + 5. Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 3º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula y = x2 + 2, com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 4º)Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,12} e uma relação de A em B expressa por y= x2- 4 , faça um diagrama e diga se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 5º) Dada a função f:R  R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5). 3
  • 4. 6º) Dada a função f:RR/ f(x)=3x + 1, calcule: a) f(-2)= b) f(-1) = c) f(0)= d) f(3)= e) f(5)= 1 f) f( )= 2 7º) Sendo f:R R/f(x)=x2 3x 10 , calcule: a) f(2)= b) f(1)= c) f(0)= d) f(3)= e) f(5)= 1 f) f( ) 2 8º) Dada a função f(x)=  4x + 3 , determine os valores de x para que: 1 a) f(x) =  4 b) f(x) = 2 9º) Seja a função definida por f(x)= x2  3x  4. Determine os valores de x para que se tenha : a) f(x) =  6 b) f ( x) = 14 4
  • 5. 10º) Seja a função definida por f(x)= 3x2  2x  1. Determine os valores de x para que se tenha : b) f(x) = 0 b) f ( x) = 4 EXERCÍCIOS 1º) Seja uma relação de A={-1,0,1,3} em B={-2,-1,0,2,4,6,8} expressa pela fórmula y=2x. Faça um diagrama e diga se temos ou não uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 2º) Dados A={-2,-1,1,3} e B={-8,-4,-1,1,10,27,30} e uma relação de A em B expressa por y=x3 , faça um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 3º) Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,13} e uma relação de A em B expressa por y=3x – 1 , faça um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 5
  • 6. 4º) Seja uma relação de A={-3,-2,-1,0,3} em B ={-4,-2,-1,0,2,3,4,5,10} definida por F(x) = 2x + 4. Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a imagem. 5º) Dada a função f:RR/ f(x )= 5x + 2, calcule: a ) f ( 2)  b) f (3)  c ) f ( 4 )  d ) f ( 1)  3 e) f    4  1 f ) f    5 6º) Dada a função f:RR/ f(x )= 7x – 30 , calcule os valores de x para que : 5 a) f ( x)  26 b) f ( x)  8 7º) Dada a função f:RR/ f(x )= 4x + 3, calcule: a) f(-3)= e) f(5)= 2 b) f(-2) f(    3  1 c) f(0)= g)      5 d) f(2)= 8º) Determine o conjunto imagem da função f: {-2,0, 3 } R / f(x)= x2 + 3 . 9º) Dada a função f(x)= 8x + 7 , determine os valores de x para que: 7 a) f(x) = 55 b) f(x) = 3 6
  • 7. 10º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha : a) f(x) = – 1 b) f(x) = 9 11º) Dadas as funções f(x)= 2x –3 e g(x) = –3x + 2, calcule o valor de f(1) + g(–2). 12º) Dada a função f(x)= 20x –30, calcule o valor de x para que se tenha: a) f(x) = 30 b) f(x) = –20 1 13º) Dada a função f(x) = 1 – x , calcule : 5 1 a) f(0)= d) f( )  5 2 b) f(–1)= e) f(– )  3 c) f(2)= 14º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha : b) f(x) = 12 b) f(x) = 0 7
  • 8. 3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO O sistema cartesino é constituído por dois eixos , x e y , perpendiculares entre si. O eixo x é denominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Essas eixos dividem o plano em quatro regiões chamadas quadrantes. Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Cada ponto é determinado por um par ordenado ( x , y ). Esse par ordenado representa as coordenadas do ponto. Vamos marcar alguns pontos no plano. Acompanhe os exemplos : 1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,4), B(5,3) , C(-2,3), D(-4,1), E(-3,-1), F(-1,4), G(2,-3) e H(3,-5). 2º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(-2,1), B(-1,4) , C(2,-3), D(4,-1), E(3,1), F(5,4), G(-3,-3) e H(-4,-5). 8
  • 9. 3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,0), B(3,0) , C(5,0), D(-4,0), E(-2,0), F(0,2), G(0,4) , H(0,-3), I (0,-5) e J(0,-1). 4º) Marque no plano cartesiano os pontos A(1,3), B(0,4), C(-2,3), D(-2,1), E(-1,-1), F(1,-1) e G(2,1). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos? 5º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(0,2), B(3,2), C(3,1), D(5,3), E(3,5), F(3,4) e G(0,4). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos? 9
  • 10. Exercícios 1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,1), B(1,3) , C(-2,5), D(-4,2), E(-3,-4), F(-2,4), G(0,-2) e H(3,-5). 2º) Marque no plano cartesiano os pontos A(4,1), B(2,5), C(-2,5), D(-4,1), E(-4,-2), F(-2,-4) ,G(2,-4) e H(4,-2). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos? 3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,0), B(3,2), C(2,4), D(0,4), E(-1,3), F(-1,2) e G(0,0). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos? 10
  • 11. 4 – GRÁFICOS 4.1 - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU Toda a função do tipo F : R  R / F(x) = ax + b é chamada função do 1º grau. Assim são funções do 1º grau :  f(x) = 5x + 7  f(x) = - 7x + 4  f(x) = 4x  f(x) = x – 3  f(x) = 2x – 5 4.2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Para construir o gráfico de uma função devemos encontrar pontos que satisfaçam a função. Para isso atribuímos valores para x e calculamos o valor de y, montando uma tabela. Veja os exemplos: 1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 1 . Resolução: Tabela x y 2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – 3x+ 1 . Resolução: Tabela x y 11
  • 12. Pelos exemplos podemos concluir que o gráfico da função do 1ºgrau é sempre uma reta. Logo bastam dois pontos para traçar esse gráfico. Veja os exemplos: 1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x +2 . Resolução: Tabela x y 2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = –2x+ 3 . Resolução: Tabela x y 12
  • 13. Pelos exemplos podemos concluir também que :  se a > 0 a função do 1º grau é crescente.  Se a < 0 a função do 1º grau é decrescente Exemplos: 1º) Diga se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes e justifique: a) F(x) = 3x + 2 b) F(x) = –4x – 7 c) F(x) = 3 – 2x d) F(x) = – 7 + 5x EXERCÍCIOS 1º) Construa, num sistema cartesiano, o gráfico das funções, dizendo em cada caso se a função é crescente ou decrescente : a) f(x) = x + 2 b) f(x) = -1 + 3x c) f(x) = - x+ 2 d) f(x)= -1 - 3x 13
  • 14. 1 e)f(x) = 1 – 2x f) f(x) = x 1 2 14
  • 15. 4.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x que anula a função, ou seja, torna f(x) = 0. Exemplos : 1º ) Calcular a raiz da função f(x) = 3x – 12 . 2º) Calcular a raiz de cada função abaixo : 3x a) f(x) = –3x + 5 b) f(x) = 5x +10 c) f(x) = 8 5 4.4 - INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA RAIZ Vamos construir o gráfico e calcular a raiz de cada função abaixo : a) f(x) = x – 2 b) f(x) = – 2x + 6 15
  • 16. Então , pelos exemplos podemos dizer que: Geometricamente, raiz ou zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, representa o “corte” no eixo x. EXERCÍCIOS 1º) Calcule as raízes das seguintes funções do 1º grau : a) f(x) = 2x – 6 d) f(x) =3 – 3x x b) f(x) = – 2x + 4 e) f(x) = – 2 2 x c) f(x) = 2x – 10 f) f(x) = 2 + 2 g) f(x) = 10x + 25 16
  • 17. 2º) Faça o gráfico das funções f(x) = x – 2 , g(x) = –2x + 1 e h(x) = 3x - 2, num mesmo sistema cartesiano. Identifique como crescente ou decrescente cada uma das funções. 4.5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU A função do 1º grau f(x) = ax+b , conforme os valores atribuídos a x , pode ser positiva ( f(x) >0 ) pode ser negativa ( f(x)<0 ) ou pode ser igual a zero ( f(x) = 0 ). Em outras palavras a função pode variar entre positiva, negativa ou nula. Observe os exemplos : 1º) Dada a função f(x) = 2x – 4 , determinar os valores de x parta os quais : a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0 17
  • 18. 2º) Dada a função f(x) = – 3x +6 , determinar os valores de x parta os quais : a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0 Pelos exemplos podemos estabelecer o seguinte resumo : Exemplos: 1º) Estude a variação do sinal de cada função do 1º grau abaixo : a) f(x) = 5x – 15 b) f(x) = – 2x – 8 18
  • 19. c) f(x) = 2x – 1 Exercícios: 1º) Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1º grau : a) f(x) = x + 5 e) f(x) = –3x + 6 b) f(x) = – 3x + 9 f) f(x) =1 - 5x x c) f(x) = 2 – 3x g) f(x) = 1 3 19
  • 20. x d) f(x) = 2x + 5 h) f(x) = 2 + 2 2º) Para que valores de x a função f(x) = 5x + 3 é positiva ? 3º) Para que valores de x a função f(x) = – 3x – 5 é negativa ? 5 - FUNÇÃO DO 2º GRAU ( OU FUNÇÃO QUADRÁTICA ) 20
  • 21. 5.1 - DEFINIÇÃO Função do 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática F(x) = ax2 + bx + c , com a, b, c números reais e a  0. Assim, são funções polinomiais do 2º grau :  f(x) = 3x2 +5x + 8  y = – x2 – 3x – 4  f(x) = x2 – 9  y = – 2x2 + 6x  f(x) = x2 – 2x + 1  y = 4x2  f(x) = 5 – 3x + 5x2 5.2 - RAÍZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU Os valores reais de x para os quais se tem f(x) = 0 são denominados raízes ou zeros da função do 2º grau . EXEMPLOS: 1º) Determinar as raízes de cada uma das funções abaixo : 2 a) f(x) = x – 3x – 10 b) f(x) = x2 – 8x + 16 c) f(x) = x2 – 3x + 8 PELOS EXEMPLOS PODEMOS OBSERVAR QUE : 21
  • 22. Se   0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais diferentes.  Se  = 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais iguais.  Se  < 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c não tem raízes reais. EXERCÍCIOS 1º) Calcule a raíz de cada função do 2º grau abaixo : a) f(x) = x2 – 25 b) y = x2 – 10x + 21 c) f(x) = – x2 + 6x d) f(x) = x2 + 4x + 8 e) y = – x2 + x + 6 f) f(x) = – 4x2 + 4x – 1 6 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU 22
  • 23. Para construir o gráfico da função do 2º grau precisamos marcar pontos no plano cartesiano. Veja alguns exemplos : 1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2 . Resolução: Tabela x y 2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 +2 . Resolução: Tabela x y 3º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3 . 23
  • 24. Resolução: Tabela x y 4º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 2x – 4 . Resolução: Tabela x y 24
  • 25. 25