1. FUNÇÕES
1 – Noção Intuitiva de função
Com freqüência encontramos em matemática relações entre duas grandezas variáveis. Observemos
uma situação :
Exemplo : Seja um quadrado de lado l .
l
Designando por p a medida do perímetro desse quadrado, podemos estabelecer entre
p e l a seguinte relação expressa pela fórmula matemática :
Notamos então, que a medida p do perímetro depende da medida l do lado do quadrado, o que
Pode ser verificado pela tabela seguinte :
Medida do Medida do
Lado (l) Perímetro (p)
1m
2m
3,5 m
3m
4,5 m
7m
10 m
Pela tabela , observamos que :
 A medida l do lado do quadrado é uma grandeza variável
 A medida p do perímetro do quadrado é uma grandeza variável
 A todos os valores de l estão associados valores de p
 A cada valor de l está asociado um único valor de p
Dizemos então:
a) A medida p do perímetro de um quadrado é dada em função da medida l do lado
b) A relação p = 4.l chama-se lei de associação ou fórmula matemática desta função.
2 – Noção de função através de conjuntos
1º exemplo:) Dados os conjuntos A = { -1, 0, 1, 3} e B= {-6, -5, -3, -2, -1, 1, 3 }, Seja a relação de
de A em B expressa por y = 2x –3 , com x  A e y  B , temos :
1

2. 2º exemplo: Dados os conjuntos A = {-2, 0, 2, 5 } e B = { -5, 0, 1, 8, 16 } e uma relação expressa por
y = 3x+1 , com x  A e y  B , temos :
3ºexemplo: Dados os conjuntos A = {-3, -1, 1, 2 } e B = { 1, 3, 6, 9 } e uma relação expressa por
y = x2 , com x  A e y  B , temos :
4ºexemplo: Dados os conjuntos A = 16, 81} e B = { - 4, 4, 9 } e uma relação expressa por
y =  x , com x  A e y  B , temos :
OUTROS EXEMPLOS
1º) Seja f uma relação de A = { 0, 1, 2 } em B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6 } expressa pela fórmula y = x + 3,
com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
2

3. 2º) Seja uma relação de A={-4,-3,-2,-1,0} em B={-3,-2,-1,0,1,2,3,4,5,} definida por F(x)= 2x + 5.
Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o
domínio e a imagem.
3º) Seja f uma relação de A = { -3, 0, 1, 2, 4 } em B = {12, 11, 1,3 ,6, 18, 20 } expressa pela fórmula
y = x2 + 2, com x  A e y  B . Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B.
4º)Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,12} e uma relação de A em B expressa por y= x2- 4 , faça um
diagrama e diga se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o domínio e a
imagem.
5º) Dada a função f:R  R/ f(x) = 5x+4, calcule o valor de f(5).
3

4. 6º) Dada a função f:RR/ f(x)=3x + 1, calcule:
a) f(-2)=
b) f(-1) =
c) f(0)=
d) f(3)=
e) f(5)=
1
f) f( )=
2
7º) Sendo f:R R/f(x)=x2 3x 10 , calcule:
a) f(2)=
b) f(1)=
c) f(0)=
d) f(3)=
e) f(5)=
1
f) f( )
2
8º) Dada a função f(x)=  4x + 3 , determine os valores de x para que:
1
a) f(x) =  4 b) f(x) =
2
9º) Seja a função definida por f(x)= x2  3x  4. Determine os valores de x para que se tenha :
a) f(x) =  6 b) f ( x) = 14
4

5. 10º) Seja a função definida por f(x)= 3x2  2x  1. Determine os valores de x para que se tenha :
b) f(x) = 0 b) f ( x) = 4
EXERCÍCIOS
1º) Seja uma relação de A={-1,0,1,3} em B={-2,-1,0,2,4,6,8} expressa pela fórmula y=2x. Faça um
diagrama e diga se temos ou não uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e
a imagem.
2º) Dados A={-2,-1,1,3} e B={-8,-4,-1,1,10,27,30} e uma relação de A em B expressa por y=x3 , faça um
diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a
imagem.
3º) Dados A={0,1,2,3,4} e B={-4,-3,-1,0,2,5,13} e uma relação de A em B expressa por y=3x – 1 , faça
um diagrama e diga se temos uma função de A em B. Em caso afirmativo, determine o domínio e a
imagem.
5

6. 4º) Seja uma relação de A={-3,-2,-1,0,3} em B ={-4,-2,-1,0,2,3,4,5,10} definida por F(x) = 2x + 4.
Fazendo um diagrama , verifique se temos uma função de A em B e, em caso afirmativo, determine o
domínio e a imagem.
5º) Dada a função f:RR/ f(x )= 5x + 2, calcule:
a ) f ( 2) 
b) f (3) 
c ) f ( 4 ) 
d ) f ( 1) 
3
e) f   
4
 1
f ) f  
 5
6º) Dada a função f:RR/ f(x )= 7x – 30 , calcule os valores de x para que :
5
a) f ( x)  26 b) f ( x) 
8
7º) Dada a função f:RR/ f(x )= 4x + 3, calcule:
a) f(-3)= e) f(5)=
2
b) f(-2) f(   
3
 1
c) f(0)= g)    
 5
d) f(2)=
8º) Determine o conjunto imagem da função f: {-2,0, 3 } R / f(x)= x2 + 3 .
9º) Dada a função f(x)= 8x + 7 , determine os valores de x para que:
7
a) f(x) = 55 b) f(x) =
3
6

7. 10º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :
a) f(x) = – 1 b) f(x) = 9
11º) Dadas as funções f(x)= 2x –3 e g(x) = –3x + 2, calcule o valor de f(1) + g(–2).
12º) Dada a função f(x)= 20x –30, calcule o valor de x para que se tenha:
a) f(x) = 30 b) f(x) = –20
1
13º) Dada a função f(x) = 1 – x , calcule :
5
1
a) f(0)= d) f( ) 
5
2
b) f(–1)= e) f(– ) 
3
c) f(2)=
14º) Seja a função definida por f(x)=2x2 – 5x + 2 . Determine os valores de x para que se tenha :
b) f(x) = 12 b) f(x) = 0
7

8. 3 - GRÁFICO DE UMA FUNÇÃO NO PLANO CARTESIANO
O sistema cartesino é constituído por dois eixos , x e y , perpendiculares entre si. O eixo x é
denominado eixo das abscissas e o eixo y é denominado eixo das ordenadas. Essas eixos dividem o plano
em quatro regiões chamadas quadrantes.
Este sistema é utilizado para localizar um ponto no plano. Cada ponto é determinado por um par
ordenado ( x , y ). Esse par ordenado representa as coordenadas do ponto.
Vamos marcar alguns pontos no plano. Acompanhe os exemplos :
1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,4), B(5,3) , C(-2,3), D(-4,1), E(-3,-1), F(-1,4), G(2,-3) e
H(3,-5).
2º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(-2,1), B(-1,4) , C(2,-3), D(4,-1), E(3,1), F(5,4), G(-3,-3) e
H(-4,-5).
8

9. 3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(1,0), B(3,0) , C(5,0), D(-4,0), E(-2,0), F(0,2), G(0,4) ,
H(0,-3), I (0,-5) e J(0,-1).
4º) Marque no plano cartesiano os pontos A(1,3), B(0,4), C(-2,3), D(-2,1), E(-1,-1), F(1,-1) e G(2,1).
Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?
5º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(0,2), B(3,2), C(3,1), D(5,3), E(3,5), F(3,4) e G(0,4). Una os
pontos na ordem dada. Que figura obtemos?
9

10. Exercícios
1º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,1), B(1,3) , C(-2,5), D(-4,2), E(-3,-4), F(-2,4), G(0,-2) e
H(3,-5).
2º) Marque no plano cartesiano os pontos A(4,1), B(2,5), C(-2,5), D(-4,1), E(-4,-2), F(-2,-4) ,G(2,-4) e
H(4,-2). Una os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?
3º) Marque no plano cartesiano os pontos : A(2,0), B(3,2), C(2,4), D(0,4), E(-1,3), F(-1,2) e G(0,0). Una
os pontos na ordem dada. Que figura obtemos?
10

11. 4 – GRÁFICOS
4.1 - FUNÇÃO DO PRIMEIRO GRAU
Toda a função do tipo F : R  R / F(x) = ax + b é chamada função do 1º grau.
Assim são funções do 1º grau :
 f(x) = 5x + 7
 f(x) = - 7x + 4
 f(x) = 4x
 f(x) = x – 3
 f(x) = 2x – 5
4.2 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Para construir o gráfico de uma função devemos encontrar pontos que satisfaçam a função.
Para isso atribuímos valores para x e calculamos o valor de y, montando uma tabela.
Veja os exemplos:
1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = 2x – 1 .
Resolução:
Tabela
x y
2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – 3x+ 1 .
Resolução:
Tabela
x y
11

12. Pelos exemplos podemos concluir que o gráfico da função do 1ºgrau é sempre uma reta. Logo bastam
dois pontos para traçar esse gráfico. Veja os exemplos:
1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x +2 .
Resolução:
Tabela
x y
2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = –2x+ 3 .
Resolução:
Tabela
x y
12

13. Pelos exemplos podemos concluir também que :
 se a > 0 a função do 1º grau é crescente.
 Se a < 0 a função do 1º grau é decrescente
Exemplos:
1º) Diga se as funções abaixo são crescentes ou decrescentes e justifique:
a) F(x) = 3x + 2
b) F(x) = –4x – 7
c) F(x) = 3 – 2x
d) F(x) = – 7 + 5x
EXERCÍCIOS
1º) Construa, num sistema cartesiano, o gráfico das funções, dizendo em cada caso se a função é
crescente ou decrescente :
a) f(x) = x + 2 b) f(x) = -1 + 3x
c) f(x) = - x+ 2 d) f(x)= -1 - 3x
13

14. 1
e)f(x) = 1 – 2x f) f(x) = x 1
2
14

15. 4.3 - RAIZ OU ZERO DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
Denomina-se zero ou raiz da função do 1º grau f(x) = ax + b o valor de x que anula a função,
ou seja, torna f(x) = 0.
Exemplos :
1º ) Calcular a raiz da função f(x) = 3x – 12 .
2º) Calcular a raiz de cada função abaixo :
3x
a) f(x) = –3x + 5 b) f(x) = 5x +10 c) f(x) = 8
5
4.4 - INTERPRETAÇÃO GRÁFICA DA RAIZ
Vamos construir o gráfico e calcular a raiz de cada função abaixo :
a) f(x) = x – 2 b) f(x) = – 2x + 6
15

16. Então , pelos exemplos podemos dizer que:
Geometricamente, raiz ou zero da função do 1º grau f(x) = ax + b, representa o “corte” no eixo x.
EXERCÍCIOS
1º) Calcule as raízes das seguintes funções do 1º grau :
a) f(x) = 2x – 6 d) f(x) =3 – 3x
x
b) f(x) = – 2x + 4 e) f(x) = – 2
2
x
c) f(x) = 2x – 10 f) f(x) = 2 +
2
g) f(x) = 10x + 25
16

17. 2º) Faça o gráfico das funções f(x) = x – 2 , g(x) = –2x + 1 e h(x) = 3x - 2, num mesmo sistema
cartesiano. Identifique como crescente ou decrescente cada uma das funções.
4.5 - ESTUDO DA VARIAÇÃO DO SINAL DA FUNÇÃO DO 1º GRAU
A função do 1º grau f(x) = ax+b , conforme os valores atribuídos a x , pode ser positiva ( f(x) >0 )
pode ser negativa ( f(x)<0 ) ou pode ser igual a zero ( f(x) = 0 ). Em outras palavras a função pode
variar entre positiva, negativa ou nula. Observe os exemplos :
1º) Dada a função f(x) = 2x – 4 , determinar os valores de x parta os quais :
a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0
17

18. 2º) Dada a função f(x) = – 3x +6 , determinar os valores de x parta os quais :
a) f(x) = 0 b) f(x) > 0 c) f(x) < 0
Pelos exemplos podemos estabelecer o seguinte resumo :
Exemplos:
1º) Estude a variação do sinal de cada função do 1º grau abaixo :
a) f(x) = 5x – 15
b) f(x) = – 2x – 8
18

19. c) f(x) = 2x – 1
Exercícios:
1º) Estude a variação do sinal das seguintes funções do 1º grau :
a) f(x) = x + 5 e) f(x) = –3x + 6
b) f(x) = – 3x + 9 f) f(x) =1 - 5x
x
c) f(x) = 2 – 3x g) f(x) = 1
3
19

20. x
d) f(x) = 2x + 5 h) f(x) = 2 +
2
2º) Para que valores de x a função f(x) = 5x + 3 é positiva ?
3º) Para que valores de x a função f(x) = – 3x – 5 é negativa ?
5 - FUNÇÃO DO 2º GRAU ( OU FUNÇÃO QUADRÁTICA )
20

21. 5.1 - DEFINIÇÃO
Função do 2º grau ou função quadrática é toda função definida pela fórmula matemática
F(x) = ax2 + bx + c , com a, b, c números reais e a  0.
Assim, são funções polinomiais do 2º grau :
 f(x) = 3x2 +5x + 8
 y = – x2 – 3x – 4
 f(x) = x2 – 9
 y = – 2x2 + 6x
 f(x) = x2 – 2x + 1
 y = 4x2
 f(x) = 5 – 3x + 5x2
5.2 - RAÍZ DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
Os valores reais de x para os quais se tem f(x) = 0 são denominados raízes ou zeros da função
do 2º grau .
EXEMPLOS:
1º) Determinar as raízes de cada uma das funções abaixo :
2
a) f(x) = x – 3x – 10
b) f(x) = x2 – 8x + 16
c) f(x) = x2 – 3x + 8
PELOS EXEMPLOS PODEMOS OBSERVAR QUE :
21

22.  Se   0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais diferentes.
 Se  = 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c tem duas raízes reais iguais.
 Se  < 0 , a função f(x) = ax2 + bx + c não tem raízes reais.
EXERCÍCIOS
1º) Calcule a raíz de cada função do 2º grau abaixo :
a) f(x) = x2 – 25 b) y = x2 – 10x + 21
c) f(x) = – x2 + 6x d) f(x) = x2 + 4x + 8
e) y = – x2 + x + 6 f) f(x) = – 4x2 + 4x – 1
6 - GRÁFICO DA FUNÇÃO DO 2º GRAU
22

23. Para construir o gráfico da função do 2º grau precisamos marcar pontos no plano cartesiano.
Veja alguns exemplos :
1º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2 .
Resolução:
Tabela
x y
2º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 +2 .
Resolução:
Tabela
x y
3º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = x2 – 2x – 3 .
23

24. Resolução:
Tabela
x y
4º exemplo: Construir o gráfico da função f(x) = – x2 + 2x – 4 .
Resolução:
Tabela
x y
24

25. 25