O documento descreve como estudar os sinais de funções para resolver inequações do tipo f(x)/g(x)<0. Explica que o quociente será negativo quando f(x) e g(x) tiverem sinais opostos, e apresenta a técnica do "varal" para analisar os sinais de f(x) e g(x) separadamente e determinar os intervalos em que o quociente é negativo.

1. Vamos supor que você se encontre em situação de ter de resolver uma inequação do tipo:
Em que f(x) e g(x) sejam duas funções dadas, com domínio e imagem no campo Real.
De antemão podemos avaliar que o quociente entre dois valores reais só será negativo se os
sinais desses números forem opostos, ou seja,
O quociente então será negativo em todos os intervalos em que as funções exibirem sinais
opostos. Se pudermos conhecer os sinais de cada uma delas ao longo do seu domínio,
estaremos aptos a encontrar a solução da nossa inequação.
Estudando os sinais de uma função contínua
o gráfico ao lado mostra uma função que
corta o eixo horizontal em x=2.
Para valores de x<2 o gráfico se situa
abaixo do eixo horizontal e para valores de
x>2, o gráfico está acima do eixo
horizontal.
Em outras palavras:
para x<2 → y<0
para x=2 → y=0
para x>2 → y>0
Este é o estudo dos sinais de uma função simples. Vamos examinar uma outra função
conhecida:
ESTUDO DOS SINAIS DE UMA FUNÇÃO

2. Ao lado temos o gráfico de uma parábola
que exprime a função do segundo grau
Esta parábola tem a concavidade voltada
para cima e corta o eixo horizontal nos
pontos x=0 e x=6.
Podemos ver que entre as suas raízes o
gráfico da função assume valores
negativos e externamente às raízes os
valores são positivos.
Uma função do terceiro grau nos mostrará
coisa semelhante.
Aqui, porém, a função tem duas
concavidades e o seu sinal se comporta de
maneira diferente em cada uma delas.
Uma parábola com a concavidade voltada
para baixo também terá comportamento
oposto ao da parábola que tem a
concavidade voltada para cima.
Se conhecermos a função com certa
intimidade isso pode ser avaliado
rapidamente, porém, em caso de dúvida
isso deve ser avaliado com segurança. Para isso vamos buscar base conceitual mais sólida.
Observe que se uma função é contínua, para ela transitar de um valor positivo para um valor
negativo, ou vice-versa, será necessário cruzar o eixo horizontal, isto, é deve assumir um valor
igual a zero em algum ponto nesse intervalo. Isso equivale a dizer:
De uma maneira mais matemática:
Se f(x) é contínua e [a, b] é um intervalo de seu domínio tal que f(a).f(b)<0 então
Se f(x) é contínua e a e b são duas raízes consecutivas então
Uma função contínua não muda de sinal entre dois zeros (raízes) consecutivos.

3. Essa conclusão é importante, como veremos a seguir. Vai nos facilitar a avaliação dos sinais de
uma função. Retomemos, como modelo, o gráfico da função do terceiro grau:
Cujas raízes ou zeros são -2, 4 e 6. Olhando para a expressão não podemos ter certeza do seu
comportamento quanto aos sinais. Mas já temos a certeza de que entre duas raízes
consecutivas o sinal não muda.
Uma técnica para o estudo dos sinais consiste em marcar os zeros da função numa reta
numérica e que, por semelhança visual, é chamada muitas vezes de “Técnica do Varal”.
Para conhecer o sinal em qualquer trecho do varal podemos atribuir à função um valor
pertencente a intervalo que queremos avaliar.
Marcamos no “varal”

4. Concluindo teremos
Ou, mais apropriadamente, numa reta numérica,
O que já havíamos verificado visualmente no gráfico
O estudo completo dos sinais indica que

5. Retomando do início, agora podemos resolver uma inequação do tipo:
Inequações produto ou quociente. Vejamos:
Temos aí um quociente entre duas funções e desejamos saber para quais valores de x esse
quociente resulta negativo.
1- Já sabemos que isso ocorrerá nos intervalos em que as funções tenham sinais opostos.
2- Já sabemos como analisar os sinais das funções no seu domínio
Encontrando as raízes:
Construímos um “varal” (reta numérica) para cada uma delas, que podemos organizar como
um quadro de sinais:
Quadro de sinais
2 3 4
numerador ++++++++ 0 ----------- 0 ++++++++ + ++++++++
denominador ------------ - ----------- - ----------- 0 ++++++++
sinal do quociente ----------- 0 ++++++++ 0 ----------- ++++++++
O quadro completa o estudo dos sinais e podemos responder
RESOLVENDO UMA INEQUAÇÃO