Este documento contém 22 exercícios sobre taxas de variação média e instantânea de funções. Os exercícios abordam cálculos de taxas de variação em diferentes intervalos, representações gráficas de funções, determinação de equações de retas tangentes, entre outros tópicos relacionados a taxas de variação.

1. numerosnamente 1
Taxa média de variação de uma função
Exercícios
1- Faz uma representação gráfica de uma função de domínio 1 , 4, sabendo que:
a) é monótona e  
b) é não monótona e  
c) é não monótona e  
Resolução:
a)
b)
c)
2- No referencial da figura está representada uma função . A reta passa pelos pontos
de coordenadas (-1 , 4) ; (2, ; ( e (7 ,
0).
Determine:
a)
b)  
c)  
Resolução:
a) Declive da reta :
;
 …calculo de : 

2. numerosnamente 2
;
b)  
c)   , pois o declive da reta é o mesmo para todos os pontos
pertencentes a essa reta.
3- Seja a função de domínio  definida por:
; Sendo
a) Determine a variação da função no intervalo 1 , 1+ .
b) Determine a taxa média de variação de no intervalo 1 , 1+ .
c) Preencha a tabela recorrendo às capacidades da sua calculadora gráfica:
 
0,1
0,01
0,0010
0,00010
d) Conjetura para que valor tende   quando tende para zero.
Resolução:
a) variação = 
b)  
c)
 
0,1 2,1
0,01 2,01
0,0010 2,001
0,00010 2,0001
d)  
4- No referencial da figura está representada uma função e duas retas e
A reta tem uma inclinação de 60º e é tangente ao gráfico de no ponto de abcissa
-1,8. A reta é paralela ao eixo das abcissas e tangente ao gráfico de no ponto de
abcissa 4.
a) Determina
b) Determine .
c) Indica o sinal de
Resolução:
a) A inclinação da reta = tg(60º)=√
√

3. numerosnamente 3
b) A reta é uma reta paralela ao eixo das abcissa logo o seu declive é zero.
c)
d) está no ramo decrescente da função, logo é negativo.
5- Relativamente a uma função g, sabe-se que:
Determine uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto .
Resolução:
O declive da reta é
 …calculo de : 
6- Em relação a uma função sabe-se que:
- é par;
- a reta é tangente ao gráfico no ponto de abcissa 3;
- e
Determine:
a)
b) J’(3)
c) J’(-3)
d) Escreva uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa
1.
Resolução:
a) é tangente ao gráfico de em 
b) Na reta o seu declive é e foi obtido por
Assim tem-se que
c) Par  ; assim ;
Por ser par: ; logo
d) Ponto de tangencia (1, j(1)) = (1 , 0) ; declive =
Reta: …calculo de ; 
.
7- Seja a função definida por . Determine:
a) Uma equação da reta tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa2.
b) O ponto ou pontos do gráfico de nos quais a reta tangente ao mesmo é paralela
à bissectriz dos quadrantes ímpares.
Resolução:
a) Ponto de tangencia: ; ;

4. numerosnamente 4
Declive:
…cálculo de : 
b) Bissetriz dos quadrantes ímpares:  o seu declive é
Ser paralela é ter o mesmo declive (inclinação).
  1 
;
8- No referencial da figura está representada a função definida por e
uma reta tangente ao gráfico de no ponto .
Determine uma equação reduzida da reta
Resolução:
é a equação da reta
;
…cálculo de 
 A reta
9- No referencial da figura está representada uma função de domínio .
a) Calcula a variação da função no intervalo 1, 3.
b) Calcula , sabendo que a variação da função
no intervalo -10 , 0 é 6.
c) Calcule   .
d) Calcule  
.
e) Calcule   .
f) Determine a variação da função no intervalo
0 , 5 sabendo que a   .

5. numerosnamente 5
Resolução:
a)
b) 
c)  
d)  
e)  
f)   
11- Considere a função representada na figura.
Indica um intervalo em que:
a) A variação é -7
b) A seja 1
c) A
d)
e) A
Resolução:
a) 8 , 9
b) 5 , 8
c) -2 , 0
d) 0 , 5
e) 0 , 1
12- Considere a função tal que:
a) Calcule a  .
b) Mostre que
c) Calcule
d) Determine a equação reduzida da reta tangente ao gráfico de no ponto de
abcissa 3.
Resolução:
a)  
b)
c) ;
d) ; Ponto (3, g(3))=(3, 1)

6. numerosnamente 6
 ; reta tangente ao gráfico é
13- Uma bola é lançada na vertical de baixo para cima. A altura , em metros, a que se
encontra a bola, decorridos segundos, é dada por:
a) Qual é a altura a que se encontra a bola decorridos 2 s?
b) Calcula a taxa média de variação da altura da bola nos primeiros 2 s?
c) Calcula a taxa de variação da altura da bola aos 2 s?
d) Mostre que e . A presenta uma interpretação para estes
resultados neste contexto.
Resolução:
a)
b)  
c)
d)
Ao fim de 3 s a bola atingiu a altura máxima (velocidade = 0 m/s) ; Para t=5 s a bola
está a descer com uma velocidade de 4 m/s.
14- No referencial da figura está representada uma função . As retas e são
tangentes ao gráfico de , respetivamente,
nos pontos e
Indica um intervalo onde a taxa média de
variação da função seja:
a) Positiva;
b) Nula;
c) Negativa;
Represente, por ordem crescente, os
números reais representados por
e
Resolução:
a)  
b)  
c)  
-

7. numerosnamente 7
15- No referencial da figura está representada uma função . A reta passa pelos pontos
e que pertencem ao gráfico de e têm abcissas, respetivamente, e .
A reta é definida pela equação vectorial:
( ) 
A reta é tangente ao gráfico da função no
ponto , interseta o eixo no ponto (4,0) e o
eixo no ponto (0,8)
a) Determine a taxa média da variação da
função no intervalo  .
b) Determine a taxa de variação da função
para
Resolução:
a) Reta : ; …cálculo de :
Reta  
A interseção das duas retas origina o ponto na figura:
{ 
O ponto é obtido pela interseção da reta com a função . Como não temos
expressão da função , conclui-se que como a inclinação da reta nesse intervalo
corresponde à taxa media de variação para o mesmo intervalo. Assim:
 
b) A taxa de variação no ponto = , pois abcissa do ponto
que é 2.

8. numerosnamente 8
16- Na figura está representada graficamente uma função real de variável real .
1. Indica a taxa média de variação nos intervalos:
a) 2 , 9
b) 6 , 12
c) 9 , 12
2. Indica, justificando, o valor lógico das seguintes
Afirmações:
2.1- Se uma função é constante no intervalo   ,
Então a   .
2.2- Se num intervalo   se verifica   , então a função é estritamente
crescente nesse intervalo.
2.3- Se num intervalo   se verifica   , então a função e necessariamente
Injetiva nesse intervalo.
Resolução:
1.
a)  
b)  
c)  
2.
2.1-Verdadeira pois se a taxa de variação média é nula num intervalo, a função nesse
intervalo é constante.
2.2-Falsa pois podemos ter a situação no intervalo  , a função assumir um ramo
crescente para   e outro ramo decrescente em  ; O valor da   é
superior ao valor  , obtendo-se uma   . Assim a função não é
estritamente crescente em  
2.3-Falsa, pois a injetividade nada influencia a  .
17- Considere a função definida por
Calcula a taxa média de variação nos intervalos:
1.
a) -1 ,1
b) 3, 5

9. numerosnamente 9
c) 2 , 2+ 
Com base nos resultados da alínea c) determine
Resolução:
1.
a)  
b)  
c)  
2. (pois
18- O movimento da bola é definido pela equação , em que
representa o espaço percorrido pela bola, em metros, e é o tempo decorrido, em
segundos, após o início do movimento. Calcula:
a) A velocidade média no intervalo 3 , 5;
b) A velocidade no instante ;
c) O instante em que a velocidade é igual à média no intervalo 1 , 4.
Resolução:
a)  
b)  
c)  
28  28 
19- O volume de uma esfera é dado pela expressão . Calcula:
a) A taxa média de variação do volume em 2 , 4;
b) A taxa de variação do volume para
Resolução:
a)  
b)  

10. numerosnamente 10
20- Na figura estão representadas no referencial o.n. :
-Parte do gráfico de uma função
-A reta , que é tangente ao gráfico da função no ponto de abcissa.
Tal como a figura sugere, a reta , interseta o
eixo no ponto de abcissa -2, e o eixo
no ponto de ordenada 1.
Indique o valor de
Resolução:
= ;
21- Seja uma função real de variável real. Sabe-se que e que a reta tangente
ao gráfico da função no ponto de abcissa 2, interseta o eixo no ponto de ordenada -
15.
Calcule
Resolução:
A reta tangente é:  …cálculo de ordenada na origem
; O ponto de abcissa pertence à reta tangente e à função,
pois é a abcissa do ponto de tangencia. Assim
22- Um balão é lançado de um terraço. Supõe que a distância do balão ao solo, minutos
após o lançamento, é dado por .
a) A que altura do solo se encontra o terraço?
b) Qual a altura máxima atingida pelo balão e em que instante ocorreu?
c) Determine a taxa média de variação da distância do balão ao solo nos primeiros 20
minutos.
d) Qua a taxa de variação da distância do balão ao solo no instante
Resolução:
a) Inicialmente: 
b) Temos de fazer um estudo da variação da função:
;
0 33,3
0 + 0 -
7 377,37
e ocorreu aos 33 minutos e 20 segundos.
c)  
d)