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1. Lista 2 de exercícios
Funções de uma variável
Prof. Cláudio N. Meneses
1 Defina os seguintes termos:
1. Função f: D  E, domínio de f, contra-domínio de f, imagem de f e gráfico de f;
Função f: D  E é uma relação entre os conjuntos D e E, na qual vale a seguinte
condição:
O conjunto D é chamado de domínio e o E contra-domínio.
A imagem de f é um conjunto numérico contido em E (podendo ser o próprio
conjunto E), que contém todos os valores de f(x) para todo x do domínio.
Gráfico de f é o conjunto dos pares ordenados (x,y), tal que
2. Função definida por partes;
São funções que são definidas de diferentes formas em diferentes intervalos do
domínio.
Ex.:
3. Função valor absoluto;
É a função denotada por f(x) = |x| e definida por:
4. Função par;
São funções que possuem simetria com o eixo y, i.e., funções que f(x) é sempre
igual a f(-x).
5. Função impar;
São funções que possuem simetria com a origem do plano cartesiano, o ponto O
= (0,0), i.e., funções em que f(x) é sempre igual a –f(-x).
6. Função crescente em um dado intervalo;
Uma função é crescente em determinado intervalo se, e somente se
7. Função decrescente em um dado intervalo;
Uma função é decrescente em determinado intervalo, se e somente se
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

2. 8. Função linear e coeficiente angular de uma função linear;
É uma função do tipo: f(x) = ax + b, sendo a e b números reais. Conjunto
domínio e o conjunto imagem são iguais ao conjunto dos números reais
(considerando o domínio mais amplo).
A constante a representa o coeficiente angular da reta, que é definido como a
tangente do menor ângulo que a reta forma com o eixo x.
9. Polinômio;
Polinômio é uma expressão algébrica definida da seguinte forma
onde,
O domínio de uma função polinomial é o conjunto dos números reais.
10. Função racional;
É uma função definida como sendo o quociente de dois polinômios, ou seja, se
h(x) é uma função racional, então pode ser escrita da seguinte forma
Seu domínio é .
11. Função algébrica;
São funções que podem ser escritas a partir de operações algébricas (soma,
subtração, multiplicação, divisão, exponenciação e extração de raízes)
envolvendo polinômios.
12. Funções exponenciais;
São funções definidas assim:
13. Funções logarítmicas;
São funções assim definidas:
14. Funções transcedentais;
São funções não algébricas, tais como as logarítmicas, exponenciais,
trigonométricas etc.
Rodrigo Thiago Passos Silva
Bacharelando em Ciência e Tecnologia
Universidade Federal do ABC

3. 15. Limite de uma função, limite à esquerda de um ponto, limite à direita de um
ponto;
Dizemos “o limite de f(x), quando x tende a a, é igual a L” e escrevemos
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L (tão
próximos quanto quisermos), tomando x suficientemente próximo de a (por
ambos os lados), mas não igual a a.
Dizemos que “o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é igual a L” e
escrevemos
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x
suficientemente próximo de a e x menor que a.
Dizemos que “o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é igual a L” e
escrevemos
se pudermos tornar os valores de f(x) arbitrariamente próximos de L, para x
suficientemente próximo de a e x maior que a. 1
16. Limites infinitos;
Seja f uma função definida em ambos os lados de a, exceto possivelmente em a.
Então
significa que podemos fazer os valores de f(x) ficarem arbitrariamente grandes
(para +∞) ou pequenos (para -∞) - tão grandes ou pequenos quando quisermos –
tomando x suficientemente próximo de a, mas não igual a a.
17. Assíntota vertical de uma curva;
Dada uma função f, que ou , dizemos
que a reta vertical x = a é a assíntota vertical da curva definida pela função f. Ou
seja, a assíntota vertical é uma reta paralela ao eixo y, que cruza o eixo x no
ponto a.
18. Definição precisa de limites e definição precisa de limites laterais;
Seja f uma função definida para todo número em algum intervalo aberto
contendo a, exceto possivelmente o número a. O limite de f(x) quando x tende a
a será L, se a seguinte afirmativa for verdadeira: 2
1
STEWART, James. Cálculo 1. 6 ed. Cengage Learning. p. 78
2
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v1. 3 ed. Harbra. p. 58
Rodrigo Thiago Passos Silva
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4. Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo
aberto (a, c). Então o limite de f(x) quando x tende a a pela direita é L se, 3
Seja f uma função que está definida em todos os números de algum intervalo
aberto (d, a). Então o limite de f(x) quando x tende a a pela esquerda é L se, 3
19. Função contínua em um número;
Uma função é contínua em um número quando seu gráfico não apresenta um
“salto” naquele ponto.
Formalmente, uma função f é contínua no ponto a, com , se, e
somente se,
20. Função contínua à esquerda de um dado número;
Uma função f é contínua à esquerda de um dado ponto a, com , se, e
somente se,
21. Função contínua à direita de um dado número;
Uma função f é contínua à direita de um dado ponto a, com , se, e
somente se,
22. Função contínua em um intervalo;
Uma função é contínua em um intervalo aberto, se, e somente se, ela for
contínua em todos os números do intervalo aberto.
Uma função será contínua no intervalo [a,b] se, e somente se, ela for contínua no
intervalo aberto (a,b), contínua à direita de a e contínua à esquerda de b.
2 Explique, com suas próprias palavras, os significados dos seguintes resultados:
1. Uma curva no plano xy é o gráfico de uma função de x se e somente se nenhuma
reta vertical cortar a curva mais de uma vez;
Pela definição de função todo x pertencente ao domínio deve estar relacionado a
um, e único, y pertencente ao contra-domínio. Se traçada uma reta vertical ao
3
LEITHOLD, Louis. O Cálculo com Geometria Analítica. v1. 3 ed. Harbra. p. 73-74
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5. gráfico e ela cortar a curva mais de uma vez significa que um único valor de x
está relacionado a mais de um valor de y, fazendo, assim, com que a curva não
seja uma função.
2. se e somente se e ;
L só pode ser o limite de f(x), quando x tende a a, se quando x tender a a pelos
dois lados, faz com que f(x) se aproxime cada vez mais perto de L, de forma
convergente.
3. Se f(x) = g(x) quando x ≠ a, então , desde que o
limite exista;
É trivial que se duas funções são iguais seus limites também serão. Cabe apenas
a ressalva da importância da informação x ≠ a. Essa informação é disposta pois
mesmo as duas funções sendo iguais, elas podem estar escritas de formas
diferentes, de modo que uma delas não esteja definida no ponto a.
4. Se f(x) ≤ g(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e os
limites de f e g existem quando x tende a a, então
É trivial que se há uma relação de „grandeza‟ entre duas funções, seus limites
terão a mesma relação, se considerando a tendência da abscissa a um mesmo
ponto. Sem perda de generalidade é possível - imaginando no plano cartesiano
duas retas, ambas com o mesmo coeficiente angular e separadas horizontalmente
por alguns pontos - visualizar que o limite da função menor será menor que da
função maior, para x tendendo ao mesmo ponto.
5. Se f(x) ≤ g(x) ≤ h(x) quando x está próximo de a (exceto possivelmente em a) e
então
Intuitivamente, se as funções f e h tiverem o mesmo limite quando x tende a um
determinado ponto a, uma função de valores intermediários terá,
necessariamente, o mesmo limite. As proximidades desse ponto a (ou,
possivelmente o próprio a) serão iguais nas três funções. O ponto a, ou
proximidades, é um ponto convergente das três funções.
6. Se f e g forem contínuas no número a e se c for uma constante, então as
seguintes funções também são contínuas em a:
(a) f + g
Como f(x) e g(x) são contínuas em a, então pela definição de continuidade:
Utilizando as propriedades de limites, sabe-se que:
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6. Portanto, f + g é contínua no ponto a.
(b) f – g
Considerando que f – g = f + (-g) observa-se que este é um caso particular do
item (a).
(c) cf
Como f(x) é contínuas em a, então pela definição de continuidade:
Logo, para cf(x):
o que confirma que a função é contínua em a.
(d) fg
Pela definição de continuidade:
Portanto, fg é contínua.
(e)
Pela definição de continuidade:
Portanto, é contínua.
7. (a) Qualquer polinômio é contínuo em todo o seu domínio; ou seja em
.
Tomando um ponto qualquer e a função polinomial genérica
.
f é uma função contínua, se, e somente se,
Resolvendo o limite, a partir das propriedades:
Portanto, toda função polinomial e contínua.
(b) Qualquer função racional é contínua sempre que estiver definida; ou seja, é
contínua em seu domínio.
Tomando um ponto qualquer e a função
h é contínua se, e somente se,
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7. Calculando o limite por meio das propriedades:
Portanto, toda função racional é contínua em seu domínio.
8. Os seguinte tipos de funções são contínuas para todo número em seus domínios:
(a) polinômios
(b) funções racionais
Demonstração de ambos feita acima.
(c) funções raízes
(d) funções trigonométricas
(e) funções trigonométricas inversas
(f) funções exponenciais
(g) funções logarítmicas
Basta um esboço dos gráficos de cada função acima para notar que são
contínuas. Algumas funções trigonométricas inversas possuem “saltos” em
seu gráfico, por exemplo, a função arccos no ponto , entretanto são
pontos que não pertencem ao domínio da função, portanto não faz sentido
falar em continuidade nesses valores.
9. Seja f contínua em b e , então .
Significa que
Esta é a propriedade que permite algumas, entre outras, manipulações
conhecidas, como:
i)
ii)
iii)
10. Se g for contínua em um número a e f contínua em g(a), então a função
composta dada por é contínua em a.
Sendo g uma função continua em a, temos que
Sendo f contínua em b = g(a), temos, pelo teorema explicado no exercício
anterior:
comprovando, assim, que é contínua em a.
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8. 11. Suponha que f seja contínua em um intervalo fechado [a,b] e seja N um número
qualquer entre f(a) e f(b), em que f(a) ≠ f(b). Então existe um número c em (a,b)
tal que f(c) = N.
Se a função é contínua, no gráfico existirão infinitos pontos entre f(a) e f(b).
Certamente traçando uma a reta horizontal y = N entre os pontos, essa reta
cortará um ou mais pontos do gráfico, que correspondem à abscissa c.
Rodrigo Thiago Passos Silva
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