1) O documento discute equações de planos e retas no espaço, resolvendo vários exercícios sobre esses tópicos. 2) Inclui determinar equações de planos passando por pontos dados e paralelos ou perpendiculares a outros planos e vetores. 3) Também cobre encontrar equações de retas passando por pontos dados ou paralelas a vetores, e a interseção entre retas e planos.

1. numerosnamente 1
Plano e Retas no Espaço
Exercícios Resolvidos
1- Considere os pontos ( ) ( ) Determine:
a) A equações cartesianas da reta
b) A equação do plano mediador do segmento de reta  
Resolução:
a) ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ( ) ) ( )
Reta a passar no ponto A:
Reta a passar no ponto B:
b) Ponto médio de   =M=
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
2- Determine a equação do plano que contém o ponto ( ) e é perpendicular
ao vetor ⃗ ( )
Resolução:
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( ) ( )
3- Escreva uma equação do plano que contenha o ponto ( ) e:
a) Paralelo ao plano
b) Paralelo ao plano
c) Paralelo ao plano
Resolução:
a)
b)
c)
4- Determine a equação do pano , sendo ( ) ( ) ( ).
Resolução:
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ então ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )

2. numerosnamente 2
{ { ….por exemplo se
⃗ ( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
é a equação do plano
5- Escreva a equação do plano que contém o ponto ( ) e é paralelo aos vetores
⃗ ( ) e ( )
Resolução:
⃗ ( ) ; ⃗ ⃗ ⃗ então ⃗ ⃗ ⃗
( ) ( ) ( ) ( )
{ { então ⃗ ( ) ; se ⃗ ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ( )( )
6- Considere o prisma retangular definido na figura, cuja área da base é 25 e o
volume é de 175 .
a) Determine as coordenadas dos vértices do prisma.
b) Escreva a equação do plano que contém a face EHGF.
c) Escreva a equação da reta BG.
d) Determine uma equação do plano mediador do
segmento AH.
e) Determine uma equação da superfície esférica de
centro no ponto D e que passa por H.
f) Determine uma equação do plano ACE.
g) Determine uma equação do plano que contem o ponto
G e,
1) É paralela ao plano
2) É paralela ao plano
3) É paralela ao plano
Resolução:
a) Área = ( ) 25 lado √
Volume = 25 altura
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
( ) ( )
b)
c) Vetor diretor: ⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )

3. numerosnamente 3
Equação vetorial: ( ) ( ) ( )
d) Ponto médio AH = M=
{
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( )
e) Raio= distância entre e
√ √
Equação da superfície esférica:
f) Plano ACE:
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( ) ( ) ( )
⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ então ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ⃗⃗⃗⃗⃗
( ) ( ) ( ) ( )
{ { ⃗ ( ); Se tem-se:
⃗ ( )
A equação do plano: ⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( )( )
g) Ponto ( )
1) paralela ao plano
2) paralela ao plano
3) paralela ao plano
7- Considere o plano e o ponto ( ) exterior ao plano.
a) Determine as equações cartesianas da reta perpendicular ao plano e que
contem o ponto
b) Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta , definida por:
, com o plano .
c) Determine a equação cartesiana de um plano perpendicular ao plano e que
passe pelo ponto .
d) Considere o vetor ⃗ ( ). Escreva uma reta paralela a ⃗ e que contenha o
ponto
e) Escreva a equação do plano perpendicular a ⃗ ( ) e que contenha o
ponto

4. numerosnamente 4
Resolução:
a) ( )
Se a reta é perpendicular ao plano, o vetor é o vetor diretor dessa reta.
b) Ponto de interseção
{ {
( )
( )
{ { { {
c) ⃗⃗⃗ ; ( ) ( ) …por exemplo ( )
⃗⃗⃗⃗⃗ ( )( )
d) ⃗ ( ). Um vetor paralelo é um vetor colinear: Por exemplo ⃗
Se fizer por exemplo  ( )
Equação vetorial da reta: ( ) ( ) ( )
e) O plano é perpendicular a ⃗ .
⃗⃗⃗⃗⃗ ⃗ ( )( )
8- Considere a reta , definida por: . Indique um possível vetor
diretor de reta
Resolução:
( )
9- Considere um referencial o.n. , o ponto ( ) e a reta definida por:
( ) ( ) ( )
a) Escreva as equações cartesianas da reta .
b) Determine as coordenadas do ponto de interseção da reta com o plano
c) Determine a equação da reta que passa por e tem a direção do eixo
Resolução:
a)
b) Plano {
c) Direção de :

5. numerosnamente 5
10- Na figura ao lado, está representada, num referencial parte de um plano
Cada um dos pontos pertence a um eixo coordenado.
O plano é definido pela equação: .
Seja a reta que passa por e é perpendicular ao plano
Determine a sua equação vetorial.
⃗ ( ) vetor normal ao plano e é o vetor diretor da
reta .
( ) ( ) ( )  equação vetorial
11- Na figura ao lado, está representada, num referencial uma pirâmide
quadrangular regular   cuja base está contida no plano
-o ponto pertence ao eixo
-o ponto ( )
-o ponto pertence ao plano de equação
- ( ) é a equação do plano
- ( ) a equação do plano ABV
a) Determine o volume da pirâmide.
b) Determine as coordenadas do ponto
c) Seja ( ) e seja a reta que contem e é perpendicular ao plano
Averigúe se a reta contem o ponto .
Resolução:
a) Ponto interseção do plano com eixo das abcissas 
( ); ̅̅̅̅ √ √
Área da base = √ √ (base quadrada da pirâmide)
Altura da pirâmide
Volume=
b) { {
c) : se substituir ; O ponto
pertence à reta dada.