O documento discute conceitos de máximos, mínimos, pontos críticos e concavidade de funções. Explica como localizar extremos absolutos e relativos usando derivadas de primeira e segunda ordem, e como construir gráficos de funções baseado nestes conceitos.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Estudo completo de funções: domínio, contradomínio, raízes, variação, sinal, extremos, concavidades, pontos de inflexão, inversa, injetiva, paridade, assintotas e gráficos.
Sugestão de aula de Matemática para o Ensino Médio Integrado da Fundação de Apoio à Escola Técnica. Produzido pela Diretoria de Desenvolvimento da Educação Básica e Técnica/FAETEC.
Estudo completo de funções: domínio, contradomínio, raízes, variação, sinal, extremos, concavidades, pontos de inflexão, inversa, injetiva, paridade, assintotas e gráficos.
Apresentamos uma breve introdução de limite, derivada e integral, necessária
para apoiar o estudo das grandezas cinemáticas utilizadas na descrição
do movimento de um corpo. Exploramos no texto os aspectos geométricos
das definições. Não apresentamos demonstrações rigorosas dos
resultados no texto.
Funções - Teoria sobre: paridade, translação de um gráfico de uma função; dilatação e contração de um gráfico de uma função; reflexão de um gráfico de uma função; monotonia de funções; extremos de um função
Apresentamos uma breve introdução de limite, derivada e integral, necessária
para apoiar o estudo das grandezas cinemáticas utilizadas na descrição
do movimento de um corpo. Exploramos no texto os aspectos geométricos
das definições. Não apresentamos demonstrações rigorosas dos
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Funções - Teoria sobre: paridade, translação de um gráfico de uma função; dilatação e contração de um gráfico de uma função; reflexão de um gráfico de uma função; monotonia de funções; extremos de um função
Aula 3 da disciplina de matemática 2 para os cursos Tecnólogo em Refrigeração e Climatização e Tecnólogo em Construção de Edifícios. Conteúdo: Esboço do gráfico de uma função.
Slides Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24.pptxLuizHenriquedeAlmeid6
Slideshare Lição 10, CPAD, Desenvolvendo uma Consciência de Santidade, 2Tr24, Pr Henrique, EBD NA TV, Lições Bíblicas, 2º Trimestre de 2024, adultos, Tema, A CARREIRA QUE NOS ESTÁ PROPOSTA, O CAMINHO DA SALVAÇÃO, SANTIDADE E PERSEVERANÇA PARA CHEGAR AO CÉU, Coment Osiel Gomes, estudantes, professores, Ervália, MG, Imperatriz, MA, Cajamar, SP, estudos bíblicos, gospel, DEUS, ESPÍRITO SANTO, JESUS CRISTO, Com. Extra Pr. Luiz Henrique, de Almeida Silva, tel-What, 99-99152-0454, Canal YouTube, Henriquelhas, @PrHenrique, https://ebdnatv.blogspot.com/
proposta curricular para educação de jovens e adultos- Língua portuguesa- anos finais do ensino fundamental (6º ao 9º ano). Planejamento de unidades letivas para professores da EJA da disciplina língua portuguesa- pode ser trabalhado nos dois segmentos - proposta para trabalhar com alunos da EJA com a disciplina língua portuguesa.Sugestão de proposta curricular da disciplina português para turmas de educação de jovens e adultos - ensino fundamental. A proposta curricular da EJa lingua portuguesa traz sugestões para professores dos anos finais (6º ao 9º ano), sabendo que essa modalidade deve ser trabalhada com metodologias diversificadas para que o aluno não desista de estudar.
Projeto de articulação curricular:
"aLeR+ o Ambiente - Os animais são nossos amigos" - Seleção de poemas da obra «Bicho em perigo», de Maria Teresa Maia Gonzalez
América Latina: Da Independência à Consolidação dos Estados NacionaisValéria Shoujofan
Aula voltada para alunos do Ensino Médio focando nos processos de Independência da América Latina a partir dos antecedentes até a consolidação dos Estados Nacionais.
América Latina: Da Independência à Consolidação dos Estados Nacionais
4 max-min
1. U N I V E R S I D A D E F E D E R A L D A B A H I A
M A T 0 1 3 - M a t e m á t ic a I
I N S T I T U T O D E M A T E M Á T I C A
D E P A R T A M E N T O D E M A T E M Á T I C A
P r o f . : L e o p o l d i n a C a c h o e i r a M e n e z e s
Máximos e Mínimos
1. Introdução
No contexto do estudo de derivadas, resolvemos problemas de funções quadráticas onde se pretendia
encontrar o valor ótimo que estas assumiam, ou seja, o seu valor máximo.
O ponto máximo, onde o coeficiente angular é zero, geralmente era único, o que nos permitia igualar a
derivada da função a zero e, em seguida, resolve-las em x.
Um exemplo é a função lucro, representada por ,120006800400)( 2
−+−= xxxL a qual você deve
esboçar o gráfico e constatar as informações acima.
Entretanto nem sempre é tão simples assim, pois, de maneira geral, nem todo ponto da função no qual a
derivada é nula é o pico do gráfico.
y = x³ y = x²
fig. 1 fig. 2
Temos duas funções cujas derivadas em x = 0 são nulas. Ambas possuem tangentes horizontais em (0;0),
mas a função y = x² alcança seu valor mínimo em (0;0), enquanto que a função y = x³ não possui máximo
nem mínimo neste ponto.
A situação torna-se mais complicada com a existência de funções que possuem máximos e mínimos em
pontos nos quais as derivadas nem sequer são definidas, como ilustramos nas figuras 3 e 4.
<+
>−
=
01
01
xsex
xsex
y 3
2
xy =
fig. 3 fig. 4
Vemos então uma forma sistematizada de locação e identificação de máximos e mínimos de funções
diferenciáveis. Neste processo você também aprenderá como usar derivadas que o ajudarão a construir
gráficos de funções.
2. Máximos e Mínimos Relativos
Um máximo relativo de uma função é um “pico”, o ponto máximo do gráfico em relação a qualquer outro
ponto vizinho a ele no gráfico.
Um mínimo relativo é um “fundo de vale”, o ponto mínimo do gráfico em relação a qualquer outro ponto
vizinho. A função representada na figura 5 possui um máximo relativo em x = b, e mínimos relativos em
2. x = a e x = c. Note que o máximo relativo não precisa ser o ponto mais alto do gráfico, é máximo somente
em relação aos pontos vizinhos. Da mesma forma, o mínimo relativo não é o ponto “mais baixo” do gráfico.
a b c
fig. 5
Conhecendo-se os intervalos nos quais a função é crescente ou decrescente, pode-se facilmente identificar
os máximos e mínimos relativos da função. O máximo relativo ocorre quando a função deixa de ser
crescente e passa a ser decrescente. O mínimo relativo ocorre quando a função deixa de ser decrescente e
passa a ser crescente.
3. Sinal da Derivada
Pode-se reconhecer quando uma função é crescente ou decrescente através do sinal da sua derivada,
porque a derivada é o coeficiente angular da reta tangente. Quando a derivada é positiva, o coeficiente
angular da tangente é positivo e a função é crescente. Caso contrário, quando a derivada é negativa, o
coeficiente angular é negativo e a função é decrescente. A figura 6 ilustra essa situação.
Y = f(x)
Y = f(x)
● ●
fig. 6-a fig. 6-b
a b a b
Conclusão:
Se f (x) > 0, quando a < x < b, então f é crescente para a < x < b
Se f (x) < 0, quando a < x < b, então f é decrescente para a < x < b
4. Pontos Críticos
Sendo 0x um ponto pertencente ao domínio de uma função f (x), diz-se que 0x é abscissa de um ponto
crítico se:
A função é crescente quando sua derivada é positiva e decrescente quando sua derivada é negativa, os
únicos pontos nos quais a função pode assumir máximos ou mínimos relativos são aquelas nos quais as
derivadas são nulas ou indefinidas.
O ponto crítico da função é aquele no qual a derivada é nula ou indefinida. Todo extremo relativo é um
ponto crítico, mas nem todo ponto crítico é um extremo relativo.
1) f ( 0x ) = 0
3. 2) f ( 0x ) não está definida
Observe que:
1) Se o sinal da derivada for positivo à esquerda do ponto crítico e negativo à direita dela, o ponto é
um máximo relativo. (fig. 7a).
2) Se o sinal da derivada for negativo à esquerda do ponto crítico e positivo à direita dela, o ponto é
um máximo relativo. (fig. 7b).
3) Se o sinal da derivada for o mesmo em ambos os lados do ponto crítico, o ponto não é máximo nem
mínimo relativo. (fig. 7c).
●
●
0x 0x 0x
fig. 7a
fig. 7b fig. 7c
5. Teorema de FERMAT (Condições necessárias para a existência de extremo relativo):
Seja f definida em (a;b) e ( ).;0 bax ∈ Se f assume um extremo relativo em x e f (x) existe,
então f ( 0x ) = 0.
6. Seja f uma função contínua em [a;b] e derivável em ]a;b[ :
a) f é crescente em [ ] ( ) 0; ≥⇔ xfba
b) f é decrescente em [ ] ( ) 0; ≤⇔ xfba
Teste da Derivada Primeira para Extremos Relativos:
Seja f contínua em [a;b] e ] [.;0 bax ∈ Suponhamos que f seja derivável em ]a;b[ exceto possivelmente
em 0x .
a) se f (x) > 0 para x < 0x e f (x) < 0 para x > 0x então 0x é o ponto máximo relativo.
b) se f (x) < 0 para x < 0x e f (x) > 0 para x > 0x então 0x é o ponto mínimo relativo.
Teste da Derivada Segunda para Extremos Relativos:
Seja f derivável em ]a;b[. Se ] [bax ;0 ∈ é tal que f (x) existe e é contínua em V(x) então:
a) se f ” ( )0x < 0, 0x é o ponto máximo relativo.
b) se f ” ( )0x > 0, 0x é o ponto mínimo relativo.
Máximos e Mínimos Absolutos:
4. Na Maioria dos problemas práticos de otimização, o objetivo é calcular o máximo absoluto ou mínimo
absoluto de uma certa função num intervalo e não o máximo ou mínimo relativo. O máximo absoluto de uma
função no intervalo é o maior valor da função neste intervalo. O mínimo absoluto é o menor valor.
Freqüentemente, os extremos absolutos coincidem com os relativos. No intervalo bxa ≤≤ , o máximo
absoluto e o máximo relativo coincidem, porém o mínimo absoluto ocorre na extremidade de x = a, que não
é um mínimo relativo.
Fig. 8
a b
Extremos Absolutos em Intervalos Fechados:
Uma função contínua num intervalo fechado alcança um máximo absoluto e um mínimo absoluto no
intervalo.
O extremo absoluto pode coincidir com o extremo relativo ou ocorrer no extremo x = a ou x = b. A figura 9
ilustra estas possibilidades.
● ● ● ● ●
● ● ● ● ●
Máximo absoluto coincide
com máximo relativo
Máximo absoluto ocorre
numa extremidade
Máximo absoluto coincide com
mínimo relativo
Mínimo absoluto ocorre
numa extremidade
fig. 9
Usando estas observações, podemos descrever uma técnica simples de localização e identificação dos
extremos absolutos de funções contínuas em intervalos fechados.
Como Calcular Extremos Absolutos de uma Função Contínua f num Intervalo Fechado [a;b].
1o
Passo: Calcule as coordenadas x de todos os pontos críticos de f no intervalo bxa ≤≤ .
2o
Passo: Calcule f (x) nestes pontos críticos e nas extremidades x = a e x = b.
3o
Passo: Selecione os maiores e menores valores de f (x) conseguidos no 2o
Passo. Você obterá, então,
respectivamente, o máximo absoluto e mínimo absoluto.
Extremos Absolutos em Intervalos não Fechados
Quando o intervalo no qual desejamos maximizar ou minimizar a função não é da forma [a;b], precisamos
modificar a técnica, porque, não é garantida a existência de extremos absolutos da função no intervalo em
questão. Por outro lado, se um extremo absoluto existe e a função é contínua, o extremo absoluto coincidirá
com o extremo relativo ou com uma extremidade contida no intervalo. A figura 10 ilustra algumas dessas
possibilidades.
fig. 10
5. ●
Não possui máximo absoluto em x > 0 Não possui mínimo absoluto em x ≥ 0
Para calcular os extremos absolutos de uma função contínua num intervalo que não seja fechado,
calculamos o valor da função nos pontos críticos e nas extremidades contidas no intervalo, pois a função
possui extremos relativos neste intervalo.
7. Teorema do Valor Extremo
Se f é contínua em [a;b], então possui um valor máximo absoluto e um valor mínimo absoluto.
Concavidade
Diz-se que uma curva tem concavidade para baixo quando sua tangente se move no sentido dos ponteiros
do relógio, ao percorre a curva da esquerda para a direita.
Diz-se que uma curva tem concavidade para cima quando sua tangente se move no sentido contrário ao
dos ponteiros do relógio, ao percorre a curva da esquerda para a direita.
Concavidade e Coeficiente Angular da Tangente
Quando a curva tem concavidade para cima (como na fig. 6-a), o coeficiente angular de sua tangente
cresce quando x aumenta de valor. Quando a curva tem concavidade para baixo (como na fig. 6-b), o
coeficiente angular da sua tangente decresce quando x aumenta de valor.
Sinal da Derivada Segunda
A relação entre concavidade e coeficiente angular da tangente determina uma caracterização simples de
concavidade em termos de sinal da derivada Segunda. Suponha que a derivada Segunda f “ seja positiva
num intervalo. Logo, a derivada Primeira f ‘ é crescente no intervalo. Mas f ‘ é o coeficiente angular da
tangente, portanto, é crescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para cima no intervalo. Por outro
lado, se f “ é negativo no intervalo, então f ‘ é decrescente e a curva do gráfico de f tem concavidade para
baixo no intervalo.
Significado geométrico do sinal da derivada Segunda:
a) se f “ (x) > 0 quando a < x < b, então, f tem concavidade para cima em a < x < b.
b) se f “ (x) < 0 quando a < x < b, então, f tem concavidade para baixo em a < x < b.
Pontos de Inflexão
O ponto no qual ocorre a variação de concavidade da função denomina-se ponto de inflexão. Se a derivada
Segunda é definida no ponto de inflexão, seu valor tem que ser zero. Os pontos de inflexão podem ocorrer
onde a derivada Segunda é indefinida.
Os pontos nos quais a derivada Segunda da função é nula ou indefinida denominam-se pontos críticos de
Segunda ordem.
Construção de Gráficos
Devemos seguir os seguintes passos, para obter o gráfico da função f (x):
a) Explicite o domínio;
b) Calcule a derivada Primeira e, em seguida, as coordenadas x dos pontos críticos de primeira
ordem, igualando f ‘ (x) a zero e resolvendo a equação em x. Não esqueça de incluir também
valores de x para os quais a derivada é indefinida. Substitua estes valores de x na função f (x),
obtendo as coordenadas y dos pontos críticos.
c) Calcule a derivada Segunda f “ (x). Proceda como no passo anterior.
d) Estude o sinal da Primeira derivada e determine onde f (x) é crescente ou decrescente. Destaque
os pontos Máximo e Mínimo.
e) Estude a concavidade de f (x), verificando o sinal da Segunda derivada. Destaque os pontos de
inflexão.
f) Determine as equações das assíntotas verticais e obliquas e as interseções com os eixos
coordenados...
g) Construa o gráfico.
Intervalos Sinal de f ‘ (x) Sinal de f “ (x) Crescente ou Decrescente Concavidade Formato de Curva
+ + Para cima
6. - + Para cima
+ - Para baixo
- - Para baixo
Exercícios
1. Para as funções abaixo, pede-se:
I. Domínio e imagem;
II. Seus intervalos de crescimento ou decrescimento;
III. Seus extremos relativos;
IV. Seus pontos de inflexão;
V. Assíntotas
VI. Esboçar seus gráficos.
a) 13)( 23
++= xxxf
b) 29)( 3
3
+−= xxf x
c) 3
)1(3)( +−= xxf
d) 32
)1()( −= xxf
e) 1,)( )1(
2
≠= −
xxf x
x
f) 0,)( 1
≠+= xxxf x
2. Uma empresa possui a Receita e o Custo dados pelas equações
.1)(11)( 6
292
+=+= x
xCexxxR Para o intervalo de produção de 0 a 6 unidades,
determine:
a) A produção para que o Custo seja mínimo;
b) Os intervalos em que a função Custo cresce ou decresce;
c) A produção para que a Receita seja máxima;
d) Os intervalos em que a Receita cresce ou decresce;
e) A produção para que o Lucro seja máximo;
f) O Ponto de Ruptura.
3. Suponha que a equação de demanda para uma certa mercadoria seja p = 4 – 0,0002x, onde x é
o número de unidades produzidas semanalmente e p reais é o preço de cada unidade. O número
do custo total da produção de x unidades é 800 + 3x. Se o lucro semanal deve ser o maior
possível, encontre o número de unidades que serão produzidas semanalmente, o preço de cada
unidade e o lucro semanal.
R: x = 2500 p = R$ 3,50 L = R$ 450,00
4. Verificar os intervalos de crescimento e decrescimento da função .603)( 2
xxxf +=
R: x > -10 f é crescente x < -10 f é decrescente
5. Determine os intervalos em que a função 71232)( 23
−−+= xxxxf é crescente, decrescente,
determine os extremos relativos e esboce seu gráfico.
R: x < -2; x > 1 f é crescente -2 < x < 1 f é decrescente .
x 0 = -2 é abscissa de pto de máx (-2; 13) x 0 = -2 é abscissa de pto de mín (1; -14)