Tópico 08 - Derivadas

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Tópico 08 - Derivadas

  1. 1. Matemática I Tópico 08– Derivação Ricardo Bruno N. dos Santos Professor Faculdade de Economia e do PPGE (Economia) UFPA UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA FACULDADE DE ECONOMIA
  2. 2. Derivação e Interpretação Geométrica
  3. 3. 8 – Derivação O principal significado da derivada é ser uma inclinação. Antes era muito fácil ver a inclinação de uma reta, mas e quando temos uma curva? Vejamos no Geogebra.
  4. 4. 8 – Derivação
  5. 5. 8 – Derivação O primeiro elemento para verificarmos a regra da derivada é verificar o comportamento de uma variação de x e y. Esse aspecto pode ser melhor visualizado a partir de um gráfico. Assim: x f(x) x0 x0+x f(x0+x) f(x0+x)-f(x0) x0+x-x0 f(x0) Retas secantes Reta tangente
  6. 6. 8 – Derivação
  7. 7. 8 – Derivação
  8. 8. 8 – Derivação
  9. 9. 8 – Derivação
  10. 10. 8 – Derivação
  11. 11. PROVA E REGRAS DE DERIVAÇÃO
  12. 12. 8 – Derivação: Regras
  13. 13. 8 – Derivação: Regras
  14. 14. 8 – Derivação: regras
  15. 15. 8 – Derivação: Regras
  16. 16. 8 – Derivação: Regras
  17. 17. 8 – Derivação: Regras
  18. 18. 8 – Derivação: Regras
  19. 19. 8 – Derivação: Regra da Cadeia
  20. 20. 8 – Derivação: Regras
  21. 21. 8 – Derivação: alguns exemplos de derivada Vamos ver no geogebra alguns exemplos de derivadas:
  22. 22. APLICAÇÕES EM ECONOMIA
  23. 23. 8 – Derivação: Aplicações em Economia 1- As Funções Marginais em Economia A análise marginal é o estudo das taxas de variação das quantidades econômicas. Por exemplo, um economista está não apenas interessado no valor do PIB de uma economia em um certo instante de tempo, mas também está igualmente preocupado com a taxa com a qual ele está aumentando ou diminuindo. Da mesma forma, um produtor está não só interessado no custo total com relação ao nível de produção de um bem, mas também está interessado na taxa de variação do custo total com relação ao nível de produção, e assim por diante. Vamos iniciar com um exemplo para aplicar o significado do adjetivo marginal, tal como é usado pelos economistas.
  24. 24. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  25. 25. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  26. 26. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  27. 27. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  28. 28. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  29. 29. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  30. 30. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  31. 31. 8 – Derivação: Aplicações em Economia
  32. 32. 8 – Derivação 700 14.300 2 ( ) 0,02 400R x x x   ( ) 100 200.000C x x  Quando tiramos a 1ª derivada da função lucro e a igualamos a zero encontraremos o ponto em que o lucro é MAXIMIZADO 0 0,04 300 300 0,04 7.500 x x x     7.500 Região do Lucro MÁXIMO
  33. 33. 8 – Derivação : Aplicações em Economia
  34. 34. 8 – Derivação : Aplicações em Economia Suponha que o preço unitário de um bem aumente h reais, de p reais para (p+h) reais como na figura acima. A quantidade demandada cai em f(p) unidades para f(p+h) unidades, ou seja, uma variação de f(p+h) – f(p) unidades.
  35. 35. 8 – Derivação : Aplicações em Economia
  36. 36. 8 – Derivação : Aplicações em Economia
  37. 37. 8 – Derivação : Aplicações em Economia
  38. 38. 8 – Derivação : Aplicações em Economia
  39. 39. 8 – Derivação : Aplicações em Economia
  40. 40. ORDEM DA DERIVAÇÃO
  41. 41. 8 – Derivação : Ordem Superior
  42. 42. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada
  43. 43. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada Fazendo uso da derivada podemos estabelecer os seguintes termos para identificação de funções (crescentes ou decrescentes) a) Se f’(x) > 0 para cada valor de x em um intervalo (a,b), então f é crescente em (a,b) b) Se f’(x) < 0 para cada valor de x em um intervalo (a,b), então f é decrescente em (a,b) c) Se f’(x) = 0 para cada valor de x em um intervalo (a,b), então f é decrescente em (a,b) (nesse ponto podemos identificar o ponto de máximo ou de mínimo de um determinado intervalo).
  44. 44. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada
  45. 45. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada
  46. 46. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada
  47. 47. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada
  48. 48. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 2ª Derivada
  49. 49. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 2ª Derivada
  50. 50. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 2ª Derivada
  51. 51. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 2ª Derivada
  52. 52. 8 – Derivação : Aplicações em Economia – 2ª Derivada
  53. 53. Relação entre Exponenciais e Logarítmos
  54. 54. 8 – Derivação
  55. 55. 8 – Derivação
  56. 56. 8 – Derivação: Derivadas de funções exponenciais. h 0,1 0,01 0,001 -0,1 -0,01 -0,001 (eh-1)/h 1,0517 1,005 1,0005 0,9516 0,995 0,9995
  57. 57. 8 – Derivação : Derivadas de funções exponenciais.
  58. 58. 8 – Derivação : Derivadas de funções logarítmicas. h 0,1 0,01 0,001 0,4879 0,44987 0,4998
  59. 59. 8 – Derivação
  60. 60. 8 – Derivação
  61. 61. Aplicação
  62. 62. FIM DO TÓPICO

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