Derivação e Economia: Funções Marginais e Custos

Matemática I
Tópico 08– Derivação
Ricardo Bruno N. dos Santos
Professor Faculdade de Economia
e do PPGE (Economia) UFPA
UNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁ
INSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSA
FACULDADE DE ECONOMIA

Derivação e
Interpretação
Geométrica

8 – Derivação
O principal significado da derivada é ser uma
inclinação. Antes era muito fácil ver a inclinação de
uma reta, mas e quando temos uma curva?
Vejamos no Geogebra.

8 – Derivação
De forma intuitiva o que está acontecendo?
No cálculo, a derivada representa a taxa de variação
instantânea de uma função. Um exemplo típico é a função
velocidade que representa a taxa de variação (derivada) da
função espaço. Do mesmo modo a função aceleração é a
derivada da função velocidade.
Diz-se que uma função f é derivável (ou diferenciável) se,
próximo de cada ponto a do seu domínio, a função f(x)−f(a) se
comportar aproximadamente como uma função linear, ou seja,
se o seu gráfico for aproximadamente uma reta. O declive de
uma tal reta é a derivada da função f no ponto a e representa-se
por
𝑓′ 𝑎 ou por
𝑑𝑓
𝑑𝑥
(𝑎)

8 – Derivação
O primeiro elemento para verificarmos a regra da derivada
é verificar o comportamento de uma variação de x e y. Esse
aspecto pode ser melhor visualizado a partir de um gráfico.
Assim:
x
f(x)
x0 x0+x
f(x0+x)
f(x0+x)-f(x0)
x0+x-x0
f(x0)
Retas secantes
Reta tangente

8 – Derivação
Então estamos diminuindo o valor de x de tal
forma que ele está se aproximando de zero. No
entanto repare no seguinte, o nosso principal objetivo
é calcular a variação que ocorre entre os valores de x
e y, para medir essa taxa de variação entre os dois
pontos basta fazermos:
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0
∆𝑥
Esse elemento é conhecido como a taxa de
variação média de f no intervalo [𝑥0, 𝑥0 + ∆𝑥], ou a
declividade da reta secante.

8 – Derivação
O conceito de derivada ocorre quando observamos a taxa de
variação média se tornando uma taxa de variação instantânea
de f em x ou a declividade da reta tangente. Ou seja, a derivada
só ocorrerá quando o valor de x  0.
Observa-se portanto, que o conceito de derivada de uma
função necessita do conceito de limite de uma função, onde a
variação em x deve tender a zero (já que a mesma não pode ser
igual a zero).
Com isso, a derivada de uma função f em relação a x é a
função f’ definida por:
𝑓′(𝑥) lim
∆𝑥→0
𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 − 𝑓 𝑥0
∆𝑥
Sendo o domínio de f o conjunto de todos os valores de x
para os quais o limite existe.

8 – Derivação
Outras notação muito comuns para derivadas
são as seguintes:
𝐷𝑥𝑓(𝑥) (d sub x de f de x)
dy/dx (d y d x)
y’ ( y linha)

8 – Derivação
Seja a função f tal que 𝑓 𝑥 = 3𝑥 + 1, com x  R.
Sejam 𝑥0 = 1; 𝑥0 + ∆𝑥 = 4 ∴ ∆𝑥 = 3
Substituindo na função teremos:
𝑓 𝑥0 = 3 1 + 1 = 4 ; 𝑓 𝑥0 + ∆𝑥 = 3 4 + 1 = 13
∆𝑦
∆𝑥
=
𝑓 𝑥0+∆𝑥 −𝑓(𝑥0)
∆𝑥
=
13−4
3
=
9
3
= 3

8 – Derivação
Aplicando a fórmula da taxa de variação instantânea
podemos obter a derivada de uma determinada função. Para
melhorar a notação vamos estabelecer que:
𝑥0 → 𝑥
∆𝑥 → ℎ
Assim teremos:
𝑓′(𝑥) lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓(𝑥)
ℎ

8 – Derivação: Regras
01) A Derivada de uma constante
Se tivermos uma função:
𝑓(𝑥) = 𝑐, então: 𝑓′
(𝑥) = 0
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐 − 𝑐
ℎ
= lim
ℎ→0
0 = 0

02) Derivada de uma função linear afim
Caso tenhamos 𝑓 𝑥 = 𝑐𝑥, onde c é uma constante
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐(𝑥 + ℎ) − 𝑐(𝑥)
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑐𝑥 + 𝑐ℎ − 𝑐𝑥
ℎ
=
𝑐ℎ
ℎ
= 𝑐

8 – Derivação: regras
3) Derivada de uma função quadrática
Caso nossa função seja: 𝑓 𝑥 = 𝑥2 teremos:
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 2 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑥2 + ℎ2 + 2ℎ𝑥 − 𝑥2
ℎ
= lim
ℎ→0
ℎ2 + 2ℎ𝑥
ℎ
= ℎ + 2𝑥
𝑓′ 𝑥 = 2𝑥

4) Derivada de uma função polinomial com expoente n
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 𝑛
− 𝑥𝑛
ℎ
Considerando que h = 𝑥 + ℎ − 𝑥
= lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 𝑛 − 𝑥𝑛
𝑥 + ℎ − 𝑥
Então observe que acima teremos uma expressão do tipo:
𝑐𝑛−𝑑𝑛
𝑐−𝑑
, cujo resultado será: 𝑐𝑛−1 + 𝑐 𝑛−2 𝑑 + ⋯ + 𝑐𝑑𝑛−2 + 𝑑𝑛−1,
Assim teremos:
𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑥 + ℎ 𝑛−1 + 𝑥 + ℎ 𝑛−2𝑥 + ⋯ + 𝑥𝑛−2 𝑥 + ℎ + 𝑥𝑛−1
Verifica-se que: 𝑓′(𝑥) = lim
ℎ→0
𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1 + ⋯ + 𝑥𝑛−1 + 𝑥𝑛−1
O termo n aparecerá n vezes, portanto:
𝑓′
𝑥 lim
ℎ→0
= 𝑛𝑥𝑛−1

5) Função Irracional
Caso tenhamos uma função do tipo: 𝑓 𝑥 = 𝑛
𝑥
𝑓′ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑛
𝑥 + ℎ − 𝑛
𝑥
ℎ
=
𝑛
𝑥 + ℎ − 𝑛
𝑥
(𝑥 + ℎ) − 𝑥
=
𝑛
𝑥 + ℎ − 𝑛
𝑥
𝑛
𝑥 + ℎ
𝑛
− 𝑛
𝑥 𝑛
𝑓′
𝑥 =
1
𝑛
𝑥 + ℎ
𝑛
− 𝑛
𝑥 𝑛
𝑛
𝑥 + ℎ − 𝑛
𝑥
𝑓´ 𝑥 =
1
𝑛
𝑥 + ℎ
𝑛−1
+ 𝑛
𝑥
𝑛
𝑥 + ℎ
𝑛−2
+ ⋯ + 𝑛
𝑥 𝑛−1
lim
ℎ→0
𝑓′
𝑥 =
1
𝑛
𝑥 𝑛−1 + 𝑛
𝑥 𝑛−1 + ⋯ + 𝑛
𝑥 𝑛−1
𝑓′
𝑥 =
1
𝑛 𝑛
𝑥 𝑛−1

5) Regras do produto e do quociente
5 a) Produto
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥 + 𝑓′ 𝑥 𝑔(𝑥)
5 b) Quociente
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥
𝑔 𝑥
=
𝑓′ 𝑥 𝑔 𝑥 − 𝑓 𝑥 𝑔′ 𝑥
𝑔 𝑥
2
Evidente que g(x)0

6) Derivada da Soma e da diferença
Caso tenhamos
𝑑
𝑑𝑥
𝑓 𝑥 ± 𝑔 𝑥 = 𝑓′ 𝑥 ± 𝑔′(𝑥)

8 – Derivação: Regra da Cadeia
A regra da cadeia é uma das mais importantes dentro da
derivada de funções, pois é a partir desta regra que podemos
derivar as funções composta, onde (fog)=f[g(x)]
Imagine que tenhamos que calcular a seguinte expressão:
𝑦 = 2𝑥 + 2 8
Uma forma de solucionar essa equação é a aplicação do
binômio de Newton, porém, podemos observar que isso iria ser
um processo bastante preocupante.
Pela DEFINIÇÃO da regra da cadeia temos:
𝑓𝑜𝑔 ′
𝑥 = 𝑓𝑔 𝑥 ′
𝑔′(𝑥)
Ou na notação de Leibniz a regra é:
𝑑𝑓
𝑑𝑥
=
𝑑𝑓
𝑑𝑔
×
𝑑𝑔
𝑑𝑥

Imagine que tenhamos a seguinte função:
𝑓 𝑥 =
1
4𝑥2 − 7 2
Vamos resolver essa regra da cadeia pelos dois
métodos.

8 – Derivação: alguns exemplos de derivada
Vamos ver no geogebra alguns exemplos de
derivadas:

8 – Derivação: Aplicações em Economia
1- As Funções Marginais em Economia
A análise marginal é o estudo das taxas de variação das
quantidades econômicas. Por exemplo, um economista está
não apenas interessado no valor do PIB de uma economia em
um certo instante de tempo, mas também está igualmente
preocupado com a taxa com a qual ele está aumentando ou
diminuindo. Da mesma forma, um produtor está não só
interessado no custo total com relação ao nível de produção
de um bem, mas também está interessado na taxa de
variação do custo total com relação ao nível de produção, e
assim por diante. Vamos iniciar com um exemplo para aplicar
o significado do adjetivo marginal, tal como é usado pelos
economistas.

1-a) As funções Custo
Suponha que o custo total semanal em dólares
incorrido pela companhia Polaraire para a fabricação de x
refrigeradores seja dado pela função custo total
𝐶 𝑥 = 8000 + 200𝑥 − 0,2𝑥2 0 ≤ 𝑥 ≤ 400
i) Qual o custo total envolvido na fabricação do 251-ésimo
refrigerador?
ii) Determine a taxa de variação da função custo total com
relação a x quando x=250;
iii) Qual o custo fixo da empresa?
iv) Compare os resultados de i) e ii)

i) O Custo atual envolvido na produção do 251-ésimo
refrigerador equivale a diferença entre o custo de produção do
refrigerador 251 menos o custo de produção do 250, assim
teríamos:
𝐶 251 = 8000 + 200 251 − 0,2 251 2
=45.599,8
𝐶 250 = 8000 + 200 250 − 0,2 250 2
=45.500,00
=45.599,8-45.500
=99,80
ii) A taxa de variação do custo total C com relação a x é dada
pela derivada de C, isto é, 𝐶′
𝑥 = 200 − 0,4𝑥. Assim quando a
produção é de 250 refrigerantes, a taxa de variação do custo total
com relação a x é dada por
𝐶′
250 = 200 − 0,4 250 = 100

iii) O custo fixo ocorre quando, independente da
produção, ocorrerá algum gasto por parte da empresa, assim
o custo fixo ocorre quando x = 0. Dessa forma teríamos:
C(0)=8.000
Portanto, pelo conceito de marginal, verificamos que a
taxa de variação do custo nada mais é que a primeira
derivada da função custo total, ou seja, é o Custo Marginal.
1-b) Funções de Custo Médio
O custo médio representa o custo da empresa por
produção, ou seja, trata-se da expressão dada por:
𝐶 𝑥 =
𝐶 𝑥
𝑥

No caso de nosso exemplo anterior o custo médio seria dado
por:
𝐶 𝑥 =
8000
𝑥
+ 200 − 0,2𝑥
1-c) Funções Receita
A função receita é representada pelo produto entre o preço e a
quantidade, assim temos:
𝑅 𝑥 = 𝑝𝑥
Já verificamos que o preço é um elemento que está relacionado
com a quantidade produzida, trata-se da função demanda, ou seja, é
sabido que:
𝑝 = 𝑓(𝑥)
Assim poderíamos reescrever a função receita como: 𝑅 𝑥 =
𝑥𝑓(𝑥).
Assim como o custo total, a receita tem uma função marginal,
trata-se de sua primeira derivada que é conhecida como receita
marginal.

Suponha que a relação entre o preço unitário p em reais e a
quantidade demandada de x de uma empresa é dado por
𝑝 = −0,02𝑥 + 400 0 ≤ 𝑥 ≤ 20000
i) Determine a função receita
ii) Determine a função receita marginal
iii) Determine a receita média
iv) Calcule R’(2000) e interprete seus resultados
i)
A função receita será dada por
𝑅 𝑥 = 𝑝𝑥
𝑅 𝑥 = −0,02𝑥 + 400 𝑥
𝑅 𝑥 = −0,02𝑥2
+ 400𝑥

ii)
Como receita marginal teremos:
𝑅′
𝑥 = −0,04𝑥 + 400
iii) A receita média será 𝑅 𝑥 = −0,02𝑥 + 400
iv) 𝑅′ 2000 = −0,04 2000 + 400 = 320

1-d) Funções Lucro
O lucro é obtido pela diferença entre a receita total R(x)
e o Custo total C(x): Ou seja
𝜋 = 𝑅 𝑥 − 𝐶(𝑥)
Ele também tem sua versão marginal, basta derivarmos
a função lucro, a derivada nesse caso nos mostrará o ponto
em que o lucro será máximo.
Agora vamos ver uma relação interessante que existe
entre as três funções:
Suponha que tenhamos uma função custo dada por
𝐶 𝑥 = 100𝑥 + 200.000
E receita dada por
𝑅 𝑥 = −0,02𝑥2 + 400𝑥

Então nossa função lucro será:
𝜋 𝑥 = 𝑅 𝑥 − 𝐶(𝑥)
= −0,02𝑥2 + 400𝑥 − (100𝑥 + 200.000)
= −0,02𝑥2
+ 300𝑥 − 200.000
Vamos fazer um esboço gráfico de todas as funções,
evidentemente que estamos trabalhando com uma escala
muito alta, portanto, vamos utilizar a escala em milhares de
unidades.
Primeiramente vamos fazer um gráfico conjunto das
funções receita total e custo total, para isso vamos utilizar o
software o Octave, Geogebra e o Calc.
Antes vamos verificar como fica a derivada da função
lucro e em seguida vamos as suas interpretações
𝜋′ 𝑥 = −0,04𝑥 + 300

8 – Derivação
700 14.300
2
( ) 0,02 400
R x x x
  
( ) 100 200.000
C x x
 
Quando tiramos a 1ª
derivada da função lucro
e a igualamos a zero
encontraremos o ponto
em que o lucro é
MAXIMIZADO
0 0,04 300
300
0,04
7.500
x
x
x
  


7.500
Região do
Lucro
MÁXIMO

8 – Derivação : Aplicações em Economia
1-e) A Elasticidade
É um dos mais importantes critérios utilizados pelos
economistas para analisar a função demanda.
Nesse caso estaremos analisando a função demanda
dada por 𝑥 = 𝑓(𝑝) , ou seja, estaremos analisando a
quantidade demandada de um certo bem como uma função
de seu preço unitário.
Como já sabemos, a função demanda é decrescente,
portanto:

Suponha que o preço unitário de um bem aumente h reais,
de p reais para (p+h) reais como na figura acima. A quantidade
demandada cai em f(p) unidades para f(p+h) unidades, ou seja,
uma variação de
f(p+h) – f(p) unidades.

Com isso, teremos a variação percentual no preço
unitário como:
ℎ
𝑝
∗ 100
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑒 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑢𝑛𝑖𝑡á𝑟𝑖𝑜
𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑝
∗ 100
E a variação percentual correspondente da quantidade
demandada é igual a
100
𝑓 𝑝 + ℎ − 𝑓 𝑝
𝑓 𝑝
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑑𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑑𝑎
𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑑𝑎 𝑝𝑒𝑙𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜 𝑝
∗ 100
Se considerarmos trabalhar a variação na quantidade
demandada sobre a variação no preço teremos:

𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑎 𝑞𝑢𝑎𝑛𝑡𝑖𝑑𝑎𝑑𝑒 𝑑𝑒𝑚𝑎𝑛𝑑𝑎𝑑𝑎
𝑣𝑎𝑟𝑖𝑎çã𝑜 𝑝𝑒𝑟𝑐𝑒𝑛𝑡𝑢𝑎𝑙 𝑛𝑜 𝑝𝑟𝑒ç𝑜
100 ∗
𝑓 𝑝 + ℎ − 𝑓 𝑝
𝑓 𝑝
100 ∗
ℎ
𝑝
=
𝑓 𝑝 + ℎ − 𝑓 𝑝
ℎ
𝑓 𝑝
𝑝
Se f é diferenciável em p, então
𝑓 𝑝 + ℎ − 𝑓 𝑝
ℎ
≈ 𝑓′(𝑝)
Quando o valor de h tende a zero.

Dessa forma, se h tende a zero, teremos:
𝑓′ 𝑝
𝑓 𝑝
𝑝
=
𝑝𝑓′ 𝑝
𝑓 𝑝
O negativo desta quantidade é o que denominamos de
elasticidade da demanda.
Portanto, se f é uma função demanda diferençiável
definida por x=f(p), então a elasticidade da demanda para o
preço p é dada por
𝐸 𝑝 =
𝑝𝑓′ 𝑝
𝑓 𝑝

A forma de analisarmos a elasticidade da demanda são
três:
- Elástica a preço – quando 𝐸 𝑝 > 1. Isso significa que
uma pequena variação percentual no preço unitário resulta
em uma grande variação percentual na quantidade.
- Inelástico a preço - – quando 𝐸 𝑝 < 1. Isso significa que
em uma pequena variação percentual na quantidade.
- Unitária – quando quando 𝐸 𝑝 = 1. Isso significa que
em uma igual variação percentual na quantidade.

Imagine que tenhamos a função dada por:
𝑝 = −0,02𝑥 + 400 (0 ≤ 𝑥 ≤ 20000)
Determine E(p) e calcule para E(100) e E(300)
𝑥 = 𝑓 𝑝 = −50𝑝 + 20000
𝑓′ 𝑝 = −50
𝐸 𝑝 =
𝑝𝑓′ 𝑝
𝑓 𝑝
=
𝑝 −50
−50𝑝 + 20000
=
𝑝
400 − 𝑝
𝐸 100 =
100
400 − 100
=
1
3

8 – Derivação : Ordem Superior
A derivada f’ de uma função f também é uma função. Como
tal, a diferenciabilidade de f’ pode ser considerada. Assim, a
função f’ tem uma derivada f’ em um ponto x do domínio de f’ se
o limite do quociente
𝑓′ 𝑥 + ℎ − 𝑓′ 𝑥
ℎ
existe quando h se aproxima de zero. Em outras palavras, é
a derivada da primeira derivada.
A função f’ obtida desta maneira é chamada de segunda
derivada da função f, assim como a derivada f’ é chamada de
primeira derivada de f. Dessa forma, podemos verificar que as
derivadas podem ser tiradas até a sua enésima parte:
𝑓′ 𝑥 , 𝑓′′ 𝑥 , 𝑓′′′ 𝑥 , … , 𝑓(𝑛)(𝑥)
Ou 𝐷1 𝑥 , 𝐷2 𝑥 , 𝐷3 𝑥 , … , 𝐷𝑛(𝑥)

8 – Derivação : Aplicações em Economia – 1ª Derivada
Determinando os pontos em que uma função e crescente ou
decrescente.
Uma função f é crescente em um intervalo (a,b), se para quaisquer
dois números 𝑥1 e 𝑥2 em (a,b), 𝑓 𝑥1 < 𝑓(𝑥2), sempre que 𝑥1 < 𝑥2.
Uma função f é decrescente em um intervalo (a,b), se para quaisquer
dois números 𝑥1 e 𝑥2 em (a,b), 𝑓 𝑥1 > 𝑓(𝑥2), sempre que 𝑥1 < 𝑥2.

Fazendo uso da derivada podemos estabelecer os
seguintes termos para identificação de funções (crescentes ou
decrescentes)
a) Se f’(x) > 0 para cada valor de x em um intervalo (a,b),
então f é crescente em (a,b)
b) Se f’(x) < 0 para cada valor de x em um intervalo (a,b),
então f é decrescente em (a,b)
c) Se f’(x) = 0 para cada valor de x em um intervalo (a,b),
então f é decrescente em (a,b) (nesse ponto podemos
identificar o ponto de máximo ou de mínimo de um
determinado intervalo).

Determine o intervalo onde a função 𝑓 𝑥 = 𝑥3
− 3𝑥2
−
24𝑥 + 32 é crescente e onde ela é decrescente.
Pela primeira derivada de f(x) temos:
𝑓′
𝑥 = 3𝑥2
− 6𝑥 − 24
Fatorando a função temos:
3 𝑥2
− 2𝑥 − 8
3 𝑥 + 2 𝑥 − 4
Portanto, facilmente podemos identificar que as duas raízes
da função são: 𝑥 = −2 e 𝑥 = 4 , assim, teríamos os
seguintes intervalos na reta dos reais:
−∞, −2 ; −2,4 ; 𝑒 (4, +∞)
Para esses pontos podemos verificar portanto os seguintes
resultados na tabela abaixo:

Com base nisto, podemos definir como ficará o comportamento
gráfico dessa função.
Aqui podemos portanto verificar alguns conceitos já vistos, como os
extremos relativos.
- Uma função f tem um Máximo relativo em x=c se existe um intervalo
aberto (a,b) contendo c tal que 𝑓(𝑥) ≤ 𝑓(𝑐) para todo x em (a,b)
- Uma função f tem um Mínimo relativo em x=c se existe um intervalo
aberto (a,b) contendo c tal que 𝑓(𝑥) ≥ 𝑓(𝑐) para todo x em (a,b)
f(c) representa o ponto em que a primeira derivada da função é zero.

Quando encontramos o valor 𝑓′ 𝑥 = 0 estamos
encontrando o ponto crítico da função. Porém vamos
observar a seguinte função:
𝑓 𝑥 = 𝑥
2
3
O que podemos considerar sobre a sua primeira
derivada?
Ela pode ser igual a zero?
Como ficará o gráfico dessa função?

Porém verificamos que a sua primeira derivada não é
definida em zero, portanto, temos o caso de um ponto crítico
em que 𝑓′(𝑥) não existe.

Aplicações da Segunda Derivada.
Determinando os intervalos de concavidade: Já verificamos
que a primeira derivada nos informa a existência ou não de um
ponto crítico na função quando temos 𝑓′ 𝑥 = 0, porém, temos
uma forma de verificar se esse ponto crítico trata-se de um ponto
de máximo, mínimo ou inflexão.
Para verificarmos isso, basta aplicarmos a segunda
derivada, com isso, podemos verificar se determinado ponto é
máximo ou mínimo. Portanto:
a) Se 𝑓′′
𝑥 > 0 para cada valor de x em (a,b), então f é côncava
para cima em (a,b). (teremos portanto um Mínimo relativo)
b) Se 𝑓′′
𝑥 < 0 para cada valor de x em (a,b), então f é côncava
para baixo em (a,b). (teremos portanto um Máximo relativo)

Voltando a função anterior verificamos que:
𝑓 𝑥 = 𝑥3 − 3𝑥2 − 24𝑥 + 32
e 𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2 − 6𝑥 − 24
Já a sua segunda derivada será:
𝑓′′ 𝑥 = 6𝑥 − 6
Ou seja: 𝑓′′ 𝑥 = 0 𝑡𝑒𝑟𝑒𝑚𝑜𝑠 𝑥 = 1
Para valores maiores que 1 os valores da segunda
derivada serão positivos, o que indica um ponto de mínimo.
Já para valores menores que 1 teremos a segunda derivada
negativa, o que indica um ponto de máximo.

Já sobre o ponto de inflexão, temos uma indefinição na
primeira derivada, vejamos o exemplo abaixo:
𝑓 𝑥 = 𝑥3
Na primeira derivada temos:
𝑓′ 𝑥 = 3𝑥2
O que podemos considerar quando esse valor é igual a
zero?

Imagine a seguinte função:
𝑓 𝑥 =
1
𝑥2 + 1 2
Essa função irá gerar o seguinte gráfico:
O que acontece nos testes da primeira e segunda
derivada?

Então pelo teste da segunda derivada temos os possíveis
resultados:
1) Se 𝑓′′
𝑥 < 0, então f tem um máximo relativo em c.
2) Se 𝑓′′ 𝑥 > 0, então f tem um mínimo relativo em c.
3) Se 𝑓′′
𝑥 = 0, o teste falha; isto é, é inconclusivo.
Resumindo teremos:

Relação entre Exponenciais e
Logarítmos

8 – Derivação
Propriedades conjuntos (relacionais) entre exponenciais e
logaritmos.
Antes de avançarmos nas derivadas de funções
exponenciais e logarítmicas, vejamos alguns relações
importantes entre essas duas funções:
𝑒ln 𝑥 = 𝑥 (𝑥 > 0)
ln 𝑒𝑥 = 𝑥 (𝑅)
A partir de funções compostas podemos verificar então
que:
𝑓𝑜𝑔 𝑥 = 𝑓 𝑔 𝑥
= 𝑒ln 𝑥
= 𝑥
𝑔𝑜𝑓 𝑥 = 𝑓 𝑓 𝑥
= ln 𝑒𝑥 = 𝑥
𝑓 𝑔 𝑥 = 𝑔 𝑓 𝑥 = 𝑥

8 – Derivação
Vejamos então a solução para a seguinte equação:
2𝑒𝑥+2 = 5
𝑒𝑥+2 =
5
2
= 2,5
ln 𝑒𝑥+2 = ln 2,5
𝑥 + 2 = ln 2,5
𝑥 = −2 + ln 2,5
≈ −1,08

8 – Derivação: Derivadas de funções exponenciais.
Se tivermos 𝑓 𝑥 = 𝑒𝑥
Então:
𝑓´ 𝑥 = lim
ℎ→0
𝑓 𝑥 + ℎ − 𝑓 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑒 𝑥+ℎ − 𝑒𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
𝑒𝑥
(𝑒ℎ
− 1)
ℎ
= 𝑒𝑥
lim
ℎ→0
(𝑒ℎ
− 1)
ℎ
Vamos verificar em uma tabela o que acontece com a
expressão do limite quando nos aproximamos de zero tanto pela
direita como pela esquerda:
.
h 0,1 0,01 0,001 -0,1 -0,01 -0,001
(eh-1)/h 1,0517 1,005 1,0005 0,9516 0,995 0,9995

8 – Derivação : Derivadas de funções exponenciais.
Verificamos portanto que se aproxima de 1, logo pode-
se concluir que:
𝑓′ 𝑥 = 𝑒𝑥 × 1 = 𝑒𝑥
Calcule a derivada das funções abaixo:
𝑓 𝑥 = 𝑥2𝑒𝑥 𝑔 𝑡 = 𝑒𝑡 + 2
3
2

8 – Derivação : Derivadas de funções logarítmicas.
Temos que a derivada da função 𝑓 𝑥 = ln 𝑥
𝑓′
𝑥 = lim
ℎ→0
ln 𝑥 + ℎ − ln 𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ln
𝑥 + ℎ
𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ln 1 +
ℎ
𝑥
ℎ
= lim
ℎ→0
ln[ 1 +
ℎ
𝑥
1
ℎ
]
Vejamos na tabela abaixo o que acontece com o valor da
função acima quando o valor de ℎ se aproxima de zero para 𝑥 = 2:
.
h 0,1 0,01 0,001
ln 1 +
ℎ
2
1
ℎ
0,4879 0,44987 0,4998

8 – Derivação
Porém, outra forma de provar isso é considerando a
demonstração de Tan:
Podemos representar 𝑓 𝑥 = ln 𝑥 como:
𝑥 = 𝑒𝑓 𝑥
Derivando ambos os lados da equação teremos:
1 = 𝑒𝑓 𝑥
∗ 𝑓′(𝑥)
𝑒𝑓 𝑥
=
1
𝑓′ 𝑥
Ou de forma equivalente teremos:
𝑓′ 𝑥 =
1
𝑒𝑓 𝑥
Como vimos que 𝑥 = 𝑒𝑓 𝑥 então: 𝑓′ 𝑥 =
1
𝑥

8 – Derivação
Encontre as derivadas para
𝑓 𝑥 = 𝑥 ln 𝑥 e 𝑔 𝑥 =
ln 𝑥
𝑥
A regra da cadeia para funções logarítmicas possui uma
peculiaridade:
𝑑
𝑑𝑥
ln 𝑓 𝑥 =
𝑓′ 𝑥
𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 > 0

Aplicação
Imagine que a função preço de uma empresa seja dada por:
𝑝 = −0,00042𝑥 + 6
𝑅 𝑥 = −0,00042𝑥2
+ 6𝑥
Onde p é o preço.
O custo total mensal da empresa é dado por:
𝐶 𝑥 = 600 + 2𝑥 − 0,00002𝑥2
Qual o nível de produção que maximiza o lucro dessa empresa?
𝜋 = 𝑅 𝑥 − 𝐶(𝑥)

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