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R ELATÓR IO 2
Aplicações das D erivadas no Estudo das Funções
A principal aplicação das derivadas está diretamente relacionada à finalidade
de encontrar os valores máximos e mínimos de determinada função. Maximizar
lucros, maximizar a produção e minimizar custos são exemplos comuns dessa
aplicação.
Em uma análise mais profunda das aplicações podemos identificar: o teorema
do valor médio no intervalo de crescimento e decrescimento de uma função,
máximos e mínimos locais, máximos e mínimos absolutos e aplicações com
máximos e mínimos.
O teorema do valor médio: Seja f contínua no intervalo [a,b] e derivável em
]a,b[, então haverá pelo menos um c em ]a,b[ tal que:
(f (b) – f (a)) / (b–a) = f ' (c) ou f (b) – f (a) = f ' (c) (b – a)
Uma reta S` que passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f(b)), existirá pelo menos
um ponto (c, f (c)) tal que a < c < b onde a reta tangente de f , nesse ponto, é
paralela a reta `S`. Temos por definição que,
(f (b) – f (a)) / (b - a)
é o coeficiente angular de s, e que f ' (c) é o de T, daí
(f (b) – f (a)) / (b - a) = f ' (c)
O intervalo de crescimento e decrescimento de uma função segundo
Simmons “Uma função f (x) é crescente nos intervalos em que f ' (x) > 0 e é
decrescente nos intervalos em que f ' (x) < 0”. E pode ser observado pelo seguinte
teorema:
Seja f continua no intervalo I,
a) Se f ' (x) > 0 para todo x interior a I, então f será́ estritamente crescente em I.
b) Se f ' (x) < 0 para todo x interior a I, então f será́ estritamente decrescente
em I.
Os máximos e mínimos locais são compreendidos com o teste da primeira e
da segunda derivada:
Teste da Derivada Primeira. Seja f uma função com ponto critico em x0, de
sorte que f (x0) = 0. Se f '(x) for positiva à esquerda e negativa à direita de x0, então
x0 será́ ponto de máximo de f (x). Ao Contrario, se f '(x) for negativa à esquerda e
positiva à direita de x0, então x0 será́ ponto de mínimo de f (x).
Teste da Derivada Segunda. Seja f uma função com ponto critico em x0, tal
que f '(x) seja continua num intervalo (x0 –, x0 +). Então x0 será́ ponto de máximo de
f ''(x0)< 0 e ponto mínimo se f ''(x0) > 0.
Os máximos e mínimos absolutos compreendem:
Valor extremo: Se uma função f for continua num intervalo fechado finito [a,b],
então f tem ambos um máximo e um mínimo absolutos em [a, b].
Valor extremo absoluto: Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo
aberto (a, b), então ele precisa ocorrer em ponto critico de f.
Aplicações com máximos e mínimos, exposto pelo autor Howard Anton em
seu livro cálculos, um novo horizonte, notamos que esses problemas exprimem na
maioria das vezes um projeto comum, de maximizar lucros, minimizar custos,
fazendo com que um economista busque a melhor forma de traçar estratégias que
visão a melhor rentabilidade para a empresa a qual esta direcionada a um projeto.
No desenvolvimento desta pesquisa observamos uma estrutura que nos
apresenta aspectos fundamentais para a compreensão da Derivada, o conceito
propriamente dito, onde pudemos relembrar as principais noções de como se
caracteriza seu estudo e as ferramentas que nos ligam as suas aplicações através
da utilização de Máximos e Mínimos de uma função.
MIN IMIZAN D O C U STO D A SAPATAR IA
D eri vando a função custo C (q) = q²-40q+700
Seja C Ꞌ(q) = q²-40q+700 a função custo, então a deri vada fi ca
C Ꞌ (q) = 2q-40.
Fazendo C Ꞌ(q)=0, temos 2q-40=0, resolvendo a equação,
obtemos 2q=40 → q=40/2=20. Logo o resultado, 20, é o número de
sapatos que deve produzi r todo di a para mi ni mi zar os custos.
Portanto, com o uso da deri vada podemos di zer que o numero
de sapatos a serem vendi dos para se mi ni mi zar o custo será de 20
por di a.
R ELATÓR IO 3
Etapa 3
Passo 1 Pesquisar e faz er um texto de 2 laudas ALIN E E AR I
“Função do 2º Grau; Aplicações das D erivadas nas Á reas
Econômicas e Administrativa ”.
LU C R O MÁ XIMO D A SAPATAR IA
Um valor bom para venda de cada sapato é R$ 40,00(valor dado
pelo enunci ado do trabalho). Então a função de venda (Recei ta) seria
R(q) = 40q, poi s a função recei ta é defi ni da pelo preço uni tári o de
venda do produto multi pli cado pela quanti dade “q” vendi das. Já a
função lucro, denotada por L(q) é defi ni da como a di ferença da
função recei ta pela função custo, L(q) = R(q) – C (q). No caso, L(q) =
40q – (q²- 40q+700) = - q²+80q+700. D aí, ele usamos a mesma
técni ca que fez para a função custo, deri vamos e em segui da
i gualamos a deri vada a zero e reso lvemos a equação.
D essa forma, a deri vada da função lucro:
LꞋ(q) = -2q+80
Igualando a zero e resolvendo a equação, temos:
LꞋ(q) = 0 → -2q + 80 = 0 → - 2q = -80 →x = 80/2 = 40.
O valor encontrado, 40, é exatamente o número de sapatos que
se deve vender di ari amente para a empresa obter o lucro máxi mo.

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  • 1. R ELATÓR IO 2 Aplicações das D erivadas no Estudo das Funções A principal aplicação das derivadas está diretamente relacionada à finalidade de encontrar os valores máximos e mínimos de determinada função. Maximizar lucros, maximizar a produção e minimizar custos são exemplos comuns dessa aplicação. Em uma análise mais profunda das aplicações podemos identificar: o teorema do valor médio no intervalo de crescimento e decrescimento de uma função, máximos e mínimos locais, máximos e mínimos absolutos e aplicações com máximos e mínimos. O teorema do valor médio: Seja f contínua no intervalo [a,b] e derivável em ]a,b[, então haverá pelo menos um c em ]a,b[ tal que: (f (b) – f (a)) / (b–a) = f ' (c) ou f (b) – f (a) = f ' (c) (b – a) Uma reta S` que passa pelos pontos (a, f (a)) e (b, f(b)), existirá pelo menos um ponto (c, f (c)) tal que a < c < b onde a reta tangente de f , nesse ponto, é paralela a reta `S`. Temos por definição que, (f (b) – f (a)) / (b - a) é o coeficiente angular de s, e que f ' (c) é o de T, daí (f (b) – f (a)) / (b - a) = f ' (c) O intervalo de crescimento e decrescimento de uma função segundo Simmons “Uma função f (x) é crescente nos intervalos em que f ' (x) > 0 e é decrescente nos intervalos em que f ' (x) < 0”. E pode ser observado pelo seguinte teorema: Seja f continua no intervalo I,
  • 2. a) Se f ' (x) > 0 para todo x interior a I, então f será́ estritamente crescente em I. b) Se f ' (x) < 0 para todo x interior a I, então f será́ estritamente decrescente em I. Os máximos e mínimos locais são compreendidos com o teste da primeira e da segunda derivada: Teste da Derivada Primeira. Seja f uma função com ponto critico em x0, de sorte que f (x0) = 0. Se f '(x) for positiva à esquerda e negativa à direita de x0, então x0 será́ ponto de máximo de f (x). Ao Contrario, se f '(x) for negativa à esquerda e positiva à direita de x0, então x0 será́ ponto de mínimo de f (x). Teste da Derivada Segunda. Seja f uma função com ponto critico em x0, tal que f '(x) seja continua num intervalo (x0 –, x0 +). Então x0 será́ ponto de máximo de f ''(x0)< 0 e ponto mínimo se f ''(x0) > 0. Os máximos e mínimos absolutos compreendem: Valor extremo: Se uma função f for continua num intervalo fechado finito [a,b], então f tem ambos um máximo e um mínimo absolutos em [a, b]. Valor extremo absoluto: Se f tiver um extremo absoluto em um intervalo aberto (a, b), então ele precisa ocorrer em ponto critico de f. Aplicações com máximos e mínimos, exposto pelo autor Howard Anton em seu livro cálculos, um novo horizonte, notamos que esses problemas exprimem na maioria das vezes um projeto comum, de maximizar lucros, minimizar custos, fazendo com que um economista busque a melhor forma de traçar estratégias que visão a melhor rentabilidade para a empresa a qual esta direcionada a um projeto. No desenvolvimento desta pesquisa observamos uma estrutura que nos apresenta aspectos fundamentais para a compreensão da Derivada, o conceito propriamente dito, onde pudemos relembrar as principais noções de como se caracteriza seu estudo e as ferramentas que nos ligam as suas aplicações através da utilização de Máximos e Mínimos de uma função.
  • 3. MIN IMIZAN D O C U STO D A SAPATAR IA D eri vando a função custo C (q) = q²-40q+700 Seja C Ꞌ(q) = q²-40q+700 a função custo, então a deri vada fi ca C Ꞌ (q) = 2q-40. Fazendo C Ꞌ(q)=0, temos 2q-40=0, resolvendo a equação, obtemos 2q=40 → q=40/2=20. Logo o resultado, 20, é o número de sapatos que deve produzi r todo di a para mi ni mi zar os custos. Portanto, com o uso da deri vada podemos di zer que o numero de sapatos a serem vendi dos para se mi ni mi zar o custo será de 20 por di a.
  • 4. R ELATÓR IO 3 Etapa 3 Passo 1 Pesquisar e faz er um texto de 2 laudas ALIN E E AR I “Função do 2º Grau; Aplicações das D erivadas nas Á reas Econômicas e Administrativa ”.
  • 5. LU C R O MÁ XIMO D A SAPATAR IA Um valor bom para venda de cada sapato é R$ 40,00(valor dado pelo enunci ado do trabalho). Então a função de venda (Recei ta) seria R(q) = 40q, poi s a função recei ta é defi ni da pelo preço uni tári o de venda do produto multi pli cado pela quanti dade “q” vendi das. Já a função lucro, denotada por L(q) é defi ni da como a di ferença da função recei ta pela função custo, L(q) = R(q) – C (q). No caso, L(q) = 40q – (q²- 40q+700) = - q²+80q+700. D aí, ele usamos a mesma técni ca que fez para a função custo, deri vamos e em segui da i gualamos a deri vada a zero e reso lvemos a equação. D essa forma, a deri vada da função lucro: LꞋ(q) = -2q+80 Igualando a zero e resolvendo a equação, temos: LꞋ(q) = 0 → -2q + 80 = 0 → - 2q = -80 →x = 80/2 = 40. O valor encontrado, 40, é exatamente o número de sapatos que se deve vender di ari amente para a empresa obter o lucro máxi mo.