Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações

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Matemática I - Tópico 04: Equações do 1º e 2º graus e Inequações

  1. 1. Matemática ITópico 04– Funções (equações eInequações)Ricardo Bruno N. dos SantosProfessor Faculdade de Economiae do PPGE (Economia) UFPAUNIVERSIDADE FEDERAL DO PARÁINSTITUTO DE CIÊNCIAS SOCIAIS APLICADAS – ICSAFACULDADE DE ECONOMIA
  2. 2. 2.1.1) Conceito: Uma função é uma relação entre duas variáveis xe y (ou conjuntos A e B) tal que o conjunto de valores para x édeterminado, e a cada valor x está associado a um e somente umvalor para y.As variáveis x e y são conhecidas também como variáveldependente (y) e independente (x).A relação entre x e y é expressa por: y=f(x).2.1.2) Domínio de uma função: O domínio da função são todosos valores encontrados no conjunto de dados de x, ou conjunto A.2.2.3) Contradomínio e imagem: O contradomínio é arepresentação de todos os elementos que temos no conjuntoB, enquanto que a imagem são todos os elementos docontradomínio (conjunto B) que possuem alguma correspondênciacom o domínio (conjunto A)FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
  3. 3. Representando através de um diagrama teremos:FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
  4. 4. Vamos observar o seguinte exemplo para fixarmos a ideia dedomínio, contradomínio e imagem de uma função:Dada a seguinte função f(x)=x+1, e os conjuntos A(1, 2, 3, 4, 5) eB(1, 2, 3, 4, 5, 6, 7)Então pelo diagrama de flechas teremos:FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
  5. 5. Quais dos gráficos abaixo podemos classificar como função:FUNÇÕESConceito, domínio, contradomínio e imagem
  6. 6. FUNÇÕESDeterminação do domínio de funçõesalgébricas.
  7. 7. Alguns conceitos importantesContinuidade de uma função:FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  8. 8. Funções Constantes crescentes e decrescentes.FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  9. 9. FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  10. 10. Funções limitadas: Uma função f é limitada inferiormente seexiste algum número b que seja menor ou igual a todo número daimagem de f. Qualquer que seja o número b este é chamado delimite inferior de f.Uma função f é limitada superiormente se existe algum númeroB que seja maior ou igual a todo número da imagem de f. Qualquerque seja o número B, este é chamado de limite superior de f.Uma função f é limitada se é limitada das duas formas, superiore inferiormente.Graficamente é fácil visualizar isso:FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  11. 11. FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  12. 12. Extremo Local e Absoluto: Um máximo local de uma função f é ovalor f (c) que é maior ou igual a todos os valores da imagem de fsobre algum intervalo aberto contendo c. Se f(c) é maior ou igual atodos os valores da imagem de f então f (c) é o valor máximo (oumáximo absoluto) de f.Um mínimo local de uma função f é o valor f (c) que é menor ouigual a todos os valores da imagem de f sobre algum intervaloaberto contendo c. Se f(c) é menor ou igual a todos os valoresda imagem de f então f(c) é o valor mínimo (ou mínimoabsoluto) de f.Extremos locais são chamados também de extremos relativos.Vejamos o gráficoFUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  13. 13. FUNÇÕESAlguns conceitos importantes
  14. 14. A Função: Afim (1º Grau)
  15. 15. A Função: Afim (1º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  16. 16. A Função: Afim (1º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  17. 17. A Função: Afim (1º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  18. 18. A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  19. 19. A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  20. 20. A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  21. 21. A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  22. 22. Retas perpendiculares: Duas retas no plano são perpendicularesse uma delas é horizontal e a outra é vertical, ou, se elas têmcoeficientes angulares k e k" tal que kk"=-1Por exemplo, y=5x+10 e y=(-1/5)x-100 são perpendiculares, poisk’=5 e k’’=(-1/5) e k’k’’=-1.Graficamente teríamos:A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  23. 23. 3.2.3) Intersecção de retas: Quando temos um intersecção deretas, verifica-se um ponto em comum entre elas, nesse caso temosretas concorrentes.Na economia, essas retas devem ser concorrentes nos eixospositivos tanto de y como de x do plano cartesiano, esse intersecçãoé conhecida na economia como o ponto de equilíbrio.Nesse caso nossas equações lineares representam preço (x) equantidade (y).O modelo com inclinação negativa é conhecido como demanda, ecom inclinação positiva é conhecido como oferta, assim temos:A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  24. 24. A Função: Afim (1º Grau)Equação da reta, retas paralelas e perpendiculares, intersecção de retas
  25. 25. A Função Quadrática(2º Grau)
  26. 26. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  27. 27. Sabemos que o gráfico f(x) = x2 tem a seguinte representaçãográfica:A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem55
  28. 28. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  29. 29. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  30. 30. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  31. 31. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  32. 32. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  33. 33. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagem
  34. 34. A Função Quadrática (2º Grau)Definição, domínio, gráfico e imagemAgora vamos abrir espaço para verificar algumas aplicações dasfunções no Geogebra, Octave e no Calc.- Geogebra. Clicke aqui para ir direto ao link- Octave. Clique aqui para ir direto ao link- Calc. Clique aqui para ir direto ao linkNo Slideshare você poderá ver na sequência os três vídeos acima.
  35. 35. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  36. 36. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  37. 37. Assim o conjunto solução será:S = {x | -7/3 < x < -1}A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  38. 38. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  39. 39. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  40. 40. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  41. 41. Graficamente temosO ponto de variação do sinal seria:A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  42. 42. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  43. 43. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau
  44. 44. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau2( ) 2 1f x x x2( ) 2g x x x
  45. 45. A Função Quadrática (2º Grau)Inequações do 2º grau2( ) 2 1f x x x2( ) 2g x x x( )( )f xg g

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