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MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS
COMPONENTES: MATEMÁTICA
IMERSÃO CURRICULAR
1ª SÉRIE
Introdução
O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar
de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento.
A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis.
Vejamos alguns exemplos.
1) Considere a tabela que relaciona os números de litros de um combustível
comprado e o preço a ser pago por eles.
Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja,
o preço a pagar depende do número de litros comprados.
preço a pagar = R$ 2,40 vezes número de litros comprados
A seguir apresentamos a lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da
função.
𝑝 = 2,4 . 𝑥
Observe que esse valor a ser pago é único.
Como o valor a ser pago depende do número de litros comprados, ele é a variável
dependente, e o número de litros comprados é chamada de variável independente.
2) A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um quadrado (L) e o seu
perímetro (P):
2
Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é,
o perímetro depende da medida do lado. Observe que esse valor é único.
perímetro = 4 vezes a medida do lado
P = 4.L (lei da função)
Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, e a medida
do lado é chamada de variável independente.
Existem funções que são definidas por mais de uma sentença. Considere a tabela do
Imposto de Renda das Pessoas Físicas (IRPF).
Com base na tabela de incidência mensal do IRPF, considerando os valores a lei que
escreve o valor a ser pago é dado por:
𝑓(𝑥) =
{
0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1903,98
0,075𝑥 − 142,80, 𝑠𝑒 1903,99 ≤ 𝑥 ≤ 2826,65
0,15𝑥 − 354,80, 𝑠𝑒 2826,66 ≤ 𝑥 ≤ 3751,05
0,225𝑥 − 636,13, 𝑠𝑒 3751,05 ≤ 𝑥 ≤ 4664,68
0,275𝑥 − 869,36, 𝑠𝑒 𝑥 > 4664,68
3) Com base na tabela anterior, calcule o imposto de renda de um trabalhador que
como base de cálculo mensal o valor de R$ 2850,00.
3
𝑅$ 2850 . 15 % − 𝑅$ 354,80 = 𝑅$ 427,50 – 𝑅$ 354,80 = 𝑅$ 72,70
Logo o imposto de renda que incide sobre uma base de cálculo de R$ 2850,00 mensais
é de R$ 72,70.
ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM
1) Na tabela a seguir apresentamos a medida do lado de uma região quadrada e
sua área.
a) O que é dado em função do quê?
b) Qual é a variável dependente?
c) Qual é a variável independente?
2) Observe a tabela e responda.
a) Qual é a lei da função que associa a medida do lado com a área?
b) Qual é a área de uma região quadrada cujo lado mede 13 cm?
c) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja área é de 225 𝑐𝑚2
?
3) Responda:
a) A diagonal (D) de um quadrado é dada em função do seu lado (L). Qual é a fórmula
matemática que indica essa função?
b) O comprimento (C) da circunferência é dado em função do seu raio (R). Qual é a
expressão que indica essa função?
c) O número de diagonais (D) de um polígono é dado em função do número de lados (N)
do polígono. Qual é a fórmula matemática que indica essa função?
4) Examine e complete.
X -2 -1 0 1 2 3 4 5
y -9 -4 1 6
Descubram o padrão e escrevam a lei da função.
4
A noção de função por meio de conjunto
1) Considere os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: cada elemento de
A a seu triplo em B.
Observe que:
• todos os elementos de A têm correspondente em B;
• a cada elemento de A corresponde um único elemento de B.
Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula 𝑦 = 3𝑥.
2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, considere a relação: cada elemento de A é menor
do que um elemento de B:
Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem
Inserção Curricular/Recomposição
5
três elementos de B.
3) Seja A = {-4, -2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos
elementos de igual valor em B:
Há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse caso não temos
uma função de A em B.
Definição de Função
Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que
indica como associar cada elemento x pertencente A a um único elemento y pertencente
a B.
Notação:
A função f transforma x de A em y de B, isto é: 𝑦 = 𝑓(𝑥).
Domínio, contradomínio e conjunto imagem
Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função (D) e o conjunto
6
B, contradomínio (CD) da função.
Para cada x ∈ a A, o elemento y ∈ a B chama-se imagem de x pela função f ou o valor
assumido pela função f para x ∈ A, e o representamos por f(x) (lê-se f de x). Assim, y =
f(x).
O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é
indicado por Im(f).
Exemplos:
1) Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja a função f: A
→ B que transforma x ∈ A em 2x ∈ B.
Nesse exemplo o domínio é A = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a
regra é dada por y = 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) = {0, 2, 4, 6}.
2) Considere a função f(x)= x + 1.

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  • 1. 1 MATEMÁTICA E SUAS TECNOLOGIAS COMPONENTES: MATEMÁTICA IMERSÃO CURRICULAR 1ª SÉRIE Introdução O conceito de função é um dos mais importantes da Matemática e ocupa lugar de destaque em vários de seus ramos, bem como em outras áreas do conhecimento. A ideia de função está presente quando relacionamos duas grandezas variáveis. Vejamos alguns exemplos. 1) Considere a tabela que relaciona os números de litros de um combustível comprado e o preço a ser pago por eles. Observe que o preço a pagar é dado em função do número de litros comprados, ou seja, o preço a pagar depende do número de litros comprados. preço a pagar = R$ 2,40 vezes número de litros comprados A seguir apresentamos a lei da função ou fórmula matemática da função ou regra da função. 𝑝 = 2,4 . 𝑥 Observe que esse valor a ser pago é único. Como o valor a ser pago depende do número de litros comprados, ele é a variável dependente, e o número de litros comprados é chamada de variável independente. 2) A tabela a seguir relaciona a medida do lado de um quadrado (L) e o seu perímetro (P):
  • 2. 2 Observe que o perímetro do quadrado é dado em função da medida do seu lado, isto é, o perímetro depende da medida do lado. Observe que esse valor é único. perímetro = 4 vezes a medida do lado P = 4.L (lei da função) Como o perímetro depende da medida do lado, ele é a variável dependente, e a medida do lado é chamada de variável independente. Existem funções que são definidas por mais de uma sentença. Considere a tabela do Imposto de Renda das Pessoas Físicas (IRPF). Com base na tabela de incidência mensal do IRPF, considerando os valores a lei que escreve o valor a ser pago é dado por: 𝑓(𝑥) = { 0, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 1903,98 0,075𝑥 − 142,80, 𝑠𝑒 1903,99 ≤ 𝑥 ≤ 2826,65 0,15𝑥 − 354,80, 𝑠𝑒 2826,66 ≤ 𝑥 ≤ 3751,05 0,225𝑥 − 636,13, 𝑠𝑒 3751,05 ≤ 𝑥 ≤ 4664,68 0,275𝑥 − 869,36, 𝑠𝑒 𝑥 > 4664,68 3) Com base na tabela anterior, calcule o imposto de renda de um trabalhador que como base de cálculo mensal o valor de R$ 2850,00.
  • 3. 3 𝑅$ 2850 . 15 % − 𝑅$ 354,80 = 𝑅$ 427,50 – 𝑅$ 354,80 = 𝑅$ 72,70 Logo o imposto de renda que incide sobre uma base de cálculo de R$ 2850,00 mensais é de R$ 72,70. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Na tabela a seguir apresentamos a medida do lado de uma região quadrada e sua área. a) O que é dado em função do quê? b) Qual é a variável dependente? c) Qual é a variável independente? 2) Observe a tabela e responda. a) Qual é a lei da função que associa a medida do lado com a área? b) Qual é a área de uma região quadrada cujo lado mede 13 cm? c) Qual é a medida do lado da região quadrada cuja área é de 225 𝑐𝑚2 ? 3) Responda: a) A diagonal (D) de um quadrado é dada em função do seu lado (L). Qual é a fórmula matemática que indica essa função? b) O comprimento (C) da circunferência é dado em função do seu raio (R). Qual é a expressão que indica essa função? c) O número de diagonais (D) de um polígono é dado em função do número de lados (N) do polígono. Qual é a fórmula matemática que indica essa função? 4) Examine e complete. X -2 -1 0 1 2 3 4 5 y -9 -4 1 6 Descubram o padrão e escrevam a lei da função.
  • 4. 4 A noção de função por meio de conjunto 1) Considere os conjuntos A e B relacionados da seguinte forma: cada elemento de A a seu triplo em B. Observe que: • todos os elementos de A têm correspondente em B; • a cada elemento de A corresponde um único elemento de B. Nesse caso, temos uma função de A em B, expressa pela fórmula 𝑦 = 3𝑥. 2) Dados A = {0, 4} e B = {2, 3, 5}, considere a relação: cada elemento de A é menor do que um elemento de B: Nesse caso não temos uma função de A em B, pois ao elemento 0 de A correspondem Inserção Curricular/Recomposição
  • 5. 5 três elementos de B. 3) Seja A = {-4, -2, 0, 2, 4} e B = {0, 2, 4, 6, 8}, associamos os elementos de A aos elementos de igual valor em B: Há elementos em A que não têm correspondente em B. Nesse caso não temos uma função de A em B. Definição de Função Dados dois conjuntos não vazios A e B, uma função de A em B é uma regra que indica como associar cada elemento x pertencente A a um único elemento y pertencente a B. Notação: A função f transforma x de A em y de B, isto é: 𝑦 = 𝑓(𝑥). Domínio, contradomínio e conjunto imagem Dada uma função f de A em B, o conjunto A chama-se domínio da função (D) e o conjunto
  • 6. 6 B, contradomínio (CD) da função. Para cada x ∈ a A, o elemento y ∈ a B chama-se imagem de x pela função f ou o valor assumido pela função f para x ∈ A, e o representamos por f(x) (lê-se f de x). Assim, y = f(x). O conjunto de todos os y assim obtidos é chamado conjunto imagem da função f e é indicado por Im(f). Exemplos: 1) Considere os conjuntos A = {0, 1, 2, 3} e B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}. Seja a função f: A → B que transforma x ∈ A em 2x ∈ B. Nesse exemplo o domínio é A = {0, 1, 2, 3}, o contradomínio é B = {0, 1, 2, 3, 4, 5, 6}, a regra é dada por y = 2x e o conjunto imagem é dado por Im(f) = {0, 2, 4, 6}. 2) Considere a função f(x)= x + 1.
  • 7. 7 Portanto, o domínio é N, o contradomínio é N, a regra é y = x + 1 e o conjunto imagem é N* = N – {0}, isto é, Im(f) = N*. 3) Considere o diagrama. Determine: a) D(f) D(f) = {2, 3, 5} ou D(f) = A b) CD(f) CD(f) = {0, 2, 4, 6, 8, 10} ou CD(f) = B c) Im(f) Im(f) = {4, 6, 10} d) f(3) f(3) = 6
  • 8. 8 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Quais dos seguintes diagramas representam uma função de A em B? 2) Dados A = {-2, -1, 0, 1, 2}, B = {=-1, 0, 1, 3, 4} e a correspondência entre A e B dada por 𝑦 = 𝑥2 , com x ∈ A e y ∈ B, faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. 3) Observe a tabela abaixo: a) Faça um diagrama e diga se f é uma função de A em B. b) Em caso afirmativo, escreva a fórmula matemática dessa função. Caso contrário, justifique. 4) Considere a função defina no diagrama.
  • 9. 9 a) D(f) b) Im(f) c) f(4) d) y, quando x=5 e) x, quando y=3 Gráfico de uma função Frequentemente encontramos gráficos e tabelas que procuram retratar uma determinada situação. Esses gráficos e tabelas, em geral, representam funções, e por meio deles podemos obter informações sobre a situação que retratam, bem como sobre as funções que representam. O gráfico a seguir mostra a evolução do número de candidatos no vestibular da Fuvest de 1995 a 2009, variando com o tempo. Imersão Curricular
  • 10. 10 Pela análise do gráfico vemos que: • o número de candidatos oriundos do ensino público diminuiu de 1995 a 1997. De 1997 a 1998 esse número aumentou. De 1998 a 1999 houve uma pequena queda. De 1999 a 2003 houve aumento. De 2003 a 2004 houve redução. De 2004 a 2006 houve aumento. E de 2006 a 2009 esse número diminuiu. • quanto ao número de candidatos oriundos do ensino particular houve queda de 1995 a 1996, de 2000 a 2002, de 2003 a 2005 e de 2006 a 2007. O aumento desse número ocorreu entre 1996 e 2000, 2002 e 2003, 2005 e 2006 e entre 2007 e 2009. • comparando os vestibulares de 2005 e 2006, a porcentagem dos candidatos oriundos do ensino público subiu de 38% para 42% aproximadamente. 2) Consumo de água em uma residência (em porcentagem)
  • 11. 11 De acordo com o gráfico: • o lavatório e o tanque consomem a mesma quantidade de água. • a bacia sanitária consome aproximadamente 5 vezes mais água do que o tanque. • a bacia sanitária e o chuveiro são os que mais consomem água. • dessa lista, a máquina de lavar louças é o aparelho que menos consome água. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Observe o gráfico e reponda: a) Desses dez pilotos, até o fim do campeonato de 2008, qual teve o maior número de vitórias na Fórmula 1 e qual teve o menor número? b) Quais pilotos tiveram o mesmo número de vitórias? 2) Analise o gráfico e responda:
  • 12. 12 a) Em que ano as importações atingiram valor máximo? E mínimo? b) Em que anos as exportações foram superiores a 50 bilhões de dólares? c) Comparando o saldo de 2008 com o de 2009, houve aumento ou queda? De quanto por cento? Função Crescente e função decrescente O gráfico abaixo mostra a população brasileira de 1940 a 2000.
  • 13. 13 No gráfico notamos o aumento da população em função do aumento do tempo, ou seja, a curva é crescente. Este gráfico mostra um tanque de água sendo esvaziado: O gráfico mostra a diminuição do volume de água em função do aumento do tempo, a curva é decrescente. Analisando Gráficos 1) Dizemos que essa função é crescente, pois, quanto maior o valor dado a x, maior será o valor correspondente a y. 2) Observe o gráfico da função de R em R dada por 𝑓(𝑥) = − 𝑥2 : é uma parábola.
  • 14. 14 • para x ≤ 0, essa função é crescente. • para 𝑥 ≥ 0 , essa função é decrescente. • para x = 0, f(x) = 0; para x≠0, temos f(x)<0. Por isso, dizemos que x = 0 é o ponto de máximo da função. • o gráfico é simétrico em relação ao eixo y. 3) Observe a função dada por: 𝑓(𝑥) = { 𝑥, 𝑠𝑒 𝑥 ≤ 3 3, 𝑠𝑒 𝑥 > 3 . Para x≤ 3, essa função é crescente. Para x>3, essa função é constante. Conclusões: Analisando o gráfico de uma função, podemos observar propriedades importantes dela, como:
  • 15. 15 a) Onde a função é positiva (f(x) > 0), onde ela é negativa (f(x)<0) e onde ela se anula (f(x) = 0). b) Os valores 𝑥0 nos quais ela se anula são chamados zeros da função f. c) Onde ela é crescente, onde ela é decrescente e onde ela assume um valor máximos ou um valor mínimo, se existirem. • f é positiva em ]-5, -1[ e em ]5, 6[. • f é negativa em ]-6, -5[ e em ]-1, 5[. • f é nula em x = -5, x=-1 e x =5. Esses são os zeros ou raízes da função. • f é crescente em ]-6, -3] e em [2, 6[. • f é decrescente em [-3, 2]. • O ponto com x = -3 é um ponto de máximo e f(x) = 2 é o valor máximo de f. • O ponto com x = 2 é um ponto de mínimo e f(x) =-3 é o valor mínimo de f. MOMENTO ENEM 1) (Enem/2017) A água para o abastecimento de um prédio é armazenada em um sistema formado por dois reservatórios idênticos, em formato de bloco retangular, ligados entre si por um cano igual ao cano de entrada, conforme ilustra a figura.
  • 16. 16 A água entra no sistema pelo cano de entrada no Reservatório 1 a uma vazão constante e, ao atingir o nível do cano de ligação, passa a abastecer o Reservatório 2. Suponha que, inicialmente, os dois reservatórios estejam vazios. Qual dos gráficos melhores descreverá a altura h do nível da água no Reservatório 1, em função do volume V de água no sistema? a) b) c) d)
  • 17. 17 e) ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) O quadro apresenta a produção de algodão de uma cooperativa de agricultores entre 1995 e 1999. O gráfico que melhor representa a área plantada (AP) no período considerado é: 2) Indique se cada função indicada nos gráficos é crescente ou decrescente:
  • 18. 18 3) Responda para que valores reais de x a função é crescente e decrescente: 4) Analise o gráfico e responda: a) Em que mês o dólar atingiu seu valor máximo? E seu valor mínimo? b) De que mês para que mês houve valorização mais brusca do dólar? De quanto por cento foi essa valorização? c) De quanto por cento foi a desvalorização do dólar entre abril e agosto de 2008? Apresentamos a seguir algumas situações problemas. 1) Dois veículos movem-se numa mesma estrada reta, em sentidos contrários, obedecendo as funções horárias da posição S’ = 100 + 60T e S” = 500 – 40T, com S medido em quilômetros e T em horas. Em qual momento, é possível afirmar que eles se encontrarão? Em qual posição dessa autovia ocorrerá o encontro? Caso um litro de gasóleo permita que o automóvel percorra 10 km, quantos litros de combustível cada um gastou? Caso o litro custe R$8,00, o gasto financeiro em cada um, foi de:
  • 19. 19 RESOLUÇÃO No instante em que ocorrer o encontro, a posição de ambos será a mesma. Então: S’ = S” 100 + 60T = 500 – 40T 60T + 40T = 500 – 100 100T = 400 T = 400:100 T = 4 horas Logo, a posição do encontro foi: S’ = 100 + 60T S’ = 100 + 60.(4) S’ = 100 + 240 S’ = 340 km Cada um andou: S’ = 340 – 100 = 240 km S” = 500 – 340 = 160 km Cada um gastou: S’ = 240:10 = 24 litros x 8 reais = R$192,00 S” = 160:10 = 16 litros x 8 reais = R$128,00 2) Uma turma de estudantes vai até a lanchonete no momento de recreação da escola. Lá estava a seguinte informação: o seu pagamento sempre irá depender dessa equação: P = 3,50q + 4,00.r, onde P representa em reais, o valor do gasto, C a quantidade de quitutes consumidos e R a quantidade de refrescos em unidades. Digamos que esse grupo consumiu 20 quitutes e 12 refrescos. Em quanto ficou essa dívida no momento da quitação da comanda? RESOLUÇÃO: P = 3,50x20 + 4,00x12 P = 70 + 48 P = 118 reais 3) Se o consumo de energia de um sítio é dado por kWh e que, cada kWh custe R$0,95, construa uma função que represente essa situação e calcule o quanto se deve pagar pelo consumo de 60 kWh dessa residência. RESOLUÇÃO: P = 0,95.c P representa o pagamento do consumo. C representa a quantidade de consumo. Logo, P = 0,95x60 P = 57 reais.
  • 20. 20 ATIVIDADE APRENDIZAGEM 1) (UEAAM) Uma pequena empresa que fabrica camisetas verificou que o lucro obtido com a venda de seus produtos obedece à função L(x) = 75x – 3000, sendo L(x) o lucro em reais e x o número de camisetas vendidas, para 40 < x ≤ 120. Para que o lucro da empresa chegue a R$ 4.000,00, o menor número de camisetas a serem vendidas é: A) 97. B) 96. C) 95. D) 94. E) 93. 2) Uma fábrica de panelas opera com um custo fixo mensal de R$ 9 800,00 e um custo variável por panela de R$ 45,00. Cada panela é vendida por R$ 65,00. Seja x a quantidade que deve ser produzida e vendida mensalmente para que o lucro mensal seja igual a 20% da receita. A soma dos algarismos de x é: A) 2 B) 3 C) 4 D) 5 E) 6 3) (Cesgranrio) O valor de um carro novo é de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4 000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é: A) R$ 8.250,00. B) R$ 8.000,00. C) R$ 7.750,00. D) R$ 7.500,00. E) R$ 7.000,00. 4) (Cefet - MG - 2015) Um motorista de táxi cobra, para cada corrida, uma taxa fixa de R$ 5,00 e mais R$ 2,00 por quilômetro rodado. O valor total arrecadado (R) num dia é função da quantidade total (x) de quilômetros percorridos e calculado por meio da função R(x) = ax + b, em que a é o preço cobrado por quilômetro e b, a soma de todas as taxas fixas recebidas no dia. Se, em um dia, o taxista realizou 10 corridas e arrecadou R$ 410,00, então a média de quilômetros rodados por corrida foi de: A) 14 B) 16 C) 18 D) 20
  • 21. 21 5) (UCS 2014) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total em reais das vendas que ele efetuar durante o mês. Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão: A) y = 750 + 2,5x B) y = 750 + 0,25x C) y = 750,25x D) y= 750 . (0,25x) E) 750 + 0,025x 6) (Vunesp 2018) Em uma caixa há parafusos e pregos, num total de 20 unidades. Sabendo que há 4 parafusos a mais do que o número de pregos, então o número de parafusos dessa caixa é: A) 12. B) 4. C) 8. D) 10. E) 6. 7) (UFSM) Sabe-se que o preço a ser pago por uma corrida de táxi inclui uma parcela fixa, que é denominada bandeirada, e uma parcela variável, que é função da distância percorrida. Se o preço da bandeirada é de R$ 4,60 e o quilômetro rodado é R$ 0,96, a distância percorrida pelo passageiro que pagou R$ 19 para ir de sua casa ao shopping é de: A) 5 km B) 10 km C) 15 km D) 20 km E) 25 km 8) (FGV-SP) Um capital de R$ 12 000,00 foi aplicado em regime de juros compostos a uma taxa de 2,5% ao mês durante 12 meses. Ao retirar o montante resultante da aplicação a pessoa terá descontado do juro da aplicação 7% de imposto sobre aplicações financeiras envolvendo lucros mais 0,5% de contribuição para obras relacionadas à saúde pública, segurança e educação, totalizando 7,5% de descontos. Calcule o valor líquido dessa aplicação, isto é, o valor debitado os impostos. 9) (UNICAMP – 2016) O gráfico abaixo exibe o lucro líquido (em milhares de reais) de três pequenas empresas A, B e C, nos anos de 2013 e 2014.
  • 22. 22 Com relação ao lucro líquido, podemos afirmar que: a) A teve um crescimento maior do que C. b) C teve um crescimento maior do que B. c) B teve um crescimento igual a A. d) C teve um crescimento menor do que B. 10) (Cesgranrio) O valor de um carro novo é de R$ 9 000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4 000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de um carro com 1 ano de uso é A) R$ 8.250,00. B) R$ 8.000,00. C) R$ 7.750,00. D) R$ 7.500,00. E) R$ 7.000,00. 11) (UERJ) Sabe-se que, nos pulmões, o ar atinge a temperatura do corpo e que, ao ser exalado, tem temperatura inferior à do corpo, já que é resfriado nas paredes do nariz. Através de medições realizadas em um laboratório foi obtida a função: TA=8,5+0,75⋅TB, 12° ≤ TB ≤ 30°, em que TA e TB representam, respectivamente, a temperatura do ar exalado e a do ambiente. Calcule: a) a temperatura do ambiente quando TA=25°C; b) o maior valor que pode ser obtido para TA. 12) (PUC – MG) Uma função do 1º grau é tal que f(–1) = 5 e f(3)= –3. Então, f(0) é igual a: a) 0 b) 2 c) 3 d) 4 e) -1
  • 23. 23 13) (FGV-SP) Uma fábrica de paletós trabalha com um custo fixo mensal de R$ 10.000,00 e um custo variável de R$ 100,00 por paletó. O máximo que a empresa consegue produzir, com a atual estrutura, é 500 paletós por mês. O custo médio na produção de x paletós é igual ao quociente do custo total por x. O menor custo médio possível é igual a: A) R$ 100,00. B) R$ 105,00. C) R$ 110,00. D) R$ 115,00. E) R$ 120,00. 14) (UNICAMP – 2016) Considere a função afim f(x)=ax+b definida para todo número real x , onde a e b são números reais. Sabendo que f(4)= 2 , podemos afirmar que f(f(3)+f(5)) é igual a a) 5. b) 4. c) 3. d) 2. Módulo 5 1) Uma empresa de telefonia oferece dois tipos de planos: • Plano Plus: 3,5 GB de internet, mais ligações ilimitadas para telefones fixos e celulares. • Plano Econômico: 3,5 GB de internet, mais 50 min de ligações para telefones fixos e celulares. O plano Plus custa por mês R$ 65,90, já o plano Econômico custa R$ 10,80, sendo que é cobrado R$ 1,90 por minuto quando o cliente exceder os 50 minutos incluídos no plano. Considerando esses dois planos, usando quantos minutos de ligações por mês, o plano Plus passa a ser mais econômico? Fonte: https://www.todamateria.com.br/exercicios-de-funcao-afim/ a) 30 min b) 50 min c) 60 min d) 70 min e) 80 min 2) (ACAFE) Um táxi começa uma corrida com o taxímetro marcando R$ 4,00. Cada quilômetro rodado custa R$1,50. Se ao final de uma corrida, o passageiro pagou R$ 37,00, a quantidade de quilômetros percorridos foi:
  • 24. 24 3) (Ucs – 2014) O salário mensal de um vendedor é de R$ 750,00 fixos mais 2,5% sobre o valor total em reais, das vendas que ele efetuar durante o mês. Em um mês em que suas vendas totalizarem x reais, o salário do vendedor será dado pela expressão: a) 750 + 2,5x b) 750 + 0,25x c) 750,25x d) 750 . (0,25x) e) 750 + 0,025x 4) (Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas empresas. A primeira cobrou R$ 100.000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350.000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120.000,00 por km construído (n) acrescido de um valor fixo de R$ 150.000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? a) 100n + 350 = 120n + 150 b) 100n + 150 = 120n + 350 c) 100(n + 350) = 120(n + 150) d) 100(n + 350.000) = 120(n + 150.000) e) 350(n + 100.000) = 150(n + 120.000) MOMENTO ENEM 1) (ENEM-2008) A figura a seguir representa o boleto de cobrança da mensalidade de uma escola, referente ao mês de junho de 2008.
  • 25. 25 Se M(x) é o valor, em reais, da mensalidade a ser paga, em que x é o numero de dias em atraso, então: a) M(x) = 500 + 0,4x b) M(x) = 500 + 10x c) M(x) = 510 + 0,4x d) M(x) = 510 + 40x e) M(x) = 500 + 10,4x ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) (FAAP – 1997) A taxa de inscrição num clube de natação é de R$ 150,00 para o curso de 12 semanas. Se uma pessoa se inscreve após o início do curso, a taxa é reduzida linearmente. Calcule quanto uma pessoa pagou aos se inscrever 5 semanas após o início do curso. a) R$ 62,50 b) R$ 50,50 c) R$ 74,50 d) R$ 78,50 e) R$ 87,50 2) (UFMG) - Suponha-se que o número f(x) de funcionários para distribuir, em um dia, contas de luz entre x por cento de moradores, numa determinada cidade, seja dado pela função f(x) = 300 x/150 - x. Se o número de funcionários necessários para distribuir, em um dia, as contas de luz foi 75, a porcentagem de moradores que as receberam é: a) 25 b) 30 c) 40
  • 26. 26 d) 45 e) 50 3) (FUVEST) - Um estacionamento cobra R$ 6,00 pela primeira hora de uso, R$ 3,00 por hora adicional e tem uma despesa diária de R$ 320,00. Considere-se um dia em que sejam cobradas, no total, 80 horas de estacionamento. O número mínimo de usuários necessário para que o estacionamento obtenha lucro nesse dia é: a)25 b)26 c)27 d)28 e) 29 4) (CESGRANRIO) - O valor de uma moto nova é de R$ 9.000,00 e, com 4 anos de uso, é de R$ 4.000,00. Supondo que o preço caia com o tempo, segundo uma linha reta, o valor de uma moto com 1 ano de uso é: a) R$8.250,00 b) R$8.000,00 c) R$7.750,00 d) R$7.500,00 e) R$7.000,00 MOMENTO ENEM 1) (Enem 2019) Uma empresa tem diversos funcionários. Um deles é o gerente, que recebe R$ 1 000,00 por semana. Os outros funcionários são diaristas. Cada um deles trabalha 2 dias por semana, recebendo R$ 80,00 por dia trabalhado. Chamando de X a quantidade total de funcionários da empresa, a quantia Y, em reais, que esta empresa gasta semanalmente para pagar seus funcionários é expressa por: A) Y = 80X + 920. B) Y = 80X + 1 000. C) Y = 80X + 1 080. D) Y = 160X + 840. E) Y = 160X + 1 000.
  • 27. 27 2) (Enem 2017) Em um mês, uma loja de eletrônicos começa a obter lucro já na primeira semana. O gráfico representa o lucro (L) dessa loja desde o início do mês até o dia 20. Mas esse comportamento se estende até o último dia, o dia 30. A representação algébrica do lucro (L) em função do tempo (t) é: A) L(t) = 20t + 3 000 B) L(t) = 20t + 4 000 C) L(t) = 200t D) L(t) = 200t – 1 000 E) L(t) = 200t + 3 000 3) (Enem 2018) Uma indústria automobilística está testando um novo modelo de carro. Cinquenta litros de combustível são colocados no tanque desse carro, que é dirigido em uma pista de testes até que todo o combustível tenha sido consumido. O segmento de reta no gráfico mostra o resultado desse teste, no qual a quantidade de combustível no tanque é indicada no eixo y (vertical), e a distância percorrida pelo automóvel é indicada no eixo x (horizontal). A expressão algébrica que relaciona a quantidade de combustível no taque e a distância percorrida pelo automóvel é:
  • 28. 28 4) (Enem 2017) Um sítio foi adquirido por R$ 200 000,00. O proprietário verificou que a valorização do imóvel, após sua aquisição, cresceu em função do tempo conforme o gráfico, e que essa tendência de valorização se manteve nos anos seguintes. O valor desse sítio, no décimo ano após sua compra, em real, será de: A) 190 000. B) 232 000. C) 272 000. D) 400 000. E) 500 000. 5) (Enem 2016) Um dos grandes desafios do Brasil é o gerenciamento dos seus recursos naturais, sobretudo os recursos hídricos. Existe uma demanda crescente por água e o risco de racionamento não pode ser descartado. O nível de água de um reservatório foi monitorado por um período, sendo o resultado mostrado no gráfico. Suponha que essa tendência linear observada no monitoramento se prolongue pelos próximos meses.
  • 29. 29 Nas condições dadas, qual o tempo mínimo, após o sexto mês, para que o reservatório atinja o nível zero de sua capacidade? a) 2 meses e meio. b) 3 meses e meio. c) 1 mês e meio. d) 4 meses. e) 1 mês. 6) (Enem 2009) Um grupo de 50 pessoas fez um orçamento inicial para organizar uma festa, que seria dividido entre elas em cotas iguais. Verificou-se ao final que, para arcar com todas as despesas, faltavam R$ 510,00, e que 5 novas pessoas haviam ingressado no grupo. No acerto foi decidido que a despesa total seria dividida em partes iguais pelas 55 pessoas. Quem não havia ainda contribuído pagaria a sua parte, e cada uma das 50 pessoas do grupo inicial deveria contribuir com mais R$ 7,00. De acordo com essas informações, qual foi o valor da cota calculada no acerto final para cada uma das 55 pessoas? A) R$ 14,00. B) R$ 17,00. C) R$ 22,00. D) R$ 32,00. E) R$ 57,00. 7) (Enem 2012) A tabela seguinte apresenta a média, em kg, de resíduos domiciliares produzidos anualmente por habitante, no período de 1995 a 2005. Se essa produção continuar aumentando, mantendo o mesmo padrão observado na tabela, a previsão de produção de resíduos domiciliares, por habitante no ano de 2020, em kg, será: A) 610. B) 640. C) 660. D) 700. E) 710. 8) (Enem 2011) O prefeito de uma cidade deseja construir uma rodovia para dar acesso a outro município. Para isso, foi aberta uma licitação na qual concorreram duas
  • 30. 30 empresas. A primeira cobrou R$ 100 000,00 por km construído (n), acrescidos de um valor fixo de R$ 350 000,00, enquanto a segunda cobrou R$ 120 000,00 por km construído (n) acrescido de um valor fixo de R$ 150 000,00. As duas empresas apresentam o mesmo padrão de qualidade dos serviços prestados, mas apenas uma delas poderá ser contratada. Do ponto de vista econômico, qual equação possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente para a prefeitura escolher qualquer uma das propostas apresentadas? A) 100n + 350 = 120n + 150 B) 100n + 150 = 120n + 350 C) 100(n + 350) = 120(n + 150) D) 100(n + 350 000) = 120(n + 150 000) E) 350(n + 100 000) = 150(n + 120 000) 9) (Enem 2016) Uma cisterna de 6 000 L foi esvaziada em um período de 3h. Na primeira hora foi utilizada apenas uma bomba, mas nas duas horas seguintes, a fim de reduzir o tempo de esvaziamento, outra bomba foi ligada junto com a primeira. O gráfico, formado por dois segmentos de reta, mostra o volume de água presente na cisterna, em função do tempo. Qual é a vazão, em litro por hora, da bomba que foi ligada no início da segunda hora? A) 1 000 B) 1 250 C) 1 500 D) 2 000 E) 2 500 10) (Enem 2010) Em fevereiro, o governo da Cidade do México, metrópole com uma das maiores frotas de automóveis do mundo, passou a oferecer à população bicicletas como opção de transporte. Por uma anuidade de 24 dólares, os usuários têm direito a 30 minutos de uso livre por dia. O ciclista pode retirar em uma estação e devolver em qualquer outra e, se quiser estender a pedalada, paga 3 dólares por hora extra. Revista Exame. 21 abr. 2010.
  • 31. 31 A expressão que relaciona o valor f pago pela utilização da bicicleta por um ano, quando se utilizam x horas extras nesse período é: A) f(x) = 3x B) f(x) = 24 C) f(x) = 27 D) f(x) = 3x + 24 E) f(x) = 24x + 3 Nivelamento e Ampliação Potenciação Antes de começarmos a estudar funções exponenciais, importante seria fazer um estudo sobre potenciação. O que é potência e suas propriedades. Então, vamos lá! Consideremos que exista um produto de 5x5x5x5, que nos dará um resultado de 625. Ou que tenhamos um produto de 2x2x2x2x2x2x2 que também nos dará uma resposta igual a 128. Imagine, como seria esteticamente e matematicamente mais acessível, se escrevêssemos assim: 54 = 625 27 = 128 . . . an = b onde a, representa a base da potência (que será o número em condições multiplicar consigo mesmo), n o expoente (representando o número de repetições do fator em estudo) e b, a potência, considerada o resultado de toda a operação. Fácil, não é mesmo. Algumas curiosidades a respeito desse raciocínio: 1) Se n > 1, n є Z, então, an = a.a.a. .... .a
  • 32. 32 2³ = 2x2x2 = 8 3² = 3x3 = 9 2) Se n = 1, então a¹ = a. 5¹ = 5 3¹ = 3 1000¹ = 1000 3) Se n = 0, então a0 = 1, a ≠ 1. 40 = 1 60 = 1 4) Se n є Z e a = 1, então 1n = 1. 11000 = 1 10 = 1 5) Se a ≠ 0 e n = - 1, então 𝑎−1 = 1 𝑎 . 2−1 = 1 2 . 7−1 = 1 7 . 6) Se Se a ≠ 0 e n > 1, n є Z, então 𝑎−𝑛 = 1 𝑎𝑛 . 3−2 = 1 32 = 1 9 . 2−3 = 1 23 = 1 8 . ( 3 2 )−2 = ( 2 3 ) 2 = 2² 3² = 4 9 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Calcule as potências: a) 5² = b) (-4)³ = c) (-6)² = d) -4³ = e) -6² = f) (- 3 5 )2 = g) (- 3 5 )−2 = h) (- 3 5 )3 = i) (- 3 5 )−3 =
  • 33. 33 2) Escreva como potência de base 2 ou 3. a) 128 = b) 512 = c) 1 32 = d) 27 = e) 243 = f) 1 81 = Propriedades da potenciação: 1ª propriedade: 𝑎𝑚 . 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚+𝑛 . 23 . 25 = 23+5 = 28 32 . 35 = 32+5 = 37 2ª propriedade: 𝑎𝑚 𝑎𝑛 = 𝑎𝑚−𝑛 . 56 52 = 56−2 = 54 32 37 = 32−7 = 3−5 3ª propriedade: (𝑎𝑚 )𝑛 = 𝑎𝑚.𝑛 . (52 )3 = 52.3 = 56 (3−2 )10 = 3−2.10 = 3−20 4ª propriedade: (𝑎. 𝑏)𝑛 = 𝑎𝑛 . 𝑎𝑚 . (2.3)2 = 2². 3² (4.5)3 = 4³. 5³ 5ª propriedade: ( 𝑎 𝑏 )𝑛 = 𝑎𝑛 𝑏𝑛 , 𝑏 ≠ 0. ( 2 3 )2 = 2𝑎2 32 ( 5 6 )−3 = 5−3 6−3 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Resolva as situações abaixo, reduzindo a uma única potência: a) 26 . 28 =
  • 34. 34 b) 7𝑥 . 75 = c) 15−3 15−8 = d) 4𝑥+3 4−4 = e) (125 )6 = 2) O valor da expressão (-2)³ + 4² - 10¹ é: 3) Simplificando a expressão (3b)².(5a)³, temos: Equações Exponenciais Enfim, damos o nome de equação exponencial a toda e qualquer equação que tem uma incógnita no expoente. Assim, podemos escrever: a) 3y = 9 b) 2x = 32 c) 4x + 1 = 32 Como equações exponenciais. Resolvendo algumas equações exponenciais: a) 3y = 9 3y = 3² y = 2 b) 2x = 32 2x = 25 x = 5 c) 4x + 1 = 32 (2²)x + 1 = 25 22x + 2 = 25 2x + 2 = 5 2x = 3 x = 3 2 Ou seja, para resolvermos uma equação exponencial, o primeiro passo é, transformar a equação dada em igualdade da mesma base, de tal forma, que estando as bases iguais, os expoentes também serão.
  • 35. 35 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Resolva a equação 2x = 512. 2) Qual o valor de x na equação 3x = 1 81 ? 3) Dê o valor de y na equação 4x = √2 5 . 4) Sabemos que a equação do montante aplicado em regime de capitalização composta é M = C.(1 + i)T, determine o quanto um investidor aplicando 2 000 reais, à uma taxa de 10% ao mês, resgata ao fim de 2 meses. 5) Sabendo que a equação 5.2x + 2 = 320, o valor de x será: Funções Exponenciais Toda função f: R → R, dada por f(x) = ax, sendo a ≠ 1 e a > 0, é conhecida como função exponencial de base a, para todo e qualquer x є R. f(x) = 5x f(x) = ( 1 7 )𝑥 f(x) = ( 5 3 )𝑥 Considera-se a base positiva para que possa ser definida a função 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 nos R. Vamos imaginar que: A base a = - 3 e o expoente x = 1 2 , então: A função f(x) = ax, tem f( 1 2 ) = (−3) 1 2. f( 1 2 ) = (−3) 1 2 f( 1 2 ) = √−3 2 , que não é número real. Graficamente,
  • 36. 36 f(x) = 2x Características: D = R Im = 𝑅+ ∗ F é crescente A curva passa pelo ponto (0, 1) f(x) = ( 1 2 )𝑥 Características: D = R Im = 𝑅+ ∗ F é decrescente A curva passa pelo ponto (0, 1) Em resumo: 1º f(x) = ax é crescente quando a > 1. 2º f(x) = ax é decrescente quando 0 < a < 1.
  • 37. 37 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Identifique como crescente ou decrescente as funções exponenciais abaixo: a) f(x) = 4x b) f(x) = ( 1 5 )𝑥 c) f(x) = (√21)𝑥 d) f(x) = (0,2)x e) f(x) = ( √3 2 )𝑥 2) Esboce o gráfico das seguintes funções exponenciais: a) f(x) = 4x b) f(x) = 2x+1 c) f(x) = ( 1 4 )𝑥 3) (FGV-SP) Curva de Aprendizagem é um conceito criado por psicólogos que constataram a relação existente entre a eficiência de um indivíduo e a quantidade de treinamento ou experiência possuída por este indivíduo. Um exemplo de Curva de Aprendizagem é dado pela expressão Q(t) = 700 – 400e-0,5T, em que: Q = quantidade de peças produzidas mensalmente por um funcionário; T = meses de experiência; e = 2,7183. a) De acordo com essa expressão, quantas peças um funcionário com 2 meses de experiência deverá produzir mensalmente? b) Quantas peças um funcionário sem qualquer experiência deverá produzir mensalmente? Compare esse resultado com o resultado do item a. Há coerência entre eles? 4) (Fuvest-SP) um certo tipo de aplicação duplica o capital em dois meses. a) Qual a taxa mensal de juros? b) Em quantos meses a aplicação renderá 700% de juros?
  • 38. 38 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Enfim, podemos tratar desse último com situações problemas resolvidas e sugeridas, com a intenção de estar sempre explorando os conhecimentos de equações exponenciais, funções exponenciais. Vamos lá. 1) (Mack – SP) Dadas as funções f(x) = 2 x² – 4 e g(x) = 4 x² – 2x, se x satisfaz f(x) = g(x), então 2x é: a) ¼ b) 1 c) 8 d) 4 e) ½ 2) (Uepg – PR - adaptada) Dadas as funções definidas por f(x) = (4/5)x e g(x) = (5/4)x, determine: a) g(– 2) . f(– 1) b) f [g(0)] 3) (Uneb-BA) A expressão P(t) = K · 20,05t fornece o número P de milhares de habitantes de uma cidade, em função do tempo t, em anos. Se, em 1990, essa cidade tinha 300.000 habitantes, quantos habitantes, aproximadamente, espera-se que ela tenha no ano 2000? A) 352.000 B) 401.000 C) 423.000 D) 439.000 E) 441 000 4) (Unesp – 2018) O ibuprofeno é uma medicação prescrita para dor e febre, com meia- vida de aproximadamente 2 horas. Isso significa que, por exemplo, depois de 2 horas da ingestão de 200 mg de ibuprofeno, permanecerão na corrente sanguínea do paciente apenas 100 mg da medicação. Após mais 2 horas (4 horas no total), apenas 50 mg permanecerão na corrente sanguínea e, assim, sucessivamente. Se um paciente recebe 800 mg de ibuprofeno a cada 6 horas, a quantidade dessa medicação que permanecerá na corrente sanguínea na 14ª hora após a ingestão da primeira dose será a)12,50 mg b) 456,25 mg c) 114,28 mg
  • 39. 39 d) 6,25 mg e) 537,50 mg 5) (UERJ – 2013) Um lago usado para abastecer uma cidade foi contaminado após um acidente industrial, atingindo o nível de toxidez T0, correspondente a dez vezes o nível inicial. Leia as informações a seguir. • A vazão natural do lago permite que 50% de seu volume sejam renovados a cada dez dias. • O nível de toxidez T(x), após x dias do acidente, pode ser calculado por meio da seguinte equação: Considere D o menor número de dias de suspensão do abastecimento de água, necessário para que a toxidez retorne ao nível inicial. Sendo log 2 = 0,3, o valor de D é igual a: a) 30 b) 32 c) 34 d) 36 6) (Unicamp – 2014) O gráfico abaixo exibe a curva de potencial biótico q(t) para uma população de microrganismos, ao longo do tempo t. Sendo a e b constantes reais, a função que pode representar esse potencial é: a) q(t) = at + b b) q(t) = abt c) q(t) = at2 + bt d) q(t) = a + log b t 7) (PUC MG) Uma população de bactérias começa com 100 e dobra a cada três horas. Assim, o número n de bactérias após t horas é dado pela função. n(t) = 100 x 2t/3 Nessas condições, pode-se afirmar que a população será de 51.200 bactérias depois de: a) 1 dia e 3 horas b) 1 dia e 9 horas c) 1 dia e 14 horas d) 1 dia e 19 horas
  • 40. 40 8) (UEMA) Seja . O valor de x para que se tenha f(x) = 40 é: a) 0 b) -2 c) 1 d) 4 e) 3 9) (FAU 2022) Uma maneira de modelar fenômenos que tem crescimento muito rápidos é utilizando funções exponenciais. Qual é o valor da função f(x) = 100. 2x quando x assume o valor 15? a) 2 240 320 b) 2 480 640 c) 2 960 560 d) 3 080 240 e) 3 276 800 10) (Espm 2012) A figura abaixo mostra o gráfico da função f(x) = 2x. A área da região sombreada, formada por retângulos, é igual a: a) 3,0 b) 3,5 c) 4,0 d) 4,5 e) 5,0 MOMENTO ENEM Funções exponenciais
  • 41. 41 1) (Enem 2020) Enquanto um ser está vivo, a quantidade de carbono 14 nele existente não se altera. Quando ele morre, essa quantidade vai diminuindo. Sabe-se que a meia-vida do carbono 14 é de 5 730 anos, ou seja, num fóssil de um organismo que morreu há 5 730 anos haverá metade do carbono 14 que existia quando ele estava vivo. Assim, cientistas e arqueólogos usam a seguinte fórmula para saber a idade de um fóssil encontrado: em que t é o tempo, medido em ano, Q(t) é a quantidade de carbono 14 medida no instante t e Q0 é a quantidade de carbono 14 no ser vivo correspondente. Um grupo de arqueólogos, numa de suas expedições, encontrou 5 fósseis de espécies conhecidas e mediram a quantidade de carbono 14 neles existente. Na tabela temos esses valores juntamente com a quantidade de carbono 14 nas referidas espécies vivas. Fóssil Q0 Q(t) 1 128 32 2 256 8 3 512 64 4 1 024 512 5 2 048 128 O fóssil mais antigo encontrado nessa expedição foi a) 1. b) 2. c) 3. d) 4. e) 5. 2) (Enem 2021) Um laboratório realizou um teste para calcular a velocidade de reprodução de um tipo de bactéria. Para tanto, realizou um experimento para observar a reprodução de uma quantidade x dessas bactérias por um período de duas horas. Após esse período, constava no habitáculo do experimento uma população de 189 440 da citada bactéria. Constatou-se, assim, que a população de bactérias dobrava a cada 0,25 hora. A quantidade inicial de bactérias era de: a) 370 b) 740 c) 1 480 d) 11 840 e) 23 680 3) (Enem 2013) Em um experimento, uma cultura de bactérias tem sua população reduzida pela metade a cada hora, devido à ação de um agente bactericida. Neste experimento, o número de bactérias em função do tempo pode ser modelado por uma função do tipo:
  • 42. 42 a) afim. b) seno. c) cosseno. d) logarítmica crescente. e) exponencial. 4) (Enem 2011) A torre de Hanói é um jogo que tem o objetivo de mover todos os discos de uma haste para outra, utilizando o menor número possível de movimento, respeitando-se as regras. As regras são: 1- um disco maior não pode ser colocado sobre um disco menor; 2- pode-se mover um único disco por vez; 3- um disco deve estar sempre em uma das três hastes ou em movimento. Usando a torre de Hanói e baseando-se nas regras do jogo, podemos montar uma tabela entre o número de peças (X) e o número mínimo de movimentos (Y): A relação entre (X) e (Y) é a) Y = 2X – 1 b) Y = 2X-1 c) Y = 2X d) Y = 2X – 1 e) Y = 2X – 4 5) (Enem 2014) Pesquisas indicam que o número de bactérias X é duplicado a cada quarto de hora. Um aluno resolveu fazer uma observação para verificar a veracidade dessa afirmação. Ele usou uma população inicial de 105 bactérias X e encerrou a observação ao final de uma hora. Suponha que a observação do aluno tenha confirmado que o número de bactérias X se duplica a cada quarto de hora.
  • 43. 43 Após uma hora do início do período de observação desse aluno, o número de bactérias X foi de a) 2-2 . 105 b) 2-1 . 105 c) 22 . 105 d) 23 . 105 e) 24 . 105 6) (Enem 2013) Um trabalhador possui um cartão de crédito que, em determinado mês, apresenta o saldo devedor a pagar no vencimento do cartão, mas não contém parcelamentos a acrescentar em futuras faturas. Nesse mesmo mês, o trabalhador é demitido. Durante o período de desemprego, o trabalhador deixa de utilizar o cartão de crédito e também não tem como pagar as faturas, nem a atual nem as próximas, mesmo sabendo que, a cada mês, incidirão taxas de juros e encargos por conta do não pagamento da dívida. Ao conseguir um novo emprego, já completados 6 meses de não pagamento das faturas, o trabalhador procura renegociar sua dívida. O gráfico mostra a evolução do saldo devedor. Com base no gráfico, podemos constatar que o saldo devedor inicial, a parcela mensal de juros e a taxa de juros são a) R$ 500,00; constante e inferior a 10% ao mês. b) R$ 560,00; variável e inferior a 10% ao mês. c) R$ 500,00; variável e superior a 10% ao mês. d) R$ 560,00; constante e superior a 10% ao mês. e) R$ 500,00; variável e inferior a 10% ao mês. 7) (Enem 2015) O acréscimo de tecnologias no sistema produtivo industrial tem por objetivo reduzir custos e aumentar a produtividade. No primeiro ano de funcionamento, uma indústria fabricou 8000 unidades de um determinado produto. No ano seguinte, investiu em tecnologia adquirindo novas máquinas e aumentou a produção em 50%. Estima-se que esse aumento percentual se repita nos próximos anos, garantindo um crescimento anual de 50%. Considere P a quantidade anual de produtos fabricados no
  • 44. 44 ano t de funcionamento da indústria. Se a estimativa for alcançada, qual é a expressão que determina o número de unidades produzidas P em função e t, para t ≥ 1? A) P(t) = 0,5 . t-1 + 8000 B) P(t) = 50 . t-1 + 8000 C) P(t) = 4000 . t-1 + 8000 D) P(t) = 8000 . (0,5)t-1 E) P(t) = 8000 . (1,5)t-1 8) (Enem 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1800, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é s(t) = 1800 (1,03)t. De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional de empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, a) 7416,00. b) 3819,24. c) 3709,62. d) 3708,00. e) 1909,62. 9) (Enem (PPL) – 2015) O sindicato de trabalhadores de uma empresa sugere que o piso salarial da classe seja de R$ 1 800,00, propondo um aumento percentual fixo por cada ano dedicado ao trabalho. A expressão que corresponde à proposta salarial (s), em função do tempo de serviço (t), em anos, é 𝑠(𝑡) = 1 800 . (1,03)𝑡 . De acordo com a proposta do sindicato, o salário de um profissional dessa empresa com 2 anos de tempo de serviço será, em reais, a) 7 416,00 b) 3 819,24 c) 3 709,62 d) 3 708,00 e) 1 909,62. Função Exponencial Meia Vida O tempo que uma determinada substância leva para que metade de seus átomos se desintegre é denominado meia-vida. Esse termo, meia-vida, significa que a cada período transcorrido ocorrerá a desintegração de metade da quantidade dos átomos e, como esse processo continua, restará 1 2 , 1 4 , 1 8 , 𝑒𝑡𝑐. da substância original, conforme transcorra uma vez, duas vezes, três vezes meia-vida, e assim por diante. Observando essa sequência de frações, existe um padrão das potências de 1 2 ,
  • 45. 45 sendo o expoente de cada termo correspondente à quantidade de meias-vidas passada. 1 2 , ( 1 2 ) 1 , ( 1 2 ) 2 , ( 1 2 ) 3 , … , ( 1 2 ) 𝑥 Nesse último, passados x meias-vidas. Esse padrão dará origem a uma função, uma vez que temos a variável x no expoente, chamada função exponencial. Existem inúmeras aplicações, como na Economia, em que se aplicam juros compostos, Urbanismo, onde se verificam o desgaste de um sistema viário, na Biologia, no estudo do crescimento do número de bactérias numa cultura e outros. Considere a seguinte situação: Em uma cultura de bactérias, a população dobra a cada hora. Se há 1000 bactérias no início da experiência, calcule quantas bactérias existirão depois de: a) 3 horas Depois de 1 hora, teremos 2000 bactérias (2 . 1000). Depois de 2 horas, teremos 4000 bactérias (4 . 1000 ou 22 . 1000 ). Então, depois de 3 horas, teremos 8000 bactérias (8 . 1000 ou 23 . 1000). b) 8 horas 28 . 1000 = 256 . 1000 = 256 000 bactérias c) x horas 2𝑥 . 1000 bactérias Em geral, o modelo matemático é dado pela função de tipo exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑏 . 𝑎𝑥 , em que b representa a população de bactérias existentes no início da experiência e x é o tempo decorrido. Caracterização da função exponencial A característica fundamental da função tipo exponencial é a seguinte: se calcularmos a população das bactérias nos instantes 𝑥0, 𝑥0 + ℎ, 𝑥0 + 2ℎ, … isto é, em intervalos de igual duração h, obteremos que cada população é igual à do instante anterior multiplicada pela mesma constante k: 𝑓(𝑥0 + ℎ) = 𝑓(𝑥0). 𝑘 𝑓(𝑥0 + 2ℎ) = 𝑓(𝑥0 + ℎ). 𝑘 Esta é a característica fundamental da função exponencial. Definição Seja 𝑎 (𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1), denomina-se função exponencial de base 𝑎 a uma função f de 𝑅 𝑒𝑚 𝑅+ ∗ definida por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 ou 𝑦 = 𝑎𝑥 . Vejamos alguns exemplos: 1) 𝑓(𝑥) = 3𝑥
  • 46. 46 2) 𝑦 = ( 1 2 ) 𝑥 3) 𝑔(𝑥) = 0,4𝑥 4) 𝑦 = (√2)𝑥 Observação: As restrições 𝑎 > 0 𝑒 𝑎 ≠ 1 dadas na definição são necessárias, pois: • Para 𝑎 = 0 e x negativo, não existiria 𝑎𝑥 (não teríamos uma função definida em R). • Para 𝑎 < 0 e 𝑥 = 1 2 , por exemplo, não haveria 𝑎𝑥 (não teríamos uma função em R). • Para 𝑎 = 1 e x qualquer número real, 𝑎𝑥 = 1 (função constante). Gráfico da função exponencial Vejamos os gráficos de duas funções exponenciais 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , a primeira com 𝑎 > 1 e a segunda com 0 < 𝑎 < 1. a) 𝑎 > 1 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 0 < 𝑎 < 1 c) 𝑓(𝑥) = ( 1 2 ) 𝑥
  • 47. 47 Observando as tabelas e os gráficos podemos concluir que, para uma função exponencial: 1) 𝐷(𝑓) = 𝑅, 𝐶𝐷(𝑓) = 𝑅+ ∗ , 𝐼𝑚(𝑓) = 𝑅+ ∗ , 𝑓(1) = 𝑎 e 𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2) 2) o gráfico é uma figura chamada curva exponencial, que passa por (0, 1); 3) o gráfico não toca o eixo x e não tem pontos nos quadrantes III e IV; 4) para 𝑎 > 1 a função é crescente (𝑥1 > 𝑥2 → 𝑎𝑥1 > 𝑎𝑥2); 5) para (0 < 𝑎 < 1), a função é decrescente (𝑥1 > 𝑥2 → 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2); 6) a função exponencial é sobrejetiva: Im(f) = CD(f), ou seja, para todo número real 𝑏 > 0, existe algum 𝑥 ∈ 𝑅 tal que 𝑎𝑥 = 𝑏 (todo número real positivo é uma potência de a); 7) a função exponencial é injetiva (𝑥1 ≠ 𝑥2 → 𝑎𝑥1 ≠ 𝑎𝑥2 ou 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 → 𝑥1 = 𝑥2) pois ou ela é crescente (𝑎 > 1) ou é decrescente (0 < 𝑎 < 1); 8) a função exponencial é bijetiva, logo, admite função inversa; 9) a função exponencial é ilimitada superiormente. As ideias desenvolvidas no estudo da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 podem ser aplicadas em outras funções em que a variável aparece no expoente. Vejamos: Seja f a função de R em R definida por 𝑓(𝑥) = 4𝑥 + 1. Calcular 𝑓(−2), 𝑓(−1), 𝑓(0), 𝑓(1) e 𝑓 ( 3 2 )
  • 48. 48 Em seguida colocando esses valores em uma tabela, Próximo passo colocar no plano cartesiano esses valores. D(f) = R e Im(f) = { y ∈ 𝑅 | 𝑦 > 1} Observe o gráfico da função exponencial f definida por 𝑓(𝑥) = 𝑟𝑥
  • 49. 49 Com base no gráfico, responda: a) 𝑟 > 1 ou 0 < 𝑟 < 1? 0 < 𝑟 < 1 b) 𝑓 é crescente ou decrescente? 𝑓 é 𝑑𝑒𝑐𝑟𝑒𝑠𝑐𝑒𝑛𝑡𝑒 c) 𝑓(7) é maior, menor ou igual a 𝑓(3) ? 𝑓(7) < 𝑓(3) d) Entre as sentenças seguintes, identifique a de f: I) 𝑓(𝑥) = ( 2 3 ) 𝑥 II) 𝑓(𝑥) = ( 2 5 ) 𝑥 𝑓(𝑥) = ( 2 3 ) 𝑥 Nesse momento, recomendamos a utilizar um aplicativo de geometria dinâmica, no qual podem ser exploradas tabelas e outros. Para isso, crie uma função do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑏. 𝑎𝑥 + 𝑐 , com os controles deslizantes, a, b e c. Em seguida, faça alterações nos valores do controle deslizante e discuta entre os estudantes. Aplicativo Geogebra: https://www.geogebra.org/classic#graphing
  • 50. 50 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Verifique quais das sentenças dadas correspondem à lei da função exponencial. a) 𝑓(𝑥) = 12𝑥 b) 𝑦 = (0,666 … )𝑥 c) 𝑔(𝑥) = (−4)𝑥 d) 𝑦 = 𝑥2 2) Dada a função exponencial 𝑓(𝑥) = 4𝑥 , determine: a) 𝑓(3) b) 𝑓(−1) c) 𝑚 tal que 𝑓(𝑚) = 1. 3) Cada gráfico abaixo representa uma função exponencial do tipo 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 . Identifique a lei de formação de cada uma delas. 4) 𝑓 , 𝑔 e ℎ são funções de 𝑅 em 𝑅 dadas por 𝑓(𝑥) = 2 . 3𝑥 , 𝑔(𝑥) = 5𝑥 − 2 e ℎ(𝑥) = 5𝑥−2 . Determine: a) 𝑓(2) b) 𝑔(2) c) ℎ(2) d) 𝑓(−1) 5) Construa o gráfico da função f de R em R definida por 𝑓(𝑥) = 2𝑥−1 . Equações exponenciais As equações exponenciais são aquelas em que a incógnita aparece nos expoentes. 8𝑥 = 64, ( 1 3 ) 𝑥 = 81, 49𝑥+1 = √7𝑥, 22𝑥 = 2𝑥 + 12
  • 51. 51 Para resolver uma equação exponencial, vamos primeiramente transformar numa igualdade de potências de mesma base. Usaremos o fato de que a função exponencial é injetiva, ou seja, para 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1, temos: 𝑎𝑥1 = 𝑎𝑥2 ↔ 𝑥1 = 𝑥2 Vamos resolver as equações: a) 32𝑥−2 = 81 Primeiro vamos fatorar o 81 = 34 , 32𝑥−2 = 34 Usando o fato de ser injetiva: 2𝑥 – 2 = 4 𝑥 = 3 Verificação: 𝑥 = 3 → 32𝑥−2 = 32.3−2 = 34 = 81 Solução = {3}. Acesse a resolução dessa equação: b) ( 1 2 ) 𝑥 = √4 3 c) 2𝑥2−3𝑥−4 = 1 Temos 1 = 20 , logo 2𝑥2−3𝑥−4 = 1 = 20
  • 52. 52 Assim, 𝑥2 − 3𝑥 − 4 = 0 (Equação do 2º grau em x) 𝑠 = {−1, 4} d) 0,75𝑥 = 9 16 Algumas equações exigem artifícios de cálculo para serem solucionadas. a) 3 . 4𝑥+1 = 96 b) 2𝑥+2 + 2𝑥−1 = 18 Vamos resolver essa equação de duas maneiras. 1ª maneira:
  • 53. 53 2ª maneira: Inequações exponencias A seguir apresentamos as chamadas inequações exponenciais: 2𝑥−1 ≥ 16 25𝑥 ≥ √5 8𝑥−1 ≤ 1 16𝑥 Para resolvê-las devemos nos lembrar de que a função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 é crescente para 𝑎 > 1 e decrescente para 0 < 𝑎 < 1, ou seja: 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 ↔ 𝑥1 < 𝑥2 para 𝑎 > 1 𝑎𝑥1 < 𝑎𝑥2 ↔ 𝑥1 > 𝑥2 para 0 < 𝑎 < 1 Função crescente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 com 𝑎 > 1
  • 54. 54 Nesse caso de 𝑎 > 1, o sentido da desigualdade foi conservado. Função decrescente 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 com 0 < 𝑎 < 1 Neste caso de 0 < 𝑎 < 1, o sentido da desigualdade foi trocado. Exemplos: 1) Vamos resolver as inequações: a) 2𝑥+7 < 32 2𝑥+7 < 32 2𝑥+7 < 25 → (desigualdade de potências de mesma base) 𝑎 = 2 → 𝑎 > 1 (mantém-se o sentido da desigualdade) 𝑥 + 7 < 5 𝑥 < 5 − 7 𝑥 < −2
  • 55. 55 b) ( 1 2 ) 𝑥+1 ≥ 4𝑥+3 c) ( 1 3 ) 𝑥2−𝑥 > ( 1 3 ) 2 Como já temos uma desigualdade com potências de mesma base, logo: 2) Explicitar o domínio D da função 𝑓(𝑥) = √3𝑥 − 9. Para que exista 𝑓(𝑥) devemos ter 3𝑥 − 9 ≥ 0. 3𝑥 ≥ 9 3𝑥 ≥ 32 𝑥 ≥ 2 Logo, 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≥ 2}.
  • 56. 56 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Resolva as seguintes equações exponenciais: a) 2𝑥 = 64 b) 3𝑥−2 = 9 c) (√2) 𝑥 = 4 d) ( 1 2 ) 𝑥2−4 = 8𝑥+2 2) Resolva a equação (0,25)𝑥 = 16 3) Resolva as equações exponencias: a) 2 . 3𝑥−2 = 162 ; 6 b) 3 . 5𝑥−1 = 75; 3 c) 2𝑥 + 2𝑥−1 = 12 d) 4 . 2𝑥 + 2𝑥−1 = 72 4) Resolva as inequações exponenciais: a) 25𝑥 > 23𝑥+10 b) 35−𝑥2 < 3−4 c) 2𝑥+3 < ( 1 2 ) 3 5) Explicite o domínio D da função 𝑓(𝑥) = √(7𝑥)𝑥 − 72𝑥. Aplicações Uma aplicação dessa última observação é o cálculo dos juros compostos quando calculado em intervalos de tempos iguais. Se um capital inicial 𝑐0 é aplicado a juros fixos e capitalizados continuamente após decorrido um tempo t, o capital existente é dado por 𝑐(𝑡) = 𝑐0 . 𝑎𝑡 . Se tirarmos extratos da conta nos tempos 0, 𝑟, 2𝑟, 3𝑟, . .. teremos: 𝑐(0) = 𝑐0; 𝑐(𝑟) = 𝑐0. 𝐴; 𝑐(2𝑟) = 𝑐0. 𝐴2 𝑐(3𝑟) = 𝑐0. 𝐴3 , … em que 𝐴 = 𝑎𝑟 , ou seja, a evolução do saldo, quando ele é calculado em intervalos de 𝑟
  • 57. 57 unidades de tempo, é dada pela 𝑐0, 𝑐0 . 𝐴, 𝑐0 . 𝐴2 , 𝑐0 . 𝐴3 , … em que 𝐴 = 𝑎𝑟 . Considere um capital inicial de 𝑐0 e uma taxa fixa de i% ao mês, teremos após 𝑡 meses: 𝑐𝑡 = 𝑐0 . (1 + 𝑖)𝑡 Considere um capital inicial de R$ 100 000,00, aplicado a juros fixos de 2% ao mês, produz um montante no final de: a) 1 mês: 𝑐0 . (1 + 𝑖) = 100 000 . (1 + 0,02) = 𝑅$ 102 000,00 b) 2 meses: 𝑐0 . (1 + 𝑖)2 = 100 000 . (1 + 0,02)2 = 𝑅$ 104 040,00 c) 3 meses: 𝑐0 . (1 + 𝑖)3 = 100 000 . (1 + 0,02)3 = 𝑅$ 106 120,80 Podemos perceber que os números 102 000,00; 104 040,00; 106 120,80; ... formam uma PG de razão 1,02. Confira com o auxílio de uma calculadora. 1) (FMJ-SP) O número de bactérias de uma cultura, 𝑡 horas após o início de certo experimento, é dado pela expressão 𝑁(𝑡) = 1200 . 20,4𝑡 . Nessas condições, quanto tempo após o início do experimento a cultura terá 38400 bactérias? 𝑁(𝑡) = 1200 . 20,4𝑡 → 𝑁(𝑡) = 38400 Igualando, temos 1200 . 20,4𝑡 = 38400 20,4𝑡 = 38400 1200 20,4𝑡 = 32 20,4𝑡 = 25 → 0,4𝑡 = 5 → 𝑡 = 12,5ℎ Portanto, a cultura terá 38400 bactérias após 12h 30min. A radioatividade é um fenômeno que ocorre em núcleos de átomos instáveis por emitirem partículas e radiações. Núcleos instáveis, na maioria das vezes, são grandes e, por isso, emitem partículas e radiação para tornarem-se estáveis. A medida de tempo na qual metade da quantidade do material radioativo se desintegra é denominada meia- vida ou período de semidesintegração (P). O valor da meia-vida é sempre constante para o mesmo elemento químico radioativo. Assim, a cada período de tempo P, a quantidade de material radioativo reduz-se à metade da anterior, sendo possível relacionar a quantidade de material radioativo a qualquer tempo com a quantidade inicial por meio de uma função exponencial 𝑁(𝑡) = 𝑁0 . ( 1 2 ) ( 𝑡 𝑝 ) em que 𝑁0 é a quantidade inicial do material radioativo, 𝑡 é o tempo decorrido e 𝑃 é o valor da meia-vida do material radioativo considerado.
  • 58. 58 2) A PET (Positron Emission Tomography) é uma das melhores técnicas de tomografia para obtenção de imagens do corpo humano, permitindo melhores definições de imagem usando menos radiação do que outras técnicas. Os isótopos mais usados nos radiofármacos injetados nos pacientes submetidos ao processo PET são o carbono-11, o nitrogênio-13, o oxigênio-15 e o flúor-18, cujas meias-vidas são respectivamente de 20, 10, 2 e 110 minutos. Como os isótopos usados têm meia-vida muito curta, assim que um desses isótopos é obtido, restam poucos minutos para sintetizar o radiofármaco e injetá-lo no paciente. Vamos calcular em quanto tempo uma amostra de carbono-11 se reduz a 25% do que era quando foi obtida. A função 𝑁(𝑡) = 𝑁0 . ( 1 2 ) ( 𝑡 𝑝 ) , relaciona a quantidade de carbono-11 presente em função do tempo. Assim: 𝑁(𝑡) = 𝑁0 . ( 1 2 ) ( 𝑡 20 ) , de acordo com enunciado temos 𝑝 = 20 e 𝑁(𝑡) = 0,25𝑁0. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Numa certa cultura, há 1000 bactérias num determinado instante. Após 10 min, existem 4000. Quantas bactérias existirão em 1 h, sabendo que elas aumentam segundo a fórmula 𝑃 = 𝑃0 . 𝑒𝑘𝑡 , em que P é o número de bactérias, t é o tempo em horas e k é a taxa de crescimento?
  • 59. 59 2) Uma substância se decompõe aproximadamente segundo a lei 𝑄(𝑡) = 𝐾 . 2(−0,5)𝑡 , em que K é uma constante, t indica o tempo (em minutos) e Q(t) indica a quantidade de substância (em gramas) no instante t. Considerando os dados desse processo de decomposição mostrados no gráfico, determine os valores de K e de a. 3) A quantia de R$ 20 000,00 foi aplicada a uma taxa de 1% ao mês. Qual será o saldo no final de 3 meses? 4) Estima-se que a população de uma certa cidade cresça 3% a cada 8 anos. Qual é o crescimento estimado para um período de 24 anos? Logaritmo No início do século XVII surgiram as primeiras tábuas de logaritmos, inventadas independentemente por Jost Bürgi (1552-1632) e John Napier (1550-1617). Logo depois, Henry Briggs (1561-1631) aperfeiçoou essas tábuas, apresentando os logaritmos decimais. A principal contribuição dos logaritmos para facilitar os cálculos foi a de transformar as operações de multiplicação em adição e as de divisão em subtração. Essas descobertas aumentaram muito a capacidade de cálculo dos que estavam envolvidos em Astronomia e Navegação. Em 1638 um matemático inglês chamado William Oughtred inventou a régua de cálculo com base na tábua de logaritmos criada por Napier. Esse foi um passo em direção à calculadora e à construção dos computadores. Uma importante aplicação dos logaritmos é a escala Richter, na área da sismologia, que fornece as magnitudes dos terremotos. Atividade de pesquisa.
  • 60. 60 Nesse site você vai conhecer mais sobre a escala, podendo entender melhor sobre logaritmo. https://brasilescola.uol.com.br/geografia/escala-richter.htm Acessado: 06062022. Magnitude de Richter A magnitude de Richter corresponde ao logaritmo da medida da amplitude das ondas sísmicas de tipo P (primárias, mais rápidas) e S (secundárias, mais lentas) a 100 km do epicentro. A fórmula utilizada é 𝑀𝑙 = 𝑙𝑜𝑔𝐴 − 𝑙𝑜𝑔𝐴0, sendo log a abreviação de logaritmo, A a amplitude máxima medida no sismógrafo e 𝐴0 uma amplitude de referência. Esses conceitos é que iremos estudar a partir de agora. Logaritmo Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 a 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? Nas condições indicadas temos: Supondo que dobrará em x anos, logo: 𝑃 𝑥 = 2𝑃0 𝑃0(1,012)𝑋 = 2𝑃0 (1,012)𝑋 = 2 Com os conhecimentos adquiridos até aqui não é possível resolver essa equação. Com o objetivo de transformar uma equação exponencial como essa numa igualdade entre potências de mesma base, vamos desenvolver a noção de logaritmo. Definição de logaritmo de um número Considere as seguintes questões. A que número x se deve elevar: a) o número 2 para se obter 8? O valor 3 denomina-se logaritmo do número 8 na base 2. Assim:
  • 61. 61 b) o número 3 para se obter 1 81 ? O valor -4 chama-se logaritmo do número 1 81 na base 3. Perceba que o logaritmo é um expoente. SAIBA MAIS: É interessante, realizar algumas operações simples utilizando logaritmos para que os estudantes tenham ideia de como os antigos matemáticos faziam os cálculos. Por exemplo, comece tomando os logaritmos decimais dos números de 1 a 10, com o auxílio da calculadora, tal como mostra a tabela abaixo: Dados os números reais positivos a e b, com 𝑎 ≠ 1, se 𝑏 = 𝑎𝑐 , então o expoente 𝑐 chama-se logaritmo de 𝑏 na base 𝑎, ou seja: 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑏 = 𝑐 ↔ 𝑎𝑐 = 𝑏, com a e
  • 62. 62 b positivos e 𝑎 ≠ 1. Nessa equivalência temos: Vejamos mais alguns exemplos: Experimente aplicar a definição nesses casos. Professor, é importante verificar como a definição fica em cada situação. 1) Veja que, de acordo com as restrições impostas, não são definidos, por exemplo: 𝑙𝑜𝑔3 − 81, 𝑙𝑜𝑔100, 𝑙𝑜𝑔03, 𝑙𝑜𝑔−28, e 𝑙𝑜𝑔16. 2) Quando a base do logaritmo for 10, podemos omiti-la. Assim, 𝑙𝑜𝑔2 é o logaritmo de 2 na base 10. Aos logaritmos na base 10 damos o nome de logaritmos decimais. Nesse momento é importante verificar com os estudantes alguns exemplos, observe que estamos trabalhando com números inteiros, racionais e reais. Vamos determinar: 1) 𝑙𝑜𝑔2128 𝑙𝑜𝑔2128 = 𝑥 ⟶ 2𝑥 = 128 = 27 ⟶ 𝑥 = 7. Portanto, 𝑙𝑜𝑔2128 = 7.
  • 63. 63 2) 𝑙𝑜𝑔√3 9 3) 𝑙𝑜𝑔1 9 3√3 4) Vamos calcular a sabendo que 𝑙𝑜𝑔𝑎 25 = 2. 5) Vamos calcular o número real A sabendo que 𝐴 = 𝑙𝑜𝑔100,001 + 𝑙𝑜𝑔2 1 16 . 6) Sabendo que 𝑙𝑜𝑔3𝑥 = −2, vamos determinar x. O número x deve ser positivo (x > 0). Pela definição de logaritmo, 𝑥 = 3−2 → 𝑥 = 1 9 . 7) Calcular 𝑙𝑜𝑔2(𝑙𝑜𝑔381). ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Usando potência, determine o equivalente a cada logaritmo: a) 𝑙𝑜𝑔27 = 𝑥
  • 64. 64 b) 𝑚 = 𝑙𝑜𝑔𝑝𝑟 c) 𝑙𝑜𝑔𝑥0,1 = −1 2) Com os três números dados, escreva uma igualdade usando logaritmo: a) 6, 36 e 2 b) 5, -1 e 1 5 c) 8, 8 e 1 3) Usando a definição, calcule: a) 𝑙𝑜𝑔327 b) 𝑙𝑜𝑔 10000 c) 𝑙𝑜𝑔1 2 32 4) Determine a) 𝑙𝑜𝑔𝑎8 = 3 b) 𝑙𝑜𝑔𝑎4 = −2 5) Calcule x nas igualdades: a) 𝑙𝑜𝑔2 𝑥 = 5 b) 𝑙𝑜𝑔 (𝑥 + 1) =2 Condições de existência de logaritmos Nesse momento é importante professor, deixar claro para o estudante que nem sempre temos a definição do logaritmo definida. Como sugestão de atividade, é imprescindível uma leitura, pelo estudante, do material e uma revisitada nas definições. A existência de um logaritmo, como por exemplo 𝑙𝑜𝑔𝑎𝑁, depende das seguintes condições: • N deve ser um número positivo (N > 0). • A base deve ser um número positivo e diferente de 1 (1 ≠ a > 0). Exemplos: 1) Vamos determinar os valores reais de x para os quais existe: a) 𝑙𝑜𝑔2(𝑥 − 3) Como a base é 2, temos que é positiva e diferente de 1. Devemos impor que 𝑥 − 3 > 0 → 𝑥 > 3. Logo, 𝑥 ∈ 𝑅 | 𝑥 > 3.
  • 65. 65 b) log1 3 (𝑥2 − 7𝑥 + 10) A base é positiva. Precisamos impor a condição 𝑥2 − 7𝑥 + 10 > 0 Estudo do sinal: Logo, a solução é dada por {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < 2 𝑜𝑢 𝑥 > 5}. 2) Qual é o conjunto dos valores reais de x para os quais existe log𝑥−2(𝑥 + 5)? De acordo com as condições de existência, temos Assim o x, deve satisfazer simultaneamente as três condições: Assim, o conjunto é {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 > 2 𝑒 𝑥 ≠ 5}. Consequências da definição de logaritmo A seguir apresentamos algumas consequências da definição de logaritmo. Observem que as demonstrações podem ser encontradas em qualquer livro do ensino médio. 1) log𝑎 1 = 0, pois 𝑎0 = 1, qualquer que seja 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 2) log𝑎 𝑎 = 1, pois 𝑎1 = 𝑎, qualquer que seja 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 3) log𝑎 𝑎𝑛 = 𝑛, pois 𝑎𝑛 = 𝑎𝑛 para todo 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1 e para todo n. 4) 𝑎log𝑎 𝑁 = 𝑁, com 𝑁 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1. 5) log𝑎 𝑥 = log𝑎 𝑦 ↔ 𝑥 = 𝑦, com 𝑥 > 0, 𝑦 > 0, 𝑎 > 0 e 𝑎 ≠ 1.
  • 66. 66 Exemplos 1) Calcular o valor de 2log5 10 . log2 5 propriedades das potências 2) Vamos calcular o valor de x tal que log2(𝑥 − 2) = log2 9. Verificar a condição de existência, ou seja: 𝑥 − 2 > 0 → 𝑥 > 2. log2(𝑥 − 2) = log2 9 → (𝑥 − 2) = 9 → 𝑥 = 11. Assim, com x=1, existe log2(𝑥 − 2), pois 11 > 2, e log2 9, a resposta é 𝑥 = 11. Propriedades operatórias dos logaritmos 1ª propriedade: logaritmo de um produto Para introduzir essa propriedade é fundamental começar pelas propriedades das potências, 𝑎𝑥 . 𝑎𝑦 = 𝑎𝑥+𝑦 , surge uma propriedade semelhante nos logaritmos. Vejamos: log2(4 . 8) = log2(22 . 23 ) = log2 22+3 = 2 + 3 = 5(I) log24 + log2 8 = log2 22 + log2 23 = 2 + 3 = 5 (II) De (I) e (II) podemos perceber que: log2(4 . 8) = log24 + log2 8 Logo: log𝑎(𝑀. 𝑁) = log𝑎𝑀 + log𝑎 𝑁 Numa mesma base, o logaritmo do produto de dois números positivos é igual à soma dos logaritmos de cada um desses números. Exemplos: 1) log7(2 . 5) = log72 + log7 5 2) log5(4 . 5) = log54 + log5 5 = log5 4 + 1 3) log 300 = log(3 . 100) = log 3 + log 100 = log 3 + 2
  • 67. 67 log 3 . 2 não é o mesmo que log(3 . 2). 2ª propriedade: logaritmo de um quociente Vejamos: log2 ( 16 4 ) = log2 ( 24 22) = log2 24−2 = 4 − 2 = 1 (I) log216 − log2 4 = log2 24 − log2 22 = 4 − 2 = 2 (II) De (I) e (II) podemos perceber que: log2 ( 16 4 ) = log2 16 − log2 4 Assim, numa mesma base, o logaritmo do quociente de dois números positivos é igual à diferença entre os logaritmos desses números. log𝑎 ( 𝑀 𝑁 ) = log𝑎 𝑀 − log𝑎 𝑁 Caso particular: log𝑎 1 𝑁 = log𝑎 1 − log𝑎 𝑁 = 0 − log𝑎 𝑁, ou seja log𝑎 1 𝑁 = − log𝑎 𝑁. Vejamos alguns exemplos: 1) log5 ( 2 3 ) = log5 2 − log5 3 2) log ( 7 10 ) = log 7 − log 10 3) log2 ( 1 8 ) = log2 1 − log2 8 = 0 − 3 = −3 3ª propriedade: logaritmo de uma potência Observe que:
  • 68. 68 log2 73 = log2(7 . 7 . 7) = log2 7 + log2 7 + log2 7 = 3 . log2 7 Assim: log2 73 = 3 . log2 7 Portanto há mais de uma propriedade dos logaritmos, pois trata-se de um fato que ocorre para qualquer base e qualquer potência sempre que existam os logaritmos envolvidos. Numa mesma base, o logaritmo de uma potência de base positiva é igual ao produto do expoente pelo logaritmo da base da potência. log𝑎 𝑀𝑁 = 𝑁 . log𝑎 𝑀 Podemos aplicar essa propriedade no logaritmo de uma raiz (quando existir): log𝑎 √𝑀 𝑁 = log𝑎 𝑀 1 𝑁 = 1 𝑁 log𝑎 𝑀. Exemplos: a) log3 84 = 4 . log3 8 b) log7 53 = 3 . log7 5 c) log2 √4 3 = log2(4) 1 3 = 1 3 . log2 4 = 1 3 . 2 = 2 3 . 4ª propriedade: mudança de base Observe: log4 64 = 3, pois 43 = 64; log2 64 = 6, pois 26 = 64; log2 4 = 2, pois 22 = 4. Como 3 = 6 2 , podemos escrever log4 64 = log2 64 log2 4 . Logo: log𝑏 𝑁 = log𝑎 𝑁 log𝑎 𝑏 , para 𝑁 > 0, 𝑏 > 0, 𝑎 > 0; 𝑏 ≠ 1 e 𝑎 ≠ 1.
  • 69. 69 Quando existirem, log𝑏 𝑎 e log𝑎 𝑏 são números inversos. Exemplos: 1) log7 5 = log2 5 log2 7 (na base 2) 2) log7 5 = log5 log7 (na base 10) 3) log𝑏 𝑎 = − 3 4 ↔ log𝑎 𝑏 = − 4 3 Uma aplicação importante dessa propriedade é o uso em calculadoras eletrônicas, pois elas só possuem teclas para calcular logaritmos na base 10 e na base e. Calculadora Como calcular logaritmo na calculadora? Assista ao vídeo: https://www.youtube.com/watch?v=Psy9Whtq-VI&t=40s Algumas calculadoras possuem duas teclas com as seguintes funções: • tecla log: permite calcular o logaritmo decimal de um número N, inteiro ou decimal. • tecla 10𝑥 : permite calcular o número N quando se conhece log N = x Usando essas teclas, as propriedades dos logaritmos e as quatro operações fundamentais, é possível realizar os seguintes cálculos: 1) log 36
  • 70. 70 2) log √4,57 3 3) log2 997 4) log10 𝑥 = 0,72342 Cálculo de logaritmos O pH de uma solução é definido como o logaritmo decimal (base 10) do inverso da respectiva concentração de 𝐻3𝑂+ (íon hidroxônio). O cérebro humano contém um líquido cuja concentração de 𝐻3𝑂+ é 4,8 . 10−8 𝑚𝑜𝑙/𝐿 (em média). Qual será o pH desse líquido? Observe que para resolver esse problema, é preciso utilizar as propriedades de logaritmo. Usando a calculadora: log 4,8 ≅ 0,681241 Assim o pH = 8 − 0,681241 ≅ 7,3.
  • 71. 71 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Determine os valores reais de x para os quais é possível determinar: a) log𝑥 10 b) log1 2 (−𝑥2 + 5𝑥 − 4) 2) Determine o conjunto dos valores reais de x para que seja possível definir: a) log𝑥(𝑥 − 3) b) log𝑥−1(𝑥 + 4) 3) Calcule o valor dos logaritmos: a) Log7 1 b) log0,8 0,8 4) Calcule o valor de x: a) log6 𝑥 = log6 8 b) log3 8𝑥 = log3 16 5) Calcule o valor das expressões: a) 10log10 3 b) 3log2 7 . log3 2 6) Escreva: a) log5 8 usando logaritmos na base 4; b) O valor de log𝑦 𝑥 sabendo que log𝑥 𝑦 = 2 1 3 . Aplicação: Logaritmos dados Nosso objetivo agora é, a partir de um ou mais logaritmos dados, sabermos que podemos obter o valor aproximado de uma infinidade de logaritmos, usando as propriedades conhecidas. Por exemplo: Dados log 2 ≅ 0,30 e log 3 ≅ 0,48, podemos calcular: a) log 6 = ? log 6 = (2 . 3) = log 2 + log 3 = 0,30 + 0,48 = 0,78
  • 72. 72 b) log √3 = 1 2 . log 3 = 1 2 . 0,48 c) log 5 = log(10: 2) = log 10 − log 2 = 1 − 0,3 = 0,7 d) log9 32 = log 32 log9 = log25 log32 = 5 . log 2 2 . log 3 = 5 . 0,3 2 . 0,48 = 1,5625 Aplicação: logaritmos e equações exponenciais Nesse momento é importante que o estudante entenda que o logaritmo é uma ferramenta importante para a resolução de equações exponencias. Para resolver uma equação exponencial qualquer, uma boa técnica é imaginar uma balança de dois pratos em equilíbrio. A balança fica equilibrada quando há igual massa nos dois pratos e, para encontrar o valor de uma massa desconhecida, é necessário manipular as massas dos pratos de forma que o equilíbrio seja sempre mantido. Seja a equação 3𝑥 = 5. Para encontrar o valor de x, aplicamos logaritmos nos dois membros da mesma e utilizamos a terceira propriedade, a fim de isolar a incógnita: Vejamos mais exemplos.
  • 73. 73 1) Dados log 2 = 0,30; log 3 = 0,48 e log 5 = 0,70. Resolva a equação 52𝑥 − 7 . 5𝑥 + 12 = 0. 52𝑥 − 7 . 5𝑥 + 12 = 0. (5𝑥)2 − 7(5𝑥) + 12 = 0 Fazendo 5𝑥 = 𝑦, temos: 𝑦2 − 7𝑦 + 12 = 0 𝑦´ = 4 e 𝑦´´ = 3 Logo: 5𝑥 = 4 → log 5𝑥 = log 4 → 𝑥 . log 5 = 2 . log 5 → 𝑥 = 2 . log 2 log 5 ≅ 0,86 5𝑥 = 3 → log 5𝑥 = log 3 → 𝑥 . log 5 = log 3 → 𝑥 = log 3 log 5 ≅ 0,69 2) Sabemos que o número de bactérias numa cultura, depois de um tempo t, é dado por 𝑁 = 𝑁0. 𝑒𝑟𝑡 , em que 𝑁0 é o número inicial (quando 𝑡 = 0) e r é a taxa de crescimento relativo. Em quanto tempo o número de bactérias dobrará se a taxa de crescimento contínuo é de 5% ao minuto? De acordo com a pergunta, tem que ter 𝑁 = 2𝑁0. 𝑁 = 𝑁0. 𝑒𝑟𝑡 → 2𝑁0 = 𝑁0 . 𝑒0,05𝑡 → 2 = 𝑒0,05𝑡 aplicando: ln 2 = ln 𝑒0,05𝑡 → ln 2 = 0,05𝑡 ln 𝑒 𝑡 = ln 2 0,05 = 13,8min = 13min e 8 10 min = 13 min 48 s. O número de bactéria dobrará em 13 min 48 s. 3) Segundo o Banco Mundial, a previsão do crescimento demográfico na América Latina, no período de 2004 a 2020, é de 1,2% ao ano, aproximadamente. Em quantos anos a população da América Latina vai dobrar se a taxa de crescimento continuar a mesma? Observe que a temos uma população inicial: 𝑃 𝑜. Após um ano: 𝑃 𝑜(1,012) = 𝑃1 Após dois anos: 𝑃0(1,012)2 = 𝑃2 ...
  • 74. 74 Após x anos: 𝑃0(1,012)𝑥 = 𝑃 𝑥 Supondo que a população dobrará em relação a população inicial: 𝑃0, temos: 𝑃 𝑥 = 2𝑃0 → 𝑃0(1,012)𝑥 = 2𝑃0 → 1,012𝑥 = 2 Aplicando o logaritmo: log 1,012𝑥 = log 2 𝑥 . log 1,012 = log 2 𝑥 = log 2 log 1,012 ≅ 58 A população dobrará em 58 anos, aproximadamente. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) Resolva as equações, sabendo que log 2 = 0,30; log 3 = 0,48; log 5 = 0,70 e log 𝑒 = 0,43. a) 2𝑥 = 5 b) 𝑒𝑥 = 3 c) 5𝑥 = 𝑒 Para os exercícios 2 a 4 use a fórmula 𝑄 = 𝑄0. 𝑒−𝑟𝑡 , na qual Q representa a massa da substância ou o número de bactérias, r representa a taxa e t representa o tempo. 2) Uma substância radioativa se desintegra a uma taxa de 8% ao ano. Em quantos anos 50 g dessa substância se reduzirão a 5 g? 3) Num laboratório, uma pessoa verifica que a taxa de crescimento relativo contínuo de bactérias numa cultura é de 2,5%porminuto. Nessas condições, em quantos minutos o número de bactérias passará de 4000 para 6000? 4) Calcule a meia-vida de uma substância radioativa que se desintegra a uma taxa de 4% ao ano. (Lembre-se: meia-vida é o tempo que deve decorrer para que, em certo momento, metade dos átomos de uma substância radioativa se desintegre.)
  • 75. 75 5) A expressão 𝑀 = 𝐴(1 + 𝑖)𝑛 nos permite calcular o montante M, resultante da aplicação do capital A a juros compostos, à taxa anual i, ao completar um período de n anos. Nessas condições, se o capital de R$ 800.000,00 for aplicado a juros compostos e à taxa anual de 12%, após quanto tempo da aplicação serão obtidos juros no valor de R$ 700.000,00? Na matemática, existem funções elementares que podem ser intuitivamente modeladas, ou seja, aquelas que podem ser escritas como fórmulas explícitas, envolvendo apenas as operações elementares e um conjunto limitado de funções, nesse caso, vamos utilizar a as funções logarítmicas. Função logarítmica Para todo número real positivo 𝑎 ≠ 1, a função exponencial 𝑓: 𝑅 → 𝑅+ ∗ , 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , é uma correspondência biunívoca entre 𝑅 e 𝑅+ ∗ . Ela é crescente se 𝑎 ≠ 1, decrescente se 0 < 𝑎 < 1 e tem a seguinte propriedade: 𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2), ou seja, 𝑎𝑥1+𝑥2 = 𝑎𝑥1. 𝑎𝑥2 Essas condições garantem que f possuem uma função inversa. A inversa da função exponencial de base a é a função real log𝑎 𝑅+ ∗ → 𝑅 que associa a cada número real positivo x o número real log𝑎 𝑥, chamado logaritmo de x na base a, com a real positivo e 𝑎 ≠ 1. Observe que 𝑓: 𝑅 → 𝑅+ ∗ , dada por 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 , tem a propriedade 𝑓(𝑥1 + 𝑥2) = 𝑓(𝑥1) . 𝑓(𝑥2), ou seja, 𝑎(𝑥1+𝑥2) = 𝑎𝑥1. 𝑎𝑥2. A sua inversa g: 𝑅+ ∗ → 𝑅, dada por 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥, tem a propriedade log𝑎(𝑥1. 𝑥2) = log𝑎 𝑥1 + log𝑎 𝑥2. Domínio da função logarítmica: 𝑅+ ∗ Imagem da função logarítmica: 𝑅 Como a função logarítmica é a inversa da função exponencial, temos:
  • 76. 76 𝑎log𝑎 𝑥 = 𝑥 para todo 𝑥 > 0 e loga(𝑎𝑥) = 𝑥 para todo 𝑥 ∈ 𝑅 Assim, log𝑎 𝑥 é o expoente ao qual se deve elevar a base a para obter o número x, ou seja, 𝑦 = log𝑎 𝑥 ↔ 𝑎𝑦 = 𝑥 . As funções logarítmicas mais usadas são aquelas cuja base a é maior do que 1. Particularmente, as de base 10 (logaritmos decimais), as de base 2 (logaritmos binários) e as de base e (logaritmos naturais). São exemplos de função logarítmica as funções de 𝑅+ ∗ → 𝑅 definidas por: 𝑓(𝑥) = log2 𝑥, 𝑔(𝑥) = log10 𝑥 = log 𝑥, ℎ(𝑥) = log𝑒 𝑥 = ln 𝑥, 𝑖(𝑥) = log1 4 𝑥 Gráfico da função logarítmica Vejamos os seguintes gráficos de função logarítmica, 𝑓(𝑥) = log2 𝑥. 1) Para construção, do gráfico primeiro vamos construir uma tabela para auxiliar a construção dos gráficos. 1) Vamos acompanhar esse segundo exemplo, 𝑓(𝑥) = log1 2 𝑥.
  • 77. 77 Para construir gráfico de função logarítmica utilizando um aplicativo acesse: https://www.youtube.com/watch?v=5_iCOqA7GmQ acesso: 06/06/2022 Da definição de função logarítmica e da análise dos gráficos, podemos concluir que: • o gráfico da função logarítmica passa pelo ponto (1, 0), isto é, 𝑓(1) = 0 ou log𝑎 1 = 0; • o gráfico nunca toca o eixo y nem ocupa pontos dos quadrantes II e III; • se 𝑎 > 1, a função logarítmica é crescente (𝑥1 > 𝑥2 ↔ log𝑎 𝑥1 > log𝑎 𝑥2); • se 0 < 𝑎 < 1, a função logarítmica é decrescente (𝑥1 > 𝑥2 ↔ log𝑎 𝑥1 < log𝑎 𝑥2); • só números positivos possuem logaritmo real, pois a função 𝑥 → 𝑎𝑥 assume somente valores positivos; • quando 𝑎 > 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo positivo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo negativo; • quando 0 < 𝑎 < 1, os números maiores do que 1 têm logaritmo negativo e os números compreendidos entre 0 e 1 têm logaritmo positivo; • a função logarítmica é ilimitada, superior e inferiormente. No caso de 𝑎 > 1 ser ilimitada superiormente significa que se pode dar a log𝑎 𝑥 um valor tão grande quanto se queira, desde que tomemos x suficientemente grande; • ao contrário da função exponencial 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 com 𝑎 > 1, que cresce rapidamente, a função logarítmica log𝑎 𝑥 com 𝑎 > 1 cresce muito lentamente. • a função logarítmica é injetiva, pois números positivos diferentes têm logaritmos diferentes. Ela é também sobrejetiva, pois, dado qualquer número real b, existe sempre um único número real positivo x tal que log𝑎 𝑥 = 𝑏. Portanto, ela é bijetiva.
  • 78. 78 Uma relação importante Uma relação importante e a seguinte: o gráfico de duas funções inversas são simétricos à reta 𝑦 = 𝑥. Observe os gráficos a seguir 𝑓(𝑥) = 𝑎𝑥 e 𝑔(𝑥) = log𝑎 𝑥: nesse caso 𝑎 = 2. nesse caso 𝑎 = 1 2 . Observe no gráfico (a > 1) como a função exponencial cresce rapidamente, enquanto a função logarítmica cresce muito lentamente. Escreva as coordenadas de alguns pontos simétricos em cada um dos gráficos. Um pouco de História - Logaritmos e funções logarítmicas Vários conceitos básicos da Matemática, criados para atender a certas necessidades e resolver problemas específicos, revelaram posteriormente uma utilidade bem mais ampla do que a inicialmente pensada e vieram, com a evolução das ideias e o
  • 79. 79 desenvolvimento das teorias, a adquirir uma posição definitiva de grande relevância nessa ciência. Em alguns casos, a utilidade original foi, com o tempo, superada por novas técnicas, mas a relevância teórica se manteve. […] Os logaritmos foram inventados no início do século XVII a fim de simplificar as trabalhosas operações aritméticas dos astrônomos para a elaboração de tabelas de navegação. Com efeito, a regra log(𝑥𝑦) = log 𝑥 + log 𝑦 e suas consequências, tais como log ( 𝑥 𝑦 ) = log 𝑥 − log 𝑦 e outras, permitem reduzir cada operação aritmética (exceto, naturalmente, a adição e a subtração) a uma operação mais simples, efetuada com os logaritmos. Essa maravilhosa utilidade prática dos logaritmos perdurou até recentemente, quando foi vastamente superada pelo uso das calculadoras eletrônicas. A função logarítmica, entretanto, juntamente com sua inversa, a função exponencial, permanece como uma das mais importantes na Matemática, por uma série de razões que vão muito além da sua utilidade como instrumento de cálculo aritmético. […] Resumindo: um matemático ou astrônomo do século XVII achava os logaritmos importantes porque eles lhe permitiam efetuar cálculos com rapidez e eficiência. Um matemático de hoje acha que a função logarítmica e sua inversa, a função exponencial, ocupam uma posição central na Análise Matemática por causa de suas propriedades funcionais, pois descreve a evolução de grandezas que, em cada instante, sofrem uma variação proporcional ao valor naquele instante. Exemplos de grandezas com essa propriedade são um capital empregado a juros compostos, uma população (de animais ou bactérias), a radioatividade de uma substância, ou um capital que sofre desconto. […] (adaptado) Fonte: Elon Lages Lima. Meu professor de Matemática e outras histórias. Rio de Janeiro: Impa-Vitae, 1991. p. 28-30 passim. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM 1) As funções logarítmicas f e g são dadas por 𝑓(𝑥) = log3 𝑥  e 𝑔(𝑥) = log4 𝑥. Determine: a) 𝑓(9) b) 𝑔(1) c) 𝑓−1 (1) d) 𝑓(27) + 𝑔(𝑔16)
  • 80. 80 2) Construa os gráficos das funções logarítmicas. a) 𝑓(𝑥) = log3𝑥 b) 𝑔(𝑥) = log1 3 𝑥 c) ℎ(𝑥) = log2(𝑥 − 1) 3) Construa no mesmo sistema de eixos os gráficos de 𝑓(𝑥) = 3𝑥 e 𝑔(𝑥) = log3 𝑥. Um exemplo de aplicação dos logaritmos é a questão que segue, apresentada na prova de matemática do ENEM de 2013: Em setembro de 1987, Goiânia foi palco do maior acidente radioativo ocorrido no Brasil, quando uma amostra de césio-137, removida de um aparelho de radioterapia abandonado, foi manipulada inadvertidamente por parte da população. A meia-vida de um material radioativo é o tempo necessário para que a massa desse material se reduza à metade. A meia-vida do césio-137 é 30 anos e a quantidade restante de massa de um material radioativo, após t anos, é calculada pela expressão 𝑀(𝑡) = 𝐴 . 2,7𝑘𝑡 onde A é a massa inicial e k é uma constante negativa. Considere 0,3 como aproximação para log10 2. Qual o tempo necessário, em anos, para que uma quantidade de massa do césio-137 se reduza a 10% da quantidade inicial? Primeiramente, para resolver essa questão, vamos determinar o valor de 𝑘, ou seja, da meia-vida do Césio-137. Tomemos: 𝑀(𝑡) = 𝐴 2 , (meia vida) e 𝑡 = 30. Substituindo:
  • 81. 81 Agora, novamente na equação dada para responder à pergunta do problema: Então, em 100 anos o césio-137 reduz-se a 10% de sua massa inicial. Matemática Financeira No cálculo dos juros compostos também é necessário utilizar logaritmos para se descobrir o tempo em que uma aplicação rende determinado juro, a partir da fórmula: 𝑀 = 𝐶(1 + 𝑖)𝑛 em que M é o montante (capital + juros), C é o capital, i é a taxa de juros e n é o tempo. Suponhamos que R$ 1000,00 produza juros compostos de R$ 200,00, a uma taxa 1,2% ao mês. O cálculo abaixo mostra como determinar o tempo da aplicação: A lei de Weber e as escalas de Fechner A lei de Weber (Ernst Heinrich Weber, 1795-1878, fisiologista alemão) para
  • 82. 82 resposta de seres humanos a estímulos físicos declara que diferenças marcantes na resposta a um estímulo ocorrem para variações da intensidade do estímulo proporcionais ao próprio estímulo. Por exemplo, um homem que sai de um ambiente iluminado para outro só percebe uma variação da luminosidade se esta for superior a 2%; só distingue entre soluções salinas se a variação da salinidade for superior a 25%; etc. Fechner (Gustav Theodor Fechner, 1801-1887, físico e filósofo alemão) propôs um método de construção de escalas baseado na lei de Weber. Seja i a taxa de variação da intensidade do estímulo que permite discriminação da resposta. Associemos ao estímulo 𝒙𝟎 o nível de resposta 0. Então, a cada variação de taxa 𝒊 no nível do estímulo, aumentamos uma unidade na medida do nível de resposta. Sejam y a resposta e x a intensidade do estímulo. • Temos que 𝑥 = 𝑥0(1 + 𝑖)𝑦 . • Temos que 𝑦 = 𝑎 . log 𝑥 + 𝑏, com 𝑎 = 1 log(𝑥+1) e 𝑥0 = 1 log(1+𝑖)𝑏 . • O brilho de uma estrela é uma sensação, ou seja, é uma resposta a um estímulo que é a energia luminosa recebida pelo olho. Os astrônomos medem o brilho por intermédio de uma escala de Fechner, 𝑚 = 𝑐 − 2,5 . log10 𝑖 , em que m é a medida do brilho, chamada de magnitude aparente, I é a energia luminosa recebida pelo olho e c é uma constante. • Uma escala de Fechner muito conhecida é a escala Richter, que mede a intensidade de terremotos. Ela é definida por 𝑅 = 𝑎 + log10 𝐼, em que R é a intensidade do terremoto (em graus Richter) e I é a energia liberada por ele. • Outra escala de Fechner também muito conhecida é a que mede ruídos, definida por 𝑅 = 12 + log10 𝐼, em que R é a medida do ruído em bels (essa designação é em homenagem a Alexander Graham Bell, 1847-1922, físico escocês e inventor do telefone) e I é a intensidade sonora, medida em watts por metro quadrado. Na realidade, a unidade legal no Brasil é um submúltiplo do bel, o decibel. (adaptado) Fonte: Augusto Cesar Morgado e outros. Progressões e Matemática financeira. Rio de Janeiro: SBM, 1993. p. 40-1 passim. (Coleção do Professor de Matemática.) MOMENTO ENEM 1) (ENEM 2020) A Lei de Zipf, batizada com o nome do linguista americano George Zipf, é uma lei empírica que relaciona a frequência (f) de uma palavra em um dado texto com o seu ranking (r). Ela é dada por
  • 83. 83 𝑓 = 𝐴 𝑟𝐵 O ranking da palavra é a sua posição ao ordenar as palavras por ordem de frequência. Ou seja, r = 1 para a palavra mais frequente, r = 2 para a segunda palavra mais frequente e assim sucessivamente. A e B são constantes positivas. Disponível em: http://klein.sbm.org.br. Acesso em: 12 ago. 2020 (adaptado). Com base nos valores de X = log (r) e Y = log (f), é possível estimar valores para A e B. No caso hipotético em que a lei é verificada exatamente, a relação entre Y e X é (A) 𝑌 = log 𝐴 − 𝐵. 𝑋 (B) 𝑌 = log𝐴 𝑋+log𝐵 (C) 𝑌 = log(𝐴) 𝐵 + 𝑋 (D) 𝑌 = log(𝐴) 𝐵 . 𝑋 (E) 𝑌 = log(𝐴) 𝑋𝐵 Resolução: https://www.youtube.com/watch?v=-jWoqMI1hQo&t=12s Acessado: 07/06/2022 2) (ENEM 2018) Um contrato de empréstimo prevê que quando uma parcela é paga de forma antecipada, conceder-se-á uma redução de juros de acordo com o período de antecipação. Nesse caso, paga-se o valor presente, que é o valor, naquele momento, de uma quantia que deveria ser paga em uma data futura. Um valor presente P submetido a juros compostos com taxa i, por um período de tempo n, produz um valor futuro V determinado pela fórmula 𝑉 = 𝑃 . (1 + 𝑖)𝑛 Em um contrato de empréstimo com sessenta parcelas fixas mensais, de R$ 820,00, a uma taxa de juros de 1,32% ao mês, junto com a trigésima parcela será paga antecipadamente uma outra parcela, desde que o desconto seja superior a 25% do valor da parcela. Utilize 0,2877 como aproximação para ln 3 4 e 0,0131 como aproximação para ln(1,0132). A primeira das parcelas que poderá ser antecipada junto com a 30ª é a (A) 56𝑎 (B) 55𝑎 (C) 52𝑎 (D) 51𝑎 (E) 45𝑎
  • 84. 84 3) (ENEM 2016) Uma liga metálica sai do forno a uma temperatura de 3000 °C e diminui 1% de sua temperatura a cada 30 min. Use 0,477 como aproximação para log10(3) e 1,041 como aproximação para log10(11). O tempo decorrido, em hora, até que a liga atinja 30 °C é mais próximo de (A) 22. (B) 50. (C) 100. (D) 200. (E) 400.84 4) (ENEM 2018) Com o avanço em ciência da computação, estamos próximos do momento em que o número de transistores no processador de um computador pessoal será da mesma ordem da grandeza que o número de neurônios em um cérebro humano, que é da ordem de 100 bilhões. Uma das grandezas determinantes para o desempenho de um processador é a densidade de transistores, que é o número de transistores por centímetro quadrado. Em 1986, uma empresa fabricava um processador contendo 100.000 transistores distribuídos em 0,25𝑐𝑚2 de área. Desde então, o número de transistores por centímetro quadrado que se pode colocar em um processador dobra a cada dois anos (Lei de Moore). Considere 0,30 como aproximação para log10 2. Disponível em: www.pocket-lint.com. Acesso em: 1 dez. 2017 (adaptado). Em que ano a empresa atingiu ou atingirá a densidade de 100 bilhões de transistores? A) 1999 B) 2002 C) 2022 D) 2026 E) 2146 Resolução: https://www.youtube.com/watch?v=_ifDNghRpcM Acessado: 07/06/2022
  • 85. 85 REFERÊNCIAS GIOVANNI, José Ruy. Bonjorno, José Roberto. Júnior, José Ruy Giovanni. Curso de matemática: volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998. BIANCHINI, Edwaldo. Paccola, Erval. Curso de matemática Ensino Médio. Volume único. 1ª edição. São Paulo. Editora Saraiva. 2001. NERY, Chico. Trotta, Fernando. Matemática para o Ensino Médio. Volume único. 2ª edição. São Paulo. Moderna. 1998. https://exercicios.brasilescola.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios-sobre- funcao-exponencial.htm#questao-2 https://exercicios.mundoeducacao.uol.com.br/exercicios-matematica/exercicios- sobre-funcao-exponencial.htm#questao-7423 https://www.todamateria.com.br/funcao-exponencial-exercicios/ https://download.inep.gov.br/download/enem/matriz_referencia.pdf https://www.gov.br/inep/pt-br/areas-de-atuacao/avaliacao-e-exames- educacionais/enem/provas-e-gabaritos https://novoensinomediogoiano.educacao.go.gov.br/dcgoem/
  • 86. 86 GABARITO ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) A área é dada em função do lado. b) A área. c) O lado. Questão 02 a) 𝐴 = 𝑙2 2 b) 144 𝑐𝑚2 c) 15 cm Questão 03 a) 𝑑 = 𝑙√2 b) 𝑐 = 2𝜋𝑟 c) 𝑑 = 𝑛(𝑛−2) 2 Questão 04 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Alternativas: Letra A e C. Questão 02
  • 87. 87 Questão 03 a) b) 𝑦 = √𝑥 Questão 04 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) Maior: Schumacher; Menor: Damon Hill. b) Clark e Lauda. Questão 02 a) Máximo: 2008; Mínimo: 1992. b) Em 1997, 1998 e em 2000 a 2009. c) Houve uma queda de aproximadamente 0,8%. MOMENTO ENEM Questão 01
  • 88. 88 Alternativa: Letra D. Como o reservatório 1 é um prisma então seu crescimento até o nível do cano de ligação é uma função linear. Durante a passagem pelo cano de ligação até o preenchimento do reservatório 2 temos uma função constante. Após a passagem pelo cano de ligação, o reservatório 1 e o reservatório 2 crescem de forma linear com inclinação inferior a do primeiro instante. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Alternativa: Letra A. Questão 02 a) Crescente. b) Decrescente. c) Crescente. Questão 03 a) Crescente: {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 2}; Decrescente: {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 2}. b) Crescente: {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≤ 1}; Decrescente: {𝑥 ∈ ℝ | 𝑥 ≥ 1}. c) Crescente: {𝑥 ∈ ℝ | − 𝜋 ≤ 𝑥 ≤ 0}; Decrescente: {𝑥 ∈ ℝ |0 ≤ 𝑥 ≤ 𝜋}. Questão 04 a) Valor máximo: novembro de 2008; Valor mínimo: agosto de 2008; b) De outubro de 2008 para novembro de 2008: 55,22%. c) 12,45%. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Alternativa: Letra D. Questão 02 Alternativa: Letra D. Questão 03 Alternativa: Letra C. Questão 04 Alternativa: Letra D. Questão 05 Alternativa: Letra E. Questão 06
  • 89. 89 Alternativa: Letra A. Questão 07 Alternativa: Letra C. Seja “d” a distância percorrida em quilômetros, sabemos que: 19 = 0,96d + 4,6; Isolando a incógnita, temos que: 19 – 4,6 = 0,96d 14,4 = 0,96d d = 14,4 : 0,96 d = 15 Questão 08 Resolução Pela função dos juros compostos temos: M = C * (1 + i)t M = 12.000 * (1 + 0,025)12 M = 12.000 * 1,02512 M = 12.000 * 1,344889 M = 16.138,67 Os impostos serão cobrados somente sobre os juros da aplicação. J = M – C J = 16.138,67 – 12.000 J = 4.138,67 Valor do Imposto = 7,5% * 4.138,67 → 0,075 * 4.138,67 → R$ 310,40 O lucro líquido da aplicação será dado por: Mlíquido = M – I Mlíquido = 16.138,67 – 310,40 Mlíquido = 15.828,27 O valor do lucro líquido, isto é, debitado os devidos impostos será de R$ 15.828,27. Questão 09 Alternativa: Letra B. A variação do lucro será dada pela diferença entre o lucro líquido de 2014 e o de 2013. Assim, tem-se, em milhares de reais: Pode-se concluir que C teve crescimento maior do que B. Questão 10
  • 90. 90 Alternativa: Letra C. Questão 11 a) 22°C b) 31°C Questão 12 Alternativa: Letra C. Questão 13 Alternativa: Letra C. Questão 14 Alternativa: Letra D. MÓDULO 5 Questão 01 Alternativa: Letra E. Resolução: f(x) = 10,8 + 1,9x que representa o custo mensal do plano Econômico. Então, 65,9 = 10,8 + 1,9x 55,1 = 1,9x 55,1:1,9 = x Resultado: x = 29 Somando 29 + 50 = 79, o valor que mais se aproxima é 80 com o Plus sendo mais econômico. Questão 02 Resposta: 22 reais. Resolução: f(x) = ax + b f(x) = 1,5x + 4. Nesse caso, "x" representa os quilômetros rodados. 37 = 1,5x + 4 37 - 4 = 1,5x x = 22 reais Questão 03 Alternativa: Letra E. Resolução: 750 fixos + 2,5% sobre o valor total 750 0,025.x Questão 04 Alternativa: Letra A. Resolução: A equação que possibilitaria encontrar a extensão da rodovia que tornaria indiferente escolher uma das propostas é 100.000 . n + 350.000 = 120 000 . n + 150.000 Dividindo todos os membros por 100, temos: 100 n + 350 = 120 n + 150 MOMENTO ENEM
  • 91. 91 Questão 01 Alternativa: Letra C. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Alternativa: Letra E. Questão 02 Alternativa: Letra B. Questão 03 Alternativa: Letra C. Questão 04 Alternativa: Letra C. MOMENTO ENEM Questão 01 Alternativa: Letra D. Questão 02 Alternativa: Letra D. Questão 03 Alternativa: Letra B. Questão 04 Alternativa: Letra D. Questão 05 Alternativa: Letra A. Questão 06 Alternativa: Letra D. Questão 07 Alternativa: Letra B. Questão 08 Alternativa: Letra A. Questão 09 Alternativa: Letra C. Questão 10 Alternativa: Letra D.
  • 92. 92 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) 25 b) -64 c) +36 d) -64 e) -36 f) + 9/25 g) + 25/9 h) -27/125 i) -125/27 Questão 02 a) 27 b) 29 c) 2−5 d) 3³ e) 35 f) 3−4 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) 214 b) 7𝑥+5 c) 155 d) 4𝑥+7 e) 1230 Questão 02 Solução: -2 Questão 03 Resposta: 1125a³b² ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Resposta: x = 9 Questão 02 Resposta: x = - 4
  • 93. 93 Questão 03 Resposta: x = 1 10 Questão 04 Resposta: R$ 2.420,00 Questão 05 Resposta: x = 4 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) Crescente b) Decrescente c) Crescente d) Decrescente e) Decrescente Questão 02 a) b) c)
  • 94. 94 Questão 03 a) 553. b) 300. Sim, há coerência. Questão 04 a) 41,42%. b) 6 meses. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Alternativa: Letra D Resolução: f(x) = g(x) 2 x² – 4 = 4 x² – 2x Logo, 2 x² – 4 = (22)x² – 2x 2 x² – 4 = 22(x² – 2x) 2 x² – 4 = 22x² – 4x Daí, temos que: x² – 4 = 2x² – 4x x² – 4x + 4 = 0 Como se tornou uma equação do 2º grau: ∆ = b² – 4.a.c ∆ = (– 4)² – 4.1.4 ∆ = 16 – 16 ∆ = 0 X’ = X” = 2 Portanto, 2x = 22 = 4. Questão 02 a) Substituindo cada valor nas funções, temos: g(– 2) . f(– 1) = f(1) b) Calculando g(0): g(0) = ( 5 4 )0 g(0) = 1 Aplicando na questão: f[g(0)] = f[1] = 1 Questão 03 Alternativa: Letra C
  • 95. 95 Resolução: t = 10. K = 300.000, Aplicando os dados: P(t) = K · 20,05t P(10) = 300.000 · 20,05·10 P(10) = 300.000 · 20,5 P(10) = 300.000 · 1,41 P(10) = 423.000 Questão 04 Alternativa: Letra B Questão 05 Alternativa: Letra C. Questão 06 Alternativa: Letra B. Questão 07 Alternativa: Letra A. Questão 08 Alternativa: Letra D. Questão 09 Alternativa: Letra E. Questão 10 Alternativa: Letra B. MOMENTO ENEM Questão 01 Alternativa: Letra B. Questão 02 Alternativa: Letra B. Questão 03 Alternativa: Letra E. Questão 04 Alternativa: Letra A. Questão 05 Alternativa: Letra E. Questão 06
  • 96. 96 Alternativa: Letra D. Resolução C = 500 i = 10% a.m. = 0,10 t = 6 meses M = C.(1 + i)T M = 500.(1 + 0,1)6 M = 500x(1,1)6 M = 885,78 Questão 07 Alternativa: Letra E. Questão 08 Alternativa: Letra E. Questão 09 Alternativa: Letra E. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Alternativa: Letra A e B. Questão 02 a) 64 b) ¼ c) m=0 Questão 03 a) 𝑓(𝑥) = 2𝑥 b) 𝑓(𝑥) = ( 3 2 ) 𝑥 Questão 04 Resposta: 18, 23, 1, 2 3 Questão 05 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01
  • 97. 97 a) 6; b) 4; c) 4; d) {-1,-2}. Questão 02 Resposta: {-2} Questão 03 a) 6; b) 3; c) 3; d) 4. Questão 04 a) x>5; b) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −3 𝑜𝑢 𝑥 > 3}; c) 𝑆 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 < −6}. Questão 05 Resposta: 𝐷 = {𝑥 ∈ 𝑅|𝑥 ≤ 0 𝑜𝑢 𝑥 ≥ 2}. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Resposta: 𝑃 ≅ 4 447 022 bactérias. Questão 02 Resposta: k = 2048 e a = 4 Questão 03 Resposta: R$ 20.606,02. Questão 04 Resposta: 9,27%. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Questão 02
  • 98. 98 Questão 03 Questão 04 a) 2; b) ½. Questão 05 a) 32; b) 99. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) b) Questão 02 Questão 03 a) 0; b) 1. Questão 04 Questão 05 a) 3; b) 7. Questão 06
  • 99. 99 ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 Questão 02 Resposta: Aproximadamente 28 anos, 9 meses e 18 dias. Questão 03 Resposta: Aproximadamente 16 min 12 s. Questão 04 Resposta: Aproximadamente 17 anos, 3 meses e 18 dias. Questão 05 Resposta: Aproximadamente 5 anos, 6 meses e 18 dias. ATIVIDADE DE APRENDIZAGEM Questão 01 a) 2; b) 0; c) 3; d) 5. Questão 02 c) Questão 03
  • 100. 100 MOMENTO ENEM Questão 01 Alternativa: Letra A. Questão 02 Alternativa: Letra C. Questão 03 Alternativa: Letra D. Questão 04 Alternativa: Letra C.