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Cálculo Diferencial e Integral I
Aula 2 - Funções
Turma Online - Prof. Rogério Mol
Universidade Federal de Minas Gerais
1o
semestre /2020

Funções
Definição
Uma função é uma regra que associa a cada elemento de um conjunto D
um único elemento de um conjunto E.

Funções
Definição
I D é chamado de domı́nio
I E é chamado de contradomı́nio

Funções
Definição
I D é chamado de domı́nio
I E é chamado de contradomı́nio
I Notação:
f : D −→ E
x 7−→ f (x)

Exemplo
Algumas funções podem ser geradas a partir de dados experimentais.
I A seguinte tabela mostra a evolução da população da Terra (em
milhões de habitantes) ao longo do Séc. XX:
Ano População
1900 1650
1920 1860
1940 2300
1960 3040
1980 4450
2000 6080

Exemplo
Algumas funções podem ser geradas a partir de dados experimentais.
I A seguinte tabela mostra a evolução da população da Terra (em
milhões de habitantes) ao longo do Séc. XX:
Ano População
1900 1650
1920 1860
1940 2300
1960 3040
1980 4450
2000 6080
I Essa tabela define uma função p(t) (p = população, t = ano) cujo
domı́nio é o conjunto D = {1900, 1920, 1940, 1960, 1980, 2000} ⊂ N
e o contradomı́nio é o conjunto N.

Exemplo
I Podemos obter uma função exponencial p(t), com domı́nio e
contradomı́nio R, que melhor aproxima esses dados:
https://www.wolframalpha.com
comando: exponential fit {(1900,1650), (1920,1860), (1940,2300),
(1960,3040), (1980,4450), (2000,6080)}

Exemplo
I Podemos obter uma função exponencial p(t), com domı́nio e
contradomı́nio R, que melhor aproxima esses dados:
https://www.wolframalpha.com
comando: exponential fit {(1900,1650), (1920,1860), (1940,2300),
(1960,3040), (1980,4450), (2000,6080)}
I Encontramos: p(t) = 5.45862 × 10−10
e0.0150132x
.

Exemplo
Algumas funções podem ser geradas a partir de modelos
matemáticos.
I Exemplo. Uma caixa retangular aberta na parte superior tem um
volume de 10 m3
. O comprimento da base é o dobro da largura. O
material da base custa $10 por m2
e o material das laterais custa $6
por m2
. Expresse o custo total do material em função do
comprimento da base.

Exemplo
I Solução. Vamos chamar de x o comprimento da base e de h a
altura da caixa. A largura da caixa será
x
2
.
Área da base: Ab = x ·
x
2
=
x2
2
Volume da caixa: V = Ab · h =
x2
2
h = 10
Portanto, h =
20
x2
.
Área lateral: A` = 2

hx + h
x
2

= h · 3x =
20
x2
3x =
60
x
.
Portanto, a função custo será:
C(x) = 10Ab + 6A` = 10
x2
2
+ 6
60
x
= 5x2
+
360
x
,
sendo x expresso em m.

Funções - Exemplos
Algumas funções são definidas por suas expressões matemáticas
(abstratamente, a princı́pio, sem representar algum fenômeno fı́sico).
I Exemplo. Encontre os domı́nios das funções:
(a) f (x) =
√
x + 2 (b) g(x) =
1
x2 − x

Algumas funções são definidas por suas expressões matemáticas
(abstratamente, a princı́pio, sem representar algum fenômeno fı́sico).
I Exemplo. Encontre os domı́nios das funções:
(a) f (x) =
√
x + 2 (b) g(x) =
1
x2 − x
I Solução:
(a) Como a raiz quadrada de um número negativo não é definida
(como um número real), o domı́nio de f consiste em todos os
valores de x tais que x + 2 ≥ 0, isto é, x ≥ −2. Portanto o domı́nio
de f é o conjunto D = {x ∈ R; x ≥ −2} = [−2, ∞).
(b) Uma vez que divisão por 0 não é permitida, vemos g(x) não
está definida para os valores de x tais que x2
− x = 0, ou seja, x = 0
ou x = 1. Dessa forma, o domı́nio de g é o conjunto
D = {x ∈ R; x 6= 0 e x 6= 1}.

Gráfico de uma função
I O gráfico de uma função f : D → E é o conjunto
{(x, f (x)); x ∈ D} ⊂ D × E.

I O gráfico de uma função f : D → E é o conjunto
{(x, f (x)); x ∈ D} ⊂ D × E.
I O nosso interesse será voltado para funções f : I → R, onde I ⊂ R é
um intervalo. O gráfico de uma tal função é um subconjunto do
plano R2
com um sistema de coordenadas cartesianas (x, y) (em
geral uma curva).

I Exemplo. Gráfico de f : R → R, f (x) = x2
.

I Exemplo. Gráfico de f : R → R, f (x) = x2
.
I Solução:

I Exemplo. Gráfico de f : R → R, f (x) = |x|.

I Exemplo. Gráfico de f : R → R, f (x) = |x|.
I Solução:

I Teste da reta vertical: uma curva no plano xy é o gráfico de uma
função se e somente se toda reta vertical interceptar a curva no
máximo uma vez.

I Função linear (de 1o
grau):
f (x) = ax + b,
onde a, b ∈ R com a 6= 0.

I Função linear (de 1o
grau):
f (x) = ax + b,
onde a, b ∈ R com a 6= 0.
I Função quadrática (de 2o
grau)
f (x) = ax2
+ bx + c,
onde a, b, c ∈ R com a 6= 0.

I De um modo mais geral, uma função polinomial (de grau n) é dada
por
p(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0,
onde a0, . . . , an ∈ R (são os coeficientes do polinômio) com an 6= 0.

I De um modo mais geral, uma função polinomial (de grau n) é dada
por
p(x) = anxn
+ an−1xn−1
+ · · · + a1x + a0,
onde a0, . . . , an ∈ R (são os coeficientes do polinômio) com an 6= 0.
I Uma função é dita racional se for definida como quociente de
polinômios, ou seja
f (x) =
p(x)
q(x)
,
onde p(x) e q(x) são polinômios na variável x. Seu domı́nio é
R {raı́zes de q(x)}.

I Função potência:
f (x) = xn
,
onde n ∈ Z+ .

I Função potência:
f (x) = xn
,
onde n ∈ Z+ .
I Função raiz n-ésima:
f (x) = x1/n
= n
√
x,
onde n ∈ Z+.
Domı́nio: R se n é ı́mpar, {x ≥ 0} = [0, ∞), se n é par.

Deslocamentos verticais e horizontais
A partir da função f : R → R podemos produzir as seguintes funções
(c 0 é uma constante):

I g(x) = f (x) + c (gráfico deslocado c unidades para cima)
I g(x) = f (x) − c (gráfico deslocado c unidades para baixo)

I g(x) = f (x) + c (gráfico deslocado c unidades para cima)
I g(x) = f (x) − c (gráfico deslocado c unidades para baixo)
I g(x) = f (x + c) (gráfico deslocado c unidades para a esquerda)
I g(x) = f (x − c) (gráfico deslocado c unidades para a direita)

Reflexões e expansões verticais e horizontais

I g(x) = cf (x) (gráfico expandido verticalmente por um fator c)
I g(x) = (1/c)f (x) (gráfico contraı́do verticalmente por um fator c)

I g(x) = f (cx) (gráfico contraı́do horizontalmente por um fator c)
I g(x) = f (x/c) (gráfico expandido horizontalmente por um fator c)

I g(x) = −f (x) (gráfico refletido em torno do eixo x)
I g(x) = f (−x) (gráfico refletido em torno do eixo y )

I g(x) = −f (x) (gráfico refletido em torno do eixo x)
I g(x) = f (−x) (gráfico refletido em torno do eixo y )
I Exemplo. Conhecendo o gráfico y =
√
x, esboce os gráficos de:
y =
√
x − 2; y =
√
x − 2, y = −
√
x, y = 2
√
x, y =
√
−x

I Solução: y =
√
x − 2

I Solução: y = −
√
x

I Solução: y = 2
√
x

I Solução: y =
√
−x

Composição de funções
I Sejam f : A → B e g : B → C duas funções. A composta de f e g
é a função
g ◦ f : A −→ C
x 7−→ g(f (x))
I Exemplo. Sejam f (x) =
√
x e g(x) =
√
2 − x. Calcule:
(a) f ◦ g (b) g ◦ f (c) f ◦ f (d) g ◦ g

Composição de funções
I Sejam f : A → B e g : B → C duas funções. A composta de f e g
é a função
g ◦ f : A −→ C
x 7−→ g(f (x))
I Exemplo. Sejam f (x) =
√
x e g(x) =
√
2 − x. Calcule:
(a) f ◦ g (b) g ◦ f (c) f ◦ f (d) g ◦ g
I Solução:
(a) (f ◦ g)(x) = f (g(x)) =
p
g(x) = 4
√
2 − x.
(b)(g ◦ f )(x) = g(f (x)) =
p
2 − f (x) =
p
2 −
√
x
(c)(f ◦ f )(x) = f (f (x)) =
p
f (x) =
p√
x = 4
√
x
(d)(g ◦ g)(x) = g(g(x)) =
p
2 − g(x) =
p
2 −
√
2 − x.

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