O documento discute conceitos básicos de derivadas, incluindo: 1) A definição de derivada como a taxa de variação instantânea de uma função. 2) A interpretação geométrica da derivada como a inclinação da reta tangente. 3) Como o sinal da derivada indica se uma função é crescente, decrescente ou constante.

1. DERIVADAS
1

2. Derivadas
2
• Definição: A derivada de uma função 𝑓 em um ponto 𝑥 ,
denotada por 𝑓′(𝑥), indica a taxa de variação instantânea dessa
função em um ponto, dada uma variação infinitesimal em 𝑥.
• Matematicamente, escrevemos:
𝑓′
∆𝑥→0
𝑓 𝑥 + ∆𝑥 − 𝑓(𝑥)
𝑥 = lim
∆𝑥
• Vejamos a interpretação geométrica da derivada.

3. f(x)
3
𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑓 3 + ∆𝑥
3 + ∆𝑥
∆𝑥

4. 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑓 𝑥
4
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥
∆𝑥 → 0
então
𝑄 → 𝑃

5. 𝑓 𝑥 = 𝑥2
𝑓 𝑥
5

6. 𝑓 𝑥
𝑓 𝑥 = 𝑥2
6

7. Derivadas
7

8. Derivadas
8
• A taxa de variação média de 𝑓 no intervalo 𝑓[𝑥, ∆𝑥] é a
declividade da reta secante.
• A taxa de variação instantânea de 𝑓 em 𝑥 é a declividade da reta
tangente no ponto 𝑥.

9. Derivadas
9
• Intuitivamente, a derivada de 𝑓 indica a inclinação da função 𝑓:

10. Derivadas
10
Crescimento e Decrescimento de Funções
• O sinal da derivada nos permite avaliar se pequenas variações
em um intervalo ocasionam:
 “aumento” (crescimento) no valor da função.
 “diminuição” (decrescimento) no valor da função.
 ou se o valor da função permanece constante.

11. Derivadas
11
Crescimento e Decrescimento de Funções
i. 𝑓′
ii. 𝑓′
iii. 𝑓′
𝑥 > 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é crescente, nesse intervalo.
𝑥 < 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é decrescente, nesse intervalo.
𝑥 = 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é constante, nesse intervalo.

12. Derivadas
12
Crescimento e Decrescimento de Funções
𝑓′ chamados de Pontos
• Os pontos nos quais 𝑥 = 0 são
Críticos!!!
• Os Pontos Críticos são candidatos a ponto de Mínimo ou de
Máximo.

13. Derivadas
13
Regras de derivação
1. f (x)  C  f ´(x)  0
2. f (x)  xn
 f ´(x)  n.xn1
3.
4.
5.
f (x)  eg(x)
 f ´(x)  eg(x)
.g´(x)
f (x)  ln x  f ´(x) 
1
x
g(x)
f (x)  ln g(x)  f ´(x) 
g´(x)

14. Derivadas
14
Propriedades básicas das derivadas
1. [ f (x)  g(x)]´ f ´(x)  g´(x)
2.
3.
4.
[Cf (x)]´ Cf ´(x)
[ f (x).g(x)]´ f ´(x).g(x)  g´(x). f (x)
[
f (x)
]´
f ´(x).g(x)  g´(x).f (x)
g(x) [g(x)]2

15. Derivadas
15
Exemplos
• Derive:
1. f (x)  2x3
 5
f ´(x)  3.2x31
 0
f ´(x)  6x2

16. Derivadas
16
Exemplos
• Derive:
2. Note que temos duas funções sendo
2
f (x)  ln x.ex
multiplicadas. Então devemos usar a Propriedade 3!! Segue
abaixo:
f ´(x) 
1
.ex2
 ln x.ex2
.2x
x

17. Derivadas
17
Exemplos
• Derive:
3.
4.
f (x)  2x3
 5x
f (x)  x2
.ln x
x2
1
5. f (x) 
x2
1

18. Derivadas
18
Aplicação
• Encontre os candidatos a ponto críticos da função:
f (x)  x2
8x 3
f ´(x)  2x 8  0
 2x  8
 x 
8
 x  4
2

19. Derivadas
19
Aplicação
• Encontre os candidatos a ponto críticos da função (Vamos aplicar
a Regra 5!!!):
f (x)  ln(x2
1)
 0
(x2
1)
2x
f ´(x) 
 2x  0.(x2
1)
 2x  0  x  0

20. Derivadas
20
Regra da Cadeia
• Algumas vezes, temos uma função aparecendo “dentro” de outra
função. É o que chamamos de Função Composta.
• Para esse tipo de função teremos uma regra específica de
derivação, que chamaremos de Regra da Cadeia.

21. Derivadas
21
• ⟹
Regra da Cadeia
• Considere uma função do tipo h(x)  f [g(x)]
• A derivada dessa função é dada por:
h´(x)  f ´[g(x)].g´(x)
• Vamos pensar em um exemplo. Considere a seguinte função:
f (x)  (2x 1)3
f ´(x)  3(2x 1)2
.2

22. Derivadas
22
Aplicação
• Encontre os candidatos a pontos críticos das funções:
1. 𝑓 𝑥 = 5𝑥2 − 2
2. 𝑓 𝑥
1
3
3 2
= 𝑥 − 𝑥 + 𝑥 + 1

23. Derivadas
23
Aplicação
• Exemplo 1 – Considere que o Lucro de nossa cervejaria seja agora
dado pelo seguinte função:
𝐿 𝑞 = −2𝑞2 + 160𝑞 − 1400
• Qual a estratégia ótima que maximiza o lucro da nossa cervejaria?
Max Lucro Total

24. Derivadas
Aplicação
24
• Como visto, os possíveis pontos de máximo (ou mínimo) são
aqueles para os quais a derivada é zero.
• Essa condição chama-se: Condição de Primeira Ordem (CPO).

25. Derivadas
25
Aplicação
Exemplo 1 – Sendo 𝐿 𝑞 = −2𝑞2 + 160𝑞 − 1400, fazendo a CPO:
1) Derive a função:
𝐿´ 𝑞 = −4𝑞 + 160
2) Iguale a derivada a ZERO e isolo o valor de q:
𝑪𝑷𝑶
𝐿´ 𝑞 = 0
−4𝑞 + 160 = 0 ⟹ 𝑞 = 40

26. Derivadas
26
Aplicação
Exemplo 1:
• Mas o ponto 𝑞 = 40 maximiza ou minimiza o lucro da cervejaria?
• Para verificar o ponto, deve ser feito o Teste da Derivada Primeira
que nos diz:


𝑓′ 𝑥 > 0 à esquerda
de máximo.
de 𝑐 e 𝑓′ 𝑥 < 0 à direita de 𝑐 ⟹ 𝑐 é ponto
𝑓′ 𝑥 < 0 à esquerda
de mínimo.
de 𝑐 e 𝑓′ 𝑥 > 0 à direita de 𝑐 ⟹ 𝑐 é ponto

27. Derivadas
Exemplo 1: Teste da Derivada Primeira
27
1) Encontre os pontos críticos da função, ou seja fazer a CPO.
2) Marque cada ponto na reta e escolha:
i. um ponto maior do que ponto crítico (a direita);
ii. um ponto menor do que o ponto crítico (a esquerda).
3) Calcule a derivada primeira nos pontos escolhidos.
4) Analise o crescimento/decrescimento à esquerda e à direita de
cada ponto crítico e conclua o teste.

28. Derivadas
28
Aplicação
Exemplo 1: Teste da Derivada Primeira
1) .
𝐿 𝑞 = −2𝑞2 + 160𝑞 − 1400
𝐿´ 𝑞 = −4𝑞 + 160
𝑪𝑷𝑶
−4𝑞 + 160 = 0 ⟹ 𝑞 = 40
2) .
39 40 41

29. Derivadas
29
Aplicação
Exemplo 1: Teste da Derivada Primeira
3) .
𝐿´ 39
𝐿´ 41
= −4 39
= −4 41
+ 160 = +4 > 0
+ 160 = −4 < 0
4) .
ቊ
𝐿´39
𝐿´ 41 < 0 à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑞 = 40
> 0 à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑞 = 40
⟹ 𝑞 = 40 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

30. Derivadas
30
Aplicação
Exemplo 1: Teste da Derivada Primeira

31. Derivadas
31
Derivadas de segunda ordem
• Seja 𝑓′ 𝑥 a derivada de 𝑓 𝑥 . Se calcularmos a derivada de
𝑓′ 𝑥 , chamaremos essa função de derivada segunda 𝑓 𝑥 e a
denotaremos por 𝑓′′ 𝑥 .
• De forma análoga, temos que:
i. 𝑓′
ii. 𝑓′
𝑥 > 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é crescente, nesse intervalo.
𝑥 < 0 em um intervalo ⟹ 𝑓 é decrescente, nesse intervalo

32. Derivadas
32
Derivadas de segunda ordem
• O Teste da Derivada Segunda nos permite verificar se o ponto
crítico encontrado na CPO é de máximo ou mínimo.
• A lógica do teste consiste no fato de que um ponto no qual
𝑓′ 𝑥 = 0 e que tem nele a concavidade voltada para cima é um
ponto de mínimo.
• Analogamente, se a concavidade for voltada pra baixo, o ponto é
de máximo.

33. Derivadas
Derivadas de segunda ordem
33
c é ponto de
máximo
c é ponto de
mínimo

34. 34
Exemplo 1: Teste da Derivada Segunda
• Se 𝑓′ 𝑐 < 0, então o ponto é de máximo.
• Se 𝑓′ 𝑐 > 0, então o ponto é de mínimo.
1) Encontre os pontos críticos da função, ou seja faça a CPO.
2) Calcule a derivada segunda da função.
3) Calcule a derivada segunda em cada ponto crítico e conclua o
teste.

35. Deriadas
35
Aplicação
Exemplo 1: Teste da Derivada Segunda
1) .
𝐿 𝑞 = −2𝑞2 + 160𝑞 − 1400
𝐿´ 𝑞 = −4𝑞 + 160
𝑪𝑷𝑶
−4𝑞 + 160 = 0 ⟹ 𝑞 = 40

36. Derivadas
36
Aplicação
Exemplo 1: Teste da Derivada Segunda
2) .
𝐿´ 𝑞 = −4𝑞 + 160
𝐿´´ 𝑞 = −4
3) .
𝐿´´ 40 = −4 < 0 ⟹ 𝑞 = 40 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑚á𝑥𝑖𝑚𝑜

37. Derivadas
37
com funções que mudem de
Derivadas de segunda ordem
• É comum nos depararmos
concavidade em algum ponto.
• Por exemplo, suponha que queiramos analisar a eficiência de uma
campanha publicitária nas vendas (em termos de unidades
vendidas) como função do investimento realizado.
• É plausível pensar que essa campanha tenha uma mudança de
concavidade.

38. Derivadas
38
Derivadas de segunda ordem
• Em geral, tal função assume a seguinte forma:

39. Derivadas
39
Derivadas de segunda ordem
• Chamamos o ponto 𝑥𝑖 , no qual acontece a mudança na
concavidade da função de Ponto de Inflexão. O ponto candidato a
ponto de inflexão, é obtido quando:
𝑓′′
𝑥𝑖 = 0
• Quando essa condição for atendida a chamaremos de Condição
de Segunda Ordem (CSO).

40. Derivadas
40
Derivadas de segunda ordem
• Para verificar se o ponto é de inflexão, deve ser feito o teste que
nos diz:
𝑓′′ 𝑥𝑖 > 0 à esquerda de 𝑥𝑖 e 𝑓′′ 𝑥𝑖 < 0 à direita de 𝑥𝑖 ⟹ 𝑥𝑖 é
ponto de inflexão.
𝑓′′ 𝑥𝑖 < 0 à esquerda de 𝑥𝑖 e 𝑓′′ 𝑥𝑖 > 0 à direita de 𝑥𝑖 ⟹ 𝑥𝑖 é
ponto de inflexão.
 Nos casos que não há mudança de concavidade o ponto 𝑥𝑖 não é
de inflexão.

41. Derivadas
Exemplo 2: Teste de Ponto de Inflexão
41
1) Encontre os pontos candidatos fazendo CSO.
2) Marque cada ponto na reta e escolha:
i. um ponto maior do que o candidato (a direita);
ii. um ponto menor do que o candidato (a esquerda).
3) Calcule a derivada segunda nos pontos escolhidos.
4) Analise o crescimento/decrescimento à esquerda e à direita de
cada ponto candidato e conclua o teste.

42. Derivadas
42
Derivadas de segunda ordem
• Exemplo 2: Suponha que a quantidade 𝑄 vendida pela empresa
seja função do investimento em publicidade 𝑥, dada por:
9
2
3 2
𝑄 𝑥 = −𝑥 + 𝑥 + 12𝑥
• Identifique se existe um ponto de inflexão.

43. Derivadas
Exemplo 2: Teste de Ponto de Inflexão
43
1) .
3
9 2
𝑄 𝑥 = −𝑥 + 𝑥 + 12𝑥
2
𝑄´ 𝑥 = −3𝑥2 + 9𝑥 + 12
𝑄´´ 𝑥 = −6𝑥 + 9
𝑪𝑺𝑶
𝑄´´ 𝑥 = 0
−6𝑥 + 9 = 0 ⟹ 𝑥 = 1,5

44. Derivadas
44
• Exemplo 2: Teste de Ponto de Inflexão
2) .
3) .
𝑄´´ 1
𝑄´´ 2
= −6.1 + 9 = +3 > 0
= −6.2 + 9 = −3 < 0
4) .
ቊ
𝑄´´ 1
𝑄´´ 2 < 0 à 𝑑𝑖𝑟𝑒𝑖𝑡𝑎 𝑑𝑒 𝑥 = 1,5
> 0 à 𝑒𝑠𝑞𝑢𝑒𝑟𝑑𝑎 𝑑𝑒 𝑥 = 1,5
⟹ 𝑥 = 1,5 é 𝑝𝑜𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑖𝑛𝑓𝑙𝑒𝑥ã𝑜
1 1,5 2

45. -2182,5
45
-1182,5
817,5
1817,5
2817,5
3817,5
-15 -13,5 -12 -10,5 -9 -7,5 -6 -4,5 -3 --11,582,5 0 1,5 3 4,5 6 7,5 9 10,5 12 13,5 15

46. OBRIGADO
46