Este documento apresenta os objetivos e conteúdos de um curso de Cálculo Aplicado com uma variável. Os tópicos incluem identificar gráficos de funções elementares, analisar situações envolvendo funções trigonométricas, reconhecer propriedades de limites e derivadas, e calcular integrais utilizando diversos métodos.

2. APRESENTAÇÃO
CÁLCULO APLICADO - UMA VARIÁVEL
Profa. Roberta Mastrochirico
roberta.mastrochirico@fmu.br

3. Objetivos do curso - resumo
▪ Identificar e esboçar gráficos de funções elementares de uma variável real.
▪ Analisar e resolver uma situação problema que envolvem funções trigonométricas.
▪ Reconhecer e operacionalizar as propriedades operatórias e gráficas de limites.
▪ Reconhecer a derivada como medida de taxa de variação, saber aplicar os conceitos e a
tabela.
▪ Entender a composição das funções compostas de funções elementares.
▪ Determinar as equações de reta tangente e normal a uma curva dada na forma implícita
num dado ponto.
▪ Identificar os limites com indeterminações que envolvem infinito.
▪ Identificar graficamente e calcular os elementos de uma função.
▪ Reconhecer a integral como um conjunto infinito de funções primitivas.
▪ Calcular a integral utilizando diversos métodos e aplicá-la.

4. Bibliografia básica
DEMANA, Franklin D. [et al.]. Pré-Cálculo. Pearson 400 ISBN
9788588639379.
FLEMMIN, Diva Marília; Gonçalves, Mirian Buss. Cálculo A:
funções, limites, derivação e integração - 6ª edição ver.e
ampl. Pearson 458 ISBN 9788576051152.
STEWART, James. Cálculo, v.1. 3. São Paulo Cengage
Learning 2013 1 recurso online ISBN 9788522114610.

5. Avaliação
Avaliação Data
A1 (N1) 17/10
APS (N2) 05/11
A2 (N2) 05/12
SUB 19/12
Vista de prova – 12/12
2022.1

6. AULA 1
CÁLCULO APLICADO
UMA VARIÁVEL

7. CONCEITO DE FUNÇÃO

8. Sejam A e B subconjuntos de ℝ. Uma função 𝒇: 𝑨 → 𝑩 é uma lei
(regra/relação) que a cada elemento do conjunto A corresponde um único
elemento de B.
𝒙𝟏
𝒙𝟐
𝒙𝟑
𝒚𝟏
𝒚𝟐
𝒚𝟑
𝒚𝟒
A B
Domínio ⇒ Conjunto A ⇒ 𝐃(𝒇) = 𝒙𝟏, 𝒙𝟐, 𝒙𝟑
Contradomínio ⇒ Conjunto B ⇒ 𝑪𝑫 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑, 𝒚𝟒
Imagem ⇒ elementos de B que estão associados aos elementos de A ⇒
𝑰𝒎 = 𝒚𝟏, 𝒚𝟐, 𝒚𝟑
Definição:

9. Relação existente em um posto de gasolina entre a quantidade de litros de
gasolina e o preço a pagar:
Neste exemplo podemos notar que o preço a ser pago depende da
quantidade de litros. Desta forma, dizemos que a quantidade de litros é
a variável independente, enquanto o preço a variável dependente.
𝟏
𝟐
𝟒
𝟏𝟎
𝟓, 𝟖𝟗
𝟏𝟏, 𝟕𝟖
𝟐𝟑, 𝟓𝟔
𝟓𝟖, 𝟗𝟎
Quantidade
de litros (𝒍)
Preço a
pagar (R$)
Exemplo da vida real:

10. Para ser uma função, todos os elementos do domínio precisam estar
associados a um único elemento do contradomínio.
−𝟒
−𝟐
𝟎
𝟓
𝟕
𝟏𝟎
𝟑𝟎
A B
𝟑
𝟒
𝟓
𝟗
𝟏𝟔
𝟐𝟓
𝟑𝟔
C D
Não é função É função
𝟗
𝟐𝟓
𝟒𝟗
𝟔𝟒
𝟑
𝟓
𝟕
𝟖
E F
𝟐
𝟓
𝟖
𝟑
𝟕
𝟏𝟏
G H
É função Não é função
IMPORTANTE:

11. 1) Verifique se as relações dadas abaixo são funções:
B
A
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
Exemplos:
a) Relação 𝒇: 𝑨 → 𝑩, dada pelo diagrama a seguir:
A relação 𝒇 é uma função de A em B, porque todos os elementos de
A estão associados a um elemento de B.

12. 1) Verifique se as relações dadas abaixo são funções:
Exemplos:
b) Relação 𝒈: 𝑨 → 𝑩, dada pelo diagrama a seguir:
A relação 𝒈 não é uma função de A em B, porque alguns elementos
de A estão associados a mais de um elemento de B.
B
A
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓

13. Exemplos:
c) Relação 𝒉: 𝑨 → 𝑩, onde 𝒙 → 𝒙 + 𝟏
B
A
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
A relação 𝒉 é uma função de A em B, porque todos os elementos de A
estão associados a um elemento de B.
1) Verifique se as relações dadas abaixo são funções:

14. Exemplos:
d) Relação 𝒊: 𝑨 → 𝑩, onde 𝒙 → 𝒙 − 𝟏
B
A
𝟏
𝟐
𝟑
𝟒
𝟐
𝟑
𝟒
𝟓
1) Verifique se as relações dadas abaixo são funções:
A relação 𝒊 não é uma função de A em B, porque existe um elemento
de A que não está associado a um elemento de B.

15. FUNÇÃO CONSTANTE

16. FUNÇÃO CONSTANTE:
Função constante é toda função do tipo:
O Domínio da função (possíveis valores para 𝒙) é o conjunto ℝ.
A representação gráfica sempre será uma reta paralela ao eixo 𝒙, passando
por 𝒚 = 𝒌.
que associa a qualquer número real 𝒙 um mesmo número real 𝒌.
𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒌

17. 𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒌
Exemplo da vida real:
Um estacionamento cobra um preço fixo de 𝑅$20,00, independemente do
tempo de uso dentro de um período de 24 horas.
𝟏
𝟐
𝟏𝟎
𝟐𝟒
𝟐𝟎
Tempo de
uso (𝒉)
Preço a
pagar (R$)
𝒚 = 𝟐𝟎 ou 𝒇(𝒙) = 𝟐𝟎

18. Exemplo 1:
𝒇 𝒙 = 𝟐
ou
𝒚 = 𝟐

19. 𝒇 𝒙 = −𝟑
ou
𝒚 = −𝟑
Exemplo 2:

20. FUNÇÃO DESCONTÍNUA

21. FUNÇÃO DESCONTÍNUA:
Uma função é descontínua
quando é composta por
funções distintas em
diferentes intervalos, ou
seja, ela não é contínua
para todo o seu domínio.

22. Exemplo 1:
𝒇 𝒙 = ቐ
−𝟏,
𝟏,
𝟑,
𝐬𝐞 𝒙 ≤ −𝟐
𝐬𝐞 − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏
𝐬𝐞 𝒙 > 𝟏
𝒙 𝒚 = −𝟏
−𝟒 𝒚 = −𝟏
−𝟑 𝒚 = −𝟏
−𝟐 𝒚 = −𝟏
𝒙 𝒚 = 𝟏
−𝟐 𝒚 = 𝟏
−𝟏 𝒚 = 𝟏
𝟎 𝒚 = 𝟏
𝟏 𝒚 = 𝟏
𝒙 𝒚 = 𝟑
𝟏 𝒚 = 𝟑
𝟐 𝒚 = 𝟑
𝟑 𝒚 = 𝟑

23. Exemplo 2:
𝒇 𝒙 = ቐ
𝟑,
𝟏,
−𝟏,
𝐬𝐞 𝒙 ≤ −𝟏
𝐬𝐞 − 𝟏 < 𝒙 ≤ 𝟐
𝐬𝐞 𝒙 > 𝟐
𝒙 𝒚 = 𝟑
−𝟒 𝒚 = 𝟑
−𝟑 𝒚 = 𝟑
−𝟐 𝒚 = 𝟑
𝒙 𝒚 = 𝟏
−𝟏 𝒚 = 𝟏
𝟎 𝒚 = 𝟏
𝟏 𝒚 = 𝟏
𝟐 𝒚 = 𝟏
𝒙 𝒚 = −𝟏
𝟐 𝒚 = −𝟏
𝟑 𝒚 = −𝟏

24. FUNÇÃO DO 1º GRAU

25. FUNÇÃO DO 1º GRAU:
Função polinomial do 1º grau ou função afim é toda função do tipo:
A variável 𝒙 é a variável independente e a variável 𝒚 é a variável
dependente.
𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 + 𝒃 𝒂 ∈ ℝ∗
e 𝒃 ∈ ℝ
𝒂 ⇒ coeficiente angular
𝒃 ⇒ coeficiente linear
A representação gráfica sempre será uma reta inclinada, podendo ser
crescente (𝒂 > 𝟎) ou decrescente (𝒂 < 𝟎), e que cruzará os eixos 𝒙 e 𝒚, do
plano cartesiano.
O Domínio da função (possíveis valores para 𝒙) é o conjunto ℝ.

26. Taxa de variação da temperatura (valor variável): 10 oC/min.
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é:
T = 30 + 10.t
Exemplo da vida real:
1) A temperatura inicial de uma substância é 30 oC. Essa temperatura varia
com o tempo de maneira uniforme, aumentando 10 oC por minuto. Escreva
a função afim que representa a variação da temperatura em função do
tempo e, em seguida, faça a representação gráfica desta função.
Temperatura inicial (valor fixo): 30 oC.

27. Exemplo da vida real:
Agora, vamos construir uma tabela:
t(min) T(oC)
0
1
2
3
4
5
𝑻 = 𝟑𝟎 + 𝟏𝟎 ∙ 𝒕
𝑡 = 0
𝑇 = 30 + 0
𝑻 = 𝟑𝟎
⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 0
𝟑𝟎
𝟒𝟎
𝑡 = 1
𝑇 = 30 + 10
𝑻 = 𝟒𝟎
⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 1
𝑡 = 2
𝑇 = 30 + 20
𝑻 = 𝟓𝟎
⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 2
𝟓𝟎
𝑡 = 3
𝑇 = 30 + 30
𝑻 = 𝟔𝟎
⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 3
𝟔𝟎
𝑡 = 4
𝑇 = 30 + 40
𝑻 = 𝟕𝟎
⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 4
𝟕𝟎
𝑡 = 5
𝑇 = 30 + 50
𝑻 = 𝟖𝟎
⇒ 𝑇 = 30 + 10 ∙ 5
𝟖𝟎

28. t(min) T(oC)
0 30
1 40
2 50
3 60
4 70
5 80
T = 30 + 10.t
t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
20
40
60
80
5
Agora, vamos construir o gráfico:
Exemplo da vida real:

29. T = 30 - 10.t
Exemplo da vida real:
2) A temperatura inicial de uma substância é 30 oC. Essa temperatura varia
com o tempo de maneira uniforme, diminuindo 10 oC por minuto. Escreva a
função afim que representa a variação da temperatura em função do
tempo e, em seguida, faça a representação gráfica desta função.
Taxa de variação da temperatura (valor variável): -10 oC/min.
Após t minutos, a temperatura T da substância em oC é:
Temperatura inicial (valor fixo): 30 oC.

30. Exemplo da vida real:
Agora, vamos construir uma tabela:
t(min) T(oC)
0
1
2
3
4
5
𝑻 = 𝟑𝟎 − 𝟏𝟎 ∙ 𝒕
𝑡 = 0
𝑇 = 30 − 0
𝑻 = 𝟑𝟎
⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 0
𝟑𝟎
𝟐𝟎
𝑡 = 1
𝑇 = 30 − 10
𝑻 = 𝟐𝟎
⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 1
𝑡 = 2
𝑇 = 30 − 20
𝑻 = 𝟏𝟎
⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 2
𝟏𝟎
𝑡 = 3
𝑇 = 30 − 30
𝑻 = 𝟎
⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 3
𝟎
𝑡 = 4
𝑇 = 30 − 40
𝑻 = −𝟏𝟎
⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 4
−𝟏𝟎
𝑡 = 5
𝑇 = 30 − 50
𝑻 = −𝟐𝟎
⇒ 𝑇 = 30 − 10 ∙ 5
−𝟐𝟎

31. t(min)
T(oC)
0 1 2 3 4
–20
–40
20
40
5
60
t(min) T(oC)
0 30
1 20
2 10
3 0
4 –10
5 –20
T = 30 – 10.t
Agora, vamos construir o gráfico:
Exemplo da vida real:

32. x y
0
0
Exemplo geral:
Construir o gráfico da função 𝒚 = 𝟐 𝒙 + 𝟑.
𝑥 = 0
𝑦 = 0 + 3
𝒚 = 𝟑
⇒ 𝑦 = 2 ∙ 0 + 3
𝟑
𝑦 = 0
2 𝑥 = 3
𝒙 =
𝟑
𝟐
⇒ 0 = 2 ∙ 𝑥 + 3
𝟏, 𝟓
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5
–4
–5
–5
–4
4
5
y = 2x + 3

33. FUNÇÃO LINEAR: caso particular da função do 1º grau
Função linear é toda função do tipo:
A variável 𝒙 é a variável independente e a variável 𝒚 é a variável
dependente.
𝒚 = 𝒇 𝒙 = 𝒂 𝒙 𝒂 ∈ ℝ∗ 𝒂 ⇒ coeficiente angular
A representação gráfica sempre será uma reta inclinada, podendo ser
crescente (𝒂 > 𝟎) ou decrescente (𝒂 < 𝟎), e que cruzará os eixos 𝒙 e 𝒚 na
origem do plano cartesiano.
O Domínio da função (possíveis valores para 𝒙) é o conjunto ℝ.

34. x y = 3x
-1
0
1
Exemplo geral:
Construir o gráfico da função 𝒚 = 𝟑 𝒙.
𝑥 = −1
𝒚 = −𝟑
⇒ 𝑦 = 3 ∙ (−1)
−𝟑
𝟎
𝑥 = 0
𝒚 = 𝟎
⇒ 𝑦 = 3 ∙ 0
𝑥 = 1
𝒚 = 𝟑
⇒ 𝑦 = 3 ∙ 1
𝟑
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5
–4
–5
–5
–4
4
5
y = 3x

35. FUNÇÃO DO 1º GRAU E OS
MOVIMENTOS NO PLANO

36. Gráficos das funções 𝒚 = 𝒙; 𝒚 = 𝟐 𝒙 𝒆 𝒚 =
𝒙
𝟐
.
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5
–4
–5
–5
–4
4
5
y = x
y = x/2
y = 2x
a > 0 ⇒ função crescente
reta ascendente
(sobe da esquerda p/
direita)
Inclinação:

37. Gráficos das funções 𝒚 = – 𝒙; 𝒚 = – 𝟐 𝒙 𝒆 𝒚 = −
𝒙
𝟐
.
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5
–4
–5
–5
–4
4
5
y = –x
y = –x/2
y = –2x
a < 0 ⇒ função decrescente
reta descendente
(desce da esquerda p/ direita)
Inclinação:

38. Gráficos das funções 𝒚 = 𝒙; 𝒚 = 𝒙 + 𝟐 𝒆 𝒚 = 𝒙 – 𝟑.
a > 0
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5
–4
–5
–5
–4
4
5
y = x
y = x – 3
y = x + 2
Translação:

39. Gráficos das funções 𝒚 =– 𝟐 𝒙; 𝒚 =– 𝟐𝒙 – 𝟑 𝒆 𝒚 = – 𝟐 𝒙 + 𝟒.
a < 0
–5
y = –2x
x
y
0 1 2 3
–3 –2 –1
1
2
3
–3
–2
–1
4 5
–4
–5
–4
4
5
y = –2x + 4
y = –2x – 3
Translação:

40. Agora é com você....
Faça os exercícios a seguir.

41. 2) Na produção de peças, uma indústria tem o custo fixo de R$ 8,00 mais
um custa variável R$ 0,50 por unidade produzida, Sendo x o numero de
peças produzidas:
a) Escreva a função que fornece o custo total y de x peças.
b) Calcule o custo de produção de 100 peças.
Exercícios
1) Construa o gráfico da seguinte função:
𝒇 𝒙 = ቐ
𝟐,
𝟑,
−𝟏,
𝐬𝐞 𝒙 ≤ −𝟐
𝐬𝐞 − 𝟐 < 𝒙 ≤ 𝟏
𝐬𝐞 𝒙 > 𝟏

42. Terminou?
Entre em: https://www.geogebra.org/m/G7YXJEYN. Faça os exercícios!!!
Entre em: https://www.geogebra.org/graphing. Digite sua função e veja se o seu gráfico está correto!!!
Exercícios
3) Dada a função do 1º grau 𝑓 𝑥 = −5 𝑥 + 2, calcule:
a) 𝑓(0) d) 𝑓(𝑥) = 0
b) 𝑓(−1) e) 𝑓(𝑥) = 2
c) 𝑓(2)
4) Construa o gráfico das seguintes funções do 1º grau:
a) 𝑦 = 𝑥 + 5 d) 𝑦 = −2𝑥 + 8
b) 𝑦 = 𝑥 e) 𝑦 = −𝑥 − 4
c) 𝑦 = 2𝑥 − 4