Exercícios de progressões aritmética e geométrica para o vestibular.

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Exercícios - Progressões: Aritmética e Geométrica

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Exercícios - Progressões: Aritmética e Geométrica
Resolução
por
Prof.: Rony Henrique Barros – PVS Cederj (PDC)
E-mail: rony.henrique@hotmail.com – Tel.: (21) 9274-0861
Pg 40
1) ‫ܪ‬ ൌ ܽଵ ൅ ܽଶ ൅ ܽଷ ൅ ‫ڮ‬ ൌ ܵ∞. Observe que os termos da sequência dada crescem em PG.
Por semelhança de triângulos, temos que
௔భ
௕
ൌ
௔మ
௖
֜
௔మ
௔భ
ൌ
௖
௕
ൌ ‫.ݍ‬
‫ܪ‬ ൌ
ܽ
1 െ
ܿ
ܾ
ൌ
ܾܽ
ܾ െ ܿ
2) ‫ܣ‬ଵ ൌ 2଻
. ‫ܤ‬ଵ
൜
‫ܣ‬௧ ൌ ሺ2ଶሻ௧ିଵ
. ‫ܣ‬ଵ
‫ܤ‬௧ ൌ 6௧ିଵ
. ‫ܤ‬ଵ
.
a) ‫ܤ‬ଶ ൌ 6. ‫ܤ‬ଵ ൌ 20 ൅ ‫ܤ‬ଵ ֜ ‫ܤ‬ଵ ൌ
ଶ଴
ହ
ൌ 4.
‫ܣ‬ଵ ൌ 2଻
. 4 ൌ 2଻
. 2ଶ
ൌ 2ଽ
ൌ 512.
b) ‫ܣ‬௧ ൏ ‫ܤ‬௧ ֜ 2ଶ௧ିଶ
. 2ଽ
൏ 6௧ିଵ
. 2ଶ
֜ 2ଶ௧ା଻
൏ 2௧ିଵ
. 3௧ିଵ
. 2ଶ
֜ 2ଶ௧ା଻
൏ 2௧ାଵ
. 3௧ିଵ
֜
ଶమ೟శళ
ଶ೟శభ ൏ 3௧ିଵ
֜
2௧ା଺
൏ 3௧ିଵ
֜ log 2௧ା଺
൏ log 3௧ିଵ
֜ ሺ‫ݐ‬ ൅ 6ሻ. log 2 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ. log 3 ֜ ‫ݐ‬ ൅ 6 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ.
୪୭୥ଷ
୪୭୥ଶ
֜ ‫ݐ‬ ൅
6 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ logଶ 3 ֜ ‫ݐ‬ ൅ 6 ൏ ሺ‫ݐ‬ െ 1ሻ. 1,6 ֜ 7,6 ൏ 0,6‫ݐ‬ ֜ ‫ݐ‬ ൐
଻଺
଺
ൎ 13.
A partir 13/05/2005.
3) ሺ1,3,5,7, … ሻ
ܽଵ଴ ൌ 1 ൅ ሺ10 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 9.2 ൌ 19.
LETRA C
4) a) ܳ ൌ ሺ1,3,5, … ሻ
‫ݍ‬ହ଴ ൌ 1 ൅ ሺ50 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 49.2 ൌ 99.
b) Já possuímos a quantidade de termos da linha 50, agora basta encontrar o primeiro e o último termo desta
sequência.
Observando a sequência formada pela primeira coluna, temos:
ሺ1,2,3,4, … ሻ. Daí, ܽହ଴ ൌ 1 ൅ 49.1 ൌ 50.
Agora encontraremos o último termo da sequência da linha 50, assim: ܾଽଽ ൌ 50 ൅ ሺ99 െ 1ሻ. 1 ൌ 50 ൅ 98 ൌ
148.
Portanto, ܵ ൌ
ሺହ଴ାଵସ଼ሻ.ଽଽ
ଶ
ൌ
ଵଽ଼.ଽଽ
ଶ
ൌ 99.99 ൌ 99ଶ
.
c) Calculemos em função de ݊ a quantidade de termos:
‫ݍ‬௡ ൌ 1 ൅ ሺ݊ െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 2݊ െ 2 ൌ 2݊ െ 1
O primeiro termo da ݊ െ é‫ܽ݉݅ݏ‬ linha:
ܽ௡ ൌ 1 ൅ ሺ݊ െ 1ሻ. 1 ൌ ݊
O último termo da ݊ െ é‫ܽ݉݅ݏ‬ linha:
ܾଶ௡ିଵ ൌ ݊ ൅ ሺ2݊ െ 1 െ 1ሻ. 1 ൌ ݊ ൅ ሺ2݊ െ 2ሻ. 1 ൌ ݊ ൅ 2݊ െ 2 ൌ 3݊ െ 2
Calculando finalmente a soma:
ܵ ൌ
ሺ݊ ൅ 3݊ െ 2ሻሺ2݊ െ 1ሻ
2
ൌ
ሺ4݊ െ 2ሻሺ2݊ െ 1ሻ
2
ൌ ሺ2݊ െ 1ሻሺ2݊ െ 1ሻ ൌ ሺ2݊ െ 1ሻଶ

4. 5)
Bolero Samba Fox
2 1 1
3 2 2
4 3 3
5 4 4
6 5 5
Soma 20 15 15
Total: 20 ൅ 15 ൅ 15 ൌ 20 ൅ 30 ൌ 50.
LETRA B
6) 77 ൊ 4 ൌ 19 ܿ‫݉݋‬ ‫݋ݐݏ݁ݎ‬ 1. Logo ocorreram 19 aniversários.
7) Seja ‫ܥܤ‬ ൌ ‫.ݔ‬
Observemos que ‫ݔ‬ ൅ ‫ܦܥ‬ ൌ 2, além disso,
஺஻
஻஼
ൌ
஻஼
஼஽
֞
ଶ
௫
ൌ
௫
஼஽
֞ ‫ݔ‬ଶ
ൌ 2‫.ܦܥ‬
ቄ
‫ݔ‬ ൅ ‫ܦܥ‬ ൌ 2
‫ݔ‬ଶ
ൌ 2‫ܦܥ‬
֜ ‫ݔ‬ଶ
ൌ 2ሺ2 െ ‫ݔ‬ሻ ֞ ‫ݔ‬ଶ
൅ 2‫ݔ‬ െ 4 ൌ 0 ֜ ‫ݔ‬ ൌ
െ2 േ ඥ2ଶ െ 4.1. ሺെ4ሻ
2.1
ൌ
ିଶേ√ଶ଴
ଶ
ൌ
ିଶേଶ√ହ
ଶ
ൌฎ
௫வ଴
െ 1 ൅ √5.
‫ݍ‬ ൌ
஻஼
஺஻
ൌ
௫
ଶ
ൌ
ିଵା√ହ
ଶ
.
ܵ∞ ൌ
ଶ
ଵି
షభశ√ఱ
మ
ൌ
ଶ
మశభష√ఱ
మ
ൌ
ସ
ଷି√ହ
.
ሺଷା√ହሻ
ሺଷା√ହሻ
ൌ
ସሺଷା√ହሻ
ଽିହ
ൌ 3 ൅ √5.
LETRA D
Pg 41.
8) 1 െ
ଵ
ଶ
൅
ଵ
ସ
െ
ଵ
଼
൅
ଵ
ଵ଺
…
Separemos em duas partes:
ܵ∞భ
ൌ 1 ൅
1
4
൅
1
16
൅ ‫ڮ‬ ൌ
1
1 െ
1
4
ൌ
1
3
4
ൌ
4
3
ܵ∞మ
ൌ െ
1
2
െ
1
8
െ
1
32
െ ‫ڮ‬ ൌ
െ 1
2ൗ
1 െ 1
4ൗ
ൌ
െ1
2
.
4
3
ൌ െ
2
3
ܶ‫݈ܽݐ݋‬ ൌ ܵ∞భ
൅ ܵ∞మ
ൌ
ସ
ଷ
െ
ଶ
ଷ
ൌ
ଶ
ଷ
.
LETRA B
9)ሺ‫,ݒ‬ ‫,ܧ‬ 1ሻ Usando o termo médio de uma PA, temos:
‫ܧ‬ ൌ
‫ݒ‬ ൅ 1
2
֜
݉‫ݒ‬ଶ
2
ൌ
‫ݒ‬ ൅ 1
2
֜
1. ‫ݒ‬ଶ
2
ൌ
‫ݒ‬ ൅ 1
2
֜ ‫ݒ‬ଶ
െ ‫ݒ‬ െ 1 ൌ 0
‫ݒ‬ ൌ
1 ൅ ඥ1 െ 4.1. ሺെ1ሻ
2
ൌ
1 ൅ √5
2
ൌ ߶
LETRA B
10) ‫݌‬ሺ‫ݐ‬ሻ ൌ 4,3. 10ଵ଺
. ሺ100% െ 16%ሻ௧ିଵ
ൌ 4,3. 10ଵ଺
. ሺ84%ሻ௧ିଵ
com ‫ݐ‬ ൒ 1. Assim,
‫݌‬ሺ1ሻ ൌ 4,3. 10ଵ଺
e ‫ݍ‬ ൌ
଼ସ
ଵ଴଴
ܵ∞ ൌ
4,3. 10ଵ଺
1 െ
84
100
ൌ
4,3. 10ଵ଺
16
100
ൌ
4,3. 10ଵ଺
. 10ଶ
16
ൌ
43. 10ଵ଻
16
؆ 2,7. 10ଵ଻
LETRA D

5. 11) O primeiro termo da décima linha é ݇ െ é‫݋݉݅ݏ‬ ൅ 1 termo da sequência ሺ1,3,5, … ሻ, onde ݇ ൌ 1 ൅ 2 ൅ 3 ൅
‫ڮ‬ ൅ 9 ൌ
ሺଵାଽሻ.ଽ
ଶ
ൌ 45.
ܽ௞ାଵ ൌ ܽସ଺ ൌ 1 ൅ ሺ46 െ 1ሻ. 2 ൌ 1 ൅ 90 ൌ 91
O último termo é: ܽହହ ൌ 1 ൅ 54.2 ൌ 109.
ܵ ൌ
ሺ91 ൅ 109ሻ. 10
2
ൌ 100.10 ൌ 1000
LETRA C
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